Содержание к диссертации
Введение
1 Квантовые томограммы и их динамика 20
1.1 Общая статистическая модель квантовой механики 20
1.2 Стандартная статистическая модель квантовой механики для случая гильбертова пространства 22
1.3 Квантовая механика и оснащенные гильбертовы пространства 28
1.4 Томографическое представление квантовой механики 31
1.5 Вероятностные меры, связанные с возбужденными и когерентными состояниями квантового осциллятора 37
1.6 Параметрический осциллятор и связанные с ним распределения вероятностей 40
1.7 Эволюционное уравнение для характеристических функций в линейном случае 43
1.8 Нелинейное эволюционное уравнение 44
1.9 Квантовая томография для большого числа степеней свободы. Центральная предельная теорема 46
2 Марковские коциклы в одночастичном гильбертовом пространстве 50
2.1 Коциклы однопараметрических групп 50
2.2 Общие свойства марковских коциклов 52
2.3 Разложение Вольда. Классические процессы с некоррелированными приращениями 55
2.4 Модель унитарного марковского коцикла группы сдвигов. 59
2.5 Существование и единственность дилатации 62
2.6 Возмущения оператора сдвига операторами класса со следом и класса Гильберта-Шмидта 65
2.7 Коциклические возмущения группы сдвигов на прямой 67
2.7.1 Постановка задачи 67
2.7.2 Теорема о триангуляции усеченного сдвига 68
2.7.3 Доказательство теоремы 2.7.1 76
2.7.4 Неконструктивное улучшение результата 79
2.8 Уравнение марковского коцикла группы сдвигов в модельной ситуации 81
2.9 Марковские коциклы, порождаемые оператором Шредин-гера с вырождением на двух полупрямых 84
2.9.1 Постановка задачи 84
2.9.2 Основные результаты о корректной разрешимости вырожденной задачи 89
2.9.3 Унитарные марковские коциклы, порождаемые задачей (2.9.1),(2.9.2) 91
3 Квантовый белый шум над алгеброй и его возмущения марковскими коциклами 93
3.1 Классические и квантовые случайные процессы, порождаемые ими фильтрации и марковские коциклы 93
3.2 Броуновское движение и марковские коциклы группы сдвигов на прямой 96
3.3 Эквивалентность мер и квазиэквивалентность состояний. 99
3.4 Алгебра канонических коммутационных соотношений в симметричном пространстве Фока. Квантовый белый шум. 101
3.5 Вполне недетерминированные квантовые стохастические процессы и колмогоровские потоки 104
3.6 Представление функционалов от случайного процесса в виде кольца когомологий. Квантовый белый шум 108
3.6.1 Винеровский процесс 110
3.6.2 Квантовый белый шум 111
3.7 Марковские коциклы квантовых белых шумов 113
3.8 Уравнение марковского коцикла, полученного вторичным квантованием, в модельной ситуации 119
4. Квазисвободные эволюции на алгебрах канонических ан тикоммутационных соотношениях и на алгебре квадрата квантового белого шума 121
4.1 Построение алгебр фон Неймана, отвечающих физическим системам 121
4.2 Квазисвободные эволюции на алгебре канонических антикоммутационных соотношений (КАС) 128
4.2.1 Антисимметричное пространство Фока. Алгебра канонических антикоммутационных соотношений 128
4.2.2 Расширение на В(Н) квазисвободных автоморфизмов гиперфинитных факторов фон Неймана Л4 С В(Н), порожденных алгеброй КАС 131
4.2.3 Коциклические возмущения колмогоровских потоков на гиперфинитных факторах, порожденных алгеброй КАС 134
4.3 Квазисвободные эволюции на алгебре квадрата квантового белого шума 137
4.3.1 Метод Шурмана построения квантовых случайных процессов с независимыми приращениями 137
4.3.2 Квадрат квантового белого шума и его представления. 139
4.3.3 Эндоморфизмы алгебры квадрата квантового белого шума 141
4.3.4 Состояния КМШ, связанные с квазисвободными эво-люциями на алгебре квадрата квантового белого шума 148
5. Квантовая передача информации 153
5.1 Передача информации через бесконечномерный квантовый канал 153
5.1.1 Инвариантные кудиты и подканалы 153
5.1.2 Надежность каналов, демпфирующих фазу и амплитуду 157
5.2 Характеристики максимальной чистоты выхода квантового канала 160
5.3 Каналы Вейля, ковариантные относительно максимальной коммутативной группы унитарных операторов 166
5.3.1 Оценка энтропии выхода квантового канала демпфирующего фазу 166
5.3.2 Каналы Вейля 169
5.3.3 Орбиты максимальной коммутативной группы унитарных операторов 171
5.3.4 Ковариантность по отношению к максимальной группе унитарных операторов 175
5.3.5 Оценка выходной энтропии квантового деполяризующего канала 179
5.3.6 Гипотеза сильной супераддитивности для квантовых каналов Вейля 180
Приложение. Модулярная теория алгебр фон Неймана.
Состояния Кубо-Мартина-Швингера 186
Заключение 189
Литература 192
- Стандартная статистическая модель квантовой механики для случая гильбертова пространства
- Общие свойства марковских коциклов
- Броуновское движение и марковские коциклы группы сдвигов на прямой
- Квазисвободные эволюции на алгебре канонических антикоммутационных соотношений (КАС)
Введение к работе
Согласно вероятностной интерпретации квантовой механики, предложенной Дж. фон Нейманом в 1932 году ([186]), каждой паре (а,р), состоящей из наблюдаемой а и состояния (оператора плотности) р квантовой системы отвечает некоторое распределение вероятностей Р на действительной прямой, интепретируемое, как показания прибора, измеряющего наблюдаемую а в состоянии р. На таком подходе основывается, в частности, одна из возможных формулировок квантовой механики, называемая вероятностным или томографическим представлением. В рамках такого подхода, интенсивно развиваемого в последнее время, квантовые состояния связываются со стандартными плотностями распределений вероятностей (так называемыми томографическими плотностями или томограммами). Квантовые томограммы дают такую же информацию о состоянии системы как волновая функция или матрица плотности. Подобный формализм основан на томографическом подходе к измерению квантовых состояний ([111, 211, 208]). Томограмма может быть определена как набор плотностей распределения вероятностных мер, отвечающих некоторому достаточно богатому набору наблюдаемых. В частности, для симплектических томограмм в качестве таких наблюдаемых выступают линейные комбинации операторов координаты и импульса fix + vp.
