Содержание к диссертации
Введение
Основные определения и постановка задачи 12
1.1. Математическая модель динамической системы 12
1.2. Исследования рассматриваемых динамических систем . 14
1.3. Постановка задачи . 17
1.4. Выводы 19
Алгоритмы решения задач оптимизации наблюдателя 20
2.1. Оптимизация модели измерений для улучшения оценок состояния 20
2.1.1. Информационная матрица в качестве основы критерия оптимальности 20
2.1.2. Использование ковариационной матрицы 25
2.1.3. Связь между ковариационной и информационной матрицами 26
2.1.4. Выбор между моделями измерений 27
2.1.5. Независимая от времени оптимальная модель 30
2.1.6. Планирование моментов измерений . 31
2.2. Оптимизация измерений для оценки неизвестных параметров системы 33
2.3. Выводы 34
Моделирование векторов состояний и наблюдений 36
3.1. Постановка задачи 36
3.2. Общее решение уравнения состояний 37
3.2.1. Вычисление переходной матрицы состояний 38
3.2.2. Вычисление ковариационной матрицы 40
3.2.3. Моделирование нормально распределенных векторов . 41
3.2.4. Алгоритм моделирования 44
3.3. Методы Эйлера решения стохастических дифференциальных уравнений .45
3.3.1. Описание методов 45
3.3.2. Алгоритм моделирования, основанный на методах Эйлера 46
3.4. Методы Мильштейна 47
3.5. Исследования на тестовом примере 48
3.6. Выводы 51
Алгоритмы поиска оптимального наблюдателя 52
4.1. Постановка задачи 52
4.2. Полностью стохастический и смешанный подходы 53
4.2.1. Выбор начального приближения для метода локальногопоиска
4.2.2. Локальный поиск 55
4.3. Детерминированный подход .:... 59
4.3.1. Алгоритм отображения отрезка на многомерный гиперкуб 59
4.3.2. Алгоритм одномерной глобальной оптимизации . 60
4.4. Продолжение примера 61
4.5. Выводы 64
Исследование динамических систем 65
5.1. Модель системы чандлеровских колебаний 65
5.1.1. Моделирование вектора состояний . 66
5.1.2. Оптимальные модели измерений 68
5.1.3. Проверка результатов 71
5.2. Следящая система управления электроприводом постоянного тока 72
5.2.1. Получение уравнения состояний 72
5.2.2. Переходная матрица состояний 75
5.2.3. Моделирование вектора состояний 77
5.2.4. Выбор оптимальной модели наблюдений 80
5.2.5. Выбор частоты проведения измерений 88
5.3. Система стабилизации самолета по тангажу . 91
5.3.1. Построение оптимальной модели наблюдений 92
5.4. Выводы 100
Описание программной системы 104
6.1. Ядро комплекса 105
6.1.1. covcalc.exe 108
6.1.2. dssolver.exe 108
6.1.3. kalman.exe 109
6.1.4. optimizer.exe 109
6.2. Вспомогательные программы ПО
6.3. Поддержка проведения вычислительных экспериментов . 111
Заключение 118
Список использованных источников 120
- Исследования рассматриваемых динамических систем
- Информационная матрица в качестве основы критерия оптимальности
- Моделирование нормально распределенных векторов
- Выбор начального приближения для метода локальногопоиска
Введение к работе
Актуальность темы. При проведении исследований моделей динамических систем, представленных в виде матричных стохастических дифференциальных уравнений, одной из наиболее востребованных задач является задача оценивания состояния системы в последовательные моменты времени по известным априорным данным и информации, извлекаемой из наблюдений за системой.
Наиболее распространенной вычислительной процедурой для получения оценок состояний для таких систем в настоящее время является алгоритм Калмана-Бьюси. Оценки состояний, полученные этим методом, являются оптимальными по сумме дисперсий ошибок оценивания в классе линейных оценок, но могут быть улучшены, например, за счет изменения управляющего воздействия или условий проведения измерений.
В диссертации исследуется влияние параметров, относящихся к наблюдательной части динамической системы, на точность оценок состояний и предлагаются процедуры выбора наиболее эффективной наблюдательной системы.
Задача в такой постановке встречалась в работах Mehra R.K и ранее у Meier L., Jonson C.D.? причем Mehra R.K. впервые сделал попытку применить методы, используемые в планирования регрессионных экспериментов, для исследования динамических систем. О подобных исследованиях в нашей стране нам ничего не известно, поэтому в данной работе сделана попытка восполнить этот пробел.
