Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Влияние кинетических граничных условий на поглощение электромагнитного излучения малой проводящей сферической частицей 15
1.1 Постановка задачи 16
1.2 Расчет магнитного дипольного поглощения излучения малой проводящей частицей сферической формы 18
1.3 Предельные случаи 28
1.4 Обсуждение результатов 31
ГЛАВА 2. Поглощенияе электромагнитного излучения малой металлической частицей цилиндрической формы 43
2.1 Постановка задачи 43
2.2 Расчет электрического дипольного поглощения излучения малым металлическим цилиндром 45
2.3 Предельные случаи 53
2.4 Обсуждение результатов 55
ГЛАВА 3. Влияние кинетических граничных условий на рассеяние электромагнитного излучения малой металлической частицей сферической формы 65
3.1 Постановка задачи 66
3.2 Расчет дифференциального сечения рассеяния излучения на малом металлическом шаре 69
3.3 Обсуждение результатов 74
Заключение 82
Список условных обозначений 86
Список литературы
- Расчет магнитного дипольного поглощения излучения малой проводящей частицей сферической формы
- Расчет электрического дипольного поглощения излучения малым металлическим цилиндром
- Расчет дифференциального сечения рассеяния излучения на малом металлическом шаре
- Обсуждение результатов
Расчет магнитного дипольного поглощения излучения малой проводящей частицей сферической формы
В настоящей главе рассматривается поглощение излучения малой проводящей частицей сферической формы, помещенной в поле плоской электромагнитной волны.
Если радиус частицы а сравним со средней объёмной длиной свободного пробега носителей заряда в материале А или меньше ее, то нелокальные эффекты, возникающие при взаимодействии носителей заряда с границей образца существенно влияют на электромагнитные, оптические, тепловые свойства частицы. В результате возникает нетривиальная зависимость интересующих характеристик частицы от отношения а/А.
Современные технологии позволяют производить частицы с линейным размером в единицы нм. У металлов с высокой проводимостью, например, золото, медь, серебро, длина свободного пробега электронов в материале образца А имеет значение от 10 до 100 нм, а длина волны де Бройля сравнима с периодом кристаллической решетки Хв 0.3 нм [54,115]. Во многих полупроводниках при температуре 300 K характерные значения длины свободного пробега А составляют 10 Ч-1000 нм, а характерная длина волны де Бройля Хв 10 нм. Следовательно, для многих материалов ситуация, когда можно пренебречь квантовыми размерными эффектами и ограничиться рассмотрением классических размерных эффектов, т. е. когда Хв С а А, может быть реализована практически.
Из вышесказанного следует, что для описания наблюдаемых размерных эффектов не обязательно проводить последовательное квантово-механическое описание системы электронов (дырок) как конечной ферми-системы. В рамках классической кинетической теории электропроводности для вычисления сечения поглощения малой проводящей частицы достаточно рассчитать отклик электронов (дырок) на внешнее ЭМ поле в частице, принимая во внимание механизм взаимодействия носителей заряда с поверхностью образца. Вклад поверхностного рассеяния и моделирование его механизма в подобных задачах основывается на последовательной формулировке граничного условия к уравнению Больцмана [53, 55], которое связывает функцию распределения падающих на поверхность и отраженных от нее носителей заряда.
Рассмотрим мелкую сферическую частицу (а С , где Lambda — длина волны электромагнитного излучения) из проводящего материала, помещенную в поле плоской электромагнитной волны частотой си. Верхняя граница диапазона рассматриваемых частот определяется из условия малости вклада плазменного резонансного поглощения в величину диссипируемой в частице мощности: со2 С ші, со2 = 4-7ге2п/т, где Шр — частота плазменного резонанса; е,т и п — соответственно заряд, эффективная масса носителя заряда и концентрация носителей. В металлах частота плазменного резонанса составляет величину порядка 1016 с-1 (что соответствует длине волны 30 нм), в собственных полупроводниках Шр 1013 с-1 и менее (что соответствует длине волны 30 мкм). В рассматриваемом диапазоне частот и размеров частицы вклад токов электрической дипольной поляризации в сечение поглощения пренебрежимо мал по сравнению с вкладом вихревых токов, возникающих под действием магнитного поля Н = Но exp(—icut) [36]. Радиус частицы а полагаем меньше характерной глубины скин-слоя д, что позволяет пренебречь скин-эффектом.
Однородное переменное магнитное поле Н = Но exp(—icut) порождает вихревое электрическое, которое находится из уравнения индукции Максвелла:
В том случае, если линейный размер частицы а становится порядка средней длины свободного пробега носителей Л, связь между Е и j становится нелокальной, и уравнения макроскопической электродинамики оказываются неприменимыми.