В первой главе изучаются свойства вероятностного представления квантовых состояний. Эволюция симплектических квантовых томограмм построена для случая гамильтонианов вида Н = U(p) + V(x), для параметрического квантового осциллятора и для нелинейного уравнения Шредингера типа Гросса-Питаевского ([141, 192]). Кроме того, центральная предельная теорема применяется для исследования томограммы цен-
тра масс системы. Главной задачей является вывод эволюционных уравнений для распределений вероятностей, связанных с различными квантовыми системами. Заметим, что эволюционные уравнения для распределений вероятностей, которые мы выводим, принадлежат к типу, не встречавшемуся в теории классических случайных процессов. Тем самым, мы не можем определить немедленно такие специфические свойства введенных нами случайных процессов, как стационарность, марковость и т.п. Тем не менее, основное достоинство нашего подхода заключается в возможности использования техники классической теории вероятностей для изучения квантовых эффектов, при помощи введенных нами классических случайных процессов. Для квантовой эволюции в линейном случае такое уравнение было найдено в [83] - [85]. Для томографических плотностей распределений вероятностей эволюционное уравнение для солитонов в нелинейном уравнении Шредингера и для конденсата Бозе-Эйнштейна получено в [187, 188]. В этой же главе мы опираемся на характеристические функции, определяющие распределение вероятностей, по аналогии с подходом [117]. Мы выводим эволюционное уравнение для характеристических функций, отвечающих симплектическим томограммам. В разделе 1.5 приведены распределения вероятностей,,отвечающие стационарному квантовому осциллятору. В разделе 1.6 получены динамические уравнения для распределений вероятностей, отвечающих осциллятору с переменной частотой. Там же приведены решения этих уравнений для случая, отвечающего когерентным и возбужденным состояниям. В разделе 1.7 выведены уравнения эволюции характеристических функций томографических распределений для случая гамильтониана вида Н = W(p) + V(x). Отдельно рассмотрена ситуация, когда W(p) = у. В разделе 1.8 выведено эволюционное уравнение для характеристических функций, отвечающее нелинейному уравнению Шредингера. В разделе 1.9 производится исследование томограммы центра масс. С помощью центральной предельной теоремы доказывается, что, при определенных условиях, при возрастании числа степеней свободы, томограмма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения. Результаты главы 1 опубликованы в работах [83, 84, 85, 87, 16, 88].
Предположим, что, в отсутствии взаимодействия динамика квантовой системы определяется уравнением Шредингера
*5 = Ноф, (0.0.1)
а при взаимодействии
г^ = Йф. (0.0.2)
(ЛЬ
Пусть эволюция квантовой системы (0.0.1) описывается группой унитарных операторов U = {Ut = е~гШ, t Є №.}, а квантовой системы (0.0.2) группой унитарных операторов U — {Ut — е~гШ, t Є Ш}. Тогда семейство унитарных операторов W = {Wt = UtU-t, t Ж} описывает динамику квантовой системы в так называемом представлении взаимодействия. Заметим, что если ф{і) является решением уравнения (0.0.1), отвечающим начальному данному ^(0) = фо, тогда решением уравнения (0.0.2), отвечающим тому же начальному данному будет ф(ї) = Wtif)(t), t > 0. Семейство W удовлетворяет тождеству
Wt+a = WtUtWaU-U s,teR,
и является, тем самым, коциклом группы U. Если пределы W± = s — lim Wt существуют, тогда они называются волновыми операторами.
->±оо
Оператор S = W+WZ называется оператором рассеяния (5-матрица). Оператор S был впервые введен в [144]. Математическая теория S построена в [182]. Общая теория рассеяния строится в [153] (см. также ссылки в [40]). В главах 2-4 диссертационной работы представление взаимодействия исследуется с других позиций, нежели в цитированных выше работах. Пионерской работой является [69], где было введено понятие марковского коцикла. В дальнейшем различные варианты этого понятия были выведены в работах [77, 14, 87]. Предположим, что для уравнения (0.0.1) задана "фильтрация", состоящая из семейства подпространств {Ht), Ht С Hs для t < 5, таких, что в момент времени t все решения (0.0.1), отвечающие начальным данным фо Є Щ, удовлетворяют свойству ф(і) Є Ht. Коцикл W называется марковским, если Wt\Hj. =Id,t> 0.
В главе 2 подробно изучаются коциклы однопараметрических групп, сдвигов. В разделе 2.2 проводится исследование самых общих свойств унитарных марковских коциклов группы унитарных операторов в гильбертовом пространстве, определяющей сдвиги во времени приращений некоторого случайного процесса. В разделе 2.3 разбирается случай процессов с некоррелированными приращениями. В разделе 2.4 строится модель, описывающая все унитарные марковские коциклы группы сдвигов с точностью до унитарной эквивалентности возмущений этими коциклами. Тем самым, описывается множество некоммутативных когомологий Н1 (S) группы сдвигов S. В разделе 2.5 исследуются дилатации сжимающих коциклов. Устанавливается, в каком смысле единственна минимальная унитарная дилатация. Кроме того, с помощью модели унитарного марковского коцикла, построенной в разделе 2.4, доказывается существование дилатации для случая, когда коциклическое возмущение является группой "усеченных сдвигов". В разделе 2.6 приводятся основные сведения о возмущениях дискретных операторов сдвига ядерными операторами и операторами класса со следом. В разделе 2.7 мы рассматриваем возмущения группы сдвигов на прямой унитарными марковскими коциклами W и формулируем утверждение, позволяющее описать класс всех возмущений коциклами, удовлетворяющими дополнительному условию Wt — І Є с>2 (класс Гильберта-Шмидта). Доказательство этого утверждения существенно опирается на модель, построенную в разделе 2.4 и теорему о триангуляции полугруппы усеченных сдвигов, доказательство которой приведено в тексте. Раздел 2.8 посвящен выводу уравнения, которому удовлетворяет унитарный марковский коцикл группы сдвигов в простейшей ситуации. В разделе 2.9 показано, что решение уравнения Шредингера с вырождением на прямой порождает унитарный марковский коцикл. Применение полученных результатов к некоторым конкретным квантовым системам будет осуществлено в главах 3 и 4. Результаты главы 2 опубликованы в работах [4] - [9], [78, 14, 15, 19, 82, 86].
