Введение к работе
1.1 Актуальность темы.
Б последние десятилетия все возрастающий интерес был адресован к динамическим системам, поведение которых обнаруживает статистические закономерности, несмотря на большое количество ранних пионерских результатов в этой области, полученных Пуанкаре, Бпрнгофом, Крыловым н другими. Следует отметить, что систематические работы по хаотической динамике начались только в конце 1050-х - начале 1960-х годов. Основные результаты и идеи, предложенные в этот период, принадлежат Колмогорову, Арнольду и Мозеру для гамильтоиовых систем, н Эно и Смеплу для более общих диффеоморфизмов. Следует отметить также роль численных исследований Лоренца хаотической динамики в детерминированных дпеенпа-гнвных системах. Формализация статистических закономерностей, обнаруженных в задачах хаотической динамики, приводит к понятию стохастического аттрактора. К настоящему времени среди систем, имеющих стохастический аттрактор, наиболее глубоко изучены гладкие динамические системы с гиперболической структурой (13.М.Алексеев, Д.В.Аносов, Р.Боуэн, Д.Рюзль, Я.Г.Синай, С.Смейл).
Весьма интересна взаимосвязь между детерминистическим хаосом и случайным шумом, с одной стороны, и активным развитием численных методов для их анализа но экспериментальным данным, с другой. Отметим, что характер пространственных и временных переменных - дискретный или непрерывный, играет здесь чрезвычайно существенную роль. Другим предметом активного изучения в последнее время является хаотическое поведение в квантовых системах, и черты, которые характеризуют и ограничивают квантовые системы по сравнению с классическими. Неудивительно, что дискретная природа этого класса систем вновь привлекла внимание к проблеме дискретности фазового пространства при численном моделировании, которую мы детально обсуждаем в настоящей работе. Следует отметить также-еще одно недавно появившееся приложение - идея передачи информации при помощи хаотических колебаний. Оказывается, что, несмотря на их неустойчивость, специально подобранные генератор "хаоса" (кодер) и приемник сигнала (декодер) могут вести себя идентично. Это явление было открыто сравнительно недавно (в начале УО-х) и дало новым толчок развитию приложений методов хаотической динамики, особенно в 4-ом, что касается влияния дискретизации, неизбежной при цифровой передаче аналоговых сигналов.
Фундаментальной проблемой хаотической динамики является вопрос о том, каким способом физическая система, описываемая детерминированными уравнениями эволюции, может демонстрировать квазислучайное поведение. Ответ на этот вопрос состоит в том, что для хаотического отображения характерна чрезвычайно высокая чувствительность относительно начальных условий. Это означает, что малая неопределенность в начальном условии очень быстро (обычно экспоненциально быстро) растет со временем. Ввиду этого, если начальное условие было известно только с некоторой точностью, то поведение системы становится непредсказуемым после относительно небольшого интервала времени. В некотором смысле этот эффект
может рассматриваться как потеря информации относительно начальных условий.
Ввиду отмеченной "непредсказуемости", представляется более естественным описывать поведение хаотической системы при помощи статистических характеристик, нежели просто изучать динамику отдельных траекторий (которая может сильно зависеть от выбора траектории (начальной точки)). Заметим, что это наблюдение типично также для траекторий (реализаций) случайных процессов. Оказывается, что даже статистические свойства хаотической динамики могут быть весьма чувствительны по отношению к сколь угодно малым возмущениям (шуму). Мы рассмотрим различные типы этих возмущений, начиная с детерминированных (возмущения связанные со слабыми взаимодействиями, ошибки округления, квазислучайные возмущения), и кончая чисто случайными (случайный марковский аддитивный шум). Будет показано, что как устойчивость, так и неустойчивость могут проявляться под действием рассматриваемых возмущений. Под устойчивостью мы понимаем то, что статистические характеристики возмущенной системы сходятся к соответствующим характеристикам исходной системы, когда величина возмущения стремится к нулю. Неустойчивость же означает противоположный тип поведения. Следует заметить, что хаотичность обычно соответствует ситуации, когда "типичные" траектории "заполняют" большую часть фазового пространства. С этой точки зрения, неустойчивость, которую мы обсуждаем, приводит к тому, что траектории возмущенной системы "локализуются" в некоторой малой области (например, окрестности неустойчивой неподвижной точки), объем которой стремится к нулю вместе с величиной возмущения. С другой стороны, описанная ситуация может рассматриваться также и как стабилизация неустойчивого инвариантного множества (напомним тот же пример неустойчивой неподвижной точки).
Явление локализации разбивает фазовое пространство на дискретные инвариантные компоненты. Отметим, что это может произойти также в случае, если сама природа возмущения дискретна (как в случае ошибок округления), или, если рассматриваемое отображение является только аппроксимацией динамики на дискретном фазовом пространстве. Примеры последнего типа дает квантовое описание природных явлений, согласно которому пространство дискретно, а не непрерывно. Взаимосвязь между дискретностью и непрерывностью, с одной стороны, и устойчивостью и неустойчивостью, с другой стороны, являются основными объектами настоящей работы.
