Исследование моделей теплопроводности в условиях быстропротекающего термического процесса в низкотеплопроводном твердом теле Юдахин Андрей Евгеньевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Обзор литературы 13

1.1. Краткая история развития теории переноса и современное состояние теории теплопроводности 13

1.1.1. Гипотеза Фурье 13

1.1.2. Гипотеза Каттанео-Вернота 14

1.1.3. Уравнение Максвелла-Каттанео-Лыкова 17

1.2. Теоретические и экспериментальные исследования гиперболической теплопроводности 20

1.3. Краевые задачи гиперболической теплопроводности. Методы их решения 24

1.4. Методы измерения коэффициентов теплоотдачи 29

1.5. Измерение времени тепловой релаксации и времени демпфирования 31

1.6. Описание тепловых процессов в насадке регенеративного воздухоподогревателя .38

1.6.1 Обзор существующих методов расчета процессов в регенеративных воздухоподогревателях .39

1.6.2. Описание отопительно-вентиляционной системы с РВП 40

1.7. Выводы по главе 1 41

ГЛАВА 2. Описание экспериментальной установки для исследования кратковременных переходных термических процессов при внезапном изменении граничных условий третьего рода 43

2.1 Описание экспериментальное установки и исследуемых образцов 43

2.1.1. Экспериментальная установка 43

2.1.2 Исследуемые образцы 46

2.1.2.1. Изготовление керамических образцов для исследования 46

2.1.2.2. Образцы из полиметилметакрилата 48

2.2 Методика проведения эксперимента 51

2.3. Метрологические характеристики приборов 52

2.4. Выводы по главе 2 53

ГЛАВА 3. Математическое моделирование тепловых процессов в твердом теле

3.1. Описание тепловых процессов в прямоугольной пластине, исходя из гипотез Фурье и Каттанео-Вернота 54

3.2. Математические модели по гипотезе Максвелла-Каттанео-Лыкова 59

3.2.1. Тепловые процессы в круглом диске при внезапном изменении граничных условий 59

3.2.2. Математическая модель циклических переходных термических процессов в насадке РВП в форме цилиндра 63

3.3. Разработка метода регулярного режима первого рода для тела с двумерным температурным полем [104] 66

3.3.1. Математический эксперимент 68

3.3.2. Решение прямой задачи 69

3.3.3. Решение обратной задачи

3.4. Последовательность определения среднего по поверхности коэффициента теплообмена диска со средой 73

3.5. Выводы по главе 3 75

ГЛАВА 4. Результаты исследований переходных термических процессов в твердом теле по гипотезам Фурье, Каттанео-Вернота и Максвелла-Каттанео Лыкова 76

4.1. Влияние хт и т на характер переходных процессов в твердом теле 76

4.2. Результаты описания тепловых процессов в прямоугольной пластине по

моделям Фурье и Каттанео-Вернота 79 4.3. Результаты описания тепловых процессов по модели Максвелла-Каттанео-Лыкова в трехпериодном процессе 83

4.3.1. Теплофизические свойства полиметилметакрилата 83

4.3.2. Результаты опытов и их теоретическое описание 84

4.3.3. Определение параметров уравнения Максвелла-Каттанео-Лыкова.. 88

4.4 Погрешности измерения коэффициента теплоотдачи, времени тепловой релаксации и времени термического демпфирования 90

4.4.1 Погрешность измерения коэффициента теплоотдачи 90

4.4.2. Случайная погрешность измерения времени тепловой релаксации и термического демпфирования

4.5. Сравнение расчетных и экспериментальных переходных процессов 92

4.6. Влияние явлений тепловой релаксации и термического демпфирования на переходный термический процесс в насадке РВП .93

4.7. Расчет отопительно-вентиляционной системы с регенеративным воздухоподогревателем с насадкой из ПММА .97

4.7.1. Сравнение насадки из стали и полимеров для использования в РВП, входящей в состав ОВС 97

4.7.1. Исследование влияние учета релаксационных явлений на расчет РВП с насадкой из ПММА 101

4.8. Выводы по главе 4 102

Заключение 104

Список сокращений и условных обозначений 106

Список литературы

• Теоретические и экспериментальные исследования гиперболической теплопроводности
• Образцы из полиметилметакрилата
• Математическая модель циклических переходных термических процессов в насадке РВП в форме цилиндра
• Влияние явлений тепловой релаксации и термического демпфирования на переходный термический процесс в насадке РВП

Введение к работе

Актуальность исследования. Тепловые процессы в узлах тепловых агрегатов, например в насадке регенеративного воздухоподогревателя (РВП) имеют выраженный нестационарный характер, для описания которых используется гипотеза Ж. Фурье. Однако, как показали исследования Дж. Максвелла, Л. Онзагера, А.В. Лыкова, К. Каттанео, П. Вернота, С. Калиски, Ф. Морса, Э.М. Карташова и др., она пригодна для описания достаточно медленных, т.е. квазистационарных процессов, поскольку гипотеза не учитывает конечную скорость распространения тепла и тепловую инерцию. Доказательство ограниченности гипотезы Фурье связано также с явлением «второго звука» в жидком гелии. У истоков данного направления стояли П.Л. Капица, Л.Д. Ландау, В.П. Пешков, Л. Тисса, Дж. Уард, Дж. Уилкс, Е.М. Лифшиц и др.

