Содержание к диссертации
Введение
1 Состояние проблемы посадки аппаратов на поверхность планеты и постановка задачи 12
1.1 Типы посадочных устройств 12
1.2 Схема посадочного устройства 16
1.3 Обзор подходов к математическому моделированию процессапосадки 23
2 Динамическая модель процесса посадки 28
2.1 Динамические уравнения движения 28
2.2 Система уравнений для определения сил и моментов реакций связей в точках соединения тел механической системы
2.2.1 Уравнения связей элементов «k»-ой опоры посадочного устройства 33
2.2.2 Главные вектора сил и моментов реакций связей 38
2.2.3 Структура итоговой матрицы коэффициентов системы уравнений связей
2.3 Демпфирующие элементы посадочного устройства 48
2.4 Механика взаимодействия тарелей с грунтом 52
3 Исследование динамики посадки возвращаемого аппарата в штатных условиях
3.1 Штатные условия посадки 57
3.1.1 Начальные условия к моменту первого контакта возвращаемого аппарата с грунтом посадочной поверхности 57
3.1.2 Зависимости, характеризующие процесс посадки 59
3.2 Построение областей успешной посадки 62
3.2.1 Параметры, влияющие на процесс посадки 63
3.2.2 Области успешной посадки для штатных условий и частичных отказах системы управления спуском 64
3.3 Статистический анализ процесса посадки 77
3.4 Сравнительный анализ динамики процесса посадки для модифицированной схемы опоры посадочного устройства 80
4 Анализ нештатных ситуаций посадки 93
4.1 Отказ взведения штока опоры посадочного устройства 93
4.2 Отказ взведения опоры посадочного устройства 101
4.3 Динамика посадки на корпус 105
Заключение 109
Список литературы 111
- Обзор подходов к математическому моделированию процессапосадки
- Уравнения связей элементов «k»-ой опоры посадочного устройства
- Зависимости, характеризующие процесс посадки
- Отказ взведения опоры посадочного устройства
Введение к работе
Актуальность темы
Одним из наиболее фундаментальных и полезных средств цифровой обработки сигналов является аппарат дискретных ортогональных преобразований (ДОП). Целесообразность ДОП при обработке сигналов в целом обоснована тем, что ДОП обладают рядом желательных свойств для алгоритмов обработки сигналов-изображений (независимость обработки строк и столбцов при двумерной обработке, линейность операций над данными, инвариантность к сдвигу и др.). Необходимо выделить также следующие преимущества ДОП.
-
Аппарат ДОП позволяет выделить набор определенных стандартных операций, из которых, как из готовых блоков, можно строить алгоритмы для решения широкого класса задач.
-
Ортогональные преобразования обладают полезным свойством сохранения энергии, легко обратимы. Искажения, вызванные процессом квантования, и канальные ошибки распределяются по всему изображению, и тем самым становится менее ощутимы их влияние на качество изображений.
-
Разработано большое количество эффективных алгоритмов специализированных процессов вычисления ортогональных преобразований, которые могут найти свое применение в качестве базы для новых исследований и разработок.
-
Базисные функции некоторых ортогональных преобразований для определенных классов сигналов являются близкими к базисным функциям преобразования Карунена-Лоэва (ПКЛ). Например, базисные функции ДКП для многих сигналов, описываемых моделями стационарных случайных процессов, близки к базисным функциям ПКЛ.
-
Отдельные практически используемые ортогональные системы являются дискретными аналогами хорошо изученных классических систем, что позволяет перенести на дискретный случай определенные свойства аналоговых систем.
-
ДОП позволяют решать ряд задач цифровой обработки сигналов, которые другими методами либо невозможно решать, либо крайне неэффективною.
7. ДОП позволяют решать ряд задач вычислительной математики, физики и информатики.
Историю быстрых алгоритмов обработки сигналов принято отсчитывать с 1965 г., когда Ку
ли и Тьюки опубликовали свой быстрый алгоритм вычисления дискретного преобразования
Фурье, хотя ранее Гуд (1960 г.) и Томас (1963 г.) опубликовали в практически незамеченных со
временниками работах свои быстрые алгоритмы дискретного преобразования Фурье, базирую
щиеся на несколько ином подходе.
За время, прошедшее с первых публикаций, дискретный спектральный анализ стал одним из основных средств решения задач цифровой обработки сигналов, распознавания образов, машинного зрения, компьютерной оптики и т.д. Разработке эффективных (быстрых) алгоритмов вычисления спектров различных дискретных преобразований посвящено большое количество публикаций, как у нас в стране, так и за рубежом (Ахмед, Блейхут, Брейсуэлл, Вариченко, Лабунец, Лаппа, Ярославский, Дагман, Кухарев, Cizek, Sipp, Van Loan, Winograd). Значительный вклад в развитие общей теории дискретных преобразований и их быстрых алгоритмов внесли С.С. Агаян, Н.Н. Айзенберг, В.А. Власенко, В.Г. Лабунец, А.М. Крот, А.М. Трахтман, Л.П. Ярославский, Р. Агарвал, Ш. Виноград, Г. Нуссбаумер, Ч. Рейдер и др. Высокоэффективные алгоритмы конкретных преобразований, адаптированные к характеристикам применяемых вычислительных средств разработаны И.Е. Капориным, Е.Е. Тыртышниковым, А.М. Григоряном и другими исследователями (Гречишников, Григорян, Капорин, Wang, Sorensen).
