Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Математическая модель древовидных объектов и восстановление их пространственной струкутуры по наблюдаемым проекциям 14
1.1 Математическая модель пространственного древовидного объекта 14
1.2 Математическая модель нечетких наблюдений древовидного объекта 20
1.3 Математическая модель проекции древовидного объекта 22
1.4 Основные этапы решения задачи восстановления пространственной структуры древовидных объектов 2 8
1.5 Проблема устойчивости методов реконструкции пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям 32
Выводы и результаты 33
Глава 2 Нечеткое поле направлений и методы его оценивания 34
2.1. Идея нечеткого поля направлений 3 4
2.2. Пространство направлений 35
2.3. Поле направлений 39
2.4. Нечеткое поле направлений 40
2.5. Арифметические операции над нечеткими множествами направлений 42
2.6. Вейвлет-методы оценивания нечеткого поля направлений 42
2.6.1. Метод оценивания нечеткого поля направлений, основанный на непрерывном вейвлет-преобразовании 43
2.6.2. Метод оценивания нечеткого поля направлений с использованием дифференциальной геометрии 51
Выводы и результаты 57
Глава 3 Восстановление двумерной структуры древовидных объектов на изображениях проекций 58
3.1 Описание центральной линии проекции ветви древовидного объекта в дискретном представлении 5 8
3.2 Задача восстановления центральных линий по опорным точкам 59
3.3 Восстановление дискретной центральной линии по двум опорным точкам методом динамического программирования 61
3.4 Алгоритм восстановления центральной линии по двум опорным точкам 63
3.5 Восстановление центральной линии по множеству опорных точек 67
3.6 Экспериментальные исследования метода восстановления центральных линий 67
Выводы и результаты 88
Глава 4 Восстановление пространственной структуры древовидных объектов 89
4.1 Восстановление пространственной структуры ветви древовидного объекта по набору центральных линий проекций 89
4.2 Метод пространственной трассировки с пошаговым согласованием пространственных и проекционных направлений 93
4.3 Степень наблюдаемости объекта на наборе проекций 100
4.4 Анализ неблагоприятных случаев расположения проекций 103
4.5 Экспериментальные исследования метода восстановления пространственной центральной линии древовидного объекта 104
Выводы и результаты 120
Заключение 122
Литература 123
Приложение
- Математическая модель нечетких наблюдений древовидного объекта
- Пространство направлений
- Задача восстановления центральных линий по опорным точкам
- Метод пространственной трассировки с пошаговым согласованием пространственных и проекционных направлений
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке информационной технологии восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям
Актуальность работы
Сложность изучения объектов окружающего мира зачастую связана с невозможностью непосредственного получения информации о пространственной форме объекта в целом. Наблюдению, как правило, доступны лишь отдельные его проекции [16, 18]. Кроме того, объект исследования в процессе получения проекционных данных может в некоторой степени изменять свою пространственную конфигурацию (подвергаться возмущениям), а проекции на этапе регистрации подвергаются воздействию шумов и искажений [29, 57]. Далее в работе такие проекции будем называть нечетко наблюдаемыми, а сами наблюдения будем называть нечеткими. Восстановление пространственной формы объекта в какой-либо определенный момент времени по таким данным не всегда представляется возможным [21, 59, 63]. Вследствие этого возникает задача реконструкции некоторой пространственной формы объекта по набору нечетких проекционных данных.
Предметом исследования настоящей работы является класс нечетко наблюдаемых древовидных объектов. К таким объектам с некоторой степенью приближения можно отнести русла рек, сети дорог, ветви деревьев, сосуды кровеносной системы человека и другие. Примеры древовидных объектов показаны на рисунке 1.1.
В диссертационной работе рассматривается задача восстановления пространственной структуры древовидных объектов по результатам нечетких наблюдений, то есть по результатам наблюдений проекций возмущенных состояний объекта.
