Введение к работе
Актуальность исследования. Стереометрические задачи играют важную роль в обучении, т.к. позволяют применять знания, полученные при изучении многих тем школьного курса математики, и тем самым способствуют пониманию изучаемого материала, формированию необходимых умений и навыков. Такие задачи являются одним из наиболее эффективных средств развития логического и пространственного мышления школьников, воспитания их графической культуры.
Проблеме отбора стереометрических задач и обучения их решению посвящены исследования таких специалистов в области методики обучения математике как А. К. Артемов, В.Г.Бевз, А. Б. Василевский, Г.Л. Глейзер, Я. Е. Гольдберг, В. А. Далин-гер, Г. Д. Зайцева, С. Г. Корнфельд, В. В. Орлов. Н.Н. Пономарева, В. И. Рыжик, Л. В. Рыжкова, А. И. Фетисов, А. Халиков и др.
Несмотря на большое внимание к решению стереометрических задач в теоретических исследованиях и практике преподавания геометрии в школе, эти задачи продолжают оставаться для учащихся одними из самых трудных математических задач.
Опыт работы в школе, результаты вступительных экзаменов в вузы, результаты анкет, проводимых с учителями, свидетельствуют о том, что основные трудности учащихся при решении стереометрических задач, предполагающих работу с многогранниками, связаны с недостаточной развитостью пространственных представлений, которая выражается в неумении увидеть элементы внутренней области многогранников. К элементам внутренней области многогранников могут быть отнесены:
а) углы, внутренние области которых содержат внутренние
точки многогранников (в частности, углы между ребрами и гра
нями, между высотой и гранями, линейные углы двугранных уг
лов между гранями, между секущей плоскостью и гранями),
б) отрезки, содержащие внутренние точки многогранников
(в частности, отрезки, длины которых являются расстоянием
между несоседними вершинами, расстоянием от вершины до реб
ра, не лежащего в одной грани с этой вершиной, до какого-ли
бо отрезка, принадлежащего грани, от вершины до плоскости
грани, до секущей плоскости, между ребрами, не принадлежащими одной грани, между прямыми, лежащими в различных гранях, между ребрами и гранями, между гранями, между секущей плоскостью и гранями).
Вопросы, связанные с видением внутренней области многогранников, затрагиваются практически во всех работах, посвященных решению задач по теме "Многогранники". В работах рассматриваются:
различные методы построения сечений (но при этом не устанавливается взаимосвязь между построенным сечением и его видением, которое нужно для решения стереометрических задач) (А. Б. Василевский, Я.Е. Гольдберг, н. Ф. Четверухин и др.);
способы построения различных элементов, принадлежащих внутренней области многогранников (но при этом построение опирается на рассмотрение плоских фигур, заключенных внутри многогранника; а видение этих фигур и является одной из главных трудностей учащихся) (Н.М. Веский, А.Б. Василевский, Я. Е. Гольдберг, Т.В. Гришина, К. К. Джумаев, Г.Д. Зайцева, В.В. орлов, Т.Г. Ходот и др.).
Поэтому проблема видения внутренней области многогранников до сих пор остается актуальной.
Проблема исследования: поиск эффективных средств, позволяющих формировать видение внутренней области многогранников, и тем самым направленных ка развитие пространственных представлений учащихся, с целью повышения эффективности решения стереометрических задач.
В дальнейшем, говоря о стереометрических задачах, будем иметь в виду задачи, предполагающие работу с многогранниками.
Объектом исследования является процесс обучения старшеклассников решению стереометрических задач.
Практически любая школьная стереометрическая задача может считаться принципиально решенной как стереометрическая после сведения ее к планиметрической. Отметим, что решение планиметрических задач вызывает определенные затруднения учащихся, но в данном исследовании речь идет о решении собственно стереометрических задач, т.е. задач, связанных с анализом отношений между фигурами и их элементами в пространс-
тве. Поэтому основной трудностью в решении стереометрической задачи можно считать сам процесс сведения ее к задаче на плоскости. Такое сведение предполагает использование умения видеть плоскую фигуру в пространстве с разных точек зрения.
В связи с этим важную роль в процессе решения задачи играют определенные качества, присущие, по мнению психологов, развитым пространственным представлениям (М.С. Шехтер, PLC. Якиманская). Основными из этих, связанных между собой качеств, являются динамичность, целостность, многозначность. О наличии этих качеств можно судить по сформированное соответствующих умений: умения мысленно изменять положение и структуру объекта; умения сохранять и воссоздавать в пространственном образе структуру объекта, т. е. все элементы объекта и связи между ними; умения распределять внимание между различными элементами одного и того же пространственного объекта или разными объектами.
Констатирующий эксперимент, связанный с решением задач, в которых использовались преобразования известных многогранников, показал:
-
Названные качества сформированы у учащихся недостаточно.
-
Трудности видения пространственной ситуации связаны:
- с неумением применять в процессе мысленного выполне
ния преобразований имеющиеся знания и опыт;
- с неумением логически обосновывать результаты видения.
Поэтому можно вести речь о недостаточной взаимосвязи
образного и логического компонентов мышления в процессе решения стереометрических задач.
Для формирования умения использовать эту взаимосвязь в обучение могут быть включены стереометрические задачи, предусматривающие преобразование фигур и обоснование свойств полученных фигур.