До последнего времени наиболее известными общими подходами являлись метод кроне-керовской факторизации матриц ДОП (Крот, Власенко, Лаппа, Трахтман, Ярославский) и метод полиномиальных преобразований (Блейхут, Крот, Нуссбаумер, Winograd).
Первый из них опирается на известную теорему Гуда : если матрица ДОП представима в виде кронекеровской степени некоторой матрицы, то она представима и в виде обычной матричной степени некоторой «слабозаполненной» матрицы. К сожалению, отсутствие общих теорем о кронекеровской факторизации матриц ограничивает возможности этого метода, по существу, классификацией алгоритмов, синтезированных независимыми методами.
Метод полиномиальных преобразований (дискретного преобразования Лапласа, z-преобразования) существенно опирается на наличие априорной информации о факторизации некоторых полиномов, что уже является весьма сложной вычислительной задачей, и, что еще более существенно, на использование индивидуальных арифметических свойств коэффициентов этих полиномиальных сомножителей (например, метод Ш. Винограда).
В то же время анализ структур конкретных быстрых алгоритмов дискретных ортогональных преобразований позволяет утверждать, что их авторы используют весьма ограниченный набор решений, базирующихся на действительно глубоких алгебраических идеях, в сочетании с эвристическими соображениями, специфичными либо именно для данного ДОП, либо для конкретно используемого вычислительного устройства. Структура БА представляет собой, как правило, некоторую рекурсивную процедуру, последовательно реализующую редукцию вычисления ДОП заданного объема к ДОП меньшего объема или более простых преобразуемых массивов. Типичными схемами таких редукций являются:
редукция Кули-Тьюки для (р — простое число);
редукция Гуда-Томаса для (Р, Q — взаимно простые числа);
редукция Рейдера для (р — простое число);
- методы «совмещенного» вычисления ДОП вещественных сигналов.
Несмотря на то, что указанные работы, в принципе, закрывают проблему синтеза дискрет
ных ортогональных преобразований и их быстрых алгоритмов Фурье-подобного типа, т.е., более
точно, ДОП, базисные функции которых представляют собой значения характеров на конечных
абелевых группах. Открытые проблемы в теории дискретного спектрального анализа, синтеза
ДОП и их БА тем не менее остаются, а именно, это связано с тем, что классы обрабатываемых сиг
налов достаточно общие и достаточно широкий спектр вычислительных средств и в силу этого,
асимптотически хороший алгоритм совершенно не обязательно является таковым же для данного
значения ограничивающих параметров: длина преобразования, специфика обрабатываемого сиг
нала, специфика используемых вычислительных средств.
В связи с этим, понятным становятся проблемы теории ДОП, которая уже переросла утилитарную значимость как средства обработки сигналов и превратилась в самостоятельную научную дисциплину, находящуюся на стыке информатики и теоретической математики, причем в теоретической математике используются весьма нетривиальные факты абстрактной алгебры.
В связи с выше изложенным, диссертационная работа имеет исключительно теоретическую направленность.
На наш взгляд, в теории ДОП можно выделить три основные проблемы, а именно:
-
для данного класса сигналов подобрать наилучшее ДОП, позволяющее решать те или иные задачи ЦОС, в частности, для задачи сжатия таким преобразование является преобразование Карунена-Лоэва, которое не обладает быстрыми алгоритмами в общем случае, поэтому на практике предпочтение отдается пусть не оптимальным, но по крайней мере тем, которые можно быстро вычислять;
-
разработка дискретного спектрального анализа на областях, не сводящихся к квадратным или прямоугольным блокам, в частности, такие области характерны для данных, полученных с помощью электронной микроскопии, при исследовании нано объектов и т.д.;
-
в случае разработки таких ДОП, естественно требуется и синтезировать быстрые алгоритмы их вычисления, с вычислительными характеристиками не худшими, чем вычислительные характеристики традиционно применяемых алгоритмов. В диссертационной работе рассматриваются только вторая и третья задачи.
Актуальность первой задачи именно к задаче обработки сигналов, связана с тем, что первоначальный энтузиазм, вызванный появлением первых работ, посвящённых фракталам – объектам, которые в классических учебниках математического анализ фигурировали лишь в качестве «патологических» контрпримеров к теоремам («ковёр Серпинского», «сапог Шварца» и т.п.) постепенно пошёл на убыль. Между тем, самоподобные, ветвящиеся структуры/объекты на изображениях достаточно типичны и естественны. Эта естественность может объективно определяться как спецификой предметной области, так и субъективными визуальным восприятием или моделью наблюдений.
