Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор экспериментальных и теоретических данных 12
1.1 Термодинамические свойства магнитных систем 12
1.1.1 Явление фрустраций и фрустрированные решетки 13
1.1.2 Магнитная восприимчивость 19
1.1.3 Теплоемкость 21
1.1.4 Энтропия 23
1.1.5 Критические индексы 24
1.2 Векторные модели магнитных систем 26
1.2.1 Модель Изинга 26
1.2.2 Модель диполь-дипольного взаимодействия 29
1.2.3 Зарядовая модель 29
1.2.4 Радиус взаимодействия 30
1.2.5 Спиновый лед искусственного и естественного происхождения 31
1.2.6 Спиновое стекло 38
Глава 2. Численные методы расчета 41
2.1 Алгоритм Метрополиса 41
2.2 Параллельный отжиг или реплично-обменное Монте-Карло 43
2.3 Метод Ванга-Ландау 44
2.4 Параллельный метод Ванга-Ландау
2.4.1 Энергетические интервалы 48
2.4.2 Выход за рамки энергетического окна 49
2.4.3 Объединение и перенормировка гистограмм 50
2.5 Сравнение методов поиска основного состояния в модели спиновых стекол точечных диполей Изинга 51
2.5.1 Модель Изинг-подобных диполей 52 Стр.
2.5.2 Сравнительный анализ методов, основанных на обходе частиц 54
2.6 Выводы 56
Глава 3. Энтропия разбавленных антиферромагнитных моделей Изинга на фрустрированных решетках 57
3.1 Модель и подходы к решению задачи о модели Изинга на решетке пирохлора 58
3.2 Решетка пирохлора 59
3.3 Треугольная и гексагональная решетки 66
3.4 Выводы 74
Глава 4. Влияние дальнодействия и короткодействия на термодинамику дипольного спинового льда 76
4.1 Введение 76
4.2 Модель, метод моделирования 78
4.3 Точное решение энтропии и теплоемкости на решетках спинового льда 82
4.4 Фазовый переход во фрустрированном квадратном спиновом льду 86
4.5 Конфигурации с E=0 в квадратном спиновом льду 89
4.6 Выводы 91
Заключение 94
Список литературы 96
Список рисунков 109
Список таблиц
- Модель диполь-дипольного взаимодействия
- Параллельный метод Ванга-Ландау
- Треугольная и гексагональная решетки
- Точное решение энтропии и теплоемкости на решетках спинового льда
Введение к работе
Актуальность выбранной темы диссертации. Разработка методов моделирования и численного расчета сложных спиновых систем является актуальной, так как методы необходимы для описания термодинамического поведения и термодинамических свойств наносистем. Возможность тонкой настройки геометрии решетки, формы наночастиц и расположения их на решетке, а также обширные перспективы практического применения материалов спинового льда при температуре упорядочения, близкой к комнатной [], вызывают большой
интерес к теоретическому и экспериментальному изучению термодинамических свойств спинового льда [16; ]. Геометрия массивов спинового льда определяет сложную структуру фазового пространства микросостояний. Фундаментальный интерес к объектам исследований обусловлен новой физикой, где термодинамические свойства контролируются геометрией. Практический интерес представляет проверка в реальных экспериментах результатов, получаемых при исследовании моделей статистической физики.
Объектом теоретических исследований является спиновый лед, исследуемый в рамках приближений конечного и бесконечного радиуса взаимодействия. Исследуются решетки пирохлора, квадратного, гексагонального, треугольного, и шакти спинового льда в рамках векторной модели взаимодействующих магнитных моментов.
Mетодология и методы исследования. Основными инструментами исследований являются методы мультиканонического семплирования Ванга-Ландау и его параллельная модификация, алгоритмы Метрополиса и исчерпывающего перечисления. Результатом работы метода Ванга-Ландау и алгоритма исчерпывающего перечисления является плотность вероятности состояний, на основе которой строится точная или приближенная статистическая сумма, содержащая информацию о статистических свойствах системы в состоянии термодинамического равновесия. Канонический алгоритм Метрополиса применяется для прямого исследования термодинамических свойств фрустрированных систем. Алгоритм исчерпывающего перечисления конфигураций используется для систем, состоящих из не более чем 40 частиц.
