Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Создание математических моделей определения газодин амического профиля сопел 10
1.1. Основы построения коротких профилированных сопел 10
1.2. Приближенный метод расчета сопел на основе свободно расширяющегося течения 16
1.3. Основы построения коротких профилированных сопел по методу характеристик 21
Глава 2. Исследование напряженного состояния слоистых ортотропных оболочек 26
2.1. Коструктивно-ортотропные цилиндрические оболочки 26
2.2. Оболочка вращения безмоментного напряженного состояния 34
2.3. Двухслойные цилиндрические оболочки с продольными связями 42
2.4. Двухслойные цилиндрические оболочки с кольцевыми связями ; 48
Глава 3. Исследование напряженного состояния пластин с отверстиями 56
3.1. Напряженное состояние перфорированных пластин при изгибе 56
3.2. Напряженное состояние перфорированных пластин при растяжении 71
Глава 4. Исследование напряженного состояния перфорированной цилиндрической оболочки с круговыми отверстиями 81
4.1. Напряженное состояние круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием 81
4.2. Напряженное состояние круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговыми отверстиями 92
Глава 5. Исследование усталостной долговечности перфорированных пластин и цилиндрических панелей 117
5.1. Исследование напряженного состояния перфорированных цилиндрических панелей 118
5.2. Расчет усталостной долговечности перфорированных пластин и цилиндрических панелей 124
Глава 6. Оптимизация элементов схем сопел ВРД . 132
6.1. Определение оптимального контура сопла 133
6.2. Влияние массы на ресурс сопла 138
6.3. Оценка расходования ресурса с учетом повреждаемости . 141
Выводы по работе 149
Заключение 150
Список литературы
- Основы построения коротких профилированных сопел
- Коструктивно-ортотропные цилиндрические оболочки
- Напряженное состояние перфорированных пластин при изгибе
- Напряженное состояние круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием
Введение к работе
Задачей выбора оптимальных конструкций элементов двигателей, которые работают при сложных видах нагружения и могут происходить различные виды отказов, что существенно сократит срок службы всего двигателя в целом, необходимо создать комплексный подход к проектируемым элементам к нам можно отнести: лопатки турбины, жаровые трубы,камеры сгорания, сопла. В нашей работе мы рассмотрим методику комплексного подхода к проектированию на примере сверхзвуковых сопел. Нами будут рассмотрены сверхзвуковые части сопла.
Сопло является необходимым элементом реактивного двигателя. В нем происходит преобразование тепловой энергии продуктов сгорания в кинетическую энергию истекающей из сопла струи газов.
При проектировании сопел реактивных двигателей основной целью является максимальное приближение процесса истечения к идеальному при минимальных габаритах сопел. Тогда сопло двигателя будет иметь минимальные потери при минимальной массе и габаритах.
Задача выбора оптимального сопла — достаточно сложная, которая решается различными путями и методами. Для выбора оптимального раскрытия сверхзвуковой части сопла с учетом газодинамических потерь и с учетом массы сопла. Ограничения по массе и габаритам для силовых установок ВРД могут быть введены при проектировании сопел.
При расчетах несущей способности элементов, а затем и долговечности их, необходимо учитывать влияние концентраторов напряжений, в частности, отверстия в тонкостенных пластинках и оболочках. В эксплуатации возможно применение сложных видов нагружения, а также появление трещин и работа элементов двигателей с известными границами роста трещины.
Очевидно, что тонкостенные элементы пластинки и оболочки могут быть использованы в качестве модулей для сверхзвуковых профилей сопел. Во многих отраслях техники в качестве несущих элементов используются тонкие пластины и оболочки, ослабленные большим количеством регулярно расположенных (периодически, двоякопериодически) отверстий, размеры которых соизмеримы с расстояниями между ними, но существенно меньше характерного размера пластины (оболочки).
Методика расчета построения профиля сопла с угловым входом приведена В.Д. Курпатенковьш [25]. Основная терминология и уравнения для метода характеристик для обсуждения основной теории и происхождения этих отношений представлены Liepmann H.W., и Roshko А.В [62].
Виды потерь и способы их оценки показаны в работе [46], учтены наиболее типичные, которые снижают тягу силовой установки.