Расчет электрического дипольного поглощения излучения малым металлическим цилиндром
Аналогичные характеристики для полупроводниковой частицы (1.35) представлены на рисунке 1.3. Ход зависимости () на рисунках 1.2 и 1.3 позволяет оценить влияние параметра шероховатости поверхности на поглощение излучения частицей.
Из графиков следует, что при значениях параметра шероховатости 0.4 сечение поглощения перестает изменяться. Несмотря на то, что формально может принимать значения 1, диапазону коэффициента зеркальности 0 1 приближённо соответствует изменение в пределах 0 0.4.
На рисунке 1.4 представлены спектральные зависимости сечения магнитного дипольного поглощения для моделей граничных условий Соф-фера, для всех кривых безразмерная обратная длина свободного пробега о равна 0.1. Из графиков видно, что для металлической частицы (1.31) спектральные зависимости имеют более явный осциллирующий характер, чем для частицы из невырожденного полупроводника (1.35).
Зависимости безразмерного сечения поглощения от безразмерной обратной длины свободного пробега о при о = 2 для металлической (1.31) и полупроводниковой (1.35) частиц построены на рисунках 1.5 и 1.6, соответственно. Из рисунков следует, что при некотором значении о сечение поглощения (1.28) имеет максимум, положение которого зависит от параметра . При = 0, что соответствует абсолютно гладкой поверхности (кривые 1), наблюдается резонансно-подобное явление: максимум поглощения достигается при совпадении безразмерной частоты поля о с безразмерной частотой объёмных столкновений Q.
Отметим, что максимальное различие в поглощении металлической и полупроводниковой частиц наблюдается при малых о в случае = 1 (кривые 4 на рисунках 1.5 и 1.6), что соответствует сильно шероховатой поверхности. Кривые 1 на рисунках 1.5 и 1.6, соответствующие гладкой поверхности ( = 0), совпадают полностью при любых значениях о, как это следует из формулы (1.28) и наблюдается на всех предыдущих графиках.
На рисунке 1.7 представлены графики зависимости безразмерного сечения поглощения от безразмерной обратной длины свободного пробега 0 для металлической (1.31) и полупроводниковой (1.35) частиц. Для всех кривых 0 = 0.2. При больших 0 наблюдается сближение всех кривых, что соответствует макроскопической асимптотике.
На рисунке 1.8 построены зависимости безразмерного сечения поглощения проводящей частицы (1.28) от безразмерной обратной длины свободного пробега 0 при = 0 и различных значениях безразмерной частоты поля 0. График демонстрирует указанную выше особенность — для случая гладкой поверхности максимум поглощения наблюдается при совпадении безразмерной частоты поля и безразмерной частотой соударений носителей заряда 0 = 0. Согласно (1.28), кривые для предельных случаев невырожденного полупроводника и металла при = 0 совпадают.
Таким образом, по главе 1 можно сделать следующие выводы: классические размерные эффекты, обусловленные механизмом поверхностного рассеяния носителей заряда, зависящим от свойств поверхности частицы, могут существенно менять характеристики поглощения сечение поглощения мелкой проводящей частицы сферической формы.
Спектральные зависимости сечения поглощения проводящих частиц имеют осциллирующий характер, более выраженный для частиц с малой шероховатостью поверхности. Для металлической частицы осцилляции имеют большую амплитуду, чем для полупроводниковой.
Зависимости сечения поглощения от безразмерной обратной длины свободного пробега 0 для случая абсолютно гладкой поверхности имеют максимум при (0 = 0). Таким образом, поглощение существенно возрастает при совпадении частоты соударений носителей заряда с частотой внешнего поля.
Учет зависимости коэффициента зеркальности от параметра шероховатости поверхности и угла падения электронов (дырок) на внутреннюю поверхность частицы в модели граничных условий Соффера дает значительное отличие характеристик от результатов, полученных для модели диффузно-зеркальных граничных условий Фукса. Наиболее явно эффект проявляется для достаточно мелких частиц, диаметр которых меньше длины свободного пробега носителей заряда. При этом поверхностное рассеяние вносит более существенный вклад в сечение поглощения металлической частицы по сравнению со случаем полупроводниковой частицы как для модели граничных условий Соффера, так и для модели граничных условий Фукса.