В работе [128] было введено понятие квантового колмогоровского потока. Обобщение понятия меры белого шума для случая квантовых мер белого шума, заложенное пионерской работой [150], привело к возникно-
вению нового взгляда на теорию квантовых колмогоровских потоков, который мы приводим в главе 3. В разделе 3.5 определяются классические и квантовые колмогоровские потоки и выводится условие, при котором квантовый случайный процесс порождает колмогоровский поток. В разделе 3.6 вводится представление функционалов от квантовых случайных процессов в виде кольца когомологий. Подобное представление является абстрактной версией разложения Винера-Ито 2-функционалов от броуновского движения. Введены марковские возмущения такого кольца. Материал поясняется на примере броуновского движения и квантового белого шума. В разделе 3.7 исследуются марковские возмущения квантовых белых шумов и связанных с ними колмогоровских потоков. При этом получен аналог разложения Вольда, позволяющий выделять часть марковского возмущения колмогоровского потока, изоморфную исходному колмогоровскому потоку. И, наконец, в разделе 3.8 производится вторичное квантование марковского коцикла группы сдвигов, построенного в главе 2, в одном частном случае. Выведено квантовое стохастическое дифференциальное уравнение в симметричном пространстве Фока, которому этот коцикл удовлетворяет. Результаты главы 3 опубликованы в работах [87, 18], [80] - [82].
Каждое представление алгебры наблюдаемых некоторой квантовой системы, отвечающее фиксирванному состоянию этой системы, порождает некоторую алгебру фон Неймана, то есть алгебру замкнутую не только по норме, но и в любой более слабой операторной топологии. Алгебры фон Неймана порождаются принадлежащими им ортогональными проекторами, которые интепретируются как некоторые "события"в квантовой теории вероятностей. Построение алгебр фон Неймана, отвечающих конкретным квантовым системам стало возможно благодаря пионерской работе И.М. Гельфанда, М.А. Наймарка и И.Е. Сигала ([31, 204]), разработавших представление, сейчас называемое "Гельфанда-Наймарка-Сигала"или "ГНС"алгебры с инволюцией по заданному на ней состоянию. В контексте построения квантовых белых шумов развитие теории представлений ГНС привело к созданию метода [202]. В главе 4 подробно изучены представления ГНС алгебры канонических антикоммутаци-
онных соотношений и алгебры квадрата квантового белого шума, отвечающие некоторому специальному классу состояний на этих алгебрах. Материал четвертой главы состоит из двух независимых частей, касающихся квазисвободных эволюции на алгебре канонических антикоммутационных соотношений и алгебры квадрата квантового белого шума. В первой части показывается как условие возмущения операторами класса Гильберта-Шмидта действует в приложениях. Таким образом, первая часть 4.2 главы непосредственно связана с главой 2. В части 4.3 метод Шурмана используется для построения алгебры квадрата квантового белого шума (ККБШ). Далее определяются квазисвободные эволюции алгебры квадрата квантового белого шума и связанные с ними состояния Кубо-Мартина-Швингера (см. Приложение). Представления алгебры ККБШ, связанные с этмим состояниями построены в явном виде. Результаты главы 4 опубликованы в работах [7, 8, 11, 78, 77, 78].
Пусть Н есть комплексное гильбертово пространство конечной или бесконечной размерности dimH = I < -f со. Обозначим а(Н), Proj(H) и 1н множество всех состояний, то есть положительных операторов с единичным следом, множество всех одномерных проекторов и тождественный оператор в Н, соответственно. Пусть К есть другое гильбертово пространство. Квантовым каналом (передачи информации) Ф в Н называется ([60]) афинное (линейное на выпуклых линейных комбинациях элементов) отображение ст(Н) —> сг(К), такое что сопряженное линейное отображение Ф*, определенное на алгебре В (К) всех ограниченных операторов в К, является вполне положительным и унитальным (оставляющим на месте тождественный оператор). Любой квантовый канал Ф можно расширить до линейного вполне положительного отображения В(Н) —» В {К). Если такое продолжение, которое мы будем обозначать той же буквой Ф унитально, то есть Ф(/#) — ІК-, тогда канал Ф называется бистохастическим. Отметим, что для конечномерных пространств (I < + оо) унитальность эквивалентна условию сохранения хаотического состояния: Ф(у/#) = \1к-
Обыкновенно предполагается, что за счет шумового окружения, квантовый канал Ф искажает информацию. Это, с одной стороны, может
проявляться в том, что чистое состояние \ф >< ф\ переводится им в смешанное, например, так что
Ф(\ф >< ф\) = а\фх >< фі\ + (1- а)\ф2 >< ф2І
О < а. < 1. С другой стороны, поскольку для кодирования информации нужно больше, чем одно состояние, искажение информации может проявляться в том, что Ф переводит ортогональные чистые состояния \фі >< фі\, і — 1, 2, в также чистые, но уже неортогональные состояния \фі >< фі\ = Ф(\фі >< фі\), і = 1, 2, что может не позволить уже точно их различить. Переход от передачи "букв1^ передаче "слов", состоящих из п букв соответствует операции взятия тензорного произведения фп. С другой стороны, множество а(Нп) содержит так называемые "сцепленные состояния", то есть такие состояния /З Є а(Нп), которые не могут быть представлены в виде
где pks Є а(Ю- Одной из важнейших задач квантовой теории передачи информации является определение, может ли кодирование сцепленными состояниями увеличить пропускную способность канала.