"фіш і. *****, '"'*'
ШкГ
Рис. В.1 — Ангиографические изображения коронарных сосудов Одним из наиболее ярких примеров задачи восстановления пространственной формы древовидных объектов по нечетким проекционным данным является задача восстановления пространственной структуры коронарных сосудов человека по результатам рентгеновской ангиографии [6*, 28, 57]. Рентгеновская ангиография широко распространена в кардиологии и используется для выявления патологических изменений кровеносных сосудов сердца человека. На основе данных рентгеновской ангиографии выносится решение об операбельности пациента. Однако визуальное наблюдение проекций зачастую не позволяет дать количественное определение характера поражения сосудов, так как пораженный сосуд может выглядеть критическим на одной проекции, в то время как на другой проекции тот же сосуд может не обнаруживать признаков заболевания. Визуальное представление пространственной формы сосудов пациента существенно облегчит врачу определение характера заболевания, позволит наглядно увидеть структуру сердечных сосудов и оценить общее ее состояние в целом.
Решение задачи реконструкции пространственной формы объекта по нечетким проекциям в рамках рассмотренного приложения позволит ускорить диагностирование заболеваний сосудов сердца и повысить его качество. В связи с широким распространением рентгеновской ангиографии в кардиологических клиниках задача реконструкции пространственной структуры древовидных объектов по нечетким проекционным данным представляется актуальной.
Помимо рентгеновской ангиографии задача реконструкции пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям возникает в целом ряде биомедицинских задач, связанных с анализом сосудистой системы человека, таких как задача анализа сосудов глазного дна человека, задача компьютерной томографии сосудов головного мозга [41] и др. Следует также отметить, что восстановление пространственной структуры древовидных объектов может найти свое применение при реконструкции некоторых нерегулярных пространственных форм, например, костной системы человека [38]. Все это указывает на актуальность решаемой в диссертационной работе задачи.
Традиционно задача восстановления пространственной структуры решается либо для статического объекта, либо для набора проекций, наблюдаемых одновременно [28, 49, 51, 52, 56]. Предлагаемые в рамках этого подхода методы позволяют производить восстановление пространственной структуры с высокой точностью, однако обладают существенным недостатком, заключающемся в требовании статичности объекта наблюдения или одновременности регистрации проекций нестационарного объекта. Вследствие этого предлагаемые методы не могут быть использованы в условиях нечетких наблюдений.
Другой широко распространенный способ решения предполагает, что на различных проекциях имеются наборы точек геометрической привязки плоскостей проекций» заведомо являющихся проекциями одной и той же пространственной точки [57, 59, 63, 64, 66]. Предлагаемые в рамках данного подхода методы позволяют производить геометрическую коррекцию проекций и восстанавливать объекты с высокой точностью. Существенным недостатком данного подхода является необходимость задания на проекциях точек пространственной привязки, что, как правило, невозможно, либо
7 определение таких точек является приближенным и может вносить существенную погрешность в результат восстановления. Автору не удалось найти работ, анализирующих зависимость погрешности восстановления пространственной структуры древовидного объекта от погрешности определения точек соответствия.
Отсутствие адекватных подходов и методов восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям и определяет актуальность настоящей работы. В отличии от рассмотренных подходов в данной работе предлагаются методы восстановления пространственной структуры древовидных объектов в условиях, когда имеются нечеткие проекции и отсутствуют точки геометрической привязки плоскостей проекций.
Обзор существующих методов решения задачи восстановления пространственной структуры древовидных объектов
Существует множество работ, касающихся восстановления пространственных форм объектов, которые могут быть отнесены к классу древовидных. Большинство работ посвящено биомедицинской тематике и описывает восстановление пространственной структуры различных элементов кровеносной системы человека. Все методы реконструкции условно можно разделить на несколько групп. 1. Методы восстановления и анализа пространственной плотности объекта.
Характерной особенностью данных методов является то, что первоначально производится восстановление пространственной плотности (интенсивности) области пространства, содержащей объект, без анализа формы и топологии самого объекта [44, 46, 59, 47]. Визуализация таких объектов может производиться с использованием воксельной графики. Информация об объекте получается при дальнейшем анализе функции пространственной интенсивности. Например, в работах Н. Schmitt [71], W. Е. Higgins и др. [45] предложены методы анализа пространственных
8 ангиограмм, такие как адаптивная пороговая обработка, адаптивная заливка и др., которые позволяют получить информацию о форме исследуемого объекта, В работах Е. Bullitt и S.R. Aylward [29] для выявления пространственного дерева кровеносных сосудов предложен метод анализа «хребтов» пространственной функции интенсивности (аналогичные работы тех же авторов [27, 30, 31, 26]). Метод выделения центральных линий объектов и реконструкции их пространственной формы, на основе анализа восстановленной пространственной интенсивности предложен Y. Kawata, N. Niki, и Т. Kumazaki в работе [48].
