Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка и обоснование задач исследования 12
1.1. Основные понятия и определения 12
1.2. Модели зависимости от поясняющих переменных 21
1.3. Планы испытаний 25
1.4. Выводы 29
Глава 2. Вычисление информации Фишера для различных планов испытаний. Модель ускоренных испытаний 30
2.1. Полная выборка 30
2.2. Информация Фишера для цензурированных выборок 34
2.3. Т-цензурирование. Модель наблюдений без восстановления 38
2.4. Т-цензурирование. Модель наблюдений с восстановлением 41
2.5. (г,Т)-цензурирование. Экспоненциальное распределение 46
2.6. Выводы 49
Глава 3. Планирование эксперимента 50
3.1. Логарифмически линейная модель ускоренных испытаний 50
3.2. D-оптимальное планирование эксперимента 51
3.3. Графический метод планирование эксперимента Элфвинга-Чернова 57
3.4. Выводы 76
Глава 4. Решение прикладных задач 77
4.1. Оценивание кривой жизни высоковольтной изоляции 77
4.2. Расчет оптимальных режимов в задаче обработки металлов резанием 83
Заключение 96
Список использованных источников 97
Приложение
- Модели зависимости от поясняющих переменных
- Информация Фишера для цензурированных выборок
- Графический метод планирование эксперимента Элфвинга-Чернова
- Расчет оптимальных режимов в задаче обработки металлов резанием
Введение к работе
Во многих областях науки и техники возникают задачи, связанные с анализом данных, характеризующих время функционирования некоторого объекта. Статистические данные такого рода типичны для техники, экономики, страхования, медицины и многих других направлений человеческой деятельности. Такие величины по своей природе являются стохастическими и называются временами жизни. Так, в технике времени жизни соответствует продолжительность безотказной работы устройства. Очевидным свойством величины времени жизни является ее положительность. Характерной особенностью реальных данных о продолжительности жизни является возможная неполнота части данных и такие наблюдения называются цензурированными.
Раздел статистики, изучающий указанные явления, называется анализом данных типа времени жизни. В его задачи входит получение статистических выводов о неизвестной функции распределения продолжительности жизни, исследование влияния различных факторов на продолжительность жизни, выбор оптимального уровня факторов и т. д. Важным направлением в анализе данных типа времени жизни является планирование эксперимента, позволяющее добиться значительного экономического эффекта.
Необходимо отметить, что наиболее известная модель зависимости от поясняющих переменных - регрессионная модель с аддитивной нормальной ошибкой, чаще всего не является адекватной в указанных задачах.
Несмотря на то, что анализ времени жизни имеет давнюю историю и продолжает развиваться, пополняться новыми моделями и методами, задачи исследования моделей зависимости от поясняющих переменных, сравнения их, определение оптимального уровня факторов и планирование эксперимента являются мало изученными и исследования в этом направлении являются своевременными и актуальными.
Интерес представляет также приложение разработанных методов и моделей к практическим задачам - в работе рассматриваются такие прикладные области, как анализ надежности высоковольтной изоляции и анализ стойкости металлорежущего инструмента.
Современное состояние проблемы
Попытки анализировать данные с временами жизни предпринимались давно. Еще в конце XVIII в. Даниил Бернулли исследовал вопрос об увеличении продолжительности жизни при исключении эпидемий оспы. Позднее обстоятельное исследование продолжительности жизни людей было стимулировано деятельностью страховых компаний. В наше время разнообразные задачи такого типа возникают в связи с потребностями обеспечения надежности технических устройств.
Достаточно полный и широкий обзор методов анализа данных типа времени жизни впервые на русском языке дан в монографии Кокса Д. Р., Оукса Д. [101]. Рассмотрены модели зависимости от поясняющих переменных (некоторые сформулированы впервые), приведены параметрические и непараметрические методы статистического анализа выборок.
Основные положения теории надежности изложены в монографиях Барлоу Р., Прошана Ф. [51,52], Гнеденко Б. Н., Беляева Ю. К., Соловьева А. Д. [65], Байхельта Ф., Франкена П. [50], и др. Рассматриваются вопросы идентификации, оценивания и проверки гипотез, вводятся планы испыта ний, приводятся теория восстанавливаемых систем, теория резервирования и т. д.
Различные вероятностные модели и семейства распределений приводяться в [80,103,124].