Целью диссертационной работы являлось исследование термодинамических свойств фрустрированного спинового льда на квадратной, гексагональной, треугольной, пирохлор, шакти решетках в рамках моделей с близкодействующими и дальнодействующими взаимодействиями.
Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:
-
произвести исчерпывающее перечисление и последующий статистический анализ всех возможных магнитных конфигураций диполь-дипольно взаимодействующих Изинг-подобных спинов, расположенных на шакти, гексагональной и квадратной решетках спинового льда. Получить температурное поведение теплоемкости и энтропии для фрустрированного спинового льда в модели близкодействующего и дальнодействующего диполь-дипольного взаимодействия;
-
установить, каким образом происходит упорядочение в модели диполей на решетке квадратного спинового льда при температурах, близких к температуре, при которой теплоемкость принимает максимальное значение. Предложить параметр порядка, вычислить его температурное поведение и сравнить с температурным поведением теплоемкости;
-
разработать пакет программ для суперкомпьютерного вычислительного кластера и численно исследовать поведение термодинамических па-4
раметров, описывающих коллективные явления в системах взаимодействующих диполей на решетке квадратного спинового льда.
Научная новизна:
-
Обнаружены существенные различия в термодинамическом поведении системы диполей на фрустрированной гексагональной решетке при сравнении моделей с дальнодействующими и короткодействующими диполь-дипольными взаимодействиями. Дополнительный пик теплоемкости наблюдается в модели бесконечного радиуса взаимодействия. Точным методом исчерпывающего перечисления получена плотность вероятности состояний системы точечных диполей на решетках квадратного, гексагонального и шакти спинового льда в модели взаимодействия ближайших соседей, также как в моделях бесконечного радиуса со свободными граничными условиями.
-
Параметром порядка для модели диполей на решетке квадратного спинового льда с диполь-дипольным взаимодействием может выступать относительный размер наибольшего перколяционного кластера, внутри которого все парные энергии взаимодействия ближайших соседей минимизированы.
-
Численно рассчитана размерная зависимость значения теплоемкости и температуры, при которой теплоемкость испытывает максимум для решетки квадратного спинового льда в модели Изинг-подобных спинов с диполь-дипольным взаимодействием бесконечного радиуса взаимодействия.
Разработано собственное программное обеспечение для проведения суперкомпьютерного моделирования и суперкомпьютерных расчетов, получены свидетельства о регистрации программ для ЭВМ в государственном реестре.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертационной работы имеют фундаментальный теоретический характер и могут быть использованы в смежных сферах теоретической и экспериментальной физики. В теоретической физике результаты могут быть использованы для описания явлений фазовых переходов и изучения явления фрустраций в системах взаимодействующих магнитных частиц со сложными или конкурирующими взаимодействиями. Результаты могут быть использованы при исследовании магнитных свойств фрустрированных магнетиков и искусственных суперферромагнитных структур. Численные результаты представлены преимущественно в относительных единицах измерения, что позволяет с легкостью преобразовать их с учетом параметров эксперимента, параметров решеток и других характеристик магнитных материалов. Разработанные алгоритмы и программы ЭВМ могут использоваться для интерпретации экспериментальных данных и в образовательном процессе.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Отсутствует простая взаимосвязь между явлением фрустрации и значениями кратности вырождения основного состояния (конечными зна-5
чениями остаточной энтропии) для систем спинов на решетках квадратного, гексагонального и шакти спинового льда в модели диполь-дипольного взаимодействия ближайших соседей, также как в моделях бесконечного радиуса со свободными граничными условиями. Плотность вероятности состояний фрустрированных решеток квадратного, гексагонального и шакти спинового льда в моделях как конечного, так и бесконечного радиусов взаимодействия, подчиняется нормальному закону. Учет дальнодействующих взаимодействий в векторных моделях фрустрированных спиновых систем может приводить к появлению нескольких локальных максимумов в температурном поведении теплоемкости.
-
Параметром порядка в модели диполей на решетке квадратного спинового льда является размер наибольшего перколяционного кластера, внутри которого все парные энергии взаимодействия ближайших соседей минимизированы. Температура, соответствующая наибольшему наклону кривой температурного поведения параметра порядка, то есть наибольшей скорости его изменения, для модели квадратного спинового льда совпадает с температурой максимума теплоемкости.