Для конструктивно-ортотропных оболочек и оболочек с подкреплениями, определение прочности для упругой области предложены Биргером И. А. в [7].
Работа по методам определения напряженного состояния и эффективных упругих параметров перфорированных пластин и оболочек при растяжении и изгибе проведена Л.А. Фильштинским [15].
Общую схему решения двоякопериодических задач теории упругости о растяжении пластин, предложенную В.Я. Натанзоном [31], Э.И. Григолюком, Л.А.Фильштинским [15] исследуют различные двоякопериодические задачи о растяжении и изгибе перфорированных пластин и оболочек с круговыми отверстиями. Используя конформное отображение и схему решения двоякопериодических задач, развитую в [15], В.М. Мирсалимов [28] приближенно определяет оптимальную форму отверстий для перфорированной пластины при изгибе.
Метод рядов теряет свою эффективность для областей с некруговыми границами. В этом случае наиболее эффективным является метод интегральных уравнений. Обобщение интегральных уравнений Н.И. Мусхелишвили [29] на решение двоякопериодических задач проведено В. Койтером [59,60]. В работах Болотина В. В. [10] показано влияние случайных нагрузок, действующих на пластинки и оболочки вращения.
Рассмотрен вопрос о создании методики учитывающей эксплуатационные нагрузки и показан пример расходования ресурса элементов двигателя.
Гипотеза спектрального суммирования, предложенная В.Л. Райхером в работе [36], позволяет сформулировать феноменологическую инженерную теорию расчета долговечности, использующую связь между статистическими характеристиками нагрузок и характеристиками выносливости образца в виде кривых Велера.
Современное состояние парка авиадвигателей показывает, что эксплуатация двигателей по расходованию ресурса, требует тщательного контроля термонагруженных элементов, к которым можно отнести элементы камер сгорания, сопла, лопатки турбин.
Следует отметить, что в ряде случаев можно рассмотреть работу элементов имеющих повреждения в виде трещин, которые могут привести к разрушению всего двигателя.
Для выявления этих элементов должен проводиться инструментальный контроль. Рост трещины характеризуется скоростью, которую можно определить уровнем изменения напряженного состояния ата!1 и am[n цикла.
Контроль и выявление трещин на ранней стадии позволит оценить оставшееся количество полетных циклов для таких элементов.
Из анализа опыта эксплуатации тонкостенных конструкций можно сделать вывод о том, нами предложен метод проектирования оптимальных конструкций элементов имеющих концентраторы напряжений, снижающих долговечность и уменьшающих ресурс двигателя.
Целью работы является разработка методики создания оптимального сопла с определенными ограничениями по профилю контура, массе и долговечности. Основные задачи, которые решены в работе, для достижения поставленной цели :
• систематизация и обобщение материалов в данном вопросе;
• исследование факторов влияющих на прочность и долговечность;
• разработка метода оптимизации конструктивных элементов сопла. Научную новизну представляют:
• усовершенствованный комплексный подход к решению задачи о проектировании контура сопла минимальной массы;
• показано влияние концентраторов напряжений на снижение долговечности оболочек - элементов сопла;
• проведена оценка остаточного ресурса элементов сопла с учетом роста трещины, как начального повреждения элемента сопла;
• предложен выбор оптимального раскрытия сверхзвуковой части сопла с учетом трения газа о стенку и потери тяги на неравномерность поля скорости на срезе или не параллельность истечения , и также массы сопла. Построена целевая функция массы сопла, которая позволяет оптимизировать массу сопла при заданных ограничениях.
Практическая значимость — создана методика, позволяющая определить оптимальный профиль сопла минимальной массы и учесть влияния конструктивных факторов, а также работу элементов сопла с начальными повреждениями. Расход ресура элементов сопла показан на примере. Уменьшение массово-габаритных характеристик сопла позволит иметь конструктивное решение близкое к оптимальному.
Практическая ценность работы характеризуется тем, что применение комплексного подхода к решению таких задач позволит в эксплуатации оценивать остаточный ресурс сопла при наличии трещины как начального повреждения, что будет обеспечивать безопасность полетов.
В диссертации используются методы теории ВРД, теории упругости, пластичности, сопротивления материалов, теории вероятностей, теория малоцикловой прочности.