Именно такие структуры характерны, например, для наномасштабных изображений натурных образцов, для обработки которых приходится использовать традиционный, но всё же паллиативный, математический аппарат цифрового спектрального анализа: дискретные спектральные методы, хорошо зарекомендовавшие себя при обработке и анализе изображений, ориентированы, прежде всего, на применение к изображениям, определенным на прямоугольных областях. Хотя исследователя очень часто интересуют спектральные характеристики объекта, а не «объекта на фоне». В частности, особое место занимают изображения, для которых особенности психофизиологического восприятии человеком порождают оптические иллюзии из-за наличия фона, формирующего в сознании неадекватную интерпретацию изображения. Между тем, даже при наличии априорной информации именно о «ветвистом», «самоподобном» характере анализируемого объекта, его спектральная специфика может быть учтена только при предварительном «вырезании» этого объекта из малоинформативного (для анализа именно данного объекта) прямоугольного изображения с естественными для такого подхода искажениями спектральных характеристик.
В качестве таких нетрадиционных областей, на которых заданы базисные функции ДОП, в диссертации рассматриваются так называемые фундаментальные области канонических систем счисления (КСС) в мнимых квадратичных полях. Эти системы счисления были введены в начале 90-х годов венгерскими математиками и переносят теорию обычных СС на двумерный случай (например на комплексную плоскость). Эти фундаментальные области, т.е. числа дискретной решетки, имеющие представления в КСС, фиксированные не более чем заданной длины, образуют сложную геометрическую конфигурацию, которая в предельном случае является фракталом. Так как понятие фрактальности связано с некоторым инфинитным процессом, то в работе рассматриваются предфрактальный (самоподобный) вариант этих систем счисления, фундаментальные области которых покрывают полностью всю комплексную плоскость.
Для преобразований, синтезированных для таких структур, естественно требуется построение эффективных быстрых алгоритмов. В главе два рассматриваются методы синтеза таких преобразований и алгоритмов их быстрого вычисления.
Основную идею предлагаемого подхода проще всего объяснить на примере, указав отличия от традиционных методов и охарактеризовав новые математические идеи, лежащие в основе. Развитию такого подхода посвящена вторая глава диссертации.
Как известно, дискретное преобразование Фурье (ДПФ) содержит в показателях экспонент билинейную форму, осуществляющую спаривание исходного пространства, на котором определён сигнал, и сопряжённого. Широко известный алгоритм Кули-Тьюки (БПФ) при его реализации осуществляет пространственное или частотное «прореживание» индексов входного или выходного сигнала. В случае преобразования длины, равной степени двойки, эти прореживания могут быть охарактеризованы значением младшего или старшего бита в представлении входных/выходных индексов в обычной двоичной системе счисления. В предлагаемом подходе входные/выходные индексы суть элементы многомерной решетки целых элементов того или иного кольца алгебраических чисел, представленных в т.н. «канонической системе счисления», КСС (т.е. системе счисления, основанием которой являются не «обычное» целое рациональное, а целое алгебраическое число). При такой интерпретации структурные особенности быстрых алгоритмов сохраняются, но возникают дискретные ортогональные преобразования с базисными функциями, отличными от экспонент, фигурирующих в ДПФ.
В задачи блочного кодирования (сжатия) информации широко применяется дискретное косинусное преобразование (ДКП), которое можно характеризовать, как сдвинутое по номеру входящего аргумента преобразование, чем достигается большая длина блока преобразования, в результате чего, в задаче блочного кодирования краевые эффекты, т.е. эффект «Гиббса», выносится за пределы рассматриваемого блока. В общем случае, задача исследования таких сдвинутых синус/косинусных преобразований была поставлена С.С. Агаяном, хотя целесообразность рассмотрения этой задачи была анонсирована Ярославским. В цитированной работе С.С. Агаяна решены частные случаи этой задачи при ограниченном выборе параметра сдвига как в частотной, так и во временной области.
В диссертации рассматривается общая постановка задачи нахождения ортогональных базисов таких сдвинутых синус/косинусных преобразований, причем как ортогональных, так и биортогональных базисов, этому посвящена глава три.
Цель и задачи исследований
Целью диссертации является расширение возможности дискретного спектрального анализа сигналов путем синтеза новых дискретных ортогональных преобразований, ориентированных на анализ самоподобных структур, и алгоритмов их быстрого вычисления. Цель определяет структуру самой диссертации и задачи, решаемые в диссертации:
-
Синтез новых дискретных ортогональных преобразований на самоподобных областях, ассоциированных с фундаментальными областями канонических систем счисления.
-
Синтез и исследование быстрых алгоритмов вычисления новых преобразований.
-
Синтез новых «сдвинутых синус-косинусных» преобразований и получение аналитических условий их ортогональности и биортогональности, синтез быстрых алгоритмов их вычисления.