Существует много различных характеристик, позволяющих определить, насколько точно можно передать информацию через квантовый канал Ф. Все такие числовые характеристики і/(Ф) должны удовлетворять условию і>(а-Ф) = г/(Ф) для произвольного *-автоморфизма а(-) = U-U* алгебры всех ограниченных операторов В(Н), выполняемого унитарным оператором U. Действительно, квантовый канал, осуществляемый автоморфизмом, ни при каких условиях не искажает информацию. Возмущение Ф = а Ф квантового канала Ф естественно считать аналогом коциклических возмущений унитарными коциклами в дискретном случае. С этой точки зрения, характеристики ^(Ф) являются инвариантами коциклических возмущений.
Основной задачей, встречающейся в приложениях теории квантовой передачи информации, является нахождение оптимального для данно-
/
го канала кодирования и, отвечающего ему, оптимального декодирования, приводящего к наименьшему искажению информации. Кодирование предполагает выбор определенного набора состояний в пространстве Я, которые будут представлять некий исходный алфавит, передающийся через канал. Исходный канал может действовать в бесконечномерном пространстве. В частности, мы рассматриваем в первой части главы 5 пространство Н состояний квантового осциллятора с базисом основного и возбужденных состояний \п >, п = 0,1,2,.... Одной из важных задач является оценивание выигрыша от использования при кодировании состояний, в ортогональное разложение которых по базису {\п >} входят возбужденные состояния с большими номерами п. В первой части главы 5 предложен общий подход к этой задаче. Кроме того, для частного случая канала, демпфирующего амплитуду, мы показываем что использование возбужденных состояний с большими номерами, в некотором смысле, выигрыша не дает.
Целый класс задач в квантовой теории информации, просто формулируемых, но почти не поддающихся решению, касается аддитивности ряда характеристик квантового канала связи типа "классической пропускной способности "или "максимальной чистоты выходного состо-яния"по отношению к операции тензорного произведения каналов. Все известные результаты, включая численную проверку, находятся в согласии с этой гипотезой. Положительное решение этой проблемы означало бы, в частности, что использование сцепленных состояний не увеличивает классической пропускной способности квантового канала и имело бы важное значение для приложений (см. [64]).
Верхняя энтропийная граница для канала Ф определяется следующей формулой
г г
Сх(Ф)= sup Sfc*M*j))~T,4SMxM> где S(x) = —Trxlogx есть энтропия фон Неймана х и супремум берется
г ПО ВСЄМ распределениям ВерОЯТНОСТеЙ 7Г = (7Tj)j=1, 0 < 7Tj < 1, Yl TTj = 1.
3=1
Гипотеза аддитивности утверждает, что для любых двух каналов ФиФ
Сі(ФФ) = Сі(Ф) + Сі(Ф).
Если гипотеза аддитивности справедлива, становится возможным без труда найти классическую пропускную способность С(Ф) канала Ф по формуле С(Ф) = lim Cl(^n) = Сі(Ф) (см. [64]). В [64] гипотеза адди-
п-И-оо п
тивности была доказана для так называемых классически-квантовых и квантово-классических каналов. Как следует из определения Сі,
Сі(*)<зфя)- mf 5(Ф(Ж)).
Равенство в предыдущей формуле было установлено в [79] для бисто-хастических двоичных каналов, в [121] для так называемых кудитных каналов и в [147] для ковариантных каналов. Более того в [206] доказано, что справедливость гипотезы аддитивности величины С\ для всех каналов эквивалентна справедливости гипотезы аддитивности для минимума выходной энтропии для всех каналов,
mf 5(Ф<8> *(*))= inf 5(Ф(Ж1))+ inf 5(ФЫ).
хЄа(НіН2) ХіЄа(Ні) х2Єа(Н2)
Фиксируем число р > 1. Тогда можно определить ^-нормы канала Ф по формуле ||Ф||р = ( sup ТгЧі{х)р)р. В [10] показано, что гипотеза
xeProj(H)
аддитивности тесно связана со следующей гипотезой мультипликативности, которая утверждает что для двух каналов Ф и Ф
II**IIp = II*IWI*IIp-
В частности, если гипотеза мультипликативности верна для р близких к 1, гипотеза аддитивности также верна. Гипотеза мультипликативности для деполяризующего канала доказана в [13] в случае целых значений р. Гипотезы аддитивности и мультипликативности доказаны для унитальных двоичных каналов в [158], для квантового деполяризующего канала в [159], для каналов разрушающих сцепленность в [205], для каналов, представляющих смесь транспонирования и операции взятия
следа, в [131, 122]. В [149] была установлена связь гипотез аддитивности для произвольных каналов и для каналов с ограничениями. Тем не менее, не было еще найдено пути для проверки гипотез для произвольного канала. В [148] приведен контрпример к гипотезе мультипликативности. Следовательно, можно ожидать, что гипотеза аддитивности может быть не справедливой для некоторых каналов.
Во второй части главы 5 мы вводим мультипликативные Zp-нормы канала, показываем, как из справедливости гипотезы мультипликативности для р близких к единице следует справедливость гипотезы аддитивности (см. [10, 79]). С другой стороны, с помощью доказательства специального неравенства, касающегося следа произведения операторов, мы расчитываем впрямую /р-нормы квантового деполяризующего канала и доказываем гипотезу мультипликативности для натуральных значений р= 2,3,4,... ([13]).
Фиксируем квантовый канал Ф в гильбертовом пространстве Н. Для каждого р Є о-(Н) можно ввести характеристику ([149])
к Нф{р)= тт^тг,-5(Ф(^)),
.7=1 ft
где pav = ^2 njPj и минимум берется по всем распределениям вероятно-
J=l
стей 7Г = {nj} и состояниям pj Є cr{H). Гипотеза сильной супераддитивности утверждает, что
Нф^{р) > Нф(ТгК(р)) + Йу(Тгн{р)),
р Є а{Н К) для двух каналов Ф и Ф, действующих в гильбертовых пространствах Н и К, соответственно. В работе ([149]) показано, что гипотеза сильной супераддитивности эквивалентна гипотезе аддитивности для произвольных каналов с ограничениями. Тем самым, гипотеза сильной супераддитивности является более сильным утверждением, чем гипотеза аддитивности. В третьей части главы 5 мы доказываем гипотезу сильной супераддитивности для квантового деполяризующего канала, основываясь на свойстве убывания относительной энтропии.