Рассмотренные методы хорошо работают в условиях, когда пространственная интенсивность может быть восстановлена достаточно точно, либо определена изначально. В условиях, когда имеется малое количество проекций (а также при наличии динамического объекта), при восстановлении пространственной плотности возникают различного рода артефакты [21], которые делают невозможным дальнейший анализ формы объекта. Недостатком рассмотренных методов является также необходимость расстановки набора начальных точек на пространственном изображении, что является непростой задачей для пользователя. 2, Методы, основанные на пространственном моделировании.
Эта группа представляет широкий класс методов связанных с моделированием пространственных объектов и дальнейшим согласованием с имеющимися данными проекций [38, 67]. Например, в работах Y. Sato, Т. Araki, М. Hanayama, Н. Naito, S. Tamura [70] и Т. Kayikcioglu, S. Mitra [49] используется обобщенная цилиндрическая модель сосудов. В работах С. Pellot, A. Herment, М. Sigelle [64], J. A. Fessler, A. Macovski [39] используется эллиптическая модель сечения ветвей объекта для восстановления пространственной формы. Уточнение формы производится в этом случае, например, с использованием алгоритма модельной "закалки" [64] или модифицированным методом Marquardt-Levenberg'a [51, 52]. Одним из наиболее эффективных методов уточнения модели является метод
9 активных контуров, используемый, например, в [56] для уточнения параметров Л-сплайновой модели сечения ветвей древовидных объекта.
Рассмотренные методы обладают большими возможностями и высокой точностью восстановления объектов в случае, когда имеются согласованные, либо слабо рассогласованные проекции (большинство предложенных методов предназначены для синхронной биплановой съемки объекта). Одним из существенных недостатков рассмотренных методов является необходимость в априорной информации о примерной форме объекта и низкая степень автоматизации.
3. Методы, основанные на анализе изображений проекций и выделении на них ветвей (или их центральных линий) с последующим восстановлением пространственных ветвей (или их центральных лини).
Примерами такого подхода могут служить работы D. L. Parker, J. Wu и R.E. van Bree [63], V. Prinet, О. Monga и J.M. Rocchisani [66], DJ. Stevenson [75]. Рассмотренные работы имеют общую схему восстановления пространственной структуры: на первом этапе производится выделение центральных линий на изображениях проекций, на втором этапе на их основе производится пространственное совмещение и реконструкция объекта.
Данный класс методов является наиболее широким, так как он лишен специфических ограничений на характеристики проекций, присущих другим методам. Такой подход позволяет производить восстановление пространственной структуры объектов в условиях сильного рассогласования проекций (т.е. при наличии погрешности задания геометрических параметров проекций и при регистрации динамического объекта), а также при малом их количестве (2-5 проекций) [28, 57]. Далее, при разработке методов восстановления пространственной структуры древовидных объектов мы будем придерживаться именно этого подхода.
Предложенные в рамках данного подхода методы отличаются в основном способом выделения двумерных центральных линий, и степенью автоматизации процедур восстановления пространственной структуры.
10 Методы выделения центральных линий на изображениях могут быть также разделены на несколько категорий: (1) методы, основанные на моделировании (работы [68, 55, 60, 32, 65]), (2) методы с использованием нейросетей ([36, 58, 56, 72]), (3) методы трассировки (работы [6*, 78, 42, 62, 33, 44]), (4) методы, основанные на распознавании образов ([69, 35, 63, 66, 25]) и др. Названия категорий говорят сами за себя. Мы не будем подробно описывать существующие методы анализа изображений древовидных объектов, отметим лишь следующее. Анализ литературы показал, что наиболее эффективной при решении рассматриваемой задачи является последняя категория методов, основанных на распознавании образов. Среди существующих методов наиболее перспективными представляются методы, основанные на мультимасштабном анализе изображений [73*, 69, 35, 76], а также методы, основанные на анализе дифференциальных свойств изображений [53*, 66]. Наиболее гибкий аппарат предоставляют методы, являющиеся совмещением указанных подходов, т.е. методы, использующие дифференциальные свойства изображений и мультимасштабный анализ для выделения ветвей (или их центральных линий) на изображениях проекций [25, 53*]. Аналогичные методы с некоторыми модификациями будут использованы для формирования нечетких полей направлений, при разработке методов анализа центральных линий на изображениях проекций древовидных объектов [53*, 73*].
