Введение к работе
Актуальность исследования.Школьная реформа требует решительного поворота педагогической науки к нувдам школы, страны, к требованиям научно-технической революции, требует усиления внимания к уровню подготовки учащихся, к нувдам учителей. Критика в адрес Академии педагогических наук СССР и органов народного образования, развернутая на страницах газет в журналов, требует привлечения новых идей в педагогику, в содераание и взаимную увязку школьных курсов по различным предметам.
Важная составная часть -реформи школы - совершенствование преподавания предметов естественно-математического цикла. Математика, физика, химия, биология всегда служили теоретической основой производственной деятельности. Особенно повышается роль этих наук сейчас, в эпоху научно-технической и компьютерной революции, в эпоху ускорения развития социалистического производства, введения прогрессивных технологий, гибких автоматизированных производств и широкого внедрения современной вычислительной техники.
Введение в курс математики новых тем (таких, как движения, векторы, производная и др.), а также внедрение нового курса "Основы информатики и вычислительной техники" было продиктовано требованиями научно-технической революции, успехами современной науки (в первую очередь физики, химии, биологии), развитием микроэлектроники, достижениями производства и социалистического народного хозяйства. Изучение начал математического анализа находится как бы в фокусе всех этих проблем. О важности овладения элементами математического анализа в плане обеспечения производственной сферы современными высококвалифицированными кадрами, повышения уровня обороноспособности страна и получения выпусти -каш школ наиболее важных элементов современной культуры и овладения основами наук говорили многие ученые, методисты, педагога и среди них академики, члены-корреспонденты, доктора и кандидаты наук М.А.Лаврентьев, А.Н.Колмогоров, С.М.Никольский, А.И.Мар-кушевич, В.Г.Болтянский, О.С.Ивашев-ЭДусатоп, М.М.Постпиков, Г.Д. Глейэер, Ю.Ы.Колягин, Н.Я.Виленкин, С.И.Шварцбурд, A.M.Абрамов, Г.В.Дорофеев, Н.В.Чхаидзе, Д.Д.Кудрявцев и многие другие.
Успехи внедрения начал математического анализа несомненны. Однако быстрые темпы перестройки привели к появлению п ряда не-
- 4 -достатков. В отношении математического анализа одним из основных недостатков является копирование содержания, последовательности гем, методики изучения, свойственных вузовскому преподаванию этой дисциплины: действительные числа, предел и непрерывность, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление.
Эта схема была перенесена в среднюю школу без критического осмысления, без экспериментальной проверки соответствия этого пути изложения возрастным особенностям школьников и их психологии восприятия. Результаты общеизвестны. Многолетняя практика преподавания начал математического анализа в школе убедительно показывает, что учащиеся не усваивают теорем о пределах, не говоря ужо о методике "-5" - рассуждений". Поэтому строить в массовой школе изложение темы о производной на основе теории пределов педагогическл неоправданно.
Разумеется, сказанное не относится к школам и классам с углубленным изученном математики, где контингент учащихся специально подобран. Однако и в этих школах и классах дублирование вузовского курса анализа в несколько сокращенном объеме совершенно нецелесообразно.
В целях дальнейшего совершенствования школьного образования в области начал математического анализа и его приложений необходимо тщательно исследовать взаимосвязь понятий математического анализа с алгеброй и теорией функций, а также с физикой, отобрать наиболее важный для изучения материал, усовершенствовать методику его изучения. Особенно важна исследовательская работа в направлении поиска новых методов изложения понятий математического анализа, упрощения доказательств, нахождения новых форм подачи материала, выяснения наиболее эффективной последовательности изложения тем математического анализа, их взаимосвязи друг с другом и с материалом курсов алгебры и физики.
Вааносгь этих проблем для советской общеобразовательной и профессионально-технической школы (как массовой, так и с углубленным изучением математики) особенно усиливается в связи, с тем, что курс начал-математического анализа является в нашей школе сравнительно молодым. Методика работы по этому предмету во многом еще не разработана, несмотря на наличие ряда глубоких и интересных исследований, среда которых в первую очередь следует отметить работы А.Н.Колмогорова, Л.С.Понтрягина, Д.К.Фадеева, А.Я.Хинчина, В.Г.Болгянского, Ю.М.Колягина, Ы.И.Башмакова, СИ. ІІіварцбурда, Н.Я.Вияенкина, А.Г.Ыордковича, Ш.А.Алимова, О.С.Ива-
- 5 -шева-%сатова, М.Б.Балка, В.А.Гусева, Г.Г.Масловой. Н.А.Терошина, Л.О.Денищевой, М.С.Гельфанда. Необходим поиск нових форм и методов введения понятий и изложения материала математического анализа и тщательный эксперимент для подтверждения осуществимости этих новых форм и методов и их прогрессивного влияния на глубину и качество знаний, приобретаемых учащимися.