Методы исследований
В диссертационной работе используются методы теории чисел, цифровой обработки сигналов и изображений.
Научная новизна работы
1. Введены и исследованы два новых класса дискретных ортогональных преобразований:
преобразования, определенные на самоподобных областях;
«сдвинутые синус-косинусные» преобразования с условиями ортогональности и биортогональности.
-
Получены аналитические условия ортогональности базисов введенных преобразований.
-
Для введенных преобразований синтезированы быстрые алгоритмы их вычисления.
Практическая значимость работы
Практическая значимость работы состоит в том, что исследованные ДОП расширяют возможности решения разного рода задач цифровой обработки сигналов с учётом априорной геометрической информации на классе обрабатываемых сигналов изображения.
Апробация работы
Работы по теме диссертации поддерживались грантами: РФФИ: 12-01-00822-а «Дискретные ортогональные преобразования для предфрактальных областей», 13-01-97007-р_поволжье_а «Новые математические методы и алгоритмы спектральной обработки цифровых нано- и микроизображений». Работы прошли апробацию на конференциях: «Интеллектуализация обработки информации – ИОИ 2012», «2nd International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications ( IECMSA-2013)».
Публикации
По теме диссертации опубликовано 6 работ. Из них 4 работы опубликованы в изданиях, определённых в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК Министерства образования и науки РФ.
Структура диссертации
Диссертация состоит из трех разделов, заключения, списка литературы из 69 наименований; изложена на 105 страницах машинописного текста, содержит 17 рисунков.
На защиту выносятся
-
Метод синтеза новых дискретных ортогональных преобразований, определенных на самоподобных областях, ассоциированных фундаментальными областями канонических систем счисления.
-
Быстрые алгоритмы вычисления таких преобразований.
-
Доказательство аналитических условий ортогональности и биортогональности базисов «сдвинутых синус-косинусных» преобразований.
-
Синтез матричного алгоритма быстрого вычисления «сдвинутого синус-косинусного» преобразования.
Обзор подходов к математическому моделированию процессапосадки
Разработка нового ВА сопровождается соответствующими исследованиями, затрагивающими все фазы его функционирования. Процесс посадки, начиная с момента касания поверхности, является финальной и одной из ключевых операций всей программы полета. К моменту контакта с посадочной поверхностью ВА имеет остаточные угловые и линейные скорости, величина которых обусловлена точностью системы управления спуском. Ряд работ посвящен рассмотрению участка торможения при спуске, конечная фаза которого определяет начальные условия процессам мягкой посадки [1,36,41,42,46,49,53,67,55,56,59,65,69-71,73-75,82,84,97].
В данной работе рассматривается процесс посадки ВА, оборудованного посадочным устройством, на участке взаимодействия с посадочной поверхностью. Известны работы, в которых рассматривается движение космического аппарата при взаимодействии с посадочной поверхностью с использованием различных типов посадочных устройств и видов амортизации. Так, в работах [27,69] выполнено компьютерное моделирование процесса мягкой посадки аппарата, выполненного по схеме «несущий корпус», на отводимый щит. В работах [51,52] рассмотрено движение спускаемого аппарата при жесткой посадке на поверхность планеты с учетом ветрового воздействия. В работах [32,34] исследована посадка автоматической межпланетной станции на грунты Венеры и Фобоса, в которой в качестве посадочного устройства использовалась тороидальная амортизирующая оболочка.
Известны также работы в области моделирования динамики посадки аппаратов с ПУ пружинно-рычажного типа, содержащего опорные тарели, контактирующие с посадочной поверхностью, и элементы с энергопоглотителем. Они предполагают либо использование плоских моделей, которые могут быть применены лишь для предварительных, качественных оценок [6], либо используются пространственные модели, но движение корпуса и элементов посадочного устройства рассматривается независимо, при этом масса определенных элементов посадочной опоры, таких как шток и стакан, не учитывается, а тарели, вследствие этого, приписывается некоторая «приведенная» масса [7]. Для такого подхода есть определенные основания. Действительно, масса штока и стакана существенно меньше массы корпуса ВА и даже массы тарели. Однако неучет их массы автоматически означает внесение методической погрешности в динамическую модель. Кроме того, существенной проблемой становится выбор «приведенной» массы тарели. Критерием «приведения» может быть только сравнение с экспериментом, который всегда носит совершенно конкретный характер (масштаб модели, тип грунта, угол наклона поверхности и т.д.). В силу этого критерий выбора «приведенной» массы будет корректен лишь в каком-либо диапазоне расчетных условий и, в любом случае, никогда не будет универсальным.
Предполагаемый в данной работе подход основывается на корректной формулировке предпосылок модели - каждый элемент (корпус ВА, стаканы, штоки, тарели) имеют собственные реальные массы, положения центров масс и моменты инерции. Как отмечалось выше, в конструкции элементов ПУ предусмотрены специальные энергопоглотители. Эти устройства поглощают основную часть остаточной кинетической энергии ВА. Другая, гораздо меньшая часть энергии, поглощается за счёт трения в шарнирах и трения о грунт.