Цель диссертационной работы. Целью работы является создание и исследование алгоритмов по улучшению качества оценок состояний динамических систем при помощи выбора оптимальной в том или ином смысле модели наблюдений; исследование разработанных алгоритмов на различных моделях систем: следящей системе управления электроприводом постоянного тока, системе стабилизации самолета по тангажу и др.; выработка рекомендаций по виду оптимальной модели наблюдений; создание программного обеспечения, позволяющего эффективно решать задачи оптимизации
моделей измерений, задачи моделирования реализаций динамических систем с целью проверки качества оценок состояний и других входящих в модели параметров.
Задачи исследования. Для достижения цели диссертационной работы решены следующие задачи: предложены и исследованы алгоритмы и критерии оптимальности моделей наблюдений с точки зрения качества оценок состояний; исследованы методы компьютерного моделирования реализаций наблюдений и состояний динамических систем; в применении к основний задаче реализованы и исследованы некоторые методы глобальной оптимизации.
Методы исследования. Для решения поставленных задач применялся аппарат теории планирования экспериментов, теории автоматического управления, теории вероятностей и случайных процессов, математической статистики, численных методов, теории стохастических дифференциальных уравнений, теории матриц. Использовались математические пакеты и собственное программное обеспечение.
Положения, выносимые на защиту.
Алгоритмы построения и критерии оптимальности моделей наблюдений.
Рекомендации по использованию пяти методов моделирования динамических систем.
Рекомендации по использованию четырех методов поиска глобальных экстремумов по оптимизации наблюдений для динамических систем.
Результаты построения оптимальных моделей наблюдений для исследованных систем: следящей системы управления электроприводом постоянного тока, системы управления самолетом по тангажу, системы чандлеровских колебаний.
Разработанное программное обеспечение по моделированию и оптимизации моделей наблюдений динамических систем.
Научная новизна. Разработаны алгоритмы построения оптимальных моделей наблюдений для оценки состояний в дискретных и непрерывно-
дискретных линейных динамических системах. Предложены критерии оптимальности модели наблюдений в виде функционалов от ковариационной матрицы ошибок оценивания и информационной матрицы Фишера о состояниях системы. Проведено сравнение ряда алгоритмов моделирования реализаций векторов состояний и измерений: стандартного и основанных на разложении Тейлора-Ито уравнения состояний. Сделано сравнение нескольких алгоритмов поиска экстремумов в применении к задаче оптимизации проведения измерений. Разработано соответствующее программное обеспечение. Получены оптимальные модели измерений для системы стабилизации самолета по тангажу, системы управления электроприводом постоянного тока, системы чандлеровских колебаний.
Практическая полезность и реализация результатов. Разработан и использован для определения оптимальных моделей измерений реальных систем комплекс программ, позволяющий для непрерывно-дискретных и дискретных стационарных и нестационарных линейных динамических систем проводить
Моделирование наблюдений и состояний динамических систем раз-личными методами решения стохастических дифференциальных уравнений: явным и неявным методах Эйлера, явным и неявным методах Мильштейна, методом, основанным на общем решении уравнения состояний.
Оптимизацию параметров модели наблюдений с использованием четырех реализованных методов поиска глобальных экстремумов, опирающихся на критерии, использующие информационную матрицу или ковариационную матрицу ошибок оценивания состояний.
Проверку результатов оптимизации моделированием, оценкой состояний и других параметров динамической системы.
Созданное программное обеспечение использует эффективные численные методы для реализации алгоритмов и позволяет работать с произвольными стационарными и нестационарными линейными динамическими системами, включающими любые параметры, без повторной сборки модулей комплекса программ.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири" (2000), конференции, посвященной дням науки НГТУ-2000 (исследования были поддержаны грантом университета), 6-й международной российско-корейской конференции KORUS-2002.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 8 работ. Из них 1 — в трудах международной конференции, 1 — в сборнике тезисов межвузовской конференции, 2 — в Научном вестнике НГТУ, 4 — в сборнике научных трудов НГТУ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав основного текста и заключения. Объем работы — 125 страниц. Список литературы содержит 67 источников. Рисунков 23, таблиц 11.
В первой главе приводится описание непрерывно-дискретной стохастической модели динамической' системы в виде, используемом в классической литературе, связанной с фильтрацией Калмана-Бьюси и планированием экспериментов в динамических системах, соотношения непрерывно-дискретного фильтра Калмана, обрисованы задачи, востребованные для таких систем.
