Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время, когда информация становится важным ресурсом, когда информационная деятельность определяется как приоритетная в процессе развития цивилизации и когда эта деятельность во всем своем широчайшем спектре в значительной степени опирается на современные достижения компьютерной техники, становится очевидной необходимость всестороннего фундаментального исследования понятий информации, процессов ее представления, обработки, хранения и передачи. В этом отношении на первый план выдвигаются задачи строгой формализации этих понятий, нахождение эффективных алгоритмов обработки и анализа информации, принятие на их базе наиболее рациональных решений, генерации новых знаний.
Разумная человеческая деятельность в большинстве случаев состоит в том, что человеку для достижения тех или иных целей приходится принимать решения. Задачи принятия решений представляют собой завершающий этап процесса обработки информации. При этом представляется вполне естественным стремление принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. Научные постановки вопроса о выборе оптимальных решений встречались и встречаются в различных теоретических и прикладных дисциплинах - медицине, праве, военном деле, экономике, экологии, технике и т.д. По мере развития и математизации этих дисциплин соответствующие процессы принятия решений формализуются н приобретают характер математических моделей. Теория математических моделей принятия оптимальных решений составляет ныне обширное направление науки ~ исследование операций. Причем речь идет не просто об исследовании, но о выработке конкретных решений.
Особое место среди условий, а которых приходится принимать решения, занимает наличие неопределенности ( помех, возмущений, ошибок измерения, запаздывания в каналах передачи информации и т.д.). Это особое положение определяется, в первую очереди, практической важностью, ибо необходимость принимать решения, для которых не удаётся полностью учесть предопределяющие их условия, а также последующее их влияние, встречается в подавляющем большинстве областей техники, экономики и социальных науках. При этом отказаться в такой ситуации от принятия' решений большей частью бывает просто невозможно. Поэтому необходимо стремиться к оптимальному использованию имеющейся информации относительно поставленной задачи, чтобы, взвесив все возможные варианты решений, постараться найти среди них наилучший.
В теории принятия решений существует несколько принципов, на основе которых могут быть построены оптимальные решения в задачах, когда о неопределенных факторах известна лишь область их изменения. К таким принципам относятся: принцип гарантированного результата (принцип максимина, иногда также называемый принципом Вальда), принцип минимаксного сожаления (принцип С:>виджа), принцип пессимизма-оптимизма (принцип Гурвица) и др. Каждый из них обладает своими достоинствами и недостатками. В связи с отим, решения оптимальные согласно того или иного принципа, могут быть "хорошими" только в смысле отношений порядка, задаваемых этими принципами. По-видимому, для условий неопределенности нет и, в принципе, не может быть достаточно общего критерия, который "годился" бы одновременно для всех практических задач. Выбор принципа в каждой конкретной задаче является важным и трудным, и всегда должен осуществляться с учетом тщательного анализа ситуации, в которой принимаются решения. Задача же исследователя состоит и в том, чтобы предложить как можно более широкий спектр решений (оптимальных в смысле того или иного принципа), чтобы, по-возможности, наиболее полно учесть разнообразие ситуаций, в которых приходится осуществлять выбор решения на практике. В основу настоящей работы был взят принцип пессимизма-оптимизма (принцип Гурвица).
Все вышеперечисленные принципы были предложены для однокритериальпых (скалярных) задач при неопределенности. Однако почти всякая сложная практическая задача принятия решения является многокритериальной. В связи с этим особое значение приобретает бурно развивающееся направление теории принятия решений, которое получило название "многокритериальные задачи при неопределенности". Такие задачи возникают в экономике (падение или увеличение спроса на рынке, срыв поставок), в экологии (изменение погодных условий), механике управляемых систем (помехи, запаздывание в каналах передачи информации).
Основные исследования многокритериальных задач при неопределенности ведутся в рамках принципа гарантированного результата и им посвящены работы В. И. Жуковского, Г. И. Житомирского, В. А. Матвеева, В. С. Молоствова, В. В. Мухина, М. Е. Салуквадзе, И. В. Чернявского, D. Blackwell, G. Chen, W. Chan, F. Ferro, VV. I-ati, T. Tanaka. Рассмотрению этих задач с позиций принципа Сэвиджа посвящены исследования Л. Е. Бардина. Принцип пессимизма-оптимизма до настоящей работы применялся лишь к одиокритсриальным задачам. Здесь, в первую очередь, возникает необходимость обобщения принципа пессимизма-оптимизма на случай многих критериев. Данному вопросу и посвящена первая глава диссертации. В последнее время в России активно ведутся исследования игровых задач при
неопределенности - задач, а которых приходится принимать решения не только 8 условиях неопределенности, но и в условиях конфликта. Это совершенно новое направление теории игр, которое возникло буквально в последние годы.