Цель и задачи исследований
Целью работы является разработка математической модели и информационной технологии восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям. В соответствии с поставленной целью в рамках диссертационной работы решаются следующие задачи:
1. Разработка математической модели нечетких наблюдений пространственных древовидных объектов.
Разработка и исследование информационной технологии восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям.
Разработка метода и алгоритма восстановления центральной линии ветви древовидного объекта на изображениях проекций.
Разработка метода и алгоритма восстановления пространственной структуры ветви древовидного объекта по набору центральных линий на проекциях.
Экспериментальные исследования разработанных алгоритмов на имитационных моделях и на натурных данных.
Научная новизна работы
В диссертации получены следующие новые научные результаты:
Математическая модель нечетких наблюдений пространственного древовидного объекта, основанная на описании проекций его возмущенных состояний.
Вейвлет-методы построения нечеткого поля направлений, основанные на использовании непрерывного вейвлет-преобразования и методов дифференциальной геометрии.
Метод восстановления центральных линий на основе анализа поля направлений с использованием динамического программирования.
Метод и алгоритм восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям, основанный на пространственной трассировке с пошаговым согласованием пространственных и проекционных направлений.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:
12 1, 6-й Международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (РОАИ-2002), Великий Новгород, 2002 г.
17th International Conference on Pattern Recognition (ICPR), г. Кембридж, Великобритания, 2004 г.
7-й Международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (РОАИ-2004), (Санкт- ^ Петербург), 2004 г.
4. Конференции «Фундаментальные науки - медицине», Москва, 2004 г. По теме диссертации выполнено 9 работ. Работа [53*] выполнена автором единолично, остальные работы написаны в соавторстве. В работе [6*] автором предложен алгоритм двумерной трассировки сосудов и алгоритм выбора направления движения на основе анализа локальной оценки jl толщины сосуда. В работах [7*, 8*, 54*] автору принадлежат алгоритм построения полусферы возможных направлений, методы поиска минимумов функции, определенной на сфере, метод пространственной трассировки. В работе [73*] автору принадлежат вейвлет-методы оценивания нечеткого поля направлений. В работе [50*] автором предложен вейвлет-метод оценивания центральных линий кровеносных сосудов. В работе [13*] автору принадлежит метод пространственной трассировки. В работе [19*] автору принадлежит алгоритм оценивания локальных направлений сосудов. В '* диссертацию включены только результаты, полученные соискателем лично.
Исследования по теме диссертационной работы были поддержаны грантами Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00642), Американского фонда гражданских исследований и развития (проект CRDF SA-014-02) в рамках российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE), при финансовой поддержке фонда «Научный потенциал», а также в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН ф. ' «Фундаментальные науки - медицине» 2004 г.
13 Основные положения диссертации, выносимые на защиту
Метод построения нечеткого поля направлений, основанный на использовании непрерывного вейвлет-преобразования и учитывающий локальные пространственно-частотные характеристики изображения при построении характеристической функции принадлежности направлений.
Метод построения нечеткого поля направлений, основанный на вычислении кривизны функции яркости, позволяющий производить предварительное оценивание характеристической функции принадлежности направлений и учитывать локальные дифференциальные свойства функции яркости.
Решение задачи восстановления центральных линий проекции древовидного объекта с использованием нечеткого поля направлений методом динамического программирования,
Алгоритм трассировки с пошаговым согласованием направлений для восстановления пространственной структуры древовидного объекта по нечетко наблюдаемым проекциям при наличии ограниченных возмущений.
