Введение к работе
Актуальность теин. Еще в 70-е гг. прошлого века было установлено (E.Schroder), что метод Ньютона локально сходится к кратному корню одного скалярного уравнения с одним неизвестным лишь с линейной скоростью, но квадратичная скорость сходимости может быть восстановлена путем домнокения стандартного шага метода на кратность корня. Эти же вопросы, но уже для многомерных уравнений, были вновь подняты в 60-е гг. нынешнего столетия (L.В.Rail). Особенно активно проблематика содержательной характеризации и численного отыскания нерегулярных решений нелинейных задач разрабатывается как отечественными (Е.Р.Аваков, А.А.Аграчев, А.В.Арутюнов, А.Б.Бакушинский, К.Н.Белаш, Н.А.Бобылев, Р.В.Гамкрелвдзе, Ю.М.Данилин, Д.В.Денисов, В.М.Задачин, М.А.Красносельский, В.И.Мелешко, А.А.Третьяков), так и зарубежными (D.W.Decker, A.O.Grlewank, А.Ноу, H.B.Keller, C.T.Kelley, A.J.Krener, U.Ledzewicz, F.Lemplo, T.OJlka, M.R.Osborne, C.W.Reddien, H.Schattler, R.Schulze, R.Seydell, R.B.Simpson, N.Yamamoto, J.Zowe и др.) исследователями в течение последних двадцати лет. Тем не менее, многие важные вопросы в рамках данной тематики не решены; решению некоторых из них и посвящена настоящая диссертация.
Проблема сосотоит в том, что в окрестности своей нерегулярной (особой, критической, вырожденной, анормальной) точки нелинейное отображение не допускает адекватного линейного приближения. Именно поэтому важнейшие результаты классического нелинейного анализа (теоремы о неявной функции, теорема Люстерника о касательном подпространстве, содержательная форма принципа Лагранжа и т.п.) в нерегулярном случае теряют силу. Аналогичное соображение относится и к традиционным численным методам (большинство из которых основанно на тех же идеях линеаризации) - в вырожденных ситуациях они либо вообще неработоспособны, либо неэффективны.
Практическое отыскание особых решений связано еще с одной очень существенной трудностью - в сколь-нибудь общих предположениях особые решения могут быть неустойчивы по отношению к возмущениям входных данных задачи. Этот аспект проблематики вырожденных задач в литературе фактически не освещался.
Представляется естественным, что для анализа структуры нерегулярных нелинейных отображений, а также для построения эффективных численных методов решения выровденных задач, нукно привлекать информацию о старших производных, что, в свою очередь, требует специального математического- аппарата. Основы такого аппарата были заложены в середине 80-х гг. в работах А.А.Третьякова и Е.Р.Авакова, где была введена оказавшаяся весьма продуктивной конструкция р-регулярности.
Можно перечислить целый ряд областей знания, в которых возникают прикладные вырожденные задачи. Здесь необходимо отметить следующее. Типичное нелинейное уравнение с гладким оператором особых решений не имеет. Однако, ситуация коренным образом меняется, если в задаче есть параметры, что обычно и наблюдается на практике. В этом случае существование особых решений вовсе не паталогично; более того, очень часто именно те значения параметров, при которых существуют особые решения, наиболее интересны, так как отвечают критическим, переходным режимам.
В связи со сказанным можно утверждать, что проблематика данной работы актуальна не только с теоретической, но и с практической, прикладной точки зрения.
Цель работы состоит в решении следующих задач:
получение* общих результатов о локальном строении 2-регу-лярных особенностей (теоремы о приведении 2-регулярного отображения к "алгебраическому" виду и т.п.) и, на этой основе, исследование устойчивости 2-регулярных решений нелинейных операторных уравнений (соответствующие теоремы о неявной функции);
разработка общего конструктивного подхода к устойчивому (по отношению к возмущениям входных данных и помехам) отыскании р-регулярных решений нелинейных задач и его эффективных реализаций, т.е. конкретных численных методов для конкретных классов нелинейных задач, в том числе краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и экстремальных задач.
Методика исследования базируется на систематическом использовании аппарата р-фактороператоров и конструкций р-регулярности. Привлекаются теоретические и вычислительные методы
лішейной алгебры, линейного и нелинейного анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории экстремальных задач.
Научная новизна. В работе получены новые общие результаты о строении нелинейного отображения в окрестности особой точки, которые могут рассматриваться как идейная база теории р-регулярных нелинейных отображений. На основе этой теории разработан новый подход к устойчивому отысканию особых решений для широких классов нелинейных задач. Реализации этого подхода приводят к новым численным методам, работоспособным и эффективным как в регулярных, так и в весьма общих нерегулярных случаях.
Практическая ценность работы состоит в том, что развитые в-ней общий подход и конкретные численные методы составляют мощный аппарат для устойчивого практического отыскания особых решений нелинейных задач. Предложенный подход к регуляризации представляется весьма перспективным как в плане создания новых методов, так и в плане расширения круга решаемых задач.
Публикации и апробация работы. По теме диссертации опубликовано Z3 работы, в том числе одна монография (в соавторстве с А.А.Третьяковым). Материал, вошедший в диссертацию, обсуждался на семинарах отдела методов нелинейного анализа ВЦ РАН (рук. проф. Е.А.Гребеников), кафедры исследования операций факультета ВМиК МГУ (рук. проф. С.К.Завриев), кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ (рук. проф. М.С.Никольский ), кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН. (рук. проф. А.В.Арутюнов), а также были представлены на Первой советско-итальянской конференции по методам и приложениям математического программирования (Италия, 1992 Г.).
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, объединяющих 14 параграфов, заключения, двух приложений и списка литературы, содержащего 186 наименований. Объем диссертации 306 с.
