Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Возникновение конвекции в газах и жидкостях, обзор теоретических и экспериментальных исследований свободной конвекции .16
1.1. Свободная конвекция в жидкостях и газах 16
ГЛАВА 2. Ламинарная свободная конвекцию газа в замкнутой трубке тока 42
2.1. Обоснование использования одномерной нестационарной системы уравнений для исследования свободной конвекции 42
2.2. Нестационарная система уравнений, описывающая ламинарную конвекцию газа в замкнутой трубке тока
2.2.1. Тривиальное решение нестационарной системы уравнений для свободной конвекции газа в замкнутой трубке тока, область существования решения .48
2.2.2. Поиск нетривиального решения нестационарной системы уравнений методом установления 50
2.2.3. Разработка методики расчета параметров переноса тепла и развития конвекции в замкнутой трубке тока. 52
2.2.4. Использование задачи о распространении температурных волн в полуограниченной среде для поиска параметров переноса тепла и развития конвекции в замкнутой трубке тока при больших и малых числах Рэлея 60
2.2.4.1. Алгоритм расчета параметров переноса тепла ламинарной свободной конвекции в кольцевой трубке тока. 65
2.2.5. Использование метода установления для поиска границ возникновения свободной ламинарной конвекции в замкнутой кольцевой трубке тока 75
2.3. Стационарная система уравнений, описывающая ламинарную конвекцию газа в замкнутой трубке тока 79
2.3.1 Использование стационарной системы уравнений для поиска нетривиальных решений свободной конвекции в кольцевой трубке тока 83
2.4. Сравнение стационарных решений, полученных при решении стационарной и нестационарной системы уравнений 85
2.4.1.Преимущества и недостатки при решении стационарной и нестационарной систем уравнений 89
глава 3. Турбулентная свободная конвекцию газа в замкнутой трубке тока 90
3.1. Алгоритм расчета параметров переноса тепла ламинарной свободной конвекции в кольцевой трубке тока 90
ГЛАВА 4. Сравнение параметров переноса тепла, полученных в одномерной и в двумерной задачах для конвекции валиковых структур 103
4.1. Постановка и решение одномерной задачи конвекции для валов 104
4.2. Постановка и решение двумерной задачи свободной конвекции 108
4.3.Сравнение результатов одномерной и двумерной задач 114
ГЛАВА 5. Самоподдерживающиеся дозвуковые термоконвективные течения в канале переменного сечения с подводом и отводом теплоты при отсутствии внешних силовых полей 117
5.1. Задача о течении газа в канале переменного сечения 117
5.1.1. Система уравнений, описывающая течение газа в канале переменного сечения 119
5.1.2. Теплоэнергетические установки с МГД-генератором и турбиной на основе термоконвективных течений в каналах переменного сечения .128
Общие выводы и заключение 138
Список условных обозначений и сокращений 140
Список литературы
- Свободная конвекция в жидкостях и газах
- Поиск нетривиального решения нестационарной системы уравнений методом установления
- Алгоритм расчета параметров переноса тепла ламинарной свободной конвекции в кольцевой трубке тока
- Постановка и решение двумерной задачи свободной конвекции
Свободная конвекция в жидкостях и газах
Впервые возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости было описано Джеймсом Томсоном (James Thomson) в 1888 году. Он наблюдал сотообразные структуры в сосуде с мыльной водой. Кроме того, он отметил, что аналогичные структуры он увидел в тарелке с охлаждающимся говяжьим бульоном. Систематическое исследование конвективных движений в горизонтальном слое жидкости начинается с работ Б. Бенара (B.H. Benard) в 1900 году. В своем объяснении возникновения сотообразных шестиугольных ячеистых структур Бенар анализировал роль вязкости жидкости и поверхностного натяжения. Первое теоретическое исследование задачи возникновения конвекции в горизонтальном слое жидкости было выполнено Рэлеем (Lord Rayleigh) в 1916 году для двух свободных границ (рис.1.1.1).
Анализ Рэлея позднее был расширен Джеффри (H. Jeffreys) и Лоу (A.R. Low) для двух жестких и смешанных границ [1], [2]. Было установлено, что переход от режима теплопроводности (диффузии) к режиму конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, происходит при некотором критическом значении безразмерного комплекса, названного впоследствии числом Рэлея. Это число определяет отношение подъемных сил к силам вязкостного трения. Теория Рэлея объясняет возникновение конвективного движения под влиянием архимедовых подъемных сил.