Статистическому анализу цензуриро ванных данных посвящены работы Назина А. Е., Скрипника В. М. [112], Благовещенского Ю. Н. [54] и др. [48, 53], планы испытаний рассматриваются в [50,65,96], сравнение планов по затратам проведено в [58].
Теория планирования эксперимента для классической регрессионной модели с аддитивной ошибкой излагается в работах Фишера Р. А. [14,15,16], Бокса Дж. [2,3,4,5], Кифера Дж. и Вольфовица Дж. [24, 25, 26, 27], Г. Чернова [7], в работах отечественных исследователей Ю. П. Адлера [38, 39, 40,41,42], В. Г. Горского [66, 67, 68], В. И. Денисова [84, 86], В. В. Налимова [ПО, 111], Попова А. А. [84], В. В. Федорова [140] и др. [92, 108, 115,142,143].
Графический метод построения Q-оптимального плана предлагается в работе Элфвинга [11], в статье Чернова Г. [6] этот метод применяется для модели ускоренных испытаний, в статье Детте X. [10] - для построения D-оптимального плана.
Анализ надежности высоковольтной изоляции излагается в работах Александрова [46, 47], Кадомской [95], Кучинского [104] и др. Различные модели зависимости времени жизни изоляции от фактора - пробивного напряжения - рассматриваются в [19, 23, 28, 34, 49, 71, 73, 75, 76, 77, 88, 100,105, 109, 136, 144]. Аппроксимации распределения экстремальной порядковой статистики приводятся в работах Александрова [46], Левин-штейна [95], Григорьева Ю. Д., Щеглова Н. В [79].
Степенная модель стойкости металлорежущего инструмента была предложена Тейлором [63, 82, 85, 117, 121, 125], им же была предложена методика определения оптимального режима резания. В дальнейшем часто высказывались критические замечания в адрес тейлоровской модели [8] и рядом авторов предлагались различные модели стойкости [9, 78, 99, 107, 118] и методики назначения оптимальных режимов [29, 30, 45, 61, 70, 113, 114,141,126-132]. Необходимо отметить, что в последнее время теория анализа данных типа времени жизни, в том числе статистическая обработка цензурирован-ных данных, за рубежом продолжает развиваться, имеется большое количество публикаций [1, 12, 13, 17, 18, 20, 21, 31, 33, 35, 36, 37]. Однако по планированию эксперимента публикации практически отсутствуют. Настоящая работа призвана заполнить этот пробел. Цель и задачи исследований Целью проводимых исследований является разработка методов статистического анализа и планирования эксперимента для различных моделей зависимости от поясняющих переменных, определение оптимальных в смысле некоторого критерия уровней контролируемых переменных для испытаний с цензурированием, исследование приложений разработанных методов в предметных областях. В соответствии с поставленной целью предусмотрено решение следующих задач: - нахождение информационного количества Фишера для различных планов испытаний; - построение D-оптимальных планов эксперимента для модели ускоренных испытаний; - построение Q-оптимальных планов эксперимента с помощью графического метода Элфвинга-Чернова; - применение методов планирования эксперимента в прикладных областях. Методы исследования Теоретические и прикладные исследования базируются на использовании математического анализа и линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики, теории анализа данных типа времени жизни, теории надежности, теории порядковых статистик, теории планирования эксперимента, методах оптимизации, методах статистического моделирования. • Научная новизна Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем: - исследованы модели времени жизни; - получен явный вид информации Фишера для экспериментов с различными типами цензурирования; - для различных планов испытаний найдены цензурирующие множители, позволяющие сводить планирование эксперимента к случаю полной выборки; - для моделей отклика типа времени жизни построены Q- и D-оптимальные планы эксперимента; - с помощью разработанных методов решен ряд практических задач.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Аналитический вид информационной матрицы Фишера для различных планов испытаний.
2. Результаты исследований по построению D- и Q- оптимальных планов эксперимента для моделей типа времени жизни.
3. Результаты исследований по применению методов планирования эксперимента в задачах анализа надежности высоковольтной изоляции и оп ределения оптимальных режимов для задач обработки металлов резанием.
Обоснованность и достоверность
Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается использованием аналитических методов исследования, доказанными теоремами, а также подтверждением аналитических выводов результатами статистического моделирования, вычислительных и натурных экспериментов.