В первой главе рассматриваются общие принципы построения коротких сопел, приводятся методика и порядок расчета профиля с изломом образующей и метод характеристик.
Во второй главе рассматривается плоская деформация двухслойных цилиндрических оболочек с продольными и кольцевыми связями. В том случае, когда связи предполагается частыми, получаются решения для конструктивно-ортотропной оболочки. Оболочка подвергается действию внутреннего давления, осевых усилий и неравномерного нагрева. Силовые факторы и температура не изменяются по длине оболочки. Рассмотрены некоторые важные для практики схемы нагружения трехслойных конструкций. В этом случае, рассматривается напряжен но-дер формированное состояние оболочки, нагруженной на один слой.
В третьей главе расчет на прочность таких пластин сводится к решению сложных краевых задач для многосвязных областей. Задачи можно значительно упростить, если конечную пластину с перфорацией заменить бесконечной пластиной с двоякопериодической системой отверстий. В главе дается постановка и решение двоякопериодической задачи об однородном изгибе, растяжении и сдвиге пластин с криволинейными отверстиями. Задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Рассматривается определение напряжений и макропараметров при однородном изгибе, растяжении и сдвиге пластин, ослабленных двоякопериодической системой произвольных криволинейных отверстий.
В четвертой главе рассматриваются аналогичные вопросы для густо перфорированной цилиндрической оболочки. Двоякопериодическую задачу для пластин можно считать достаточно полно разработанной. Этого нельзя сказать о периодической задаче в теории оболочек. Между тем постановка такой задачи наиболее естественна для замкнутой оболочки. Здесь попытались наметить соответствующие постановки и подходы к решению обсуждаемого круга задач,
В пятой главе исследуются свободные и вынужденные колебания анизотропной цилиндрической панели, макропараметры которой соответствуют густо перфорированной пластине. Поле напряжений в перфорированной оболочке можно представить в виде суммы двух полей: макроскопического и микроскопического.
Расчет макроскопического поля напряжений проводится при заданных условиях закрепления для сплошной анизотропной оболочки, жесткостные характеристики которой (эффективные упругие параметры) определяются на основе решения двоякопериодических задач об одном изгибе, кручении [9], сдвиге и растяжении [34] перфорированных пластин.
Микроскопическое поле определяется путём умножения макроскопических напряжений на соответствующие коэффициенты концентрации, полученные при решении двоякопериодических задач.
В работе описана процедура расчета напряженного состояния густо перфорированных цилиндрических панелей при действии стационарного случайного нормального давления. Исследуется влияние конструктивных параметров на долговечность перфорированных панелей, находящихся под действием равномерно распределенного стационарного случайного давления.
В шестой главе приведен выбор оптимального контура сопла с учетом потерь трения, потерь рассеивания и массы сопла. Для выбранной толщины стенки сопла, определяются напряжения в соответствующих участках сверхзвуковой части сопла, а также определена долговечность в различных точках, и подход к определению расходования ресурса при различных начальных величинах трещин.
В заключении кратко представлены полученные результаты работы, выводы. В приложении помещены в графическом виде и в таблицах полученные в ходе работы количественные результаты, которые не вошли в основной текст диссертации.
Основы построения коротких профилированных сопел
Типичное сопло реактивного двигателя представлено на рис. 1.1.1. В сопле условно выделяют четыре области: I— дозвуковая область течения, II — область предварительного расширения, III— область выравнивания потока и IV— выходная область течения.
Характерные области течения в сопле Лаваля и схемы сопел В большинстве случаев при расчете исходных или базовых сопел ставится требование получения на выходе из сопла равномерного и параллельного течения или однородного потока. В других случаях за выходной характеристикой в области IV может задаваться и другой характер течения.
Стенка сопла —линия тока (вернее поверхность тока). Для контура сопла можно принять одну из проведенных в потоке линий тока. Однако сопло, как изветно должно быть как можно более коротким.
Количественной характеристикой длины сопла служит относительная его длина хс, равная сумме длин дозвуковой и сверхзвуковой частей сопла: ХС=Хвх + Х0 0.1.1) где хю = — относительная длина входной части сопла; X х0 =— относительная длина выходной (сверхзвуковой) части сопла. У кр
Из двух составляющих длины сопла — хвх и х0 — основное значение имеет длина сверхзвуковой части сопла, как наиболее громоздкая часть сопла, особенно при больших степенях расширения.