Граничные условия, использованные Рэлеем, были искусственными, хотя решение, найденное на этой основе, позволило получить простое объяснение конвекции спектральной краевой задачей, учитывающей особенности проблемы. Рассмотрим эту задачу:
Задача включает в себя систему гидродинамических уравнений в приближении Буссинеска (или Обербека—Буссинеска). Первоначальное (узкое) значение этого термина таково [12,18,19,20]. Плотность вещества считается функцией одной лишь температуры Т (т.е. предполагается несжимаемость): p-p0=-p0p(T0), (1.1.1) где А-значение плотности при некоторой подходящим образом выбранной "средней" (или, лучше сказать, отсчетной) температуре Т0. Пусть объемный коэффициент теплового расширения /3 мал, и материальные параметры жидкости (кинематическая вязкость v, температуропроводность а, в том числе р ) мало меняются в рассматриваемой области. Тогда для не слишком быстрых процессов плотность и эти параметры можно считать постоянными повсюду в уравнениях, за одним исключением: вариацию плотности необходимо сохранить в члене, соответствующем силе плавучести, где она умножается на ускорение свободного падения g. При этом оказывается пренебрежимым тепловыделение из-за вязкой диссипации. Для механического равновесия в поле силы тяжести неподвижная неоднородно нагретая жидкость должна быть баротропной, т.е. для такого равновесия необходимо, чтобы было [vP,g] = 0, и следовательно [vr,g] = 0. Кроме того, если физические характеристики практически постоянны в рассматриваемом объеме, то статическое баротропное распределение температуры должно быть линейной функцией от вертикальной координаты z (высоты): Ts=T1-a-z (T1 =eorist). Индекс s обозначает статическое, невозмущенное значение физической переменной (т.е значение, соответствующее неподвижному состоянию жидкости). Тогда Г»-невозмущенная температура, а -невозмущенный градиент температуры. Для произвольной величины Т величина 0 = Tsбудет называться возмущением температуры, а отклонение давления от его статического распределения, определяемого невозмущенным линейным температурным профилем,- возмущением давления р . Тогда в таких обозначениях, уравнения Буссинеска имеют вид: — + (u-V)u = - -gpie + vAu (1.1.2) dt р0 Ё1 + йу(т +в) = аАв, (1.1.3) divu=0. (1.1.4)
Наиболее строгое обоснование приближения Буссинеска при весьма широких предположениях дали Перес Кордон и Веларде [13], они же обобщили его [14] на случай, когда проявляют себя эффекты сжимаемости (в толстом слое) и вязкой диссипации. Обсуждение условий применимости приближения Буссинеска имеется в книге [1].
Везде в дальнейшем, кроме специально оговоренных случаев, будем иметь в виду ситуации, когда приближение Буссинеска справедливо. Рассмотрим плоский горизонтальный слой жидкости (рис. 1.1.1 ) 0 z h (ось z декартовой системы координат х, у, z направлена вверх, так, что g = {0,0,-g} ) и будем считать, что температуры его недеформируемых верхней и нижней поверхностей фиксированы (т.е. что теплопроводность границ слоя бесконечна): Т = Т1 при z = 0 , (1.1.5) Т = Т2=Т1-АТ при z = h , где AT = ah. Это определяет условие 6 = 0, (1.1.6) на обеих границах. Ограничимся случаем а 0. Каждую из поверхностей слоя будем считать либо жесткой, либо свободной, вводя на этой границе соответственно либо условие прилипания жидкости на жесткой границе И=0, (1.1.7) либо условие обращения в нуль вертикальной компоненты скорости и тангенциальных напряжений: ди диу wz=0,yL = YL = 0 на свободной границе; (1.1.8) (для нижней границы последние два условия (1.1.8), как правило, весьма искусственны, но процедура решения уравнений сильно упрощается выбором таких условий; известные случаи, когда допущение свободных границ сильно влияет на свойства решений, будут в дальнейшем отмечены). В литературе встречается несколько способов перехода в данной задаче к безразмерным переменным. В дальнейшем будем пользоваться следующим, наиболее употребительным. В качестве единицы длины выберем толщину слоя h , единицы времени — время вертикальной диффузии теплаг = й2/а ,слоя единицы времени — время вертикальной диффузии тепла, единицы температуры — разность температур AT между поверхностями слоя. Тогда система уравнений (1.1.2)-(1.1.4) запишется в следующем безразмерном
Поиск нетривиального решения нестационарной системы уравнений методом установления
Для простейшей конвективной ячейки, располагаемой в поле силы тяжести, конвекция зарождается за счет подогрева и охлаждения газа. Подогрев и охлаждение могут осуществляться на верхней и нижней (или боковых) поверхностях ячейки. Под воздействием нагрева и охлаждения, из-за неоднородности плотности и температуры рабочей среды, в газе, располагаемом в поле силы тяжести, появляются подъемно-опускные течения. Подъемные течения возникают в результате того, что возникающая под воздействием градиента давления сила на отдельных участках больше противодействующей ей сумме силы тяжести и силы трения. Причиной этого является уменьшение плотности среды в направлении течения из-за подогрева этой среды.