В работах [7,21] рассмотрена возможность применения ряда моделей демпферов, основанных на различных принципах рассеивания энергии – фрикционных на сухом трении, энергопоглотителей среза, энергопоглотителей с деформируемым стержнем, сотовых конструкций. При выборе конкретного решения по выбору демпфера должны учитываться следующие дополнительные факторы: массовые характеристики энергопоглотителя, удобство его компоновки в располагаемом упаковочном объеме, возможность обеспечения запаса по характеристике в случае возникновения нерасчетных условий посадки (отказа парашюта или тормозного двигателя, попадания на выход твердых пород, горизонтальных порывов ветра), способности функционировать в экстремальных условиях космического полета.
Энергопоглощающие элементы в математической модели посадки ВА могут иметь функцию зависимости усилия от деформации любого вида, однако, в данном случае, в силу заданности свойств энергопоглотителя, они будут иметь характеристику усилие-деформация в виде ступенчатой функции (рисунок 2.14). При повторном нагружении энергопоглотителей в процессе посадки учитывается величина остаточной деформации от предшествующего нагружения.
Для взаимодействия с посадочной поверхностью в опоре предусмотрено наличие опорных элементов – тарелей. Тарель, непосредственно контактирующая с грунтом при посадке, может быть выполнена в виде сферического, эллиптического сегментов, конусов с постоянным либо переменным углом раскрытия, цилиндров с плоским основанием, которые могут быть снабжены шипами в виде конусов. В данной работе рассматривается тарель заданной сферической формы.
При внедрении тарелей ПУ в грунт возникает сила противодействия со стороны грунта посадочной поверхности, определение которой представляет собой в общем случае достаточно сложную задачу [43,44,47,54]. С целью ее упрощения грунт при динамическом взаимодействии с тарелью иногда рассматривают как некоторую условную сплошную среду без учета волновых процессов в грунтовом массиве и возникающих в нем инерционных сил. Грунтовый массив заменяется механической системой (упруго-пластической либо упруго-вязко-пластической) с одной степенью свободы и при этом изучается поведение материальной точки, координаты которой соответствуют положению грунтовой поверхности в месте нагружения. Этот метод не позволяет определять параметры напряженно-деформированного состояния в любой точке грунтового массива при действии динамической нагрузки. Вместе с тем, данным методом можно определить с достаточной степенью точности напряжения на поверхности тарели в зоне контакта её с грунтом и вычислить нагрузки на ПУ.
Помимо реологических моделей имеет место рассмотрение грунта как сплошной среды. Метод расчёта динамики сплошной среды нагрузок на ПУ при динамическом взаимодействии состоит в применении расчетной схемы в виде одномерной либо трехмерной системы с распределенными параметрами, соответствующими деформационным свойствам грунта. Решение задачи сводится к определению закономерностей распространения волн возмущения в среде от динамической нагрузки с использование математического аппарата теории упруго-пластических волн [44,47,54]. Существует множество частных случаев и подходов к решению подобных задач, однако, зачастую это сопряжено с высокой сложностью математической модели.
Таким образом, решение задач в рамках квазистатики по определению нагрузок на опорные устройства изделия при контакте с грунтом является более простым, доступным и не сопряжено с огромными математическими трудностями, возникающими при расчете нагрузок методами динамики сплошной среды. В связи с этим, представляется обоснованным, что для рассматриваемой задачи математическое моделирование динамического взаимодействия тарелей ПУ с грунтом посадочной поверхности будет базироваться на квазистатическом методе. В результате рассмотрения существующих типов космических аппаратов по назначению и их способов посадки, можно сделать вывод, что схема и требования к ПУ приобретают особую актуальность, учитывая новизну использования такого ПУ для пилотируемых кораблей.
Уравнения связей элементов «k»-ой опоры посадочного устройства
Помимо сил тяжести и сил реакций связей, в выражения главных векторов сил и моментов входят: для корпуса ВА - силы тормозных или прижимных двигателей (в случае их наличия); для стакана и штока - сила демпфера, для тарели - сила взаимодействия с грунтом.