Во второй главе предлагаются критерии оптимальности модели измерений на основе выводимой информационной матрицы для рассматриваемого случая, на основе ковариационной матрицы ошибок оценивания состояний, показывается связь между информационной и ковариационной матрицами. Предлагаются разработанные алгоритмы, использующие эти критерии.
В третьей главе рассматриваются алгоритмы моделирования реализаций динамических систем: часто используемый метод, основанный на прямом решении уравнений динамической системы и современные методы, основанные на разложении Тейлора-Ито стохастических дифференциальных уравнений.
В четвертой главе рассматриваются методы поиска глобальных экстремумов, адаптированные для особенностей рассматриваемых систем.
В пятой главе приводится исследование предложенных алгоритмов на ряде конкретных примеров.
В шестой главе описывается разработанное программное обеспечение и
его использование.
Автор считает своим долгом поблагодарить д.т.н., проф. Денисова В.И. и к.т.н., доц. Бекареву Н.Д. за постоянную поддержку и ценные указания, данные в ходе исследований и оформления диссертационной работы.
Исследования рассматриваемых динамических систем
Во многих связанных с динамическими системами задачах жизненно важно уметь как можно более точно оценивать состояние динамической системы. От этого напрямую зависит результат, качество работы и извлекаемые из этого выгоды. Задача оценивания параметров состояния динамической системы решается уже много лет. Существуют различные методы, среди которых алгоритм фильтрации Калмана [54], алгоритм Люенбергера [55], методы, основанные на марковских фильтрах [6].
Алгоритм фильтрации Калмана среди них является, пожалуй, наиболее распространенным. Этот алгоритм имеет удобную для машинной реализации реккурентную форму. Существует также ряд оптимизаций метода [57], позволяющих повысить качество получающихся оценок состояния за счет разнообразных компьютерных трюков, как то улучшение обусловленности за счет использования квадратных корней матриц, использование алгоритмов с отбрасыванием аномальных наблюдений (робастных алгоритмов).
Когда необходимо получить как можно более точные оценки состояний, то важен не только хороший метод оценивания, но и все параметры, связанные с моделью измерений. Для непрерывных стационарных линейных систем задачу оптимизации таких параметров рассматривал Mehra R.K. в работе [17]. Его результатами были теоремы о свойствах оптимального плана измерений и алгоритм его вычисления, аналогичные по структуре и результатам, приведенным в работе Федорова [62] по планированию регрессионных экспериментов. Использованная в работе информационная матрица для оценки состояний в момент времени x(i) имеет вид а для построения планов измерений применялась нормализованная матрица
В данной работе будем предполагать, что модель наблюдений не задана жестко, а у исследователя есть возможность каким-то образом изменять ее параметры. Например, в некоторых случаях может иметься возможность снимать показания попеременно или одновременно с различных приборов наблюдений, изменять моменты проведения измерений [25], выбирать для проведения ислёдований одно из существующих или сконструировать наиболее подходящее нуждам исследований устройство наблюдений.
Положим, что модель наблюдений задана с точностью до параметров Ь, принадлежащих некоторому произвольному классу J5, которые могут присутствовать в матрице наблюдений Н(tk) или в матрице интенсивности шумов R(tk). Данные параметры могут быть также связаны и со временем
В простейших случаях для каждого параметра bi могут быть заданы пределы его реализуемости в измерительном приборе (то есть максимальное и минимальное значения параметра). В более сложных случаях ограничения могут связывать группы или все параметры. Если параметр является физической величиной, то ограничения накладываются с учетом природы параметра. Явных требований на то, каким образом параметры входят в модель наблюдений, нет. Единственное, стоит отметить случай, когда за параметры 6 обозначены некоторые или все компоненты матрицы наблюдений. В примерах, как правило, будем использовать именно такой вариант параметризации. Поставим основную задачу диссертационной работы следующим образом: Построить и исследовать алгоритмы оптимизации параметров Ъ модели наблюдений (1.2) с учетом соответствующих ограничений на эти параметры с целью улучшения качества оценок вектора состояний х() модели Поставленная задача основана на том, что исследователь зачастую имеет возможность менять условия проведения эксперимента и делать это не произвольным образом, а так, чтобы наиболее эффективно достигнуть целей исследований. Несмотря на то, что задача существует достаточно долго, нельзя назвать работы, которые решают данную проблему для рассматрива- емого нами случая непрерывно-дискретных динамических систем. Поэтому исследования проведем по следующим направлениям: Разработка критериев оптимальности моделей наблюдений; Разработка алгоритмов по оптимизации моделей наблюдений для оце-нок состояний стохастической динамической системы с использованием различных критериев оптимальности; Проведение исследований алгоритмов по моделированию динамических систем с целью проверки алгоритмов оптимизации; Исследование разработанных алгоритмов оптимизации с использованием нескольких алгоритмов моделирования, поиска экстремумов и на различных моделях динамических систем. В данной главе приведена математическая модель непрерывно-дискретной стохастической динамической системы. Сделан обзор литературы по темам, связанным с областью исследований. Выяснено, что задача выбора оптимальной модели наблюдений является весьма слабо изученной. Осуществлена постановка задачи и определены направления исследований диссертационной работы.