Опускные течения вызваны наоборот – ростом плотности из-за охлаждения среды, вследствие чего сила тяжести начинает преобладать над силой трения и силой, вызываемой градиентом давления. Таким образом при наличии подогрева и охлаждения внутри конвективной ячейки возникает поле градиента давления, вызывающее конвективное течение среды.
Из-за постоянного воздействия градиента давления скорость циркуляции газа в ячейке будет постоянно нарастать по 2-ому закону Ньютона до тех пор, пока подъемная и опускная силы, действующие на разных участках ячейки, не будут скомпенсированы силой трения газа, вызываемой вязкостью среды и трением этой среды об поверхность ячейки. Из анализа процессов конвекции в данной системе можно сделать вывод, что свободная конвекция газа в ячейке возникает лишь при наличии постоянной неоднородности плотности и температуры газа, поддерживаемой обогревом и охлаждением в поле силы тяжести.
Для такой конвективной ячейки, обогреваемой и охлаждаемой снизу и сверху или через боковые поверхности, можно выделить две зоны формирующих общую картину конвективного теплообмена. 1-ая зона- располагается внутри конвективного течения вихря с центром расположения-центром масс системы, и является застойной областью, не участвующей в конвективном теплообмене, 2-ая зона- располагается “вокруг” застойной зоны и является зоной активного конвективного теплопереноса. Исходя из такого представления о делении области внутри ячейки на активную и пассивную зоны конвективного теплообмена, были разработаны простейшие одномерные математические модели, позволяющие получить такую важную теплофизическую характеристику конвективного теплообмена как зависимость числа Нуссельта Nu от числа Рэлея Ra, а также определить границу возникновения активной и пассивной зон ячейки при развитии свободной конвекции. В основе простейшей математической модели, описывающей развитие свободной конвекции, для отдельно взятой конвективной ячейки, располагаемой в поле силы тяжести и существующей стационарно при наличии постоянного обогрева и охлаждения, была создана модель замкнутого контура, также располагаемого в поле сил тяжести с циркулирующей газовой средой внутри него.
Для этого контура, как и для ячейки, возможны два варианта обогрева и охлаждения: горизонтальный и вертикальный (рис.2.1.2-2.1.3).
Считая, что все движение газа сосредоточено в замкнутой трубке тока радиусом R, ориентированной в вертикальной плоскости и обменивающейся с окружающей средой через тепловой поток q, уравнения сохранения сплошной среды описывающие конвекцию газа в трубке тока диаметром d можно получить усредняя параметры течения по радиусу : f = l\f(r)rdr (2.1.1) Используя полярные координаты и считая, что все усредненные величины меняются по углу о ф 7.7Г получим одномерные уравнения неразрывности, движения и энергии [6], описывающие свободную конвекцию газа в замкнутой трубке тока (знак осреднения опускаем):
Свободная конвекция для идеального газа в замкнутой трубке тока в простейшем случае исходя из полученных путем осреднения уравнений (2.1.2)-(2.1.3) может быть описана следующей одномерной нестационарной системой уравнений: нестационарное одномерное уравнение Навье-Стокса в поле силы тяжести в гидравлическом приближении, уравнение энергии, уравнение неразрывности, простейшее уравнение состояния идеального газа, формулы для коэффициента гидравлического сопротивления и распределения теплового потока по углу контура, завмыкающие эту систему уравнений.
Алгоритм расчета параметров переноса тепла ламинарной свободной конвекции в кольцевой трубке тока
Полученные, при решении одномерной задачи, данные чисел Nu от чисел Ra следовало бы сравнить не только с экспериментальными данными, но и с численными данными двумерной и трехмерной задач свободной конвекции. Однако, как уже упоминалось ранее, трехмерные задачи требуют исключительно огромных вычислительных ресурсов для моделирования турбулентной конвекции. К тому же при больших числах Рэлея Ra 107 для расчета параметров переноса тепла в трехмерных задачах для выхода нелинейной трехмерной нестационарной системы на конкретное установившееся стационарное течение используют различные модели турбулентности, сильно влияющие на результат самого решения.
Поэтому ограничимся рассмотрением сравнения результатов расчета чисел Нуссельта двумерной задачи конвекции с результатами расчета одномерной задачи конвекции.