Исследование игровых задач при неопределенности на основе максимтшого принципа имеется в работах В. И. Жуковского, Л. Ф. Клейменова, па основе принципа Сэвиджа - в работах Л. Е. Бардина. Исследованию бескоалиционных игр при неопределенности с позиций принципа, пессимизма-оптимизма посвящена вторая глава диссертации.
Целью работы является разработка теоретических основ принципа пессимизма-оптимизма для принятия решений в многокритериальных и игровых задачах при наличии неопределенности. При этом о неопределенных факторах известны лишь границы изменений и какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют.
Объектом исследования является теория многокритериальных задач и теория бескоалиционных игр ари неопределенности.
Предмет исследования - принятие решений в многокритериальных задачах и бескоалиционных играх при неопределенности на основе модификации принципа пессимизма-оптимизма.
Проблема заключатся п формализации и исследовании свойств решений в многокритериальных задачах а бескоалиционных играх при неопределенности, основываясь на модификациях принципа пессимизма-оптимизма.
В основу исследования положена следующая гипотеза: для многокритериальных задач при неопределенности можно определить понятие оптимального решения согласно принципа пессимизма-оптимизма и получить условия его существования; для бескоалиционных игр N лиц при неопределенности на основании принципа пессимизма-оптимизма можно формализовать понятия равновесия, установить условия существования в чистых и смешанных стратегиях.
Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной выше гипотезы потребовалось решить следующие задачи:
обобщить принцип пессимизма-оптимизма на случай многих критериев и на этой основе формализовать понятия решений для многокритериальных задач при неопределенности; .
классифицировать введенные решения, выявить их свойства;
получить достаточные условия существования таких решении:
формализовать понятие равновесия для бескоалиционных игр при неопределенности, используя обобщенный принцип пессимизма-оптимизма и концепцию равновесности по Нэшу;
- получить достаточные условия существования введенного равновесия в чистых и смешанных стратегиях.
Методологическую основу работы составляют методы, теории игр (в частности дифференциальных), многокритериальных задач, выпуклого анализа, многозначных отображений, дифференциальных уравнений и оптимального управления.
Научная новизна. В работе введен и разработан новый подход к принятию решений в сложных управляемых системах ггри учете неопределенных факторов. В отличии от обпдепринятого векторного максимина предложенный подход позволяет избежать недостатков связанных с ориентацией на "катастрофу", т.е. на самые неблагоприятные реализации неопределенности.
Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть применены к различным прикладным задачам: экономическим, экологическим, политическим и т.д. Разработка на их основе математических моделей позволит получить эффективные решения в сфере планирования и управления в различных видах деятельности.
Основные положения выносимые на защиту:
на основе принципа пессимизма-оптимизма введены понятия решения для многокритериальной задачи при неопределенности; проведена классификация решений, исследованы свойства, выявлены условия существования;
для бескоалиционной игры при неопределенности формализованы два вида решений: равновесие Нэша-Гурвица и гарантирующее равновесие Нэша-Гурвица; установлено существование указанных решений в чистых и смешанных стратегиях при обычных в теории игр ограничениях;
для дифференциальной линейно-квадратичной игры при неопределенности найдены явный вид ситуации равновесия Нэша-Гурвица и векторной гарантии игроков.
Аппробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на Ш Международной конференции женщин - математиков (Воронеж, 1995), математической школе "Поптрягинские чтения - VII" (Воронеж, 1996), Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." (Дубна, 1996), III и IV Международной конференции "Многокритериальные и игровые задачи при неопределенности" (Орехово-Зуево, 1994, 1996), на научных семинарах кафедры математики Орехово-Зуевского педагогического института, кафедры информатики и дискретной математики МПГУ.
Доклады по теме диссертации были приняты на IV Международной конференции женщин - математиков "Математика. Моделирование. Экология." (Волгоград, 1996), IV Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование."
(Пушино, 1997), V Международной конференции женщин - математиков "Математика. Экология." (Ростов-на-Дону, 1997).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены результаты полученные автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (разбитых на 8 параграфов) и списка литературы, содержащего 76 наименований. Общий объем диссертации составляет 98 страниц.