Практическое значение
Исследовательская работа велась по проекту «Новосибирский объединенный исследовательский университет высоких технологий» в рамках федеральной целевой программы «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки» (государственный контракт № А0050). Результаты исследований были применены к решению практических задач, акты о внедрении прилагаются к диссертационной работе.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
- на Ш-й международной конференции Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-96), Новосибирск, 1996 г.;
- на 10-ом международном симпозиуме по высоковольтной энергетике, 1997 г., Канада;
- на IV-й международной конференции Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-98), Новосибирск, 1998 г.;
- на Третьем Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-98), Новосибирск, 1998 г.;
- на 2-м Всесоюзном семинаре «Моделирование неравновесных систем-99», Красноярск, 1999 г.;
- на 1-м Всесибирском конгрессе женщин математиков (к 150-летию со дня рождения С. В. Ковалевской), Красноярск, 2000 г.;
- на Региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации», Новосибирск, 2001 г.;
- на кафедральных научных семинарах.
Публикации
Результаты диссертационной работы опубликованы в 18 печатных работах и в одном отчете по НИР. В опубликованных работах автору принадлежат результаты, изложенные в тексте диссертации.
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений. В первой главе, имеющей обзорный характер, вводятся основные понятия, модели и методы анализа данных типа времени жизни. Во второй главе для различных планов испытаний на надежность получены основные характеристики и вычислены информационное количество Фишера и цензурирующие множители. Третья глава посвящена вопросам нахождения Q- и D-оптимальных планов и исследованию их свойств. В четвертой главе разработанные методы применяются для решения ряда инженерно-технических задач в предметных областях - высоковольтной энергетике и обработке металлов резанием. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе. В приложениях содержаться каталог характеристик основных распределений времени жизни, вероятност v ные характеристики планов испытаний, данные экспериментов для решения практических задач, акты о внедрении результатов исследований.
Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору Григорьеву Ю. Д., консультантам K.T.H., доценту Смагину Г. И. и к.т.н., доценту Щеглову Н. В. за постоянную поддержку, внимание к работе и ряд полезных замечаний и предложений, возникавших в ходе регулярных встреч и семинаров.
Модели зависимости от поясняющих переменных
В задаче сравнения и анализа нескольких наборов данных (времен жизней) один из способов такого сравнения состоит в оценке функций распределения для каждого набора данных и затем уже в качественном их сравнении непосредственно (или через некоторые суммарные характеристики). Однако более чувствительные или более сложные сравнения моделей можно выполнить, используя расширенные модели, в которых влияние поясняющих переменных определяется значением неизвестных параметров. Поясняющие переменные называются также контролируемыми переменными или факторами.
Общий подход при построении моделей, описывающих зависимость от поясняющих переменных, состоит в следующем: задаются базовой случайной величиной X (наработка объекта) с ф. p. Fx(t;0o), во - вектор пара- „ метров функции распределения. Далее, предполагают, что для каждого объекта задан определенный вектор z поясняющих переменных. Компоненты вектора могут соответствовать различным характеристикам, оказывающим влияние на наработку до отказа (это могут быть разного типа воздействия, внутренние свойства объектов, внешние переменные и т. д.). Возможно, потребуется также предположить, что влияние поясняющих переменных определяется вектором неизвестных параметров 0. Затем переходят к новой случайной величине Y, учитывающей влияние поясняющих переменных на с. в. X: Ру(О = (Рх(пЄо),2,0). Рассмотрим наиболее часто употребляющиеся модели. Обзор различных моделей наблюдений, некоторые из которых сформулированы впервые, приведен в [101].
В регрессионной модели предполагается, что для базовой с. в. X и для произвольного постоянного вектора поясняющих переменных z определена такая функция M/(z,0), чт0 функция распределения, плотность и функция интенсивности с. в. Y соответственно имеют следующий вид: Соотношение (1.31) через случайные величины записывается как
Таким образом, с учетом (1.19), регрессионную модель наблюдений (1.32) можно интерпретировать следующим образом: мы полагаем параметр сдвига распределения с. в. Y зависящим от контролируемых переменных, т. е., с. в. Y отличается от базовой величины только сдвигом, который, в свою очередь, сам зависит от некоторых переменных.
Модель (1.32) называют также моделью с аддитивной ошибкой X. Заметим, что функция \/(z,0) имеет размерность (шкалу) такую же, как и наработка Y.
Необходимо отметить, что существует большое количество работ, как отечественных, так и зарубежных авторов [43, 44, 89, 98, 120, 123, и др.], посвященных модели наблюдений (1.32). В подавляющем большинстве случаев в модели (1.32) предполагается, что базовая с. в. X распределена нормально XGN(0,CT) с известным параметром масштаба ст, тогда величина Y распределена также нормально с параметром масштаба ст и параметром сдвига \\)(zy&), зависящим от известного вектора поясняющих переменных z, контролируемых экспериментатором, и вектора неизвестных параметров 9. Наиболее часто эта зависимость предполагается линейной, т. е. \/(z,0)=z 0.