С другой стороны, длину сверхзвуковой части сопла можно представить в виде суммы двух длин: х0=хА + хАЕЗ (1.1.2)
Первая длина хА определяет длину по оси сопла, на которой поток ускоряется от скорости звука (к = 1) в точке О до расчетной скорости в точке А (А = АЛ).Эта длина зависит от характера течения в зоне предварительного расширения, и она тем меньше, чем более интенсивно происходит ускорение потока в этой зоне.
Вместе с тем, как следует из чертежа, оставаясь по абсолютной величине постоянной в данном течении, ее относительная величина будет уменьшаться по мере выбора для стенки сопла, все более удаленной от оси линии тока.
Вторая длина хАВ определяет по оси сопла участок с характерным течением на выходе. Если течение на выходе принято равномерным и параллельным, то выходная характеристика АВ — прямая и величина
Как видно, величина хЛВ зависит только от расчетного значения скорости ХА и не зависит от линии тока.
Для того чтобы сверхзвуковая часть сопла имела наименьшую длину, надо для стенки выбирать наиболее удаленную от оси течения линию тока и использовать в зоне предварительного расширения течения с наиболее интенсивным ускорением потока.
Из некоторых общих соображений можно установить, что непрерывное безударное ускорение потока из дозвуковой области в сверхзвуковую область в сопле Лаваля ограничивается вполне определенной линией тока, называемой предельной.
За пределами этой линии тока в сопле Лаваля невозможно продолжать течение из дозвуковой области в сверхзвуковую.
Предельной линией тока при криволинейной поверхности перехода через скорость звука является линия, которая проходит через точку М пересечения характеристик разного семейства: характеристики 2-го семейства AM, проведенной вверх по течению-из точки А, лежащей на оси течения, где скорость достигает расчетного для данного сопла значения; характеристики 1-го семейства ОМ, проведенной вниз по течению из точки О на оси, где скорость достигает скорости звука.
Если поверхность перехода через скорость звука плоская, то характеристика 1-го семейства ОМ совпадает с поверхностью перехода, и точка М пересечения характеристик ОМ и AM перемещается в плоскость критического сечения—предельная линия тока получается с изломом — углом в критическом сечении: Схема сопла получила название сопла с угловой точкой или угловым входом.. Если за стенку сопла принять какую-либо промежуточную линию тока , где показаны такие сопла со срезами В , В" и т. д., то в обоих случаях получаются внешне похожие сопла с гладкими криволинейными контурами.
Коструктивно-ортотропные цилиндрические оболочки
Рассмотрим элементы конструктивно-ортотропных оболочек. Общая толщина оболочки предполагается малой по сравнению с радиусом и ортотропный слой достаточно жестким, что дает основание применять основные гипотезы теории тонких оболочек (гипотезу о жесткой нормали),
Уравнения симметричной деформации
Выделим некоторую цилиндрическую поверхность радиуса г, которую назовем основной (рис.2.1.1). Обозначим перемещение точек основной поверхности вдоль радиуса w , вдоль образующей u.
Положительное значение w соответствует перемещению к оси оболочки. Деформация в точках основной поверхности (z = 0) определяется равенствами:
Рассмотрим конструктивно-ортотропный слой толщиной dz. Предполагается, что слой выполнен из изотропного материала, имеющего модуль упругости Е(х, z) и коэффициент Пуассона ц(х, z), Пространство слоя лишь частично заполнено материалом.. В последних равенствах Далее можно воспользоваться условием равновесия всей отсеченной части оболочки (рис.2.1.5), из которого находим N. (2.1.21) -) -;Ne= -(q„r ф 27trsin(p " sirupЧІП 2nR,sin9 При безмоментном напряженном состоянии выбор основной поверхности влияет лишь на величины R, и R2. Так как толщина оболочки мала по сравнению с радиусом кривизны, то этот выбор несущественен и основную поверхность можно считать совпадающей со срединной поверхностью оболочки. Рассмотрим частный случай, когда срединная поверхность оболочки является цилиндрической. При этом ф = тг/2, Rt=w и, согласно (2.1.21) будем иметь
Рассматривается плоская деформация двухслойных цилиндрических оболочек с конечным числом продольных связей . В том случае, когда связи предполагаются частыми, получаются решения для конструктивно-ортотропной оболочки.