Поскольку механическая система включает в себя несколько тел, имеющих собственные локальные системы координат, то необходимо определить преобразования между системами координат тел и инерциальным пространством. Поэтому рассмотрено преобразование между двумя системами координат -инерциальной и связанной с каким-либо телом системы. Положение осей связанной системы координат относительно неподвижной задается - тремя углами 3, щ у, (рисунок 2.1). Для последовательности поворотов 3— і//— у матрица перехода из инерциальной в связанную систему координат может быть получена путем последовательных поворотов осей связанных систем координат {OiXiYiZ{) относительно инерциальных осей (рисунок 2.1) следующим образом: где матрицы, соответствующие отдельным поворотам в последовательности
Элементы матрицы могут быть найдены следующим образом. Единичный вектор любой из инерциальных осей обозначен ак. В подвижной системе координат его проекции определяются направляющими косинусами [45]: ак = егпг1к + е2пг2к + е3пгзк , где е1, е2, е3 - орты подвижной системы координат; т1к т2к т3к - элементы матрицы. В инерциальной системе полная производная невращающегося вектора afc(fc = l,2,3)равна нулю: — = 0; но — = — + а) X ак, где – локальная (в связанной системе dt dt dt к dt координат) производная вектора откуда dak — = -о) х ак, к = 1,2,3 Последнее выражение представляет собой девять дополнительных дифференциальных уравнений первого порядка, из которых можно непосредственно определить элементы матриц перехода. Таким образом, для каждого тела механической системы появляется девять дополнительных уравнений, которые решаются совместно с уравнениями движения (2.2), приведенных к дифференциальным уравнениям первого порядка. В итоге систему составляют 357 дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих движение рассматриваемой механической системы.
Система уравнений для определения сил и моментов реакций связей в точках соединения тел механической системы
Рассмотрена система векторов, описывающих взаимное расположение тел системы в пространстве на примере одной опоры относительно ВА и инерциального пространства (рисунок 2.2).
На рисунке 2.2 в инерциальной системе координат (ХиУиги) векторами соответственно показано положение корпуса ВА, подкоса, стакана, штока и тарели. Вектора гкор_ст и гкор_под указывают на положение связей ВА со стаканом и корпусом соответственно в связанной системе координат ВА. Остальные вектора, относящиеся к стакану, штоку, тарели и подкосу, обозначают положение в конкретном теле связи со смежными телами относительно собственной системы координат.
Уравнения движения (2.2) не могут быть сразу проинтегрированы, поскольку, кроме внешних сил и моментов, в них входят неизвестные силы и моменты реакций связи [79].
Введена индексация по количеству опор и соответствующим им структурным элементам. Пусть опора будет иметь индекс «k», тогда каждая составляющая опоры также будет иметь соответствующий индекс. Таким образом, механическая система будет состоять из центрального тела, «k» – стаканов, штоков, тарелей и подкосов. Амортизатор будет иметь такой же индекс соответственно. Для определения реакций связи в точках связей корпус ВА – «k»-й стакан, корпус ВА – «к»-я - рамка, «к»-й стакан - «к»-й шток, «к»-й шток - «к»-ая - тарель, «к»-й шток - «к»-я рамка - записываются дополнительные уравнения связи (к=\ А).
Корпус и «к»-й стакан соединены связью в виде оси вращения, совпадающей с осью у (рисунок 2.3 и 2.4), запрещающей в точке связи линейные относительные перемещения по всем трем осям и разворот относительно осей х, у. Тогда действие «к»-го стакана на корпус учитывается в виде пространственной силы реакции (трех ее неизвестных проекций на какие-либо координатные оси, в данном случае - на оси х, у, z) и двух моментов реакции (в проекциях на две оси, ортогональные оси разворота z).
На стакан со стороны корпуса действуют сила и момент, равные по модулю и противоположные по направлению. Таким образом, в точке связи корпус ВА -«к»-й стакан имеется пять неизвестных компонент реакций связи (три компоненты силы и две - момента), для определения которых необходимо иметь пять скалярных соотношений. Рисунок 2.4 - Структура векторов реакций связей для стойки Первое векторное уравнение для определения реакции связи основано на условии нерасхождения шарнирной точки контакта корпуса и «к»-го - стакана (далее индекс «к» опускается (рисунок 2.2)): Гкор + Гкор-ст = Гст + Гст_кор , (2.3) где гкор и гст - радиусы-векторы, определяющие положение центров масс корпуса и стакана в инерциальной системе координат; гкор-ст и гст-кор – радиусы-векторы, определяющие положение точки связи в связанных системах координат каждого из тел. Векторное равенство (2.3) можно дважды продифференцировать, т.к. при общей точке связи ее полная скорость и ускорение в инерциальной системе координат одинаковы для корпуса и стакана в произвольный момент времени: «кор + кор X Гкор-ст + кор X Окор X кор-ст) = (2 4) = аст + ст х гст_кор + а)ст х ( aCT х гст_кор) Второе векторное уравнение связи между корпусом и стаканом отражает равенство проекций угловых скоростей корпуса и стакана на две оси, ортогональные оси разворота z: о)ст — o)KOV = О Дифференцирование последнего равенства дает: кор - ст + кор X ст = 0 (2.5) Связь между корпусом и «к»-м подкосом (рисунок 2.3 и 2.5), а также между штоком и подкосом выполнена также в виде оси вращения, поэтому уравнения связи будут полностью аналогичны полученным выше, с соответствующими изменениями индексов.