Несмотря на широкое распространение модели (1.32), она слабо подходит для описания распределений наработки, поскольку, как отмечалось ранее, зависимость от параметра сдвига характерна для распределений, сосредоточенных на всей числовой прямой и редко используется для положительных случайных величин. Ниже мы рассмотрим модели, применяемые в анализе данных типа времени жизни.
В модели ускоренных испытаний предполагается, что существует такая функция \\i(z,Q), что характеристики с. в. Y выражаются через базовую с. в. X следующем образом:
Зависимость (1.33) для случайных величин выглядит так: т. е., функция i/(z,0) является параметром масштаба с. в. Y. Величина Y отличается от базовой величины масштабом, который сам зависит от факторов z. Модель (1.34) называют также моделью регрессии с мультипликативной ошибкой X. Функция v/(z,0) имеет размерность (шкалу) такую же, как и с. в. Y.
Модель ускоренных испытаний применяется, например, в энергетике, при анализе долговечности высоковольтной изоляции [144].
Информация Фишера для цензурированных выборок
Обратимся теперь к вычислению 1(0) для цензурированных данных. Выборка X называется цензурированной, если вместо интервала наблюдений (0,оо) рассматривается промежуток (ОД), в результате чего зарегистрированные наблюдения выглядят так:
Таким образом, цензурированная выборка получается, когда некоторые величины регистрируются точно, а про остальные известно только, что они превосходят определенную величину Т.
Операция цензурирования приводит к тому, что от исходного распределения f@(x), х є (0,оо) мы приходим к распределению fg(x), х є [0,Т) с атомом в точке х=Т:
К цензурированным выборкам можно применять метод максимального правдоподобия. Функция правдоподобия строится в два этапа. На первом этапе учитываются величины, которые были зарегистрированы точно Вклад цензурированных величин указывается в множителе
Следовательно, логарифмическая функция правдоподобия выглядит так где FQ - функция распределения наработки. Пример 2.1. Пусть F(x) = 1 - ехр — - экспоненциальное распределение времени жизни. Тогда ОМП параметра X по цензурированной выборке имеет вид: Информационное количество Фишера, согласно (2.8), определяется выражением
Отметим, что теперь свойство инвариантности оптимальных планов эксперимента относительно используемого распределения не имеет места. Информацию Фишера можно представить также в виде [138] информант параметра 0j, основанный на цензурированной выборке. Индексы соответствуют нецензурированным (и) и цензурированным (с) наблюдениям, при этом количество слагаемых в суммах случайно. В случае полной выборки информант Sj(x,9) - сумма N независимых одинаково распределенных величин.
Пример 2.2. (Информационное количество 1у Фишера для распределения Вейбулла). Вычисления согласно (2.10) дают следующий результат
Нетрудно видеть, что при Т —» оо получаем результат, пред ставленный для распределения Вейбулла в табл. 2.1.
Теперь рассмотрим простой процесс восстановления {І)І І, согласно которому процесс начинается в нулевой момент времени с нового элемента. В момент отказа первого элемента он мгновенно заменяется новым со временем жизни Ъ,2 и Т-Д- С.в. 2,І независимы и одинаково распределены, г-ый отказ наступает в момент времени
В частности, если св. Ъ\ распределены экспоненциально с плотно стью f(t;\) = Хе , то процесс восстановления является пуассоновским с интенсивностью X.
Предположим теперь, что наблюдения за отказами ведутся непрерывно на промежутке [ОД). Количество отказов d(T) на промежутке [ОД) является случайной величиной, не зависящей от времени жизни . Такая модель наблюдений имеет место, например, при работе с воздушной изоляцией. Функция правдоподобия L(9) в данном случае имеет вид т.е. определяется случайным числом слагаемых d = d(T). Распределение такой случайной величины L(0) называется сложным, равно как и распределение интересующей нас св.
Таким образом, информационное количество Фишера вновь приобре тает свойство инвариантности относительно используемого распределения жизни элемента. восстановления
В последующем изложении удобно репараметризовать модель, обозначив р = 1/А.. Параметр р также может считаться параметром масштаба, единица измерения обратна времени жизни.