Расчет дифференциального сечения рассеяния излучения на малом металлическом шаре
Здесь v = т 1 — іш — комплексная частота рассеяния. Обозначим через t n параметр характеристики t в точке n-го отражения носителя заряда от поверхности частицы (t n t n_ ). Условие (2.10) позволяет следить за эволюцией функции /i(rj_, V_L, VZ) при движении электрона по ломаной траектории. В точке столкновения t = t n функция претерпевает скачок с вероятностью q(G,Q, в противном случае обращается в ноль — после столкновения с поверхностью распределение электронов становится равновесным:
Параметр t в выражении (2.14) имеет представляет собой время движения электрона от точки отражения до текущей точки r_L со скоростью V_L. Найдем решение уравнения (2.14) на интервале (tn-i,tn) для случая упругого отражения электронов от внутренней поверхности частицы:
Задача симметрична относительно плоскости, проходящей через середину частицы перпендикулярно оси Z, поэтому вместо интегрирования по переменной vz в пределах (—оо,+оо) можно можно проинтегрировать в пределах (0, +оо) с последующим удвоением результата. Аналогичным образом, учитывая, симметрию движения электронов относительно любой диаметральной плоскости, достаточно проинтегрировать по углу а от 0 до 7Г , а результат интегрирования удвоить. Тогда для тока (2.21) получим выражение: где коэффициент q(G,p) для граничных условий Соффера находится по формуле (2.24), а для граничных условий Фукса полагается константой 0 q 1. С помощью замены переменных s = cosa,w = у 1 — 2cos2a и последующего интегрирования (2.28) по s интеграл сводится к двукратному: (2.29) — ехр[—(AirGp)2} exp Здесь безразмерная величина F(xo,yo,G) (назовем ее безразмерным сечением поглощения) зависит от обратной безразмерной длины свободного пробега электронов я?о, безразмерной частоты внешнего поля уо и параметра G = hs/Xp, характеризующего шероховатость поверхности.
На рисунке 2.1 приведено сравнение безразмерного сечения поглощения (2.29), рассчитанного для моделей граничных условий Соффера (2.10) и Фукса ( = const) в зависимости от параметра шероховатости поверхности и коэффициента зеркальности , соответственно.
На рисунках 2.2-2.4 представлены спектральные зависимости безразмерного коэффициента поглощения . Рисунки выполнены для различных безразмерных длин свободного пробега о = 0.01; 0.1; 0.5. Параметр шероховатости принимает значения от 0 до 1 для различных кривых на каждом из рисунков. Из графиков следует, что с увеличением безразмерной частоты поля о коэффициент поглощения уменьшается для всех зависимостей и перестает зависеть от . Такой характер зависимостей может быть объяснен следующим образом: электронный газ, не успевая прийти в равновесие после колебания электрического поля, ведет себя — в какой-то мере — как система связанных зарядов, которые не влияют на сечение поглощения, что и сказывается на поведении коэффициента .
Из графиков на рисунках 2.2-2.4 также следует, что в области относительно низких частот поглощение больше для частиц с идеально гладкой поверхностью, у которых отражение электронов от поверхности происходит зеркально. При увеличении безразмерной частоты о поглощении становится больше у частиц с шероховатой поверхностью, отражение электронов от которой происходит диффузно. На рисунках 2.5–2.7 изображены зависимости безразмерного сечения поглощения от безразмерной обратной длины свободного пробега 0. Безразмерная частота поля 0 принимает значения 0.01; 0.1; 0.5 для рисунков 2.5; 2.6; 2.7, соответственно. При относительно малых на графиках наблюдается резонансно-подобное явление: максимум сечения поглощения соответствует значению безразмерной обратной длины свободного пробега, приблизительно равному безразмерной частоте поля. С увеличением максимум поглощения смещается в сторону меньших значений 0. Таким образом, для частиц со специально обработанной поверхностью (относительно низкая шероховатость) поглощение существенно возрастает при совпадении частоты соударений электронов с частотой внешнего поля. С увеличением безразмерной обратной длины свободного пробега 0 наблюдается сходимость всех характеристик к макроскопической асимптотике.
На рисунке 2.8 представлено сравнение зависимостей (2.29) и (2.33) в статическом случае в логарифмическом масштабе для параметра шероховатости = 0.05 и = 0.1. Отметим, что для модели граничных условий Фукса расходимость безразмерного сечения поглощения наблюдается в предельном случае чисто зеркального отражения = 1, что согласуется с результатом макроскопической теории (2.30) и физически означает, что граница не вызывает отклонения функции распределения . В модели Соффера зеркально отражающей поверхности соответствует случай 0, Однако, как видно из выражения (2.33), статическая проводимость имеет расходимость и при других значениях параметра
Выводы по главе 2: учет зависимости коэффициента зеркальности от параметра шероховатости поверхности и угла падения электронов на внутреннюю поверхность частицы дает значительное отличие от результатов работы [42] для модели диффузно-зеркальных граничных условий Фукса в низкочастотной области (0 1) для достаточно мелких частиц, в которых длина свободного пробега электронов становится много больше радиуса частицы (0 1) .