-
Фазовый переход в системе точечных диполей на решетке квадратного спинового льда как в нефрустрированной модели конечного радиуса взаимодействия, так и во фрустрированной модели бесконечного радиуса взаимодействия, подтверждается наличием линейной зависимости высоты максимума теплоемкости от логарифма числа частиц. В пределе бесконечного числа диполей, максимальное значение теплоемкости стремится к бесконечности.
Достоверность. Результаты получены с помощью строгих математических и вычислительных методов, опираются на твердо установленные и экспериментально проверенные положения статистической физики, не противоречат известным экспериментальным результатам. Значения кратностей вырождения энергий для квадратного, гексагонального и шакти спинового льда размером до 40 диполей, получены методом исчерпывающего перечисления всех возможных состояний без каких-либо дополнительных упрощений, ограничений, предельных переходов, предположений и допущений. Результаты, представленные в диссертации, проверены с помощью независимых методов: Ванг-Ландау, Метрополис, исчерпывающее перечисление. Между результатами, полученными независимыми методами, достигнута сходимость.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены в виде устных и стендовых докладов на международных, российских и региональных конференциях:
1. Второй международный консорциум аспирантов «Инновации в области информационных и коммуникационных наук и технологий» (IICST2012), Томский государственный университет систем управле-6
ния и радиоэлектроники / университет Рецумейкан (Япония), Томск – 2012;
-
Третий международный консорциум аспирантов «Инновации в области информационных и коммуникационных наук и технологий» (IICST2013), Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники / университет Рецумейкан (Япония), Томск – 2013;
-
Вторая международная конференция по вычислительным и теоретическим нанонаукам (ICCTN2013), Международная ассоциация управления науками и инженерными технологиями, Гонконг – 2013;
-
3-я международная конференция по современным измерениям и испытаниям (AMT-2013), Международная ассоциация управления науками и инженерными технологиями, Китай – 2013;
-
Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Школы естественных наук ДВФУ, Дальневосточный федеральный университет, Владивосток - 2013;
-
12-я региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование», Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск – 2013;
-
3-я международная конференция «Высокопроизводительные вычисления» (HPC-UA 2013), Киевский политехнический институт, Украина – 2013 (заочное участие);
-
Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Школы естественных наук ДВФУ, Дальневосточный федеральный университет, Владивосток - 2014;
-
10-я Международная научно-практическая конференция «Фундаментальная наука и технологии - перспективные разработки», Научно-издательский центр «Академический», США – 2015 (заочное участие);
-
3-я азиатская школа-конференция по физике и технологиям нанострук-турных материалов (ASCO-NANOMAT 2015), Дальневосточное отделение Российской академии наук, Владивосток – 2015;
-
Международная научная конференция по параллельным вычислительным технологиям (ПаВТ’2015), Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина, Екатеринбург – 2015;
-
Международная конференция «Спиновая физика, спиновая химия и спиновые технологии» (SPCT-2015), Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, Санкт-Петербург – 2015;
-
14-я региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование», Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск – 2016;
-
26-я международная научно-практическая конференция «Международное научное обозрение проблем и перспектив современной науки и
образования», издательство «Проблемы науки», США – 2016 (заочное участие).
Личный вклад. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Задачи, представленные в диссертации, были решены автором лично. Вклад автора в работы, выполненные в соавторстве, считается равнозначным.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 21 печатном издании, 6 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [—], 1 индексируется базой Web of Sciense [], 6 индексируются базой Scopus [—], 4 являются авторскими свидетельствами о регистрации программ ЭВМ в Роспатенте [—], 10 –– опубликованы в виде тезисов докладов и материалов конференций [—39], 1 является главой в монографии [].
Связь с научными проектами. В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в Дальневосточном федеральном университете при финансовой поддержке стипендии Президента РФ молодым ученым и аспирантам, в соответствии с программой развития приоритетного направления ”Стратегические информационные технологии, включая вопросы создания суперкомпьютеров и разработки программного обеспечения грант № СП-946.2015.5, а так же в рамках госзадания «Магнитные свойства и многомасштабная структура наноматериалов», задание № 3.7383.2017/БЧ. Результаты численного моделирования получены при использовании суперкомпьютерного кластера Дальневосточного федерального университета (), а так же с использованием оборудования центра коллективного пользования «Дальневосточный вычислительный ресурс» ИАПУ ДВО РАН ().