Результаты, представленные в главе 5, опубликованы в работах [10, 13, 21, 79, 88].
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. Получены уравнения эволюции симплектических квантовых то
мограмм для параметрического осциллятора (с выписыванием пропага-
тора, дающего решение), квантовых систем с гамильтонианом формы
Н == F(q) -t-G(p) и нелинейного уравнения Шредингера. При дополни
тельном условии "факторизуемости"состояния доказано, что при стрем
лении числа степеней свободы к бесконечности, симплектическая томо
грамма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения.
Построена модель, позволяющая строить марковские коциклы группы сдвигов на прямой, удовлетворяющие заданным свойствам. На ее основе полностью исследован класс коциклической сопряженности группы сдвигов на прямой марковскими коциклами W, удовлетворяющими условию Wf—I Є »% (класс Гильберта-Шмидта). Выведено динамическое уравнение унитарного марковского коцикла в модельной ситуации.
Множество всех функционалов от квантового белого шума интерпретировано как кольцо когомологий группы автоморфизмов, порожденной колмогоровским потоком. Показано, что марковское возмущение колмогоровского потока приводит к тому, что кольцо когомологий, отвечающее возмущенному потоку, изоморфно исходному. Аналог классического разложения Вольда, позволяющего выделить недетерминированную часть случайного процесса, вводится для квантовых случайных процессов, являющихся марковскими возмущениями колмогоровских потоков.
4. Показано, что вторичное квантование коцикла W со свойством
Wt — І Є $2, Для представлений алгебры канонических антикоммута
ционных соотношений (КАС), порождает коцикл r(W) колмогоровско
го потока на КАС с марковским свойством вида T(W)t Є Мф t > 0
(согласованный с фильтрацией (Мф t > 0), состоящей из алгебр фон
Неймана, образующих колмогоровский поток). Выведена классифика
ция квазисвободных эволюции алгебры квадрата квантового белого шу
ма (ККБШ). Построены состояния Кубо-Мартина-Швингера алгебры
ККБШ и ассоциированные с ними динамические полугруппы.
5. Введено понятие инвариантных кубитов, кудитов и подканала квантового канала передачи информации. Оптимизация надежности (fidelity) разобрана на примере канала, демпфирующего амплитуду. Получена оценка энтропии выходных состояний вейлевских каналов, ковариантных относительно максимальной коммутативной группы унитарных операторов, из которой вытекает справедливость гипотезы сильной супераддитивности для деполяризующего канала.
Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
1. Конференция, посвященная столетию Б.М. Гагаева (г. Казань, 1996
г-)
2. Ежегодная научная конференция МФТИ (г. Долгопрудный, 1997
г-)
3. Международный конгресс математиков (г. Берлин, 1998 г.)
4. "Проблемы устойчивости в стохастических моделях"(г. Налечев,
1999 г.)
"Теория операторов и ее приложения "(г. Бородо, 2000 г.)
Международный конгресс по математической физике (г. Лондон,
2000 г.)
Европейский математический конгресс (г. Барселона, 2000 г.)
Ежегодная конференция по математическому анализу (г. С.-Петербург, 2000-2006 гг.)
"Квантовая вероятность и бесконечномерный анализ"(г. Коттбус,
2001 г.)
Конференция, посвященная столетию И.Г. Петровского (г. Москва, 2001 г.)
Зимняя школа "Квантовые марковские цепи и их приложения в физике и квантовой информации"(г. Левико-Терме, 2001 г.)
"Квантовые процессы Леви"(г. Охен, 2002 г.)
"Квантовая информация"(г. Сан Фелю де Гисоль, 2002 г.)
"Колмогоров и современная математика" (г. Москва, 2003 г.)
"Актуальные вопросы математики и механики"(г. Казань, 2004 г.)
"Классические и квантовые интегрируемые системы"(г. Дубна, 2004-2005 гг.)
Материалы диссертации докладывались на многих научных семинарах, включая:
Семинар "Математические проблемы теорфизики и механики" Московского физико-технического института (рук. СП. Аллилуев, В.Б. Лидский)
Семинар по математической физике института прикладной математики им. Келдыша (рук. В.В. Веденяпин)
Семинар лаборатории математического анализа ПОМИ им. В.А. Стеклова (рук. В.П. Хавин)
Семинар по теории представлений и динамическим системам ПОМИ им. В.А. Стеклова (рук. A.M. Вершик)
Q-семинар Копенгагенского университета (рук. Ф. Топсе)
Семинар кафедры квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ (рук. A.M. Чеботарев)
Семинар Международного института Солвея, г. Брюссель (рук. Я. Антониу)
Семинар по теории операторов механико-математического факультета МГУ (рук. А.Д. Костюченко)
Семинар "Алгебра в анализе"механико-математического факультета МГУ (рук. А.Я. Хелемский)
Семинар по алгебре и теории операторов Казанского государственного университета (рук. А.Н. Шерстнев)
Семинар по квантовой теории поля ФИАН им. Лебедева (рук. М.А. Васильев)
Семинар кафедры высшей математики МФТИ (рук. Е.С. Поло-винкин)
По теме диссертации опубликовано 33 работы, из них 17 - в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов докторских диссертаций.