Математическая модель нечетких наблюдений древовидного объекта
Под нечеткими наблюдениями будем понимать наблюдение проекций возмущенных состояний объекта. Термин «нечеткость наблюдений» в работе используется для характеристики физических свойств системы наблюдения и подразумевает наличие геометрических искажений наблюдаемого объекта, а также присутствие шумов регистрации.
За начало координатной системы на і -й плоскости 0{ примем проекцию точки О на эту плоскость. Так как рассматривается параллельное проецирование, то смещение плоскости проекции от начала координат О является несущественным.
Рассмотрим вопрос о соотношении натуральных параметров ss и параметра / и определим точки, в которых проекция центральной линии теряет гладкость. Для этого необходимо установить связь между производной пространственной центральной линии в некоторой точке и производной ее проекции в соответствующей точке. Обозначим y{l,i) и yds І) производные функций x(l,i) и соответственно. Так как параметр / является натуральным для функций x(l,i), то Цз ОЦ = 1» аналогично для натурального параметра st кривой зс,-( ,-), ЦуД Ц г =1. Тогда проекция пространственной производной определяется бивектором Yi (/) = y{l, і) л и, [43]. Тогда где v - пересечение мультивекторов, причем [Ру(/, i)\ (/1 2 = (/)jU, где -а - норма мультивектора [43]. Очевидно, направление производной yj{s;) на проекции совпадает с направлением проекции пространственной производной [-Ру(Л0]((О в соответствующей точке $;=$$) всюду, за исключением точек, в которых 7,(/)=0. В силу гладкости пространственной кривой x(l,i) кривая xt(.?,(/)) также является гладкой на интервалах, где величина (/с, не обращается в ноль и может терять свою гладкость только в точках sf = s, (/), где «=0. (1.6)
Рассмотрим теперь условие, когда в точке ,(/), в которой 1 (/)=0, функция ХД-У,-) сохраняет свою гладкость. Так как значение функции .уД5 ) в рассматриваемой точке терпит разрыв первого рода, то можно доопределить функцию /( ,) в точке st(l) так, чтобы она была либо непрерывной слева, либо непрерывной справа (это будет использовано при решении задачи выделения центральных линий на проекциях). Рассмотрим вектор-функцию z(l,i)=(x(l,i)) второй производной пространственной центральной линии сегмента. Вследствие того, что / является натуральным параметром, вектор z(/,/) ортогонален вектору y{lti) [3, стр. 39], и вследствие (1.6) вектор z(l,i) лежит в плоскости проекции PAj. Тогда для того, чтобы функция УІ(І) была непрерывна в точке лД/) при Yi1(/)=0 необходимо и достаточно выполнение условия: (/,і)лЛ( ,(/))лп,=0. (1.7)
Т.е. необходимо, чтобы векторы, входящие в выражение, лежали в одной плоскости. Таким образом, проекцией центральной линии х{ї,і) сегмента ветви древовидного объекта является кривая хДз,) вида (1.5) кусочно-гладкая и Ш теряющая свою гладкость в точках, в которых выполняется условие (1.6) и не выполняется (1.7). При этом производная yt,($() является кусочно-непрерывной функцией, имеющей разрывы первого рода.
Определим теперь зависимость натурального параметра s( функции Xj(s;) от натурального параметра / пространственной центральной линии x(l,i). Длина кривой хД.г,(0) определяется по формуле 4(0= л1Мм)шь -=jtowu .
Тогда, для того чтобы параметр s{ был натуральным для кривой , ( (/)) он должен быть равен ее длине от начальной точки (ss = 0), т.е. s; = dj(l) или
Выражение (1.8) определяет связь между натуральным параметром пространственной центральной линии и натуральным параметром проекции центральной линии. Как видно из формулы одному значению параметра j. может соответствовать интервал значений параметра / в случае, когда выполняется условие (1.6).
Пространство направлений
Понятие поля направлений введено в работах СойфераВ.А., Храмова А.Г., Ильясовой Н.Ю., Устинова А.В. [9, 74]. Направление характеризуется парой чисел: углом, задающим направление (ориентацию), и весом (выраженность направления) и представляется в виде комплексного числа. Вследствие этого, работа с направлениями сводится к работе с комплексными числами.