Информационная матрица в качестве основы критерия оптимальности
Данное соотношение является довольно сложным для вычисления, требует знания производных по неизвестным параметрам и само зависит от неизвестных, параметров даже в самом простейшем случае непрерывно-дискретной динамической системы.
В результате, если есть возможность вычисления соотношения (2.21), то это соотношение может быть использовано в качестве базы для вычисления критерия оптимальности и модели измерений и с ним будут работать приведенные в данной главе алгоритмы поиска оптимальной модели измерений. Если же такой возможности нет, то можно воспользоваться приемом, приведенным в работах [25, 67].
Суть способа состоит в том, что неизвестные параметры модели в добавляются к вектору состояний х() и мы получаем новый вектор состояний и новую динамическую модель, эквивалентную исходной, но большей размерности и можем без изменения использовать алгоритмы оптимизации модели наблюдений для решения, также и задачи оценивания неизвестных параметров системы.
Недостатками данного подхода являются увеличение размерности задачи, возможность появления нелинейности в уравнении состояний (которая в ряде случаев разрешается использованием расширенного фильтра Калмана) и вероятное появление зависимости матриц системы C(t) и G(t) от компонент нового вектора состояний (разрешается незначительным усложнением алгоритма вычисления матриц).
Таким образом, если оценить вычислительную сложность, возможную эффективность такого подхода и количество требующейся априорной информации, то такой подход следует предпочесть использованию соотношения (2.21) для случая простых зависимостей от неизвестных параметров и их небольшого количества.
В данной главе рассмотрены алгоритмы решения задач построения оптимальной модели наблюдений для улучшения качества оценок состояний стохастических динамических систем. Выведено соотношение для информационной матрицы относительно компонент вектора состояний в выбранный момент времени. Представлены критерии оптимальности модели измерений, основанные на полученном соотношении для информационной матрицы и ковариационной матрице ошибок оценивания состояний при помощи алгоритма фильтрации Калмана. Рассмотрена связь между критериями, основанными на информационной матрице и ковариационной матрице ошибок оценивания. Предложены достаточно общие способы сравнения различных моделей наблюдений. 1. Последовательный алгоритм оптимизации нестационарной модели измерений, основанный на соотношении для информационной матрицы относительно состояний системы; 2. Последовательный алгоритм оптимизации нестационарной модели измерений, основанный на соотношении для ковариационной матрицы ошибок оценивания состояний; 3. Алгоритм выбора оптимальной модели измерений из конечного набора моделей измерений; 4. Алгоритм построения оптимальной стационарной модели измерений для оценивания состояний. 5. Алгоритм выбора частоты проведения измерений для достижения заданной точности оценивания состояний. Рассмотрена задача оптимизации измерений для оценивания неизвестных параметров в уравнении состояний, которая сведена к задаче оптимизации для оценивания компонент вектора состояний.
Для проверки алгоритмов оптимизации модели наблюдений необходимо полученные модели использовать, то есть требуется возможность получения реализаций вектора наблюдений с использованием различных параметров модели измерений. Хорошо, если при этом используется реальная физическая система — это уменьшает возможность появления ошибок, связанных с неточностями моделирования или с физически невозможными ситуациями. Но в этом случае, в сравнении с методикой компьютерного моделирования, есть и минусы. Во-первых, использование физической системы часто дороже компьютерного моделирования, поскольку требует воплощения в материале полученных моделей. Перед тем, как это делать, неплохо бы убедиться, что результаты правдоподобны. Во-вторых, моделирование проводят так, чтобы можно было в реальном времени изменять любые параметры и смотреть, что из этого получится. Главное при этом, чтобы модель была корректной и соответствовала поведению исследуемого процесса. В-третьих, обычно неизвестны истинные значения параметров и компонент вектора состояний существующей физической системы и, следовательно, нельзя проверить, действительно ли мы получаем настолько точные оценки, насколько хотим.