Стандартная статистическая модель квантовой механики для случая гильбертова пространства
Общая статистическая модель квантовой механики может быть представлена в виде набора следующих четырех аксиом. Приводимые ниже аксиомы представляют из себя модификацию аксиом [169], предложенн-ную в [62]. Отметим, что для точного задания состояния р не обязательно знать распределения вероятностей Л4Х на всех наблюдаемых х Є С. Нужно иметь "достатоный запас"ж. На этом основывается томографическое представление квантовой механики, обсуждаемое ниже. Рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство Н со скалярным произведением , . Ниже мы будем использовать основные положения теории линейных операторов в гильбертовом пространстве (см. [1, 40, 52, 55]). Согласно стандартной интерпретации квантовой механики, эрмитовы (самосопряженные) линейные операторы х в Н интерпретируются как наблюдаемые С, а положительные операторы с единичным следом р как состояния (операторы плотности) а. Множество наблюдаемых С состоит из, вообще говоря, неограниченных операторов. Следовательно, требуется корректное определение произведения ху для ж, у Є С. Обыкновенно предполагается, что пересечение областей определения операторов х Є С и всевозможных их произведений образует плотное множество в Н. При таком предположении множество С является йордановой алгеброй, то есть алгеброй относительно произведения хоу = 1(ху + ух) ([25]). Мы, как правило, используем греческие буквы rj,,( и Т-Д- Для обозначения элементов гильбертова пространства. В тех местах работы, где операторы в гильбертовом пространстве не имеют никакой физической интерпретации, мы обозначаем их латинскими буквами а, 6, с или ж, у для произвольных операторов и греческими буквами р для положительных операторов с единичном следом, везде без крышки сверху. Для конкретных квантовых систем мы обозначаем произвольные операторы теми же буквами, но с крышкой сверху а, Ъ или х, у и операторы плотности р с крышкой сверху. Бозонные операторы рождения и уничтожения мы обозначаем А и А, а, фермионные - а и а.
Мы обозначаем Si и , класс ядерных операторов (класса со следом) и операторов Гильберта-Шмидта, соответственно.
Всюду в этой работе постоянная Планка принимается равной единице Согласно вероятностной интерпретации квантовой механики, предложенной Дж. фон Нейманом в 1932 году ([186]), каждой паре (а,р), состоящей из наблюдаемой а и состояния (оператора плотности) р квантовой системы отвечает некоторое распределение вероятностей Р на действительной прямой, интепретируемое, как показания прибора, измеряющего наблюдаемую а в состоянии р. На таком подходе основывается, в частности, одна из возможных формулировок квантовой механики, называемая вероятностным или томографическим представлением. В рамках такого подхода, интенсивно развиваемого в последнее время, квантовые состояния связываются со стандартными плотностями распределений вероятностей (так называемыми томографическими плотностями или томограммами). Квантовые томограммы дают такую же информацию о состоянии системы как волновая функция или матрица плотности. Подобный формализм основан на томографическом подходе к измерению квантовых состояний ([111, 211, 208]). Томограмма может быть определена как набор плотностей распределения вероятностных мер, отвечающих некоторому достаточно богатому набору наблюдаемых. В частности, для симплектических томограмм в качестве таких наблюдаемых выступают линейные комбинации операторов координаты и импульса fix + vp.
Общие свойства марковских коциклов
Эволюция симплектических квантовых томограмм построена для случая гамильтонианов вида Н = U(p) + V(x), для параметрического квантового осциллятора и для нелинейного уравнения Шредингера типа Гросса-Питаевского ([141, 192]). Кроме того, центральная предельная теорема применяется для исследования томограммы цен тра масс системы. Главной задачей является вывод эволюционных уравнений для распределений вероятностей, связанных с различными квантовыми системами. Заметим, что эволюционные уравнения для распределений вероятностей, которые мы выводим, принадлежат к типу, не встречавшемуся в теории классических случайных процессов. Тем самым, мы не можем определить немедленно такие специфические свойства введенных нами случайных процессов, как стационарность, марковость и т.п. Тем не менее, основное достоинство нашего подхода заключается в возможности использования техники классической теории вероятностей для изучения квантовых эффектов, при помощи введенных нами классических случайных процессов. Для квантовой эволюции в линейном случае такое уравнение было найдено в [83] - [85]. Для томографических плотностей распределений вероятностей эволюционное уравнение для солитонов в нелинейном уравнении Шредингера и для конденсата Бозе-Эйнштейна получено в [187, 188]. В этой же главе мы опираемся на характеристические функции, определяющие распределение вероятностей, по аналогии с подходом [117]. Мы выводим эволюционное уравнение для характеристических функций, отвечающих симплектическим томограммам. В разделе 1.5 приведены распределения вероятностей,,отвечающие стационарному квантовому осциллятору. В разделе 1.6 получены динамические уравнения для распределений вероятностей, отвечающих осциллятору с переменной частотой. Там же приведены решения этих уравнений для случая, отвечающего когерентным и возбужденным состояниям. В разделе 1.7 выведены уравнения эволюции характеристических функций томографических распределений для случая гамильтониана вида Н = W(p) + V(x). Отдельно рассмотрена ситуация, когда W(p) = у. В разделе 1.8 выведено эволюционное уравнение для характеристических функций, отвечающее нелинейному уравнению Шредингера. В разделе 1.9 производится исследование томограммы центра масс. С помощью центральной предельной теоремы доказывается, что, при определенных условиях, при возрастании числа степеней свободы, томограмма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения. Результаты главы 1 опубликованы в работах [83, 84, 85, 87, 16, 88]. Предположим, что, в отсутствии взаимодействия динамика квантовой системы определяется уравнением Шредингера = Ноф, (0.0.1) а при взаимодействии г = Йф. (0.0.2) (ЛЬ Пусть эволюция квантовой системы (0.0.1) описывается группой унитарных операторов U = {Ut = е гШ, t Є №.}, а квантовой системы (0.0.2) группой унитарных операторов U — {Ut — е гШ, t Є Ш}. Тогда семейство унитарных операторов W = {Wt = UtU, t Ж} описывает динамику квантовой системы в так называемом представлении взаимодействия. Заметим, что если ф{і) является решением уравнения (0.0.1), отвечающим начальному данному (0) = фо, тогда решением уравнения (0.0.2), отвечающим тому же начальному данному будет ф(ї) = Wtif)(t), t 0. Семейство W удовлетворяет тождеству Wt+a = WtUtWaU-U s,teR, и является, тем самым, коциклом группы U. Если пределы W± = s — lim Wt существуют, тогда они называются волновыми операторами. - ±оо Оператор S = W+WZ называется оператором рассеяния (5-матрица). Оператор S был впервые введен в [144]. Математическая теория S построена в [182]. Общая теория рассеяния строится в [153] (см. также ссылки в [40]). В главах 2-4 диссертационной работы представление взаимодействия исследуется с других позиций, нежели в цитированных выше работах. Пионерской работой является [69], где было введено понятие марковского коцикла. В дальнейшем различные варианты этого понятия были выведены в работах [77, 14, 87]. Предположим, что для уравнения (0.0.1) задана "фильтрация", состоящая из семейства подпространств {Ht), Ht С Hs для t 5, таких, что в момент времени t все решения (0.0.1), отвечающие начальным данным фо Є Щ, удовлетворяют свойству ф(і) Є Ht. Коцикл W называется марковским, если Wt\Hj. =Id,t 0.