Попытки улучшить формулу Фурье предпринимали ряд исследователей. К их числу относятся К. Каттанео (1948, 1958 г.), П. Вернот (1958 г.), А.В. Лыков (1965 г.), Л.А. Бровкин (1984 г.), Д. Цоу (1995 г.), С.И. Анисимов, М.И. Каганов, Р. Гайер, Дж. Крамхансл, Д. Джозеф, В.А. Кудинов, И.В. Кудинов и др. Было предложено несколько модификаций формулы Фурье, учитывающих тонкие механизмы явления теплопроводности. Наиболее известными из них являются гипотеза Каттанео-Вернота и модель Максвелла-Каттанео-Лыкова (М-К-Л) или двухфазного запаздывания. Модификация формулы Фурье потребовала введения постоянных времени: тепловой релаксации - в случае уравнения Каттанео-Вернота, и дополнительно термического демпфирования – в случае модели М-К-Л.

В литературе известны экспериментальные исследования, подтверждающие существование явления тепловой релаксации и его существенное влияние на характер переходного термического процесса. Имеются данные об измерении времени тепловой релаксации для некоторых материалов. Однако экспериментально-теоретических исследований по измерению времени термического демпфирования и подтверждения адекватности модели М-К-Л на сегодняшний день не обнаружено. Отсутствуют также работы, в которых бы учитывалось влияние тепловой релаксации и термического демпфирования на теплопередающую способность РВП.

Диссертация соответствует специальности 01.04.14 «Теплофизика и теоретическая теплотехника» для технических наук в областях исследования:

«1. Экспериментальные исследования термодинамических и переносных свойств чистых веществ и их смесей в широкой области параметров состояния.

2. Аналитические и численные исследования теплофизических свойств веществ в различных агрегатных состояниях».

Целью исследования является установление экспериментально-теоретическим путем адекватной модели теплопроводности и измерение параметров этой модели для низкотеплопроводного твердого тела (полиметилметакрилата) в условиях быстропротекающего переходного термического процесса.

Задачи исследования:

1. Создать экспериментальную установку с автоматической регистрацией переходных термических процессов в нескольких точках исследуемого тела с высокой разрешающей способностью по времени.

2. Разработать метод регулярного режима первого рода применительно к двумерному телу для измерения коэффициента теплоотдачи в переходном процессе.

3. Разработать аналитические модели переходного термического процесса, адекватные опытной физической модели и соответствующие гипотезам Фурье, Каттанео-Вернота и Максвелла-Каттанео-Лыкова.

4. Разработать аналитическую модель циклического переходного термического процесса в насадке РВП по модели Максвелла-Каттанео-Лыкова.

5. Разработать методику измерения параметров уравнений, отражающих гипотезы Каттанео-Вернота и Максвелла-Каттанео-Лыкова, путем описания опытного переходного

процесса аналитическими моделями переходного термического процесса.

6. Произвести измерения значений параметров уравнений, отражающих гипотезы Каттанео-Вернота и Максвелла-Каттанео-Лыкова, для нескольких образцов твердого тела (полиметилметакрилата).

7. Провести проверку адекватности гипотез Фурье, Каттанео-Вернота и Максвелла– Каттанео-Лыкова путем сравнения опытного переходного термического процесса в твердом теле с рассчитанным по разработанным аналитическим моделям.

8. Показать необходимость учета релаксационных явлений при описании термических процессов в насадке и расчете теплопередающей способности регенеративного воздухоподогревателя.

Научная новизна:

1. Разработан метод регулярного режима первого рода применительно к телам с двумерным температурным полем.

2. Получено аналитическое решение гиперболической краевой задачи третьего рода для трехмерного тела при внезапном нагревании в рамках гипотезы Каттанео-Вернота.

3. Получены аналитические решения гиперболических краевых задач третьего рода в рамках гипотезы Максвелла-Каттанео-Лыкова для одномерного (цилиндр) и двухмерного (круглая пластина) тел при внезапном однократном нагревании и циклическом теплообмене с горячей и холодной средами.

4. Разработаны методики определения времен релаксации и термического демпфирования с помощью экспериментальных и теоретических исследований.

5. Впервые измерены значения времени тепловой релаксации и термического демпфирования для полиметилметакрилата.