Обозначим коэффициент К в формуле (2.5) как Iu и назовем его стандартным множителем информации Фишера о параметре масштаба.
Рассмотрим план испытаний [N,B,T]. ЭТОТ план отвечает цензурированию справа 1-го типа, или Т-цензурированию. Согласно этому плану последовательность наблюдений имеет вид xj =min( ;,T)i_] . Последовательно рассмотрим случаи, когда момент цензурирования Т является фиксированным и случайным. Фиксированное значение Т. В данном случае распределение св. Xj имеет атом в точке Т с весом
Графический метод планирование эксперимента Элфвинга-Чернова
В данном разделе описывается задача Q-оптимального планирования эксперимента, т.е. оптимальный выбор уровней стресса z в модели ускоренных испытаний (3.1) для оценивания параметра масштаба v/(z,0) с минимальной дисперсией. В основу построения Q-оптимальных планов положен геометрический метод Элфвинга-Чернова.[6, 11]. Матрица найденная в (2.5) (множитель К опущен как несущественный), вычислена в предположении, что X = А,(0). Предположим теперь, что где х-векторная переменная, контролируемая экспериментатором, X - факторное пространство и пусть є(х) - некоторая вероятностная мера, заданная на X. Дискретная мера с конечным числом атомов Xj и р\ = — называется планом эксперимента, при этом n j - количество наблюдений в точке Xj д = 1,...,г. С учетом того, что теперь Ijj(O) = Ijj(x,9), информационная матрица Іу(єп,0), соответствующая плану єп, примет вид Далее, для краткости, опускаем в обозначениях информационной матрицы 1у символ 0. Если при этом матрица ІІ(ЄП)» обратная к (3.19), существует, то план єп называется невырожденным. Рассмотрим последовательность планов {Gn}n i. Будем говорить, что єп слабо сходится к плану s, если для любой непрерывной функции g(x) Этот факт записывается в виде єп е. Пусть, далее, 0П - о.м.п. пара метра 0 по выборке (Xi,...,Xn) из распределения Q. Тогда при соответ W ствующих условиях регулярности и єп є, где є - невырожденный Нас, в первую очередь, будет интересовать критерий Q оптимальности, суть которого состоит в следующем [140]. Пусть Z - нормальная св. с единичной дисперсией и средним где gj(x) - линейно независимые функции на X с R . Функция ja(x) называется функцией регрессии св. Z. Как хорошо известно, если положить то где цп(х) -о.м.п. функции ц(х) в точке хеХ, d(x,e) - дисперсия оценки функции регрессии в точке X. В соотношении (3.19) и далее используется соглашение о суммировании: по одинаковым верхним и нижним индексам осуществляется суммирование от 1 до т. В случае (3.19) это означает, что
Пусть Y - некоторая область в R . План є называется Q интересовать случай, когда В этом случае получаем где Qi = gi(xo) заданный вектор. Таким образом, задача Q-оптимального планирования состоит в выборе плана є , минимизирующего (3.25). Следуя [11], кратко опишем суть метода Элфвинга геометрического построения Q-оптимальных планов. Пусть - k-мерная поверхность в Rm ,к m. Аналогично Множество называется поверхностью Элфвинга в Rm. Пусть C=conv S - выпуклая оболочка S, т.е. минимальное выпуклое множество, содержащее S, ОС множество граничных точек С. (С- замыкание С, точка SQ Є Rm - гранич ная точка С, если в любом шаре Ur(so) = {seRm :s — SQ г} есть точки как принадлежащие, так и не принадлежащие С.) Рассмотрим луч Согласно известной теореме Каратеодори S является выпуклой комбинацией не более чем m точек из С, В частности, если S - крайняя точка (нуль-мерный фасад множества С [13]), то 1=1.
В приведенных обозначениях справедлива следующая Теорема 3.3. (Элфвинг [11]). Пусть S - точка пересечения луча L с границей дС множества Элфвинга С, Xj - значения факторов, определяющих точки Cj в (3.28). Тогда є = эксперимента. - Q-оптимальный план эксперимента. Он означает, что 83% всех экспериментальных затрат следует отнести в точку xj и 17% - в точку х2. В рассматриваемых ниже задачах Q-оптимального планирования факторное пространство X предполагается одномерным, XcR , а пространство Rm - двумерным (т=2) В этом случае поверхность S обращается в плоскую кривую, построение которой и будет представлять основную задачу.