Объектом диссертационного исследования является изучение дидактических проблем использования производной в средней школе и возможности введения этого понятия в восьмом классе физико-математической школы. К объекту исследования относится также теоретическое обоснование целесообразности изучения производной именно в восьмом классе, возможности постпоения основных понятий анализа (производной, первообразной) без систематического использования теории пределов и обоснование отказа от. теории пределов в рамках общеобразовательной средней школы. Ми здесь опирались на работы МЛ.Башмакова, В.А.І^сева, О.С.Иваїлева-І.Іусагова, Н.А.Тершина и других авторов, а также на наши исследования.
Предметом исследования предлагаемой диссертации является возмокность построения курса основ математического анализа в 8-м классе физико-математической средней школы, основанного на изложении этого курса без использования теории пределов, а также выработка рекомендаций для изучения этого курса (в упрощенном варианте) в 8-м классе массовой школы с широким использованием ыежпредметных связей курсов математики и физики.
Теоретический анализ курса начал математического анализа, его понятий с их взаимосвязями и методики изложения курса в различных учебника, а такае современных научных тенденций в области математики и ее приложений позволяет выдвинуть следующую основную гипотезу: перестановка теш о производной курса математического анализа в 8-й класс (в рамках физико-математической школы) и связанное с этим видоизменение методики изло<дэния основных разделов курса, а также влияние курса физики на формирование математических Понятий и показ их связи с жизнью, с окружающей реальной дей-ствительноегьв позволяет существенно улучшить преподавание начал математического анализа, добиться улучпения и углубления знаний учащихся.
В соответствии с этой гипотезой становится понятной цель Кссдвловандд; обоснование и разработка такой последовательности я формы изложения отдельных тем и подтем курса математического анатаза, которая обеспечивает оптимальное осуществление препо-
давания курса математического анализа и обуславливает дальнейшее совершенствование преподавания этого предмета, К цели исследования относится также постановка, разработка и решение методических вопросов,связанных с особенностями изучения начал математического анализа в В-м классе, физико-математической школы, а также с межпредметными связями курса начал математического анализа и курса физики 8-го класса.
Достижение поставленной цели основывается на решении следующих частных задач исследования:
осуществить отбор материала, связанного с понятием производной, целесообразного для изучения в восьмом классе;
разработать принципы построения учебного материала, связанного с определением производной на основе положения о том, что разность Affa) - J"(&o)Лос имеет более высокий порядок малости по сравнении с Лаг и уточнить приемлемое для школы понимание термина "малая более высокого порядка";
доказать преимущество такого изучения понятия производной (в восьмом классе) для углубления изучения курса алгебры и осуществления межпредметных связей с курсом физики; .
дать теоретически обоснованные методические рекомендации излояеиия материала, связанного с производной, в восьмом классе;
провести экспериментальную проверку и дать экспериментальное подтверждение правильности выдвинутой гипотезы и педагогической эффективности предлагаемых перестановок и видоизменений.
Новизна исследования состоит в разработке целостной (теоретически я методически обоснованной) системы преподавания начал математического анализа в 8-м классе физико-математической школы без опоры на теорию пределов. В этом направлении определенные продвижения были получены рядом исследований. В первуа очередь следует отметить работы М.И.Башмакова,, В.А.Їусева,0,С. Ивашева-Мусатова, Н.А.Терешина и др. В эгих работах намечены подхода к более раннему изучению понятия производной, к ослаблению роли теории пределов при выводе свойств производной, к установлению более прямой связи меаду приращениями я производными. Однако, разработки материала, связанного с производной, в гаде целостной системы, сочетающей отход от теории пределов с математической строгостью изложения (чт^. оообенно важно для физико-математической школы), предложено не было. В разработке такой системы (с привлечением свойств липшяцевых функций) заключается новизна предлагаемого исследования.
Для достижения поставленной цели, подтверждения выдвинутой
гипотезы и решения поставленных задач наші применялись следующие методы исследования.
-
Изучение педагогической, психологической и методической литературы, посвященной преподаванию начал математического анализа в школе, изучение различных учебников и научных работ по этой теме.
-
Проведение наблюдений на уроках, посвященных изучению видоизменяемых или подвергающихся перестановке в 8-Я класс тем и подтем курса математического анализа в экспериментальных и контрольных классах, изучение ответов учащихся, а также контрольных и самостоятельных работ с целью обнаружения закономерного углубления знаний, умений и навыков учащихся.
-
Педагогический эксперимент, связанчый с преподаванием начал математического анализа по видоизмененным программам и составленным учебным материалам; анализ данных эксперимента путем проведения экспертных оценок и их обработки средствами математической статистики.