6. Показана необходимость расчета термических процессов и теплопередающей способности регенеративного воздухоподогревателя по гиперболическому дифференциальному уравнению теплопроводности, учитывающему явления тепловой релаксации и термического демпфирования.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждается использованием аттестованной измерительной аппаратуры в сочетании с современной автоматизированной измерительной системой; применением классических методов аналитического решения задач математической физики; удовлетворительной воспроизводимостью результатов измерений времен тепловой релаксации и термического демпфирования.

Теоретическая и практическая значимость работы:

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в повышении точности прогнозирования развития температурных полей и термических переходных процессов, характерных для тел и узлов при импульсном и кратковременном тепловом воздействии на их поверхность в ракетной, авиационной, ядерной технике, а также в технологических процессах в регенеративных воздухоподогревателях и в процессах с использованием лазерной сварки в материалах с известными значениями времени тепловой релаксации и термического демпфирования. Доработанный регулярный режим первого рода позволяет точнее измерять коэффициент теплоотдачи поверхности низкотеплопроводного двумерного тела. Построена более точная, чем классическая, математическая модель регенеративного воздухоподогревателя на основе гиперболического уравнения теплопроводности. Показано, что использование насадки из ПММА увеличивает срок службы РВП, входящей в состав отопительно-вентиляционной системы (ОВС), а также уменьшает общий вес установки. Полученные результаты используются в учебном процессе подготовки бакалавров по направлению 15.03.04 – «Автоматизация технологических процессов и производств» по дисциплине «Технические средства автоматизации и управления» (Приложение 1).

Автор защищает:

7. Метод регулярного режима первого рода применительно к низко теплопроводным телам с двумерным неоднородным температурным полем.

8. Аналитическое решение гиперболической краевой задачи третьего рода для

трехмерного тела при внезапном нагревании в рамках гипотезы Каттанео-Вернота.

3. Аналитические решения гиперболических краевых задач третьего рода в рамках гипотезы Максвелла-Каттанео-Лыкова для одномерного (цилиндр) и двухмерного (круглая пластина) тел при внезапном однократном нагревании и циклическом теплообмене с горячей и холодной средами.

4. Методику определения времен релаксации и термического демпфирования с помощью экспериментальных и теоретических исследований.

5. Результаты измерения времен тепловой релаксации и термического демпфирования для полиметилметакрилата.

6. Результаты расчетов регенеративного воздухоподогревателя, показывающих необходимость учета релаксационных явлений в насадке и их влияние на теплопередающую способность аппарата.

Методология и методы диссертационного исследования. Поставленные задачи решались с использованием теоретических и экспериментальных методов исследования. В исследовании использовался экспериментальный метод измерения температур с помощью термоэлектрических термометров, платы National Instruments с аналого-цифровым преобразователем и персонального компьютера с программой Lab View для регистрации и обработки показаний. Для измерения коэффициентов теплоотдачи использовался метод регулярного режима первого рода. Для исследования переходных процессов и измерения теплофизических величин использовались: аналитический метод решения задач теплопроводности с конечными интегральными преобразованиями Фурье и Ханкеля, метод минимизации функционалов.

Апробация работы:

Работа обсуждалась на научно-технических конференциях и семинарах российского и международного уровня: XVII, XVIII аспиранстко - магистерских семинарах, посвященных Дню Энергетика, г. Казань, 2014, 2015 г.г. ; X, XI международных молодежных научных конференциях «Тинчуринские чтения», г. Казань, 2015, 2016 г.г.; Всеросийской конференции XXXII Сибирский теплофизический семинар, г. Новосибирск, 2015 г.; IX Семинаре ВУЗов по теплофизике и энергетике. г. Казань, 2015 г.; ХI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Казань: КФУ. 2015 г.; XV Минском международном форуме по тепломассообмену, г. Минск, 2016 г.; X школе-семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова, г. Казань, 2016 г.; X Международной теплофизической школе, Таджикистан. – Душанбе, 2016 г.; Итоговых научных конференциях Казанского научного центра РАН по итогам 2014, 2015 и 2016 г.г.

Доклады и тезисы докладов опубликованы. Работа в целом заслушана на расширенном заседании кафедры АТПП КГЭУ и получила одобрение и поддержку.

Личный вклад автора в работу. Под руководством научного руководителя сформулировал цель и задачи исследования; участвовал в разработке и создании экспериментальной установки для исследования термических переходных процессов в твердом теле при внезапном нагревании; участвовал в решении краевых задач гиперболической теплопроводности и разработке методики выполнения опытов и обработки полученных данных, в обработке полученных опытных данных с помощью компьютерной программы на объектно-ориентированном языке Visual Basic, в расчете значений времен тепловой релаксации и термического демпфирования.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ, в том числе 6 статей в рекомендованных ВАК журналах, из них 1 в журнале б/д Scopus.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 122 наименований и трех приложений; изложена на 120 страницах текста, содержит 27 рисунков и 11 таблиц.