Таким образом возникает задача моделирования реализаций динамической системы, результаты которой будем использовать для проверки алгоритмов оптимизации модели наблюдений.
Решение данной задачи может проводиться по двум направлениям [40]: реализация алгоритмов, определяемых аналитическим решением уравнений системы (1.1), (1.2) или же численная аппроксимация решения. Обычно используется первый подход [28].
Моделирование нормально распределенных векторов
В главе, посвященной алгоритмам построения оптимальной модели наблюдений, результаты были доведены до соотношений вида связанных с критериями оптимальности и в итоге задача сводится к выполнению некоторой процедуры оптимизации, позволяющей определить точки наиболыыих(наименыпих) значений целевого функционала в области В.
Данная глава посвящена алгоритмам поиска экстремумов применительно к исследуемой задаче оптимизации наблюдателя. Требования к алгоритму сформулируем следующим образом: Необходимо получить глобальный максимум функции на допустимой области определения. Следует учитывать, что даже при небольших размерностях задачи количество экстремумов может быть велико; Учесть то, что количество оптимизируемых параметров может также быть достаточно велико. Так, если размерность состояний и наблюдений равна 10 и все компоненты матрицы Н(t; b) доступны для изменения, то получаем уже 100 переменных; Метод должен обеспечивать по возможности небольшое количество перевычислений целевого функционала, поскольку это может быть достаточно трудоемкой задачей. Например, при оптимизации наблюдений для оценки состояний для вычисления значения целевой функции может требоваться полный цикл работы алгоритма фильтрации Калмана-Бьюси и делать это дополнительный миллион раз из-за неудобного метода оптимизации вряд ли целесообразно. Широко распространенный подход к поиску глобального экстремума заключается в том, чтобы использовать методы поиска локального экстремума и при помощи выбора различных (обычно случайных) начальных приближений улучшать значение найденного локального значения до тех пор, пока не будем уверены в том, что получен глобальный экстремум. Алгоритм такого подхода в виде укрупненных блоков с учетом выше-изложенных требований к методам решения задачи может быть записан следующим образом: 1. Задаемся некоторой областью определения параметров. Это могут быть физические или экономические требования к задаче. Устанавливаем с = 0. 2. Выбираем произвольную точку в качестве начального приближения метода локального поиска. 3. Любым локальным методом поиска определяем точку локального экстремума. 4. Если полученное значение целевого функционала лучше предыдущего, то запоминаем новое значение и устанавливаем с = 0. Иначе с = с+ 1.. 5. Если с Стах то алгоритм завершается, иначе продолжаем с шага 2. Изменим данный подход тем, что разделим локальный поиск на два этапа, что позволит проводить более гибкую настройку алгоритмов для решения конкретной задачи: Одним методом локального поиска грубо определяем местоположение локального экстремума. Другим методом уточняем полученное на предыдущем шаге значение экстремума. Для реализации подобного алгоритма необходимо решить следующие подзадачи: Выбор начального приближения для локального поиска; Реализация методов локального поиска экстремума: для грубой оценки точки и последующего уточнения. Выбор точки для начала работы методов локального поиска может быть осуществлен как минимум следующими способами [9]: 1. Получением случайной точки, равномерно распределенной на допустимой области; 2. Использование для получения случайной точки некоторой функции распределения, основанной на априорных представлениях о виде критерия оптимальности, (байесовский подход). 3. Последовательный перебор всех точек из накинутой на область определения сетки. К сожалению, мы не можем сделать никаких выводов о зависимости целевой функции от параметров, поэтому байесовский подход применить пока не удается. Существенных отличий между использованием случайных точек и перебором не предвидится, поэтому остановимся на версии со случайными точками. Модификация алгоритма таким образом, чтобы области, исследованные на предыдущих шагах, исключались из дальнейшего исследования, привела к ухудшению скорости работы, поэтому применим вариант, при котором в качестве начального приближения используется равномерно распределенная в области В точка. Параметром, позволяющим настроить данный этап алгоритма под конкретные нужды является количество неуспешных поисков для выхода из алгоритма оптимизации. Вид функционалов, подлежащих оптимизации позволяет судить о том, что у каждого функционала существует ряд точек экстремумов с одинаковыми значениями целевой функции. Поэтому модифицируем алгоритм таким образом, чтобы получение экстремума с лучшим, но близким к лучшему найденному ранее значению функционала оптимальности не сбрасывало счетчик с количества неуспешных поисков. . Локальный поиск у нас состоит из двух этапов: грубого определения точки экстремума и этапа по его уточнению. Для грубого определения точки локального экстремума идеально подходит метод адаптивного случайного поиска с направляющим гиперкубом.