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации 115 страниц текста с 40 рисунками и 7 таблицами. Список литературы содержит 155 наименований.
Модель диполь-дипольного взаимодействия
Энтропия характеризует вероятность осуществления макроскопического состояния с заданным значением энергии при Т — оо. Если представить кратность вырождения состояний как функцию от энергии G(E), то энтропия для заданного уровня энергии, согласно определению Больцмана, задается как S(E) = квlnС(Е). Энтропия может рассматриваться как термодиамическая величина, которая определяет меру диссипации энергии в системе и задается отношением (1.29) где U - внутренняя энергия системы, F = U-kBlnZ- свободная энергия Гельм-гольца. В уравнении (1.22), (Е)(Т) - термодинамическое усреднение Гиббса для уровня энергии. Аналогичным образом можно получить и распределение энергетического уровня энтропии: {S) = ЕС(Е,)expфВ (1.30) где суммирование, в отличие от (1.22), проводится по уникальным уровням энергий, то есть по вхождениям G(E).
Исходя из уравнений (1.29) и (1.30) видно, что в случае равновесной изолированной системы (при Т — оо), выпадение каждого состояния становится равновероятным и определяется только числом микросостояний. В модели Изинг-подобных частиц (где спин может находиться только в двух состояниях), S(T - oo)/N = ln 2 [24, с. 57]. При Т - 0, конфигурации с нижайшим уровнем энергии будут иметь максимальную вероятность в распределении Гиббса. Третье начало термодинамики гласит: по мере приближения температуры к 0К энтропия всякой равновесной системы при изотермических процессах перестает зависеть от каких-либо термодинамических параметров состояния и в пределе (Т = 0К) принимает одну и ту же для всех систем универсальную постоянную величину, которую можно принять равной нулю [25, с. 91].
Общность этого утверждения состоит в том, что: во-первых, оно относится к любой равновесной системе; во-вторых, что при T 0K энтропия не зависит от значения любого параметра системы.
Удивительно, что предельное значение энтропии, поскольку оно одно и то же для всех систем, не имеет какого-либо физического смысла и поэтому полагается равным нулю [25, с. 91].
Однако, на практике, при T 0K, уровень энтропии будет определяться кратностью вырождения основного состояния S(T 0) = lnG(Egs), которая может быть отличной от нуля. Это значение называется остаточной энтропией. В системах с конкурирующими взаимодействиями (например, описанными в разделе 1.1.1), основное состояние будет вырождено, что приведет к более высокому уровню остаточной энтропии. Выполнение условия S(T 0) ln 2/N однозначно говорит о наличии конкурирующих взаимодействий в системе, и как следствие, о наличии фрустраций. Однако, обратное не всегда верно. Данный вопрос раскрыт в главе 4.
Критические явления относятся к точкам нестабильности фазовой диаграммы для определенной системы [26, с. 11]. Эти критические точки классифицируются как переходы первого или второго порядка в зависимости от того, является ли переход бесконечным или конечным, соответственно [27]. Примером перехода первого порядка в кобальте является переход от гексагональной плотноупакован-ной (ГПУ) к гранецентрированной кубической (ГЦК) кристаллической фазе при температуре примерно 710K [28]. Фазовые переходы первого рода проявляют явления гистерезиса и связаны с конечным изменением внутренней энергии системы. Примером фазового перехода второго рода в той же системе является переход из ферромагнитной в парамагнитную фазу, который происходит при критической температуре Tc = 1388 ± 2K [29]. В фазовом переходе второго рода две фазы сменяют друг друга без каких-либо энергетических затрат и, следовательно, характеризуется колебаниями между двумя фазами в критической точке [30].
Непрерывный характер фазовых переходов второго рода позволяет тщательно изучить его поведение, близкое к критической точке. Принято считать, что критическое поведение следует степенным законам масштабирования, с показа 25 телями, значения которых попадают в небольшой диапазон универсальных значений, которые зависят только от небольшого числа параметров, таких как размерность и количество степеней свободы системы [31—34] (хотя симметрия неупорядоченной фазы и радиус взаимодействия могут изменить критическое поведение [31; 35—38]).