Теоретические и экспериментальные исследования гиперболической теплопроводности

При исследовании переходных термических процессов при граничных условиях третьего рода необходимо знание коэффициента теплообмена (теплоотдачи).

Коэффициент теплообмена а между средой и поверхностью тела характеризует интенсивность теплообмена между ними. Распространённым способом определения величины а является метод со стационарным тепловым потоком [77]. По формуле (1.17), зная тепловой поток от источника и измеряя разницу температур между поверхностью и средой, находится численное значение величины а.

Г.М. Кондратьев [78] предложил метод определения коэффициента теплоотдачи в нестационарном процессе, названный методом регулярного режима первого рода, который получил широкое распространение применительно к телам, в которых температурные поля одномерны. Метод сводится к регистрации температуры тела в переходном термическом процессе, возникающем после погружения тела с начальной температурой Т0, имеющего полную теплоемкость С и внешнюю поверхность S, в среду с постоянной температурой Tf. Средняя температура тела при этом изменяется по экспоненциальному закону [78]: Г-7}=(Г0-7})ехр(-тт) или Т-Т, In f = -mx, (1.27) T0f зо где m = aS/C — темп изменения температуры, с"1; а — коэффициент теплоотдачи поверхности, Вт/(м2 К).

В полулогарифмических переменных зависимость температуры тела от времени г, как следует из формулы (1.27), имеет линейный характер, тангенс угла наклона которой к оси х равен темпу т. Период времени, в течение которого выполняется уравнение (1.27), называют регулярным тепловым режимом.

Связь величины т с коэффициентом теплоотдачи, формой и теплофизическими свойствами тела известна. В телах правильной геометрической формы темп изменения температуры выражается формулой: а{ 2 II 2 II а2] т = — и + у + г& , где а = ХЦрс) — коэффициент температуропроводности тела, м2/с; % — теплопроводность, Вт/(м2 К); р — плотность, кг/м3; с — удельная теплоемкость, Дж/(кг К); \х, у, О — безразмерные числа, зависящие от коэффициентов теплоотдачи поверхностей, нормальных к осям х, у, z, соответственно; lx, I lz — характерные размеры тела вдоль осей х, у, Z, м.

В телах с одномерным температурным полем m = a\i2/h2, где h — характерный размер тела, м. По найденному из опыта значению т можно определить одну из неизвестных величин: коэффициент теплоотдачи а, или какую-то из неизвестных характеристик теплофизических свойств тела. В телах с многомерным полем температуры задача усложняется, так как необходимы дополнительные соотношения, устанавливающие связи между числами ц, у и О.

Другой проблемой в теории регулярного режима применительно к телам с многомерным температурным полем является то, что темп изменения температуры т в таких телах, как будет показано в главе 3, не постоянен, то есть уравнение (1.27), строго говоря, не выполняется. В дальнейшем этот метод дорабатывался для случая с непостоянной температурой среды [79, 80].

Для измерения rq необходима регистрация температуры в определённых точках исследуемого тела при известных граничных условиях: первого рода — путём контакта тела с горячей или холодной поверхностью [57, 58], второго рода — путём импульсного теплового воздействия на одну из его поверхностей [81], третьего рода — путём погружения в среду с температурой, отличной от начальной температуры тела [18, 82, 83].

На выбор метода влияет предполагаемое значение времени релаксации т и метрологических характеристик средств измерения. При больших т удовлетворительная точность его определения обеспечивается при граничных условиях первого рода, которые предполагают наличие внешнего тела, обладающего большой теплоёмкостью и постоянной температурой. На рис. 1.1 показан полученный опытным путём график изменения во времени температуры внутренней точки тела, охлаждаемого путём контакта с холодной поверхностью.

Метод с граничными условиями второго рода в виде импульса теплового воздействия (рис. 1.3) реализуется с помощью лазера. Этот метод наиболее требователен к чувствительности, инерционности и временной разрешающей способности аппаратуры, регистрирующей температуру.

На рис. 1.4 показаны графики изменения относительной температуры точек тела по уравнению (1.7) при граничных условиях третьего рода. Из графика видно, что расчётная зависимость от времени температуры внутренней точки по уравнению (1.7), качественно совпадают с опытной зависимостью, показанной на рис. 1.1. Это указывает на возможность применения метода с граничными условиями третьего рода для измерения времени релаксации по формуле (1.9) и времени задержки Ат. Метод предполагает постоянство интенсивности теплоотдачи и температуры внешней среды.