Учитывая то, что для решения стереометрической задачи важно видение плоской фигуры с разных точек зрения, целесообразно использовать, б обучении задачи, предусматривающие параллельный перенос и поворот секущей многогранник плоскости и рассмотрение получающихся при этом сечений, определение их видов и свойств. Решение таких задач на подвижные сечения
будет основано на взаимосвязи образного и логического компонентов мышления, т.к. правильное видение получающихся сечений может являться следствием определенных рассуждений, которые, в свою очередь, опираются на видение пространственной конструкции.
Подвижные сечения являются одним из средств формирования видения внутренней области многогранников как непосредственно, так и опосредованно, в результате целенаправленной работы по развитию пространственных представлений учащихся (схема 1). Средством формирования действия, проявляющегося в умении выполнять к использовать перемещение секущей плоскости, монет послужить специальная система задач, которая может быть использована в процессе изучения стереометрии в старших классах.
Поэтому предметом исследования является система стереометрических задач, в которых используются подвижные сечения многогранников, для развития пространственных представлений учащихся и формирования видения внутренней области многогранников.
Для того, чтобы такая система задач смогла послужить средством формирования умения выполнять перемещение секущей многогранник плоскости, она должна удовлетворять определенным требованиям.
Сказанное выше позволило определить цель исследования:
сформулировать общие требования к системе стереометрических задач, в которых используются подвижные сечения многогранников, для развития пространственных представлений учащихся и формирования видения внутренней области многогранников; разработать конкретную систему задач, соответствующую этим требованиям, и методику работы с ней. Требования к системе задач и методике ее использования изложены в 3 диссертации.
Результатом использования в обучении такой системы задач может стать умения перемещать секущую многогранник плоскость, которые будут способствовать правильному видению внутренности многогранника и развитию пространственных представлений учащихся. Это позволит улучшить качество решения задач школьного курса стереометрии, предусматривающих работу с многогранниками.
С учетом выше отмеченного была сформулирована гипотеза исследования: если в процессе обучения стереометрии использовать систему задач на подвижные сечения и соответствующую методику обучения решению этих задач, при условии, что система и методика ее использования удовлетворяют названным требованиям, то такое обучение будет способствовать развитию пространственного мышления учащихся (в том числе формированию видения внутренней области многогранников) и повлияет на эффективность решения стереометрических задач.
В ходе исследования решались следующие общие задачи:
-
Теоретически обосновать влияние умения выполнять перемещение секущей плоскости на развитие пространственных представлений учащихся и видение внутренней области многогранников и, в конечном счете, на эффективность решения стереометрических задач.
-
Разработать систему задач, являющуюся средством формирования действия перемещения секущей многогранник плоскости, и требования к ней.
-
Разработать методику реализации этой системы задач в процессе изучения стереометрии.
-
Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.
Для решения поставленных задач были использованы методы
исследования: анализ психолого-педагогической, научно-методической литературы по проблеме исследования и содержания школьного курса геометрии; изучение опыта преподавания геометрии в средней школе и учебной деятельности школьников, а также изучение и анализ ее результатов; организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов; количественная и качественная обработка их результатов.
Экспериментальное исследование по теме проходило с 1992 по 1997 год и состояло из трех этапов. Первый этап связан с работой автора учителем математики в старших классах средней школы и характеризуется анализом трудностей, испытываемых учащимися в процессе решения стереометрических задач.
Второй этап исследования связан с созданием системы стереометрических задач, решение которых основано на взаимосвязи образного и логического мышления, в содержание которых входит преобразование фигур и обоснование свойств полученных фигур; определением требований к такой системе задач; разработкой и частичной проверкой методики ее использования в процессе обучения.
На третьем этапе, в 1996-1997 годах, проводились формирующий эксперимент и теоретическое осмысление его результатов.
Научная новизна. Впервые создана и теоретически обоснована система стереометрических задач, в которых используются подвижные сечения многогранников, с целью развития пространственных представлений учащихся и видения внутренней области изучаемых многогранников. Разработана методика использования зтой системы задач в процессе обучения стереометрии.
Практическая значимость. Разработана система задач на подвижные сечения многогранников и методика ее реализации, которая может быть использована при обучении стереометрии в средней школе. Подготовлены методические рекомендации "Использование задач на движение при изучении стереометрии", которые могут быть использованы учителями средних школ при проведении уроков и факультативных занятий по геометрии. А также преподавателями при обучении студентов математических специальностей педагогических вузов в курсе методики обучения математике.
Достоверность результатов исследования обеспечивают:
теоретический анализ проблемы;
результаты экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации.
Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались, на Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И.Герцена (1995 г.), методологических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И.Герцена (1996 г.). Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе экспериментальной работы в гимназии N 13, гимназии К 6, гимназии N 44. педагогическом лицее при школе-интернате N 3 г. Пензы.
На защиту выносятся:
-
Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности использования в процессе обучения стереометрии системы задач, в которых используются подвижные сечения многогранников, для развития пространственных представлений учащихся и формирования видения внутренней области многогранников.
-
Методика использования системы задач на подвижные сечения многогранников в курсе стереометрии для повышения эффективности решения стереометрических задач, предусматривающих работу с многогранниками, основным требованием которой является использование взаимосвязи образного и логического мышления в процессе решения задач.