Броуновское движение и марковские коциклы группы сдвигов на прямой
Устанавливается, в каком смысле единственна минимальная унитарная дилатация. Кроме того, с помощью модели унитарного марковского коцикла, построенной в разделе 2.4, доказывается существование дилатации для случая, когда коциклическое возмущение является группой "усеченных сдвигов". В разделе 2.6 приводятся основные сведения о возмущениях дискретных операторов сдвига ядерными операторами и операторами класса со следом. В разделе 2.7 мы рассматриваем возмущения группы сдвигов на прямой унитарными марковскими коциклами W и формулируем утверждение, позволяющее описать класс всех возмущений коциклами, удовлетворяющими дополнительному условию Wt — І Є с 2 (класс Гильберта-Шмидта). Доказательство этого утверждения существенно опирается на модель, построенную в разделе 2.4 и теорему о триангуляции полугруппы усеченных сдвигов, доказательство которой приведено в тексте. Раздел 2.8 посвящен выводу уравнения, которому удовлетворяет унитарный марковский коцикл группы сдвигов в простейшей ситуации. В разделе 2.9 показано, что решение уравнения Шредингера с вырождением на прямой порождает унитарный марковский коцикл. Применение полученных результатов к некоторым конкретным квантовым системам будет осуществлено в главах 3 и 4. Результаты главы 2 опубликованы в работах [4] - [9], [78, 14, 15, 19, 82, 86].
В работе [128] было введено понятие квантового колмогоровского потока. Обобщение понятия меры белого шума для случая квантовых мер белого шума, заложенное пионерской работой [150], привело к возникно вению нового взгляда на теорию квантовых колмогоровских потоков, который мы приводим в главе 3. В разделе 3.5 определяются классические и квантовые колмогоровские потоки и выводится условие, при котором квантовый случайный процесс порождает колмогоровский поток. В разделе 3.6 вводится представление функционалов от квантовых случайных процессов в виде кольца когомологий. Подобное представление является абстрактной версией разложения Винера-Ито 2-функционалов от броуновского движения. Введены марковские возмущения такого кольца. Материал поясняется на примере броуновского движения и квантового белого шума. В разделе 3.7 исследуются марковские возмущения квантовых белых шумов и связанных с ними колмогоровских потоков. При этом получен аналог разложения Вольда, позволяющий выделять часть марковского возмущения колмогоровского потока, изоморфную исходному колмогоровскому потоку. И, наконец, в разделе 3.8 производится вторичное квантование марковского коцикла группы сдвигов, построенного в главе 2, в одном частном случае. Выведено квантовое стохастическое дифференциальное уравнение в симметричном пространстве Фока, которому этот коцикл удовлетворяет. Результаты главы 3 опубликованы в работах [87, 18], [80] - [82].
Каждое представление алгебры наблюдаемых некоторой квантовой системы, отвечающее фиксирванному состоянию этой системы, порождает некоторую алгебру фон Неймана, то есть алгебру замкнутую не только по норме, но и в любой более слабой операторной топологии. Алгебры фон Неймана порождаются принадлежащими им ортогональными проекторами, которые интепретируются как некоторые "события"в квантовой теории вероятностей. Построение алгебр фон Неймана, отвечающих конкретным квантовым системам стало возможно благодаря пионерской работе И.М. Гельфанда, М.А. Наймарка и И.Е. Сигала ([31, 204]), разработавших представление, сейчас называемое "Гельфанда-Наймарка-Сигала"или "ГНС"алгебры с инволюцией по заданному на ней состоянию. В контексте построения квантовых белых шумов развитие теории представлений ГНС привело к созданию метода [202]. В главе 4 подробно изучены представления ГНС алгебры канонических антикоммутаци онных соотношений и алгебры квадрата квантового белого шума, отвечающие некоторому специальному классу состояний на этих алгебрах. Материал четвертой главы состоит из двух независимых частей, касающихся квазисвободных эволюции на алгебре канонических антикоммутационных соотношений и алгебры квадрата квантового белого шума. В первой части показывается как условие возмущения операторами класса Гильберта-Шмидта действует в приложениях. Таким образом, первая часть 4.2 главы непосредственно связана с главой 2. В части 4.3 метод Шурмана используется для построения алгебры квадрата квантового белого шума (ККБШ). Далее определяются квазисвободные эволюции алгебры квадрата квантового белого шума и связанные с ними состояния Кубо-Мартина-Швингера (см. Приложение). Представления алгебры ККБШ, связанные с этмим состояниями построены в явном виде. Результаты главы 4 опубликованы в работах [7, 8, 11, 78, 77, 78].