Структура векторов реакций связей для подкоса Связь между стаканом и штоком допускает относительное проскальзывание вдоль общей продольной оси, а также относительный проворот тел относительно этой оси (рисунок 2.6 и 2.4). Тогда в точке связи стакана и штока появляется сила реакции (имеющая две проекции на оси, ортогональные продольной), и момент реакции (имеющий две аналогичных проекции). Для определения сил и моментов реакции также необходимо записать уравнения связи. Первое из уравнений связи основано на равенстве радиус-векторов точки контакта стакана и штока в инерциальной системе координат (рисунок2.2):
Зависимости, характеризующие процесс посадки
Полный ход амортизатора (величина максимального обжатия) слабо оптимизируется, поскольку выбирается, как правило, максимально возможным для конкретной компоновки аппарата, в зависимости от располагаемого упаковочного объема, схемы взведения опор посадочного устройства, лимитов массы. Таким образом, существенные возможности организации процесса посадки с учетом приведенных выше требований и ограничений предоставляет, в основном, рациональный выбор величины и профиля силы демпфирующих элементов посадочного устройства. На рисунке 2.16 показан вид характеристики, выбранной для рассматриваемой схемы ПУ. А именно, в качестве зависимости усилие ход была выбрана двухступенчатая силовая характеристика, где F0- усилие начального обжатия в нулевом положении хода на х = х0, F± и F2- величины сил для ходов Хл X X? И X? X Хъ соответственно, где Хъ - полный ход амортизатора. В силу наличия начального обжатия F0градиент выхода силы на ступень уменьшен по сравнению с Cs. Это необходимо для снижения нагрузок и сглаживания переходных процессов в начале обжатия сот амортизатора. Конкретные значения для сил и ходов амортизатора представлены в главе 3, посвященной рассмотрению динамики процесса посадки, т.к. выбранные значения непосредственно влияют как на характер процесса посадки, так и на выполнение того или иного требования к процессу.
На рисунке 2.17 показан фрагмент характеристики усилие-деформация в отсутствии нагрузки на амортизатор до касания тарелями ПУ грунта. В нулевом положении амортизатор имеет начальное усилие F0. Таким образом, при отсутствии силы со стороны штока, амортизатор разгружается по сотам с жесткостью Cs на ход F0/Cs, перемещаясь в отрицательном направлении до тех пор, пока шток не встанет на упор жесткостью Си. Стоит отметить также, что участок характеристики в положительном направлении до 1 и полки 1, обусловлен конструктивными исполнением конкретного сотового наполнителя и желательностью снижения градиента выхода силы.
Вертикальная составляющая реакции грунта посадочной поверхности при динамическом взаимодействии с тарелями ПУ в процессе посадки ВА зависит как от модели грунта, так и от формы опорной тарели, в данном случае рассматривается тарель сферической формы. В качестве расчетной модели грунта была выбрана реологическая модель Фойгта (рисунок2.18). С учетом параметров модели, выражение для напряжений в зоне контакта тарели с грунтом записываются в виде: о = С у і + г] у[ где С, г] - соответственно коэффициенты жесткости и вязкости грунта; yt- вертикальное перемещение /-той точки грунтовой поверхности в зоне контакта в функции времени; y[ - скорость перемещения /-той точки грунтовой поверхности в функции времени.
Путем интегрирования эпюр напряжений по всей площади контакта получены выражения для реакции грунтовой поверхности, описываемой рассматриваемыми моделями, при вертикальном внедрении штампа: для модели Фойгта При движении на тарель действуют следующие силы: Fл - сила лобового сопротивления, действующая на боковую поверхность тарели, учитывающая вес сдвигаемого грунта, сопротивление по площадкам сдвига; Fт – сила трения тарели по грунту. Таким образом, сила горизонтального сопротивления F при статическом воздействии представляется в виде суммы двух слагаемых: RX = PR + /7тр, (2.43) где FTp = Ry sin2 є tgS, 5-угол трения. Данные угла трения для различных грунтов приведены в материалах [54]. Следует отметить, что при углах є + S -, R - 0 (отсутствует горизонтальный сдвиг грунта) и формула (2.43) принимает вид Дх = тр На основании известных экспериментальных исследований [44,47] можно сделать вывод о зависимости параметров деформационных характеристик грунта от скорости деформации. В связи с этим динамическую горизонтальную реакцию грунтового основания предлагается определять по формуле: Дх = Ryfv, где fv - эмпирический коэффициент скоростного сопротивления. Анализ материалов исследований на режимах косого удара штампов различной формы о грунтовую поверхность, показал, что горизонтальная реакция грунта при движении тарели с достаточной степенью точности может быть определена и по более простой зависимости Дх = Ryfo, где /о– коэффициент сопротивления грунта горизонтальному движению тарели, определяемый экспериментально. Значения С и 77 следует умножать на поправочные множители к(Vr) (рисунок 2.19) и ВД) (рисунок 2.20), учитывающие влияние горизонтальной и вертикальной скорости соответственно. Кроме этого, к значениям С и ту следует вводить коэффициент kf отражающий зависимость деформационных характеристик от форм опорных тарелей. Для тарели сферической формы kf = 1,0; для тарелей иных форм значения коэффициентов приведены в [54].