Исходя из самой постановки двумерной задачи свободной конвекции, следует понимать, что в расчетной двумерной области нет третьей координаты Z , т.е. полученные результаты решения для полей скорости, температуры и давления при рассмотрении трехмерной постановки задачи справедливы всей оси Z. Это значит, что двумерная задача изначально моделирует валиковые структуры - конвективные валы.
Поэтому, чтобы сравнивать результаты основных параметров переноса тепла двумерной и одномерной задач, нужно, сначала решить одномерную задачу для конвективных валов, затем решить двумерную задачу конвекции. После решения, полученные значения чисел Нуссельта от числе Рэлея по одномерной и двумерной задачам, сравнить.
При решении одномерной задачи для валов уравнения (2.2.1-2.2.4) системы уравнений (2.2.1-2.2.5) исходя из геометрии самой задачи преобразуется к виду: K+wl K+ll +g.sin(p+ EL = 0 (4.1.1) dt Rdtp pRdtp 2dГ aL+wL?L.J3-±«г Т?!!L (412) dt R дер pCvd R Cv d psp+j_s{pw) = 0 (413) dt R dtp p f RгT (4.1.4) 104 В качестве модели конвективной ячейки для одномерной задачи подходит контур с радиусом R и гидравлическим диаметром dГ =i-s.8 -толщина контура рис.4.1.1. Следует, отметить, что сравнение одномерной и двумерной задач свободной конвекции, для простоты вычислений, проводится только для ламинарной конвекции. Для ламинарной конвекции вала коэффициент гидравлического и сопротивления рассчитывается расчетное число Нуссельта исходя из геометрии канала [9] определялись Для поиска точек числа Nu от числа Ra одномерная задача для валов решается абсолютно по тому же алгоритму, что и одномерная задача о конвекции в торе. Только вместо диаметра прогрева используется толщина прогрева = 3.5 і 2aR)2 V w J откуда средняя скорость циркуляции 105 ,л 24.5-а-Я определяется как W(h) =2 (4.1.5) Кроме того, при расчете чисел Нуссельта от Рэлея изменятся формулы для определения подведенной мощности и площади под контуром.
Подведенная мощность при нижнем обогреве вала определяется по формуле: Q = Pinput Щприг -Sceu-Cf (T output - T inpuf ) (4.1.6) Здесь площадь сечения определяется как произведение конвективной толщины прогрева на погонный метр. Sce4 = 8 L, где L = Ы рис.4.1.2. S = 2-R-L; (4.1.7) Таким, образом число Нуссельта для обогреваемых снизу и охлаждаемых сверху валов с учетом расчета задачи по алгоритму 2.2.4.1 и полученными поправками к формулам для определения полной мощности и площади под валом рассчитывается по формуле: Pmput-Winput-8-Cp-{T0Utputinput) R Pinput-Winput-8-Cp-{T0Utputinput) R Nu 2R-Ag AT 2-Ag AT (4.1.8). Число Рэлея рассчитывается также как для тора: Ra = Gr Pr 106
Для решения одномерной задачи для конвективных валов был валиковый контур радиуса R=0.24 м, для которого задача решалась при различных тепловых режимах числа Рэлея Ra. Результаты решения одномерной задачи для валов отображены в таблицах 5-6. Результаты расчета конвективного толщины вала и числа Нуссельта от числа Рэлея ламинарной свободной конвекции для воздуха
Воздух V=0-0263 Вт P = l-W5I7a Tc((p) = T0+AT-cos(pм К Т0 = 300 К = const АГ-меняется в таблице; Nup =3.77 ; /и = 184.6 -W1 Па-с2. — .g.(2.RfRa- Го М-СР „ Pmput-W inpur8-Cp-(T0Utput inJ R(ju)2 Коз ;ШІ 2-As АГ;Сю =1000 ;-подведенное тепло к контуру между точками входа in и выхода out; кг-КS = 2
Постановка и решение двумерной задачи свободной конвекции
В эту систему входят: (5.1.1)-стационарное уравнение неразрывности, (5.1.2)-уравнение импульса в гидравлическом приближении,(5.1.3)- уравнение закона сохранения внутренней энергии,(5.1.4)- уравнение состояния идеального газа. В уравнениях (5.1.2) и (5.1.3) кроме привычных слагаемых также присутствуют слагаемые J BX, -.Jx -сила Ампера, действующая на единичный объем газа, который содержит в себе свободные носители заряда 2 и движется вместе с ними в магнитном поле, —-тепловая мощность О" выделяемая в единичном объеме при движении свободных носителей заряда в газе в магнитном поле под действием силы Ампера.