Ранее предполагалось, что время тепловой релаксации определяется формулой (1.9), в которой под wт понималась скорость звука [4, 75, 84]. В соответствии с этой формулой расчетное время тепловой релаксации металлов, например, имеет порядок наносекунд. Поэтому считалось, что явление тепловой релаксации на практике не оказывает существенного влияния на переходные термические процессы и в расчетной практике им пренебрегали и пренебрегают в подавляющем числе случаев до сих пор. В работе [83] Ю.А. Кирсанова и соав. показано, что под wт следует понимать не скорость звука, а скорость распространения температурных волн, которая на несколько порядков меньше величины wт. Уточнение физического смысла величины wт позволило переоценить роль тепловой релаксации в переходных термических процессах.

Образцы из полиметилметакрилата

Рассматривается пластина толщиной 2А, шириной 26 и длиной /, имеющая начальную температуру Т0. В момент времени т = 0 пластина внезапно погружается в горячую среду с постоянной температурой Tf.

Коэффициент конвективного теплообмена а поверхности пластины со средой, как и теплофизические свойства: плотности р, удельной теплоемкости с и теплопроводности X пластины — также считаются постоянными. Требуется определить, как развивается температурное поле в пластине во времени.

Решением данной задачи является решение краевой задачи третьего рода, состоящей из дифференциального уравнения (1.2) - для модели Фурье, или (1.7) — для модели Каттанео-Вернота, начальных условий и граничных условий третьего рода (1.17) — для модели Фурье, или (1.18) — для модели Каттанео-Вернота. Однако, как показано в работах [18, 19], в тех случаях, когда первостепенное значение имеет частотная характеристика, граничное условие (1.18) в модели Каттанео-Вернотта может быть заменено на условие (1.17), что облегчает процедуру решения краевой задачи.

Используя обозначение тддут/дту , где v = 0, xq=0, дт/дт =0 — для модели Фурье и v= 2, xq 0 — для модели Каттанео-Вернота, краевую задачу третьего рода для гипотез (моделей) Фурье и Каттанео-Вернота в размерных переменных при постоянных теплофизических свойствах тела в декартовых координатах можно представить так [97]: д2Т д2Т д2Т\ + — + тп 1 = а q дту дт аг ду2 dz2 r 0; 0 x h; 0 y b- 0 z /; (3.1) V J T(x,y,z,o) = T0; (3.2) dT(x,y,z,o)/dr = o; (3.3) c7T(0,y,z,T)/3c = 0; (3.4) AcT(h,y,z,T)/ck = -ax [T(h,y,z,r)f\; (3.5) C7T(X,0,Z,T)/ = 0; (3.6) XdT(x,b,z,x)/dy=-OLy [T(x,b,z,x)f\; (3.7) r(ijAx)/5z = aZj0 [T(x,y,0,x)fl; (3.8) X&r(x,y,l,T)/dz = -azA [T(x,yJ,x)-rf\. (3.9) Здесь x, у, z, — координаты текущей точки, м; ax, a , az0 и azl — коэффициенты теплоотдачи поверхностей, нормальных к соответствующим осям координат, Вт/(м2 К). Переходя к относительным переменным X = x/h ; Y = y/b; Z = z/l; Ly = b/h; Lz=l/h; 0 = (Tf)/(т0 f) — относительная избыточная температура; oq = axq h1 — число Фурье; t = т/т — относительное текущее время; ВІХ =ахА/Л., Biy=ayb/X, Biz0 = a 0l/X и Bi =а 1/Х — числа Био, краевая задача (3.1)-(3.9) перепишется так [97]: 5V9 59 52Є 1 52Є 1 52Є + = Fq + — + t 0; 0 X,Y,Z 1; (3.10) дґ dt ч\ дХ2 L y dY2 L\ dZ J 9(X,7,Z,0) = 1; (3.11) de(x,Y,z,o)/dt = o; (3.12) de(o,Y,z,t)/dx = o; (3.13) de(i,Y,z,t)/dx = -m e(i,Y,z,t); (3.14) de(x,o,z,t)/dY = o; (3.15) dQ(xxz,t)/dY=-Biy Q(x,\,z,t); (3.16) de(x, Y,O, t)/ez = ВІ e(x, Y,o,t); (3.17) a0(X,F,l,O/5Z=-Bi Q(X,YXt)- (3-18) Решение задачи (3.10)-(3.18) ищется с помощью конечных преобразований Фурье [75, 76]: і і і Qdnn,ym kj) = \Kx{nnX)\Ky{ymY)\K kZ)Q{XJ,Zj)dZdYdX, 0 0 0 где K nX)=Cos nX); Ky{ymY) = coiymY); Kz (\Z) = cos( z) + 5 sm(\z) - ядра преобразования.