Квазисвободные эволюции на алгебре канонических антикоммутационных соотношений (КАС)
Пусть Н есть комплексное гильбертово пространство конечной или бесконечной размерности dimH = I -f со. Обозначим а(Н), Proj(H) и 1н множество всех состояний, то есть положительных операторов с единичным следом, множество всех одномерных проекторов и тождественный оператор в Н, соответственно. Пусть К есть другое гильбертово пространство. Квантовым каналом (передачи информации) Ф в Н называется ([60]) афинное (линейное на выпуклых линейных комбинациях элементов) отображение ст(Н) — сг(К), такое что сопряженное линейное отображение Ф , определенное на алгебре В (К) всех ограниченных операторов в К, является вполне положительным и унитальным (оставляющим на месте тождественный оператор). Любой квантовый канал Ф можно расширить до линейного вполне положительного отображения В(Н) —» В {К). Если такое продолжение, которое мы будем обозначать той же буквой Ф унитально, то есть Ф(/#) — ІК-, тогда канал Ф называется бистохастическим.
Существует много различных характеристик, позволяющих определить, насколько точно можно передать информацию через квантовый канал Ф. Все такие числовые характеристики і/(Ф) должны удовлетворять условию і (а-Ф) = г/(Ф) для произвольного -автоморфизма а(-) = U-U алгебры всех ограниченных операторов В(Н), выполняемого унитарным оператором U. Действительно, квантовый канал, осуществляемый автоморфизмом, ни при каких условиях не искажает информацию. Возмущение Ф = а Ф квантового канала Ф естественно считать аналогом коциклических возмущений унитарными коциклами в дискретном случае. С этой точки зрения, характеристики (Ф) являются инвариантами коциклических возмущений.
Основной задачей, встречающейся в приложениях теории квантовой передачи информации, является нахождение оптимального для данно /
го канала кодирования и, отвечающего ему, оптимального декодирования, приводящего к наименьшему искажению информации. Кодирование предполагает выбор определенного набора состояний в пространстве Я, которые будут представлять некий исходный алфавит, передающийся через канал. Исходный канал может действовать в бесконечномерном пространстве. В частности, мы рассматриваем в первой части главы 5 пространство Н состояний квантового осциллятора с базисом основного и возбужденных состояний \п , п = 0,1,2,.... Одной из важных задач является оценивание выигрыша от использования при кодировании состояний, в ортогональное разложение которых по базису {\п } входят возбужденные состояния с большими номерами п. В первой части главы 5 предложен общий подход к этой задаче. Кроме того, для частного случая канала, демпфирующего амплитуду, мы показываем что использование возбужденных состояний с большими номерами, в некотором смысле, выигрыша не дает.
Целый класс задач в квантовой теории информации, просто формулируемых, но почти не поддающихся решению, касается аддитивности ряда характеристик квантового канала связи типа "классической пропускной способности "или "максимальной чистоты выходного состо-яния"по отношению к операции тензорного произведения каналов. Все известные результаты, включая численную проверку, находятся в согласии с этой гипотезой. Положительное решение этой проблемы означало бы, в частности, что использование сцепленных состояний не увеличивает классической пропускной способности квантового канала и имело бы важное значение для приложений (см. [64]).
В [149] была установлена связь гипотез аддитивности для произвольных каналов и для каналов с ограничениями. Тем не менее, не было еще найдено пути для проверки гипотез для произвольного канала. В [148] приведен контрпример к гипотезе мультипликативности. Следовательно, можно ожидать, что гипотеза аддитивности может быть не справедливой для некоторых каналов.
Во второй части главы 5 мы вводим мультипликативные Zp-нормы канала, показываем, как из справедливости гипотезы мультипликативности для р близких к единице следует справедливость гипотезы аддитивности (см. [10, 79]). С другой стороны, с помощью доказательства специального неравенства, касающегося следа произведения операторов, мы расчитываем впрямую /р-нормы квантового деполяризующего канала и доказываем гипотезу мультипликативности для натуральных значений р= 2,3,4,... ([13]). 1. Получены уравнения эволюции симплектических квантовых то мограмм для параметрического осциллятора (с выписыванием пропага тора, дающего решение), квантовых систем с гамильтонианом формы Н == F(q) -G(p) и нелинейного уравнения Шредингера. При дополни тельном условии "факторизуемости"состояния доказано, что при стрем лении числа степеней свободы к бесконечности, симплектическая томо грамма центра масс стремится к плотности гауссовского распределения. 2. Построена модель, позволяющая строить марковские коциклы группы сдвигов на прямой, удовлетворяющие заданным свойствам. На ее основе полностью исследован класс коциклической сопряженности группы сдвигов на прямой марковскими коциклами W, удовлетворяющими условию Wf—I Є »% (класс Гильберта-Шмидта). Выведено динамическое уравнение унитарного марковского коцикла в модельной ситуации. 3. Множество всех функционалов от квантового белого шума интерпретировано как кольцо когомологий группы автоморфизмов, порожденной колмогоровским потоком. Показано, что марковское возмущение колмогоровского потока приводит к тому, что кольцо когомологий, отвечающее возмущенному потоку, изоморфно исходному. Аналог классического разложения Вольда, позволяющего выделить недетерминированную часть случайного процесса, вводится для квантовых случайных процессов, являющихся марковскими возмущениями колмогоровских потоков. 4. Показано, что вторичное квантование коцикла W со свойством Wt — І Є $2, Для представлений алгебры канонических антикоммута ционных соотношений (КАС), порождает коцикл r(W) колмогоровско го потока на КАС с марковским свойством вида T(W)t Є Мф t 0 (согласованный с фильтрацией (Мф t 0), состоящей из алгебр фон Неймана, образующих колмогоровский поток). Выведена классифика ция квазисвободных эволюции алгебры квадрата квантового белого шу ма (ККБШ). Построены состояния Кубо-Мартина-Швингера алгебры ККБШ и ассоциированные с ними динамические полугруппы. 5. Введено понятие инвариантных кубитов, кудитов и подканала квантового канала передачи информации. Оптимизация надежности (fidelity) разобрана на примере канала, демпфирующего амплитуду. Получена оценка энтропии выходных состояний вейлевских каналов, ковариантных относительно максимальной коммутативной группы унитарных операторов, из которой вытекает справедливость гипотезы сильной супераддитивности для деполяризующего канала.