Для непроводящей среды система сводится к виду: djpuS) dx L = - -s!« ри dx dx 2d dT dp П-а n-u3 p-Cv-u = u — + + dx dx S 2d p = p-Rg (5.1.8) Для поиска стационарных состояний течения газовой среды исходная система уравнений путем несложных математических преобразований была сведена к следующей системе уравнений:
Общий вид преобразования стационарной системы уравнений (5.1.1-5.1.4) подробно рассматривается в [7,8] и Приложении Б.
Последняя система уравнений решалась для течения газа в разомкнутом канале методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности, при помощи которого для заданного газа по параметрам течения (скорость, температура и давление газа) на входе в канал определялись параметры потока на выходе из канала. Основной целью такого численного расчета была задача подбора таких значений среднемассовой скорости на входе в канал и соответствующих им значений тепловых потоков q(+) и q(-) на стенках нагревателя и холодильника, чтобы на выходе из данного канала при заданной входной среднемассовой скорости и тепловом потоке на стенках параметры потока газа : скорость, температура и давление, совпадали с параметрами потока газа на входе в канал с определенной погрешностью. Так как модель канала является разомкнутой, т.е. получена из схемы рис.5.1.1 путем размыкания замкнутого контура по сечению в самом узком месте на входное и выходное сечения модели в рис.5.1.2 , то указанный способ решения системы уравнений (5.1.9-5.1.11) является поиском периодических граничных условий с определенной точностью в разомкнутом канале рис.5.1.2 для замкнутого контура переменного сечения рис.5.1.1. А сами решения , получаемые для распределения параметров потока газа (и,Р,т) вдоль канала рис.5.1.2 системы уравнений (5.1.9-5.1.11), находимые численным методом и соответствующие стационарным состояниям течения сжимаемой среды в канале переменного сечения, можно считать периодическими. Невязка периодического решения (точность определения граничных условий) определялась по формуле: ±вхвых + \вхвых + \вых где (7 ; [вх -параметры потока на входе канал; Uвы х Рвых Твых -параметры потока на выходе из канала. Для упрощения процедуры поиска режимных параметров, соответствующих стационарным периодическим решениям, длина холодильника разомкнутого канала подбиралась такой, чтобы при одинаковой по модулю подводимой к нагревателю и отводимой от холодильника теплот \Q{+\ = \Q{ \ соответствующие им подводимые и отводимые тепловые потоки были равны g модулю (или д(+)=-д(-)).
В качестве рабочей среды контура был взят газ гелий Не, для которого и производился поиск периодических граничных условий с заданной точностью по указанному методу решения стационарной системы уравнений (5.1.9)-(5.1.11). Подробное численное решение системы уравнений (5.1.9-5.1.11) по методу Рунге- Кутты 4-го порядка точности для сжимаемого потока газа гелия в разомкнутом канале переменного сечения описано в Приложении Б.
Результатами численного решения системы уравнений для каждой секции является распределение параметров потока гелия по длине канала для каждого найденного периодического решения стационарного режима течения газа в канале. Для серии периодических решений, индексируемых символом “” (номер точки на кривой), в 5-ти сечениях канала, индексируемых символом “/” (/-нумерация кривых) были построены основные зависимости комплексов в сечениях контура 0,1,2,3,4, а также зависимость q{+) от величины расхода G (рис.5.1.3-5.1.5), соответствующих различным периодическим граничным условиям Pj=PвыJ , Tj=TвыJ , uJ=uвыJ ,которые были обнаружены при решении задачи по метолу Рунге-Кутты 4-го порядка точности, при задании входных значений Рвхк, Твхк, uj. Эти зависимости демонстрируют то, каким образом меняется периодическое решение системы в областях указанных параметров (5.1.9-5.1.11) для стационарной термоконвекции газа гелия в канале переменного сечения при изменении внешнего теплового потока .
Здесь/?, -значение среднемассовой плотности газа в г-том сечении канала, к Ср -изобарная теплоемкость, #г -значение среднемассовой скорости звука газа в і -том сечении канала, иі -значение среднемассовой скорости течения газа в і -том сечении канала. Индекс /-номер сечения канала (также номер кривой), индекс -номер точки периодического решения на z-ой кривой (т.е. номер периодического решения). Для зависимости q{+) от G индекс к намеренно упущен. Так как тепловой поток задавался для нагревателя и холодильника, и подбирался для величны задаваемого расхода G, определяемого заданной входной скоростью ивх Ti -значение среднемассовой температуры газа в / -том сечении канала. Результаты поведения параметров потока в различных сечениях и зависимости комплексов , от М р -Ср-а -Т р -Ср-и -Т -1; приводятся в таблице 8.