После умножения обеих частей уравнения (3.10) на ядра преобразования и почленного интегрирования по координатам X, Y и Z в пределах от 0 до 1 получаем изображения этих членов в преобразованиях Фурье:

Аналогично находятся выражения для преобразований других слагаемых в правой части уравнения (3.10) с использованием граничных условий (3.15)-(3.18): L dY Jo о о y2mQL(v„,ym,&kj); Bivcos(YOT) = YOTsin(YOT). (3.20) M MFy» dZ ra2e(x,r,z,Ol l_ і о dZ dY dX eLk,y.,»bO; tgOb) і Bi z,o Bi,! Bi z,o ВІ2Д + (3.21) Уравнения (3.19)-(3.21), называемые характеристическими, определяют значения корней ци, ут и dt, где {и, /и, } = 1, 2, 3, … После подстановки изображений членов уравнения (3.10) оно становится обыкновенным однородным линейным дифференциальным уравнением: где ге б/6 + dtv dt C2=Foq[ +(Ym/Zy)2+(OjZz)2J. + C2eL =0, (3.22) Решение лифференциального уравнения [98]: Єьк у„,з ,0= К0ехр(- ) при v = 0, Q/i(0+c2/2(0 при v = 2 (3.23) sin( )sin(Yjrsin( ) Biz0sin2( /2)1 постоянные где eL;0= + 7T ; Cl и C2 интегрирования, определяемые из начальных условий (3.11) и (3.12): -приу = 2 и 2=1/4, ЄЬ,о/2 W 0L,o; 0L,O Q = а2ЄЬ0/су, С - в /а, -приv = 2 и 2 l/4, { Ко/ приv = 2 и 2 1/4; Г fexp(-f/2), /l(0= ехр(-аі0, [cos(a /2)exp(-r/2); [ exp(-f/2) -приу = 2иС2=1/4, /2(0= exp(-a20 -приу = 2 и С2 1/4, sin(a f/2)exp(-1/2) - при v = 2 и C2 1/4; a = (l-G)/2; a2=(l + a)/2;a2 = l-4 59 Обратные преобразования Фурье [75, 76] позволяют получить оригинал искомой функции, т.е. решение краевой задачи (3.10)-(3.18):

Температура в градусах находится при известных значения избыточной относительной температуры Q(x,Y,Z,t) по формуле: T(X,Y,Z,t) = Tf+(T0 f)6(X,Y,Z,t) . Выражения (3.19)-(3.24) представляют собой аналитическую модель переходного термического процесса, адекватную опытной физической модели и гипотезам Фурье и Каттанео-Вернота.

Рассматривается диск диаметром D и толщиной 2 h с начальной температурой Т0. В начальный момент времени диск внезапно погружается в среду с температурой Tf = const. При одинаковом теплообмене поверхности тела с окружающей средой температурные поля в теле будут симметричными относительно его геометрического центра. Предполагается, что процесс нагревания пластины состоит из нескольких периодов, в каждом из которых коэффициент теплоотдачи имеет свое значение, одинаковое по всей поверхности диска [99]. Математическая формулировка краевой задачи третьего рода с уравнением (1.12) и граничными условиями третьего рода, записанным в соответствии с гипотезой (моделью) М-К-Л (1.21) и с учетом Tf = const, в относительных переменных имеет вид [72, 99, 100]:

Математическая модель циклических переходных термических процессов в насадке РВП в форме цилиндра

Для дальнейших исследований компанией ООО «СафПласт» (г. Казань) любезно предоставлены образцы листового ПММА. На кафедре Теоретических основ теплотехники КНИТУ-КХТИ (г. Казань) были выполнены измерения теплофизических свойств этих образцов.

Измерения изобарной теплоемкости ПММА в интервале температур 273 К393 К выполнены на усовершенствованном сканирующем калориметре ИТС-400 [109]. Тестирование установки проведено на стеариновой кислоте (марка ХЧ). Доверительные границы общей погрешности измерений удельной теплоемкости при доверительной вероятности 0,95 не превысили 2 %. Полученные табличные данные в диапазоне температур 70…110 оС (пять точек) обобщены уравнением регрессии: с = 1076 + 3,64 Т Дж/(кгК). (4.1) Теплопроводность измерена абсолютным методом плоского слоя [1О] на аппарате системы д-ра Бок [111]. Доверительные границы общей погрешности измерений теплопроводности в диапазоне 30…80 оС (шесть точек) при доверительной вероятности 0,95 составили менее 3,5%. Результаты обобщены формулой: X = 0,188 + T 10"4 Вт/(мК). (4.2)

В формулах (4.1) и (4.2) температура выражена в градусах Цельсия. 4.3.2. Результаты опытов и их теоретическое описание

Экспериментальные данные получены на экспериментальной установке, описанной в главе 2 с образцами из таблицы 2.1.