В отличие от указанных работ, будем рассматривать направление, как некоторый геометрический объект, являющийся элементом векторного пространства со специфической операцией сложения и умножения на скаляр.
Рассматриваемое пространство направлений является двумерным векторным пространством и, следовательно, изоморфно полю комплексных чисел [2]. Вследствие этого, предлагаемое определение направления полностью согласуется с определением направления введенным ранее в [74].
По аналогии с геометрическими векторами на плоскости [10] введем понятие направления. Рассмотрим множество отрезков прямых на плоскости. На этом множестве можно ввести отношение эквивалентности: эквивалентными являются отрезки параллельных прямых, имеющие одинаковые длины. Рассмотрим фактор-множество множества отрезков прямых. Определим некоторую точку О на плоскости и выберем из каждого класса эквивалентности по одному представителю — отрезку, центр которого лежит в точке О (рис. 2.2). Полученное таким образом множество (отрезков прямых) является множеством направлений, а его элементы -направлениями.
Подмножество множества направлений Углом между парой направлений является угол между прямыми, которым эти направления принадлежат. Угол между направлениями принимает значения из интервала v % % J Такое представление направлений позволяет задать непосредственно сам объект «направление» (безотносительно координатной системы) как в двумерном, так и в многомерном случае.
Для работы с направлениями необходимо определить сложение направлений и умножение на скаляр. Для удобства определим их таким образом, чтобы пространство направлений было линейным над полем R.
Введенное понятие направления будет использоваться для определения нечеткого поля направлений и для решения задачи выделения центральных линий древовидных объектов на изображениях проекций. Пусть дано пространство направлений D и пусть в каждой точке х = (х],х2) некоторой области X плоскости дискретного аргумента определено направление (x)eD2. Тогда будем говорить, что в пределах области X задано поле направлений. На рисунке 2.56 приведен пример поля направлений изображения интерферометрических полос. Для визуализации используется цветовое представление направлений (рис. 2.5а), при этом каждый цвет соответствует ориентации направления в точке, а яркость определяется его нормой. а) цветовое представление б) поле направлений направлений
В работах [74, 9] рассматривается применение поля направлений к анализу квазипериодических структур и изображений со структурной избыточностью. Поле направлений может быть эффективно использовано также при анализе изображений древовидных объектов, о чем речь пойдет в следующей главе. В работе [15 стр. 459-523] подробно рассматриваются различные методы формирования поля направлений для различных классов изображений, методы фильтрации поля направлений, а также методы .# обработки и интерпретации изображений квазипериодических структур на основе анализа поля направлений.
В отличие от перечисленных работ здесь будет использоваться геометрическое представление поля направлений, рассмотренное ранее. Рассмотренное пространство направлений позволяет формализовать некоторые методы обработки полей направлений и, в частности, применить аппарат нечетких множеств к построению и анализу полей направлений.
Обобщим понятие поля направлений на случай, когда в точке может быть определено некоторое множество направлений.
Различные методы формирования поля направлений рассмотрены в работе [15 стр. 459-523]. Логическим продолжением идеи поля направлений является построение поля направлений, зависящего в каждой точке от анализируемых локальных пространственных частот [74]. В спектральной области это соответствует анализу различных частотных интервалов в пределах некоторого сектора частот. Далее рассмотрены различные методы формирования нечеткого поля направлений.
Предлагается два метода построения: метод, основанный на вейвлет разложении исходного изображения, и метод, основанный на анализе кривизны изображения. Оба подхода используют методы вейвлет анализа, позволяющие производить выделение элементов изображения, имеющих различные локальные частоты. В основе первого подхода лежит непрерывное вейвлет преобразование с неизотропным вейвлетом, за счет чего достигается его угловая избирательность. Второй метод базируется на анализе главных кривизн изображения, интерпретируемого как поверхность в трехмерном пространстве. Частотная избирательность достигается за счет применения вейвлет метода оценивания производных в матрицах первой и второй фундаментальной формы. Рассмотрим более подробно методы формирования нечеткого поля направлений.