Расчет оптимальных режимов в задаче обработки металлов резанием
Для решения задачи определения оптимального режима необходимо использовать модели, описывающие стойкость инструмента. Стойкость характеризуется суммарной длиной просверленных отверстий сверлом до затупления - L, мм; либо временем работы инструмента до переточки - Т, мин. Рассматривается зависимость стойкости инструмента от двух факторов - скорости подачи на оборот S, мм/об (или скорости минутной подачи Sm, мм/мин) и частоты вращения п, об/мин (или скорости вращения V, м/мин). Таким образом, в общем виде стойкостная модель имеет вид:
Оптимальные режимы обработки находят, решая уравнение (4.8) совместно с уравнением экономических затрат [85, 112, 113]: где Q - стоимость всех затрат, связанных с обработкой одной детали, руб.; Сз,Сз - зарплата и накладные расходы сверловщика и заточника, руб/мин; Ср - покупная стоимость инструмента, руб.; т О L - суммарная длина отверстии одного и того же диаметра в изделии, мм; п і - количество отверстий одного и того же диаметра в изделии; 1 - величина быстрого подвода инструмента, мм; Sp подача быстрого подвода и отвода инструмента, мм/мин; t\ - время на установку и снятие изделия, мин; tn - время для пуска станка, мин; N - количество изделий в партии; tu - время на замену инструмента, мин; Т - стойкость сверла до переточки, мин; К - количество переточек сверла до полного износа; t3 - время на заточку инструмента, мин, S- подача инструмента на оборот, мм/об, п - число оборотов шпинделя, об/мин.
После упрощения (4.9) можно записать в следующем виде: Следуя методике, изложенной в [128], рассмотрим различные стой-костные модели и найдем кривые оптимальных режимов S(n), т.е. кривую IISM, положение точек максимальных стойкостей для текущих значений минутных подач. Проанализируем полиномиальную модель 2-го порядка, модель Кенига-Депьере и экспоненциальную модель. Заметим, что кривые оптимальных режимов S=f(n) и n=g(S) двойственны друг относительно друга, т. е. f g"1. Для полиномиальной модели второго порядка кривая локальных максимумов стойкости для текущих значений Sm имеет вид Стойкостная модель Кенига-Депьере задается уравнением [8, 9] где V - скорость резания, м/мин; S - величина подачи, мм/об; a,kvJis,m,n -параметры модели. Используя соотношения где Sm - минутная подача, мм/мин; d - диаметр обрабатываемого отверстия, от уравнения (4.14) можно перейти к уравнению где к, г, р, m, а - параметры нелинейной модели. Кривая локальных максимумов стойкости для текущих значений Sm уравнения стойкости (4.13) имеет вид
Необходимо заметить, что параметры предлагаемой модели стойкости инструмента (4.20) допускают простую технологическую интерпретацию: параметр А характеризует максимальное значение стойкости инструмента, ап и as отвечают координатам максимума стойкости по переменным п и S соответственно, bn и bs характеризуют рассеивание по координатам п и S уровней стойкостей относительно центра поверхности отклика. По данным стой костного эксперимента находятся параметры модели (4.8) L = L(S,n) и находится HSj t =S(n) - кривая оптимальных режимов. С использованием уравнения S(n) двухфакторная задача оптимизации режима обработки по критерию минимума затрат сводится к однофакторной, а сам критерий (4.9) принимает вид: Далее, задаваясь значением экономического параметра В из (4.22) и численно решая задачу Q"(n) — min , находим точку оптимальных режимов Все рассмотренные модели отражают геометрию функции отклика стойкости - функция отклика имеет характерный «холмообразный» вид с единственным максимумом. В пространстве факторов это условие адекватности физике явления можно формализовать таким образом: - линии равного уровня стойкости инструмента являются замкнутыми; - линии равного уровня ограничивают выпуклое множество.
Будем обозначать эти условия как (А). Критерий минимума затрат (4.9) является частным случаем критерия минимизации вида где С, D, Е - некоторые экономические параметры. Такими критериями могут быть критерии минимума экономических затрат, временных затрат, себестоимости (цеховой, заводской, отраслевой), и т. д. Возможно также рассмотрение критерия максимизации (максимум стойкости, максимум производительности, и т. д.) вида Для определения оптимальных режимов резания сформулируем теорему. Теорема 4.1. Для модели стойкости, удовлетворяющей условиям (А) точка оптимальных режимов (n , S ) по критериям (4.23) или (4.24) лежит на кривой, определяемой характеристическим уравнением