Типичный зарегистрированный переходный процесс в образце из ПММА при внезапном погружении в горячую среду представлен на рис 4.6 [99, 112-117]. Рис. 4.6. Переходные процессы, записанные АИС по показаниям термопар: 1 — в воде; 2 — в центре образца; 3, 4 — на поверхностях образца Представление переходного процесса в виде зависимости от времени Tf измеренных относительных избыточных температур 0 = в центре диска T0f и на его поверхности в полулогарифмических координатах показано на рис. 4.7. Увеличивающийся разброс точек по мере приближения температуры диска к температуре воды обусловлен соизмеримостью разности этих температур и погрешности их измерения. Последующей обработке подвергались переходные процессы в диапазоне времени 0 х х3 . Значения х3 для каждого образца оценивались индивидуально. Рис. 4.7. Темп нагрева образца №1 в течение переходного термического процесса: 1 — в центре; 2 — на поверхности

Угол наклона зависимости логарифма относительных избыточных температур от времени, называемый темпом нагрева, характеризует число Био Bi = ah/X, где а — коэффициент теплообмена поверхности тела со средой. По характеру изменения темпа нагрева поверхности диска весь переходный термический процесс можно разделить на три стадии или периода. В первом периоде 0 х Xj темп нагрева поверхности диска максимален, что указывает на наиболее интенсивный теплообмен в начале переходного процесса. Во втором и третьем периодах темпы нагрева поверхности образца и его центральной точки практически одинаковы, отличия между ними заключаются в уровне температур и, как следствие, — в теплофизических свойствах тела. Момент времени х2 брался равным половине времени х3, то есть х2 = х3/2.

Для представленного на рис. 4.7. переходного термического процесса в образце № 1 продолжительность первого периода выбрана Xj= 4,5 с. Третья и вторая стадии процесса имеют следующие временные границы: х3= 200 с и х2 = т3/2 = 100 с. Поскольку краевая задача (3.25)-(3.30) имеет точное решение при т -тт, то есть при к = 1, то теоретический переходный процесс рассчитывался именно при к = 1.

Для теоретического описания проведенных экспериментов по модели Максвелла-Каттанео-Лыкова необходимо было предварительно найти значения числа Био. Для первого периода они находились в предположении того, что на поверхностные точки явления релаксации и демпфирования не распространяются. Поэтому числа Био Bi и Віуд определялись путем минимизации функционала і=Е[ЄРоиг(іЛт)-Єех(іДт)]2, (4.3) т=0 где GFour(l,0, х) — текущее значение относительной температуры диска, рассчитанной по классическому уравнению теплопроводности в точке X —»1, 7 = 0; 6ех(і,0,т) — зарегистрированная в опыте температура образца в той же точке и в тот же момент времени. В результате для образца №1 получено: Ві = 16,21; ВіуД = 152,9. Для двух оставшихся периодов числа Био можно найти по формулам Bix=ah/X, Bi =ZBix, (4.4) в которых необходимо определить коэффициента теплоотдачи а . При т - оо, а именно при х х2, влияние тепловой релаксации и термического демпфирования на процесс переноса внутренней энергии становится незначительным и решение по модели М-К-Л практически совпадает с решением классического уравнения теплопроводности по гипотезе Фурье при тех же начальных и граничных условиях. Это позволяет использовать доработанный метод регулярного режима первого рода [104] для поиска среднего по поверхности коэффициента теплоотдачи, который описан в параграфе 3.3. Значения коэффициентов Ъ и m находились линейной аппроксимацией экспериментально зарегистрированного темпа изменения температур (рис. 4.8) в течение третьего периода для каждого образца и эксперимента отдельно.

Влияние явлений тепловой релаксации и термического демпфирования на переходный термический процесс в насадке РВП

Рассматривается отопительно-вентиляционная система (ОВС), схема которой показана на рис. 1.7. В холодное время года влага, содержащаяся во влажном теплом воздухе, удаляемого из помещения, конденсируется на холодной поверхности насадки РВП, входящей в состав ОВС. При очень низких температурах влага оседает на насадке в виде инея. С этим связано возникновение двух проблем: 1) появление коррозии металлической насадки; 2) закупоривание инеем вентиляционных каналов. Предотвратить коррозию насадки РВП можно, используя в качестве материала насадки ПММА. Однако окончательное решение этого вопроса требует знания распределения температур насадки и теплоносителей вдоль межпластинчатых каналов. Получение детальной картины о температурных полях в теплоносителях и насадке возможно с помощью математической модели, описанной в монографии [18]. По этой модели произведен расчет двух вариантов ОВС: в одном варианте материалом насадки РВП служила сталь марки ст. 10, а в другом - ПММА [120]. Расчеты произведены без учета фазовых процессов первого рода.