4. Беседы с учителями и проведение анкетирования (среди
учащихся) с целью выявления углубления интереса к математике и
влияния перестановок материала в 8-й класс и видоизменения кур
са начал математического анализа на облегчение его усвоения.
Достоверность проведенного исследования обусловлена теоретическим анализом с опорой на принципы дидактики; статистически достоверными выводами из проведенных экспериментов; результатами внедрения разработанных учебных текстов, эадачного материала и методических рекомендаций в практику преподавания.
Практическая значимость исследования заключается в том, что предложены новые эффективные приемы изложения начал математического анализа в 8-м классе физико-математической школы, которые обеспечивают действенные и широко используемые меялрод-метные связи курсов математики и физики, а также позволяют углубить знания учащихся.
Апробация работы. Результата исследования были доложены и обсуждены на кафедрах методики преподавания математики Ереванского государственного педагогического института имени Абовяна и Московского государственного педагогического университета шлеш Ленина, на годичных научно-практических конференциях преподавателей и методистов в Ереванском городском ИУУ и на кафедре алгебры Батумского государственного педагогического института (Ї987 г.).
- 8 -Рсноэдце результаты. .К<}0АЧ>Ш.тЫл которые выносятся на защиту.
1. На основе теоретического анализа психологс-ведагогической
литературы.научио-мегодических источников, изучения состояния
преподавания начал математического анализа, обобщения передового
опыта учителей и личного опыта преподавания автором были опреде
лены основные направления, в которых должны осуществляться видо
изменения курса начал математического анализа при его переносе
в 8-й класс (в рамках физико-математической школы) и меяпредмег-ные связи курсов математики и физики. Этими направлениями являются липшицевы функции, связь между приращениями функции и аргумента, производная, дифференциал, первообразная.
-
3 результате проведенного анализа выявлены недостатки в преподавании нат*ал математического анализа, которые связаны с копированием вузовского курса высшей математики, использованием теории пределов и введением понятия производной с помощью предела. Вскрыты типичные трудности и оиябкя, которые обнаруживаются при таком изучении начал математического анализа в школе.
-
Разработаны теоретические я соответствующие им методические модели, позволяющие осуществить решение проблем преподавания начал математического анализа в 8-м классе физико-математической школы. В частности, дана принципиально новая модель изучения производной (на материала многочленов и липшцевих функций) в 8-м классе, основанная на новой идейной основе преподавания математического анализа и решающая проблемы преподавания курса анализа без опоры на пределы, а также решающая проблемы меетродаеткых связей математики и физики в О-а классе; построена развернутая модель преподавания начал математического анализа в 8-м классе, устраняющая несоответствия курсов математики и физики; вредлояе-на система занятий (теоретический материал и упражнения), способствующая улучшению знаний учащихся школ с углубленным изучением математики. Разработана также упрощенная модель аналогичных видоизменений, приемлемая для массовой школы,
-
В ходе поискового, а зате;л проверочного экспериментов получено подтверздение педагогической и методической правильности и эффективности разработанной идейной основе преподавания начал . математического анализа на основе рассмотрения лишицевых функций и замены опо*ы на предел рассмотрением приращения функции в его главной (линейной) части. В частности, подтверждено, что разработанная система видоизменений математического материала, бази-
рующаяся на этой идейной основе, впервые и в наиболее полном виде решает проблему осуществления преподавания начал математического анализа без опоры на понятие предела и межпредметных связей курсов математики и физики. Подтверждено, что эти видоизменения и перестановки не нарушают, а усиливают логическую линию изложения материала в курсе математики.
5. Разработана конкретные методические рекомендации осуществления такого построения курса математики, которое основано на указанной идейной основе и полностью решает проблемы преподавания начал математического анализа в 8-м классе физико-математической школы. Эти методические рекомендации содержат учебные материалы и систему задач по темам курса начал математического анализа, которые подвергаются видоизменениям и перестановкам (действительные числа, липшицевы функции, производная, первообразная), а также систему диагностических заданій, позволяющих судить о математической подготовленности учащихся к изучению дальнейшего курса начал математического анализа.
Структура диссертации. В соответствии с логикой исследования диссертация приобрела следующую окончательную структуру. Введение. Глава Z: Теоретический анализ основ школьного курса математического анализа. Эта глава содержит 5 параграфов, которые посвящены дидактическим проблемам, связанным с понятиями предела, непрерывности, производной, первообразной, ляпши-цевой функции. Глава П; Методические основы построения курса математического анализа (.для школ с углубленным изучением математики). Эта глаиа содержит 5 параграфов, посвященных методическим аспектам теоретического анализа, проведенного в главе 1, а также экспериментальному обоснованию разработанной методики, Вьшодц. Список литературы(67 названий).