Существует несколько способов расширения одномерного непрерывного вейвлет преобразования в L (R I [37]. Один из способов заключается в выборе вейвлета с круговой симметрией. В этом случае вейвлет преобразование легко обобщается на двумерный случай, однако является непригодным для анализа направлений. Второй способ расширения одномерного вейвлет преобразования основывается на выборе вейвлета без сферической симметрии (неизотропного вейвлета) и введении в вейвлет преобразовании наряду с параметрами сдвига и сжатия параметра вращения вейвлета. Такой способ расширения позволяет производить анализ направлений, поэтому далее используется вейвлет преобразование с неизотропным вейвлетом.
Задача восстановления центральных линий по опорным точкам
Задача выделения центральных линий объектов возникает во многих практических приложениях обработки изображений. Примерами могут служить задачи анализа медицинских изображений кровеносной системы [19 , 68, 36], задачи анализа изображений интерферометрических полос, задача анализа результатов каротажных измерений и т.п. [9, 73 , 74]. В данной работе необходимость выделения центральных линий на проекциях вызвана тем, что для восстановления пространственной структуры объекта необходимо иметь информацию о структуре его проекций.
Ангиографическое изображение коронарных сосудов Вследствие сложности структуры пространственного объекта на изображениях проекций могут присутствовать наложения теней от различных ветвей объекта, а также частичное или полное затенение одних частей объекта другими [13 ]. Поэтому зачастую даже человеку сложно определить центральную линию той или иной ветви на изображении проекции (рис. 3.2). По этой причине мы вынуждены отказаться от полностью автоматического распознавания центральных линий. Будем считать, что при восстановлении центральной линии ветви на изображении проекции древовидного объекта имеется упорядоченный набор опорных точек, заведомо принадлежащих исследуемой центральной линии.
Задачу восстановления центральной линии проекции ветви древовидного объекта можно сформулировать следующим образом. Пусть определено дискретное изображение проекции ветви древовидного объекта f(x), х = (jfj ,х2 ), и Df = \х: 0 х{ ,х2 Nf) - область его определения. Пусть также имеется набор опорных точек 5={б ]гдг, b eD , заведомо принадлежащих центральной линии ветви. Необходимо по имеющимся данным в соответствии с некоторым критерием произвести оптимальное восстановление упорядоченного множества X точек, являющегося дискретным описанием центральной линии. В работе предлагается подход к решению данной задачи, основанный на динамической оптимизации траектории движения точки из начальной опорной точки к конечной. Для определения целевой функции предлагается использовать нечеткое поле направлений рассматриваемого изображения.
Пусть на основе изображения f{x) получено нечеткое поле направлений L(X). Будем считать, что в каждой точке имеется непрерывное нечеткое множество направлений Цхл]={//(х\ )д ], в противном случае оно может быть получено интерполяцией функции принадлежности направлений jW(x",W. Тогда в качестве функцию потерь F\x",y"f можно выбрать некоторую функцию от направления Le[yn), зависящую от функции принадлежности направления, взятой либо в точке хп, либо в точке х" + у".
Это связано с тем, что производная исходной кривой (1.5) может быть непрерывна в точке х" как справа, так и слева. Причем эта зависимость должна быть «обратной», то есть функция потерь должна иметь максимумы только в точках, где функции принадлежности направлений имеют минимумы и наоборот. Помимо этого, чтобы предотвратить выход центральной линии за пределы изображения, необходимо значения функции потерь вне области Dj- сделать бесконечно большими.
На вход процедуре восстановления подается нечеткое поле изображений, а также начальная и конечная опорная точки. Будем оптимизировать последовательность точек X, получаемую при движении от начальной опорной точки к конечной. Так как рассматривается задача с дискретным временем, то каждый фиксированный момент времени будем рассматривать как некоторый шаг итерации. Говоря о состоянии динамической системы, будем иметь в виду ее состояние в некоторый фиксированный момент времени.