Сопоставительный анализ полученных результатов позволял решить вопрос о пригодности ПММА для использования в РВП ОВС. Во всех вариантах температуры холодного и теплого воздуха на входе в ОВС приняты одинаковыми: -30 оС и +20 оС, соответственно; предполагалось, что подогрев свежего воздуха в РВП должен осуществляться до +45 оС. Требуемое значение этой температуры достигалось регулированием расхода топлива (природного газа) в горелке 2 (рис. 1.7) и коэффициента избытка воздуха на входе в РВП.

В табл. 4.3 представлены геометрические параметры регенератора. Рассмотрено два варианта РВП: односекционный и пятисекционный при одинаковой длине ротора, т.е. длина одной секции насадки в пятисекционном варнианте в 5 раз меньше, чем в односекционном. Сокращение длины отдельной секции позволяет повысить коэффициент теплоотдачи и сократить перетоки тепла вдоль насадки и, тем самым, повысить теплопередающую способность РВП.

Теплоотдача поверхностей насадки и гидравлическое сопротивление каналов между пластинами в предположении ламинарного режима рассчитывались по критериальным уравнениям [121, 122]: Nu = l,85(RePrd э l сек)1/3; Аp = С, Pf w 2 l сек ; = 80/Re, где Re = wfdэvf- число Рейнольдса; Pr = vf/af- число Прандтля; wf - среднерасходная скорость теплоносителя, м/с; pf - плотность теплоносителя, кг/м3. Расчет РВП производился для длительности периода хp= 15 с, который соответствует частоте регенерации 2 об/мин. Формулы для расчета теплофизических свойств насадок и теплоносителей представлены в Приложении 3. Полученные расчетные данные показаны в табл. 4.4 и 4.5 и рис. 4.13. ст.10 (вариант 1) и из ПММА (вариант 2) №1.2. 3. 4.5.6.7. 8. 9. 10. Параметры Размерность Вариант 1 Вариант Хол. воздух Гор. воздух Хол. воздух Гор. воздух Массовый расход кг/с 0,1336 0,2660 0,1336 0,2233 Температура на входе оС -29,76 53,46 -29,71 59,50 Температура на выходе оС 45,0 16,73 45,0 14,05 Скорость теплоносителя м/с 2,94 3,18 3,65 3,34 Число Рейнольдса - 618 651 769 685 Коэффициент теплопередачи Вт/(м2К) 6,138 6,510 Коэффициент теплоотдачи Вт/(м2К) 30,48 30,37 30,58 30,23 Потери давления Па 244,1 247,1 312,9 260,9 Мощность на прокачку Вт 26,14 58,10 33,3 51,5 Расход газа на горелку м3/час 0,905 0,905 100 Таблица 4.5. Режимные параметры в 5-ти секционном РВП насадкой из стали ст.10 (вариант 1) и из ПММА (вариант 2) №1.2. 3. 4.5.6.7. Размер-ность Вариант 1 Вариант Параметры Хол. воздух Гор. воздух Хол. воздух Гор. воздух Массовый расход кг/с 0,1336 0,2954 0,1336 0,2536 Температура на входе оС -29,75 50,17 -29,70 54,85 Температура на выходе оС 45,0 17,40 45,0 14,28 Потери давления Па 262,7 283,5 330,6 303,8 Коэффициент теплопередачи Вт/(м2К) 7,183 7,611 Коэффициент теплоотдачи 1 секция Вт/(м2К) 31,42 34,04 34,20 34,41 секция 33,19 34,84 35,93 35,29 секция 34,32 35,37 37,19 35,95 секция 35,05 35,71 38,09 36,45 секция 35,51 35,92 38,76 36,82 Расход топлива на горелку м3/час 0,905 0,905 Из табл. 4.3 видно, что масса насадки из ПММА легче насадки из ст. 10 более, чем в 4 раза. Меньшая масса и коррозионная стойкость ПММА являются веской причиной замены ею стальной насадки в РВП ОВС. По полученным данным стоит также отметить предпочтительность многосекционного РВП по сравнению с аналогичным односекционным, так как при одинаковых площадях поверхностей насадки у многосекционного РВП выше коэффициенты теплоотдачи каждой секции и коэффициент теплопередачи всей установки.

Нанесенные на рис. 4.13 линии точки росы и замерзаний воды позволяют определить сечения ротора, за которыми по ходу горячего воздуха на поверхностях насадки начинается конденсация влаги и образование инея, соответственно. Из рис. 4.13 видно, что конденсация влаги происходит примерно на длине 0,1 м от входа холодного воздуха, а образование инея – на расстоянии примерно 0,05 м. В 5-ти секционном РВП образование инея можно предотвратить, если за первой секцией по ходу холодного воздуха установить сепаратор влаги и кондесатоотводчик. В отсутствии этих мер, стальная насадка будет подвергаться коррозии, а каналы будут забиваться инеем.