Оболочка подвергается действию внутреннего давления, осевых усилий и неравномерного нагрева. Для общности предполагается, что в пространстве между оболочками имеется давление среды. Силовые факторы и температура не изменяются по длине оболочки.
.Уравнения совместности деформаций и уравнения равновесия
Рассмотрим двухслойное кольцо единичной длины, выделенное из оболочки двумя плоскими поперечными сечениями. Такое кольцо будем в дальнейшем называть элементарным кольцом. Так как нагрузка и температура не изменяются по длине оболочки, то можно считать, что деформация оболочки является плоской. Предположим сначала, что температура оболочек и параметры упругости материала постоянны по толщине.
Для составления условий совместности деформаций отсечем продольные связи, заменяя их неизвестными усилиями Р кг/см , положительное направление этих усилий (по отношению к оболочкам) показаны на рис.2.2.1. (равные и противоположно направленные силы, действующие на связи, на рисунке опущены). Обозначим через W,HW2—перемещения точек А,иА2 в радиальном направлении. Эти перемещения считаются положительными, если они направлены в сторону увеличения радиуса.
Будем иметь (2.2.1) где E, и д, - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки. В этом уравнении первый член выражает перемещение от усилия Р; коэффициент податливости оболочки Xt определяется в дальнейшем.
Второй член соответствует увеличению радиуса оболочки вследствие нагрева. Следующий член представляет собой радиальное перемещение свободной оболочки под действием внутреннего давления qB и наружного давления qH.
Перейдем к условиям совместности деформации в осевом направлении. Эти условия для плоской деформации состоят в равенстве осевых деформаций оболочек и соединительного слоя
Напряженное состояние перфорированных пластин при изгибе
В многих отраслях техники в качестве несущих элеменов используются тонкие пластины и оболочки, ослабленные большим количеством регулярно расположенных (периодически, двоякопериодически) отверстий, размеры которых соизмеримы с расстояниями между ними, но существенно меньше характерного размера пластины,
В главе даны решения соответствующих краевых задач об изгибе и растяжении решеток. Исследуются локальные свойства напряженного состояния в решетке.
Напряженное состояние перфорированных пластин при изгибе
В данной главе рассмотрена однородная задача изгиба пластины, ослабленной двоякопериодической системой криволинейных отверстий. Краевая задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Рассматриваются основные соотношения технической теории однородного изгиба пластин. Прогиб срединной поверхности пластины w(x,y) определяется из решения бигармонического уравнения V2V2w(x,y) = 0 (3.1.1) где V2 -—-Н — оператор Лапласа. Эх Эу
Решение уравнения (3.1.1) удобно представить через две произвольные аналитические функции p(z) u \j/(z) комплексного аргумента z = х + iy w(x,y)=Re{ (z) + x(z)}; X(z) = J y(z)dz, (3.1.2)
Поскольку в технической теории изгиба пластин напряжения, смещения, усилия и моменты выражены через прогиб w. Эти соотношения имеют вид М, +Му =-4(l + (i)DReO(z), Му - Мх + 2\Ыху = 2( 1 - u)D[i D (z) + F(z)] Q.-iQf=-4DO (z), -у D(z) = (p (z), T(z) = v/(z) (3.1.3) 3w . 3w M— = p(z)+z p (z) + (z), dx dy где Mx ,My,Mx)r — удельные изгибающие и крутящие моменты; h — толщина пластины ; QX,Q — удельные перерезывающие силы.
Если на контуре L пластины заданы изгибающий Мп и крутящий Mnt моменты, а также перерезывающая сила Qn, краевое условие имеет вид - кф(1) + tO(t) + vj/(z) = f, + if, + iCt + С,, t є L, f +if 77—-j[Mn+i}p(S)ds]dt, ImC = 0, (ЗЛ,4) dS 1 + ц где t — аффикс на контуре L; С и С і — соответстввенно вещественная и комплексная постоянные, принимающие различные значения на различных контурах, ограничивающих пластинку; Mn,Mnt,Qn— изгибающий, крутящий моменты и перерезывающая сила на площадке с нормалью n .