Модельное изображение представляет собой искусственно сгенерированное изображение ветви древовидного объекта с известными характеристиками. Согласно предложенной модели, проекция древовидного объекта описывается центральной линией и функцией профиля. В качестве центральной линии ветви выбрана следующая кривая
Метод пространственной трассировки с пошаговым согласованием пространственных и проекционных направлений
Для решения задачи восстановления пространственной структуры древовидного объекта предлагается метод, основанный на пространственной трассировке с пошаговым согласованием пространственных направлений с направлениями центральных линий на проекциях. Каждый шаг трассировки можно разделить на два основных этапа:
1. Поиск оптимального в смысле (4.6) вектора центральной линии. Минимизация (4.6) производится методом градиентного спуска по функции заданной на поверхности сферы, которая определяет в пространстве множество возможных положений следующей точки центральной линии.
2. После нахождения вектора определяется следующая точка пространственной центральной линии и соответствующие ей точки на проекциях (т.е. ее идеальные проекции).
Рассматривая задачу восстановления объектов по проекциям, можно ввести некоторую характеристику, которая показывала бы, насколько полно рассматриваемый объект представлен на той или иной проекций. Пусть x(l) исследуемая пространственная центральная линия, y(l) = ( (/)) . Тогда в качестве такой характеристики предлагается использовать величину где Lk - длина наблюдаемой проекции центральной линии, определяемая выражением (1.8), L - длина исследуемой пространственной центральной линии, k-l,NPA - номер проекции (рис. 4.4). Величину 1к будем называть степенью наблюдаемости объекта на проекции. Степень наблюдаемости объекта на проекции может принимать значения от 0 (в случае, если объект полностью лежит на прямой перпендикулярной плоскости проекции) до 1 (объект полностью лежит в плоскости компланарной плоскости проекции). Очевидно, в случае, когда 1к = 1, возможно восстановление объекта по одной проекции.
Степень наблюдаемости объекта на проекции Однако рассмотренная характеристика не может быть использована для оценки количества полезной информации об объекте, содержащейся в наборе проекций. Под «полезностью» информации понимается возможность ее использования для восстановления объекта. Примером этому может служить «эффект книги», речь о котором пойдет далее, когда каждая проекция отдельно несет информацию (Ik 0), однако восстановление формы объекта по такому набору проекций невозможно (рис 4.6). Рассмотрим характеристику количества полезной информации в наборе проекций.
Рассмотрим значения і-го слагаемого критериальной функции (4.13) на минимальной кривой для г-й проекции. В случае, когда исследуемый участок центральной линии на проекции не является прямой, значения функции вдоль минимальной кривой монотонно возрастают от полюсов к точке пересечения с плоскостью проекции. В противном случае, т.е. когда участок центральной линии является прямой, то значения вдоль всей минимальной кривой тождественно равны нулю. Нас будет интересовать именно второй случай.
Экспериментальные исследования работы алгоритма восстановления пространственных центральных линий производятся на двух видах объектов: модельных древовидных объектах и на древовидных объектах, проекции которых получены в реальных физических условиях (на коронарных сосудах, представленных ангиографическими проекциями).
Исследования работы алгоритма восстановления пространственных центральных линий на модельных объектах проводятся с целью получения количественной оценки качества работы алгоритма. Согласно предложенной модели пространственного древовидного объекта модельный древовидный объект представляет собой искусственно сгенерированную пространственную дискретную центральную линию ветви с известными характеристиками. Пусть определена координатная система Оехе2еъ.
В работе исследуется среднеквадратическое отклонение 5 восстановленной трехмерной центральной линии ветви от исходной центральной линии (далее просто отклонение) в зависимости от различных параметров. Отклонение рассчитывается аналогично двумерному случаю, т.е. по формуле (3.10) с учетом трехмерности центральных линий. Вообще говоря, восстанавливаемый объект, в условиях наличия нечетких проекций не обязан быть «похожим» на исходный. Восстанавливается некоторое стационарное состояние объекта, которое в определенном ранее смысле соответствует имеющимся проекциям, строго говоря разных пространственных объектов. В этой связи при наличии любого возмущения пространственного объекта возникает, естественно, возмущение отклонения восстановленного объекта от исходного. Поэтому исследуя зависимость величины отклонения мы исследуем зависимость изменения пространственной формы восстанавливаемого объекта от различных параметров. В этом смысле исходный пространственный объект является «началом отсчета» для измерения отклонения.
