Введение к работе
АКГУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В современной теории статистической обработки-данных задачи непараметрического оценивания стали играть доминирующую роль и постепенно вытесняют классические проблемы конечномерного параметрического оценивания. К одной из основных причин, вызвавших зто явление, по-видимому, стоит отнести то, что непараметрические задачи более адекватно отражают реальные потребности, а быстрое развитие вычислительной техники является основой для реализации непараметрических алгоритмов. Не последнюю роль при этом играет существенно большее разнообразие постановок и методов решения задач непараметрической статистики, что делает эти задачи притягательными для широкого круга математиков*.
Особое место в нвпараметрическом оценивании занимают задачи, в той или иной мере связанные с гильбертовым пространством. В настоящее время это наиболее развитая область исследований. Данная диссертация целиком посвящена изучению задач из этой области. Рассматриваемые в работе задачи можно условно разбить на две группы.
Задачи первой группы - это задачи выделения сигналов на фоне бе-лого шума при бесконечномерных мешавдих параметрах. Исторически эти проблемы восходят к классическим работам В.А. Котельникова. Дальнейшее развитие этой тематики в математическом направлении связано с работами И. А. Ибрагимова, Р. 3. Хасьминского,. Б. Я. Левита, П. Миллара . и многих других ученых. В настоящее время техника получения асимптотически точных нижних границ в.задачах с бесконечномерным мешающим параметром -очень хорошо разработана. По существу, основной интерес ^представляет задача построения асимптотически минимаксных оценок в конкретной статистической ситуации. Смысл возникающих при этом проблем связан с тем, что для оценивания мешающего параметра недопустимо применять классическую оценку максимального правдоподобия из-за того, что мешающий параметр является бесконечномерным. В этом случае приходится осуществлять проектирование на подпространство конечной размерности, зависящей от отношения сигнал/шум. Адекватный выбор размерности в задачах оценивания задержки и периода сигнала неизвестной формы, прошедшего по каналу с белым гауссовским шумом, представляет собой одну из задач, рассматриваемых в диссертации.
Вторую группу задач образуют минимаксные задачи оценивания бесконечномерных параметров различных статистических моделей при квадратичной критерии качества. «Общепризнанную роль в развитии асимптоти-
ческих методов решения этих зада'ч играют работы И, А. Ибрагимова,
Р. 3. Хасьминского, М. Нуссбаума, П. Спекмана, С. Ю. Ефройиозича, М. С. Пин-
скера, Н. Н. Ченцова, М. Розеблата, Е. Парзена, Ч. Стоуна, В. Хердла,'
С.Маррона, П. Холла и других. В диссертации основу подхода к решению
минимаксных проблем составляют работы А.Н. Колмогорова и Н. Винера по
фильтрации, интерполяции и экстраполяции гауссовских процессов. Ре
шающее влияние на развитие этой проблематики оказала работа М.С.Пин-
скера ', в которой'было показано, что при минимаксной фильтрации
функций из эллипсоида асимптотически минимаксная оценка является
линейной. Этот факт имеет принципиально важное значение, поскольку
он дает возможность выбрать среди очень широкого класса оценок, име
ющих оптимальный порядок скорости сходимости к нулю квадратичного
риска, по существу, единственную оценку с оптимальной скоростью схо
димости. В связи с этим возникают следующие задачи4 можно ли постро
ить минимаксный аналог классической теории интерполяции, экстраполя-
щ і гауссовских процессов? Каким образом можно объединить концепцию
локальной асимптотической нормальности и минимаксной фильтрации в
задачах непараметрического оценивания? Как строить локально асимпто
тически минимаксные оценки в том случае, когда.неизвестны параметры
эллипсоида? Ответу на эти вопросы посвящена основная часть диссерта
ции. . .