Обсуждение результатов
Электрические и оптические свойства малых металлических частиц (размер частицы мал в сравнении с длиной волны ЭМ излучения) могут значительно отличаться от подобных свойств массивных образцов [11,36, 75, 118]. Если радиус сферической частицы а становится сравним или меньше длины свободного пробега электронов в объёмном материале А, то поверхностные кинетические эффекты начинает оказывать существенное влияние на электромагнитные свойства частицы [11, 36, 75, 118]. Такая оптическая характеристика частицы, как сечение рассеяния, обнаруживает нетривиальную зависимость от отношения а/А.
В данной главе рассматривается малая сферическая частица из немагнитного металла, находящаяся в поле плоской линейно поляризованной электромагнитной волны с частотой си. Результат взаимодействия частицы с излучением составляют два процесса, которые могут рассматриваться независимо: поглощение излучения, приводящее к нагреванию частицы, и рассеяние излучения, характеризующееся угловым распределением вторичной волны. В данной работе рассматривается вопрос о влиянии механизма поверхностного рассеяния электронов на сечение рассеяния ЭМ излучения малого металлического шара.
Пределы диапазона рассматриваемых частот определяются из условия малости вклада плазменного резонанса в диссипацию энергии волны в частице: со2 С ші, где сор — частота плазменного резонанса (в металлах имеет характерное значение 1016 с-1). Для частиц из металла с хорошей проводимостью си ограничена частотами ближнего ИК-диапазона.
Если размер частицы мал по сравнению с длиной рассеиваемой волны = с/си (а С ), то поле вблизи частицы считается однородным. Малый металлический шар в однородном поле приобретает электрический и магнитный моменты P и M, соответственно. Вторичная волна — результат излучения этими моментами. Радиус частицы выбирается меньше характерной толщины скин-слоя , поэтому влиянием скин-эффекта можно пренебречь. Отношение длины свободного пробега электронов к радиусу частицы в кинетической теории не ограничивается.
Для частиц с линейным размером 1–10 нм ввиду экранировки электрического поля в частице на частотах до ближнего ИК диапазона вклад токов дипольной электрической поляризации в поглощение мал по сравнению с вкладом вихревых токов, индуцируемых магнитным полем волны. Известно, в интегральном сечении рассеяния основной вклад создаёт электрический дипольный механизм рассеяние [52, 66]. Однако, как будет показано в настоящей главе, для дифференциального сечения рассеяния в малом угловом диапазоне доминирующим становится магнитный дипольный механизм.
С учетом вышеперечисленных допущений определим сечение рассеяния электромагнитного излучения на малой частице радиуса . Первоначально рассмотрим сечение магнитного дипольного рассеяния. Задача о его вычислении сводится к нахождению магнитного момента M, приобретаемого сферической частицей в переменном магнитном поле. Однородное переменное магнитное поле H = H0 exp(-) порождает вихревое электрическое поле, которое находится из уравнения индукции Максвелла: E= 2 r = 2[rH0] exp(-); (3.2) где с — скорость света, г — радиус-вектор электрона, ш — угловая частота поля, Но — амплитуда магнитного поля волны.
Если линейный размер частицы больше длины свободного пробега электронов (а А), то применим локальный закон Ома: J = E, (3.3) где = o/(1 — ісит) — объёмная проводимость Друде, являющаяся функцией только частоты излучения бо ,о = е2пт/т — статическая проводимость металла, е,т и п — соответственно заряд, эффективная масса и концентрация электронов; г — время релаксации.
В случае, когда линейный размер частицы меньше или сравним с объёмной длиной свободного пробега электронов (а А) макроскопическая электродинамика неприменима, и связь между электрическим полем Е и плотностью тока j становится нелокальной [36,75].
Отклонение системы от состояния равновесия под действием вихревого поля Е (3.2) описывается малой неравновесной поправкой /i(r, v) к функции распределения Ферми-Дирака fo(8): /(г, v) = fo(8) + /і (г, v); (3.4) где /(r,v) — функция распределения, v — средняя скорость электронов, 8 — кинетическая энергия электрона (предполагается квадратичная зависимость энергии электрона от скорости 8 = mv2/2). Для равновесной функции распределения fo(8) используем ступенчатую аппроксимацию: Здесь v = т 1 — iuj — комплексная частота рассеяния. Обозначим через t n параметр характеристики t в точке n-го отражения носителя заряда от поверхности частицы {t! t 1). Если рассматривать граничное