Рассмотрим бесконечную пластину, ослабленную двоякопериодическои системой криволинейных отверстий, имеющих гладкий контур(рис.3.1.1).
Пусть а ,, в2 (Im w, =0,Imco2/a), 0)— основные периоды решетки, S— область, занятая материалом пластины, L — гладкий контур отверстия в основном параллелограмме периодов.
Построим функции p(z) u \y(z) так, чтобы условия двоякопериодичности моментов и перерезывающих сил в решетке выполнялись автоматически. В этом случае выполнение краевого условия (3.1.5) на контуре одного отверстия приведет к автоматическому удовлетворению краевых условий на контурах всех остальных отверстий. С помощью соотношений (3.1.7) показать, что представления (3.1.6) удовлетворяют условиям двоякопериодичности (3.1.8).
Напряженное состояние круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием
В цилиндрической оболочке, ослабленной отверстием, распределение напряжения, вызванное некоторым грузом, приложеным к оболочке, будет отличаться значительно от этого в неослабленной оболочке. Фактически должно ожидаться, что это зависит от геометрии оболочки. Эта геометрия может быть описана двумя параметрами. Каждый - отношение между толщиной и радиусом средней поверхности цилиндра. Другой - отношение между диаметром отверстия и радиуса средней поверхности.
В качестве модели замкнутой пологой круговой цилиндрической оболочки с отверстием принимается спиральная оболочка, показанная на рис.4.1.1. Угол ф, как видно из чертежа, изменяется в пределах - оо (р со.
Для рассматриваемой области решение уравнения(4.1.5) необходимо иметь в полярных координатах г, 9 на поверхности цилиндра. x=rcos6 y = rsin9
Это уравнение может быть решено в полярных координатах методом Бернулли. Мы предполагаем, что решение может быть написано в форме:
Воображаемые части функции U, который является кроме постоянного фактора, нормальное смещение w, должны быть единственное-оценены, так что мы можем использовать только составные ценности п и для п=0.
Тогда записывается решение основного уравнения (4.1.5), доказывается полнота решения при условии однозначности U(x,y) в виде для (4.1.9)
Решение задачи для различных случаев нагрузки, представимой на контуре окружности рядом Фурье, не вызывает принципиальных затруднений. Постоянные АпиВп должны быть определены из граничных условий на контуре отверстия, точное удовлетворение которых сводится к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно Ап иВп. К ней надо присовокупить условие однозначности смещений, которое выражает тот факт, что тангенциальные смещения при обходе вдоль произвольного замкнутого контура, содержащего внутри себя отверстие, принимают свои исходные значения. Искомые условия однозначности смещений автор получает в виде
а).Растяжение круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием
Предлагая что оболочка загружена симметрично с соответственно и ось х и ось у. Мы можем ограничить нас решением в (4.1.16), которые вызывают к таким смещениям и напряжениям, если мы налагаем некоторые ограничения к константам Ап иВп. Вводя новые константы С =А — В (п - нечетное число) С = А + В„ (п - четное число)
И условия (4.1,11) автоматически удовлетворены. Так что мы удаляем все термины, содержащие фактор cos рф или sin pep, в котором является р -нечетное число.
Распределения окружных и изгибных нормальных напряжений по контуру отверстия для различных значений параметра ц.і при растяжении продольным напряжением a круговой цилиндрической оболочки со свободным круговым отверстием. Сплошные линии — срединная поверхность, пунктирные — наружная поверхность (изгибные напряжения). б).Кручение круговой цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием
Чтобы получить дважды антисимметрические напряжения и смещения, мы дожны рассмотреть по подобным причинам как в дважды симметрическом случае
Чтобы получить распределение напряжения оболочки, ослабленной круговым отвестием, мы дожны добавить к распределению напряжения неослабленной оболочки. Напряжения являются результатом нагрузки на крае отверстия Nr=psin2(p Qr=0 Nr„ = pcos2 p Mr=0 (4.1.39)
В то время как оболочка кроме той нагрузки свободна. Заменяя sin 21ф вместо соз21ф и -СОБ21Ф вместо sin 21ф из граничных условий, уравнения напряжений и смещений могут быть получены из уравнений (4.1,28)-(4.1.36).