На основе приведенных уравнений движения и уравнений связей формируется динамическая модель процесса посадки ВА как механической системы. Полученная система динамических уравнений может быть адаптирована для различных модификаций схем ПУ, включающих, как другие типы механических соединений, так и другой набор силовых факторов.
В данной главе приводится анализ динамики процесса посадки для штатных условий, но также рассматриваются и нештатные условия, связанные с частичными отказами системы управления спуском. Определены группы расчетных случаев, для которых построены области, характеризующие результат каждого расчетного случая из заданного диапазона начальных условий. Проведен статистический анализ результатов по всему диапазону штатных условий посадки. Рассмотрена модификация исходной схемы ПУ и проведен сравнительный анализ процесса посадки ВА для двух схем ПУ.
Отказ взведения опоры посадочного устройства
В итоге, с точки зрения динамики посадки и оценки ее успешности, схема 2 представляется предпочтительнее схемы 1. При этом у каждой их схем имеются свои «узкие места»: для схемы 1 маловероятное, но возможное, возникновение перегрузки, превышающей допустимое значение; у схемы 2 – подлом опоры, однако, согласно проведенному анализу, данное событие в штатных условиях практически исключено.
Результаты серии расчетов процесса посадки ВА с модифицированной ПО позволили провести сравнительный анализ двух схем ПУ для обоснованного принятия решения по выбору основной схемы, с последующим проведением полного цикла испытаний ПО и ПУ. Необходимо подчеркнуть, что само принятие решения по выбору основной схемы будет приниматься на основе системного, комплексного анализа обоих вариантов, включающего особенности компоновки, конструктивного исполнения, технологические, материаловедческие особенности, возможности и проблемы частной и комплексной экспериментальной отработки, экономические факторы, сроки изготовления и т.д. Предложенный методический подход, математическая модель и выполненный анализ позволяет лишь оценить преимущества той или иной схемы с точки зрения динамических особенностей процесса посадки и выполнения требований к самому процессу посадки.
Содержание главы изложено в статьях автора [14,20,29,30,50,98] и материалах конференций [8,9,12,15,19,23,26]. 4 Анализ нештатных ситуаций посадки
В предыдущей главе рассматривался штатный случай посадки, то есть предполагалась, что сработали тормозные двигатели и парашютная система, снизившие вертикальную скорость аппарата до штатного значения, обеспечена заданная, с учетом допустимых погрешностей, ориентация аппарата относительно посадочной поверхности. Также были рассмотрены нештатные случаи, связанные с отказом в системе управления спуском в части гашения линейных скоростей ВА и ориентации относительно его продольной оси с целью определения возможностей посадочного устройства по парированию этих ситуаций. При этом, для всех случаев подразумевалось, что само посадочное устройство переведено из сложенного транспортированного положения в раскрытое рабочее и полностью работоспособно (рисунок 1.10).
В данной главе рассмотрены следующие нештатные ситуации: отказ взведения штока одной из опор, отказ взведения одной из опор целиком и посадка на корпус при отказе сброса лобового теплозащитного экрана. Поскольку были рассмотрены две схемы посадочного устройства, соответственно для каждой из схем будут рассмотрены все нештатные варианты посадки связанные с отказом элементов посадочного устройства.
При разработке модели штатного процесса посадки учитывался конкретный характер связей между корпусом и отдельными элементами посадочного устройства (рисунки 2.4 – 2.8). Предполагалось, что в точках связи «корпус – стойка», «корпус – подкос», «подкос-шток» находятся шарниры с одной степенью свободы по вращению (ось вращения), в точках «шток – тарель» – шарниры с тремя степенями свободы по вращению (сферические шарниры), а связь «стойка – шток» допускает проскальзывание относительно общей продольной оси и относительный разворот относительно этой же оси (цилиндрический шарнир). Записывалась специальная система уравнений для определения реакций этих связей, которая решалась численными методами совестно с уравнениями движения каждого из тел рассматриваемой механической системы.
Рассматриваемый случай – отказ взведения штока одной из опор (рисунок 4.1) – означает, что относительное движение штока и стойки вдоль их продольной оси и относительный разворот относительно этой же оси исключается (рисунок 4.2), и указанные выше степени свободы в точках связи «стойка – шток» запрещены. Поэтому в точках связи возникают дополнительные проекции силы реакции на продольную ось и момент реакции относительно продольной оси (рисунок 4.3). Т.к. конструкция опоры в части соединения штока и стойки в обеих схемах одинаковая, то модификация механической связи в точке «стойка – шток» соответственно ничем не отличаются для каждой из двух рассматриваемых схем опор ПУ. В качестве исходных уравнений для определения реакций в точках связи «стойка – шток» могут быть использованы два уравнения для штатного случая посадки (2.10), (2.11), которые необходимо модифицировать в соответствии с рассматриваемыми случаями отказов.