В изучаемых в диссертации примерах мы в основном рассматриваем кусочно растягивающие (одномерные или многомерные) отображения. Следует подчеркнуть, что подобный выбор примеров объясняется не просто интересом к этому специальному классу систем. С одной стороны, очевидный довод для их исследования - это их простота. С другой стороны, практически все явления, известные для хаотических динамических систем, могут быть обнаружены при анализе кусочно растягивающих отображений. Другим преимуществом этого класса систем является то, что для него разработан прямой операторный метод описания динамики мер и их плотностей. В наших исследованиях мы развиваем и активно используем этот метод. Интересно отметить также, что этот класс является практически единственным классом хаотических динамических систем с особенностями, для которых имеется
хороший контроль их статистических характеристик.
1.2 Цель работы
Целью диссертационной работы является систематическое изучение эргоднческнх свойств сложных (многокомпонентных) хаотических динамических систем с особенностями, и исследование устойчивости асимптотических свойств подобных систем относительно малых возмущении. О конечном итоге, построение теории, которая позволит с единой точки зрения рассматривать как статистические свойства исходной хаотической динамической системы, так и таких различных ее возмущений, как чисто случайные возмущения, детерминированные хаотические возмущения и возмущения типа ошибок округления.
1.3 Методы исследования
Основными методами исследования является применение аппарата теории вероятностей и теории динамических систем, а также теоретике числовые и комбинаторные методы. В доказательствах активно используются идеи и методы теории функций ограниченной вариации н их многомерные обобщения.
1.4 Научная новизна
Разработанные в диссертационной работе теоретические положения и методы анализа сложных многокомпонентных систем (в частности, анализ воздействия на пик ошибок округления) являются существенным вкладом в развитие фундаментальных исследовании в области информатики. Выполненные исследования приводят к качественно новому уровню построения и анализа математических моделей сложных хаотических систем.
В диссертационной работе получены следующие основные научные результаты:
Детально разработан операторный подход для изучения эргодических свойств (наличие гладкой инвариантной меры, выполнение ЦПТ, скорость убывания корреляции) сложных хаотических динамических систем с особенностями.
Проведен анализ устойчивости хаотической динамики относительно малых случайных возмущений. Обнаружено явление "локализации" под действием подобных возмущений, приводящее к стабилизации неустойчивых инвариантных множеств (мер).
Показано, что эффекты, связанные со слабым взаимодействием в CML , близки н по природе и по результатам к эффектам, вызываемым чисто случайным шумом. Как и в предыдущем случае было обнаружено и исследовано явлении "локализации", возникающее при сколь угодно слабых взаимодействиях. Получены достаточные условия устойчивости конечных неоднородных CML с общим графом взаимодействия локальных отображений.
Исследовано влияние пространственных дискретизаций, описывающих возмущения типа ошибок округления, на хаотическую динамику. Описан ряд новых явлений, возникающих под действием сколь угодно малых возмущений этого типа. Отметим эффект "умножения периода", анализ статистической вероятности явлении, возникающих под действием ошибок округления, и построения версии теории КАМ для случая ошибок округления.
Проведен детальный анализ нескольких методов численного моделирования хаотической динамики. Отметим метод Улама, состоящий в аппроксимации детерминированной системы конечной цепью Маркова, и вопросы, связанные со свойством отслеживания траекторий динамической системы.
1.5 Практическая ценность.
Результаты и методы настоящей работы могут быть использованы при изучении статистических свойств многомерных динамических систем с особенностями, возникающих в биологии, гидродинамике, статистической физике, теории передачи информации и технике. Результаты, относящиеся к влиянию малых возмущений, могут быть использованы для исследования сходимости и устойчивости широкого круга вычислительных процессов.
1.6 Апробация работы.
Результаты диссертации многократно докладывались на научных семинарах по динамическим системам и эргодической теории при МГУ им. М.В.Ломоносова (1981-1996), на семинаре им. И.Г.Петровского (1994,1995) и семинаре Добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН (1994-1997), на 4-ой школе-семинаре по взаимодействующим марковским процессам в биологии (Пущино, 1984), на 6-ом международном симпозиуме по теории информации (Ташкент, 1984), на 20-й международной конференции по математической геофизике (Villefranshe, 1994), международной конференции "Levy flights and relative phenomena in physics" (Nice, 1994), международной конференции "Динамические системы" (Москва, 1994), международном конгрессе по математической физике ICMP (Leipzig, 1991) и (Paris, 1994), международной конференции "Small-scale structures in three-dimensional hydro and magnetohydrodynamic turbulence" (Nice, 1995), международной конференции общества Бернулли (Vienna, 1996), международной конференции по дифференциальным уравнениям совместно с семинаром им. И.Г.Петровского (Москва, 1996), международном семинаре "Physics and Dynamics between Chaos, Order, and Noise" (Berlin, 1996).
1.7 Публикации
По теме диссертации опубликовано 34 печатных работы, в том числе монография "Discreteness and continuity in problems of chaotic dynamics" - Amer. Math. Soc. (ISSN: 0065-9282), 1997, 161 с
1.8 Структура диссертации
Диссертация состоит из шести глав, изложенных па 205 страницах, содержит 21 рисунок и библиографию из 106 наименований.