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы состоит:
а) в построении асимптотически минимаксных оценок для временной
задержки и периода сигнала неизвестной формы, прошедшего по каналу с
белым гауссовским шумом;
б) в развитии асимптотически минимаксного подхода к задачам ' восста
новления функций и последовательностей, являющихся откликами инва
риантных во времени фильтров; '
в) в разработке адаптивных методов локального асимптотически мини
максного оценивания функции регрессии, спектральной плотности и ве
роятностной плотности распределения;
г) в реализации концепции локальной асимптотической нормальности для
непараметрического оценивания.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Изучение асимптотики минимаксного риска обычно требует разработки методов построения нижних и верхних границ. Для задач параметрического оценивания при наличии бесконечно-
) Пннскер М. С. Оптимальная фильтрация квадратично-интегрируемых снгнплог на фоне гауссовского шума // Проблемы передачи информации. 1980. т. 16. Н 2. С. 52-68.
мерного мешающего параметра проблема нижних границ является в целом решенной. Основная трудность связана с изучением оольших уклонений логарифма отношения правдоподобия, поскольку именно этот фактор оказывает принципиальное влияние на выбор полосы фильтра при фильтрации бесконечномерного мешающего параметра. В задачах непара:.етричоского оценивания методы построения границ снизу основаны на наведении на множестве оцениваемых функций некоторого, близкого к гауссовскому, вероятностного распределения и решения задачи байесоовского оценивания. При этом для некоторых задач, например таких, как оценивание вероятностной плотности распределения и спектральной плотности гаус-совской стационарной последовательности, используется концепция локальной асимптотической нормальности. В то же время для построении нижних границ в задаче последовательного планирования при оценивании функции регрессии применяются методы, основанные на многомерном аналоге неравенства Ван Трисса. Для доказательства верхних границ, как правило, используются конкретные оценки, при подсчете их риска суще ственную роль играют методы теории преобразования Фурье. По сути дела, любая минимаксная задача оценивания, рассматриваемая в диссертации, может быть интерпретирована как задача теории игр, и асш.што-'тическое. совпадение верхних и нижних границ определяется наличием седловой точки -у некоторого функционала, связанного с данной задачей. При этом одна из компонент седловой точки определяет наихудшее распределение на априорном множестве оцениваемых функций, а другая дает структуру локально "минимаксной оценки.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации развит асимптотически Минимаксный и локально асимптотически минимаксный подход к решению задач непара-^метрического оценивания. На этой основе получены следующие резулыа ты:
а) построены асимптотически эффективные оценки для оценивания пери
ода' и задержки сигнала неизвестной формы, прошедшего по каналу с бе
лым гауссовским шумом;
б) решены задачи минимаксной-интерполяции, фильтрации и экстраполя
ции функций и последовательностей, являющихся откликами линейного,
инвариантного во времени- фильтра;
в) для задачи оценивания функции регрессии построены адаптивные,
асимптотически минимаксные оценки в аддитивной модели и показано,
что последовательное планирование не улучшает скорость сходимости
минимаксного риска при оценивании функций из Соболевского класса;
г) получены нижние границы для квадратичного риска в условиях лока
льной асимптотической нормальности;
д) построены локально асимптотически минимаксные оценки вероятное!-
ной плотности и спектральной плотности гауссовской стационарной последовательности.
ПРАКТИЧЕКАЯ ЦЕННОСТЬ. Разработанные методы могут быть использованы для практического решения традиционных задач непараметрического оценивания, таких как оценивание плотности, спектральной плотности стационарной последовательности, оценивание функции регрессии н аддитивной модели. Хотя предлагаемые алгоритмы имеют более высокую сложность реализации, но, благодаря оптимальности, в некоторых случаях они могут давать существенное уменьшение ошибки оценивания. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на v Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (1978), на Международном семинаре по теории вероятностей и математической статистике, посвященном памяти А.Н.Колмогорова (С.Петербург, 1993), на Международном семинаре по массивным вычислениям (Германия, Обервольфах, 1993), на семинаре по асимптотическим методам в статистике з МГУ, на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ЛОМй АН СССР, на Всесоюзных зимних школах по теории информации (1988-1991), на семинаре по математической статистике (Германия, Гейдельберг).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 16 работ, список которых приведен в конце автореферата.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения,пяти .глав и
заключения. Список литературы содержит 87 наименований, родий объем -
237 машинописных страниц. . - .