В методе выделяется некоторая небольшая подобласть области определения и в ней ненаправленным случайным поиском определяется лучшая точка. Затем строится новая подобласть вокруг этой новой точки и производится новый поиск, при этом размеры области могут варьироваться. Алгоритм представлен далее.
Выбор начального приближения для метода локальногопоиска
Судя по виду графиков, количество глобальных экстремумов с одинаковыми значениями выше, чем при расчете стационарной модели. Затраты времени на расчет моделей для всего рассматриваемого интервала времени меньше в 12 раз, чем для расчета 1 стационарной модели (при одинаковых шагах между измерениями). Это позволяет использовать последовательный алгоритм для расчета оптимальной модели для следующего момента измерений в интерактивном режиме работы.
По результатам исследований динамических систем можно сделать следующие выводы: Разработанные и реализованные алгоритмы позволяют построить модель измерений, использование которой значительно улучшает величину критерия оптимальности измерений динамической системы (от 1 до тысяч раз), величина абсолютной точности оценивания вектора состояний увеличивается до 3-х раз. Линейная комбинация измерений оказывается эффективнее, чем несмешанные измерения с диагональной матрицей наблюдений Н. Большая частота измерений не всегда означает большую точность оценивания состояний. В ряде случаев для различных моделей наблюдений шаг между проведением измерений может быть увеличен так, что при этом значение функционала оптимальности улучшится. Оптимальные модели наблюдений зависят не только от структуры динамической системы, но и от количества моментов измерений и интервала наблюдений. Оптимальные модели, полученные при помощи различных критериев оптимальности в общем случае различны. Использование модели, оптимальной по значениям какого-либо критерия не влечет автоматического получения наиболее точных оценок состояний. Вполне может оказаться, что эта модель может уступить в абсолютной точности оценивания какой-либо другой модели, Из рассмотренных критериев след ковариационной матрицы выглядит наиболее предпочтительным для использования в качестве критерия оптимальности, так как его вычисление требует минимум затрат из рассмотренных критериев, а полученные модели наблюдений чаще оказываются очень хорошими по точности оценивания. Методы оптимизации работают намного дольше при использовании информационной матрицы в качестве критерия оптимальности. На моделях с малым количеством параметров это не отслеживается, а при большом их количестве информационная матрица сложнее для оптимизации. Строить модели наблюдений, когда оптимизируется определитель информационной или ковариационной матрицы (2.16), нецелесообразно не только из-за того, что необходимость вычисления большого числа определителей матриц в процедурах оптимизации ведет к увеличению времени работы, но еще и потому, что при выбранных параметрах определитель ковариационной матрицы очень мал, а определитель информационной матрицы очень велик или вырожден, так что в результате методы оптимизации работают очень плохо. Если ошибки наблюдений и возмущения в системе относительно велики, то ситуация с величиной определителя улучшится. Останутся тем не менее вычислительные затраты. Полностью стохастический метод поиска работает достаточно плохо на рассмотренных системах. Главным образом за сложности выбора между невысокой точностью результата и большим количеством вычислений. Двухэтапный и смешанный методы в большинстве случаев дают одинаковые результаты по критерию и моделям. При этом смешанный метод проигрывает двухэтапному по времени при малых размерностях пространства параметров (меньше 10) до 2-х раз, но начинает выигрывать до 3 и более раз при более высоких размерностях.
Показано, что для системы стабилизации самолета по тангажу необходимо измерять производную угла тангажа наибольшего порядка с добавлением линейных комбинаций из прочих компонент. При этом конкретные величины коэффициентов измерений при компонентах состояния зависят от разнообразных параметров проведения измерений, а для наибольшей производной коэффициент усиления при измерении находится на границе допустимой области.
Показано, что основными величинами одномерной оптимальной модели наблюдений следящей системы являются переменные напряжения тиристорного преобразователя и тока якорной цепи. Для моделей измерений более высоких размерностей требуется измерять различ-ные комбинации по 3-4 компоненты состояний. Чем больше размерность модели, тем ближе отдельные параметры в модели наблюдений к границам допустимой области.
Получено, что для системы чандлеровских колебаний максимум информации обеспечивает диагональная матрица наблюдений, а минимум ковариационной матрицы — заполненная максимально допустимыми значениями.