На самом деле, оказывается, что критическое поведение большинства систем можно описать с помощью двух специфических гамильтонианов микроскопического взаимодействия: 1. Модель Поттса с Q состояниями, где каждый спин г может быть в одном из Q возможных дискретных направлений S{ (S{ = 1,2,...,Q). Если два соседних спина имеют одинаковые направления, то они вносят сумму — J к общей энергии конфигурации, в противном случае они не дают вклада: H(d,s) = -jJ2b(S SJ), (1.31) где 6 - символ Кронекера и іj показывает что суммирование проходит только по уникальным парам ближайших соседей. 2. п - векторная модель, где спины пребывают в непрерывном пространстве состояний: H(d,s) = -J 2(Si, Sj)} (1.32) где спин Si является п - мерным единичным вектором и Si изотропно взаимодействует со спином Sj, расположенным в точке j [39; 40]. В таблице 4 представлены критические индексы для n-моделей где d = 2,3 и п = 1,2,3. Для линейной цепочки спинов нет конечной температуры упорядочения в термодинамическом пределе. В двумерном пространстве, модель Изинга (п = 1) предсказывает магнитный порядок при конечных температурах, с критическим индексом намагниченности (3 = 1/8 [41; 42]. С другой стороны, изотропные XY и 2D Гейзенберг системы не упорядочиваются при конечной температуре в термодинамическом пределе [45; 48—50].
Параллельный метод Ванга-Ландау
Метод параллельного отжига (от англ. Parallel Tempering) заключается в мультиканоническом семплировании нескольких копий системы (реплик) при разных температурах [107—109]. В целях ухода от проблемы критического замедления и ускорения процесса эволюции марковской цепи, соседние по температуре реплики обмениваются своими конфигурациями [108] с вероятностью Pобмена = min(1, exp где T - разница температур соседних реплик, E - разница энергий для конфигураций, подлежащих обмену. Число реплик и соответствующие значения температур подбираются в зависимости от конкретной задачи и вычислительных возможностей. На рисунке 2.1 изображена схема обмена конфигурациями для 5 различных реплик. Начальная конфигурация из реплики 4 в результате работы алгоритма Т5Т4 Т3Т "і/ і 1 г—"—І if V:1 J Ті X Монте-карло шаг Рисунок 2.1 — Схематичное представление процесса обмена репликами в алгоритме параллельного отжига на примере 5 реплик. стала обрабатываться при T1. В последовательном алгоритме, работающем при T = T1, для стабилизации системы потребовалось бы значительно большее число шагов.
Параллельный отжиг позволяет за меньшее число шагов провести семпли-рование сразу для набора различных температур. Алгоритм легко реализуется в виде параллельного суперкомпьютерного кода с использованием наиболее распространенного интерфейса обмена сообщениями между процессами «MPI».
Как и метод Метрополиса [110], метод Ванга - Ландау (ВЛ) принадлежит группе МК-методов. В основу работы таких методов положено условно случайное блуждание по пространству состояний. Однако, алгоритмы, используемые этими методами, отличаются способом выборки или подходом к семплированию, те. способом составления выборочной совокупности, части генеральной совокупности состояний, которая охватывается одним экспериментом, серией последовательных или параллельных экспериментов. Для построения выборки в ВЛ-методе используется равновероятное семплирование. Распределение вероятностей энергетических уровней, или плотность вероятности состояний (ПВС) представляется в виде гистограммы д(Е), рисунок 2.3. Метод ВЛ является эффективным алгоритмом для вычисления д(Е) с высокой точностью. Для улучшения сходимости был предложен алгоритм 1/t [111]. С помощью метода В Л были исследованы различия энергетической ПВС с целью получения перехода первого порядка [112].
Также см., напр. [113; 114], существует возможность вычислить многомерное распределение ПВС любой измеряемой в численном эксперименте термодинамической величины Х(Е) и получить ее среднее значение я (ЯМЯ)exp [ -г 1 Ш = F і (2.7) Е ()exp [ -— Гистограмма д(Е) обновляется каждый шаг независимо от принятия или отмены конфигурации. Такой подход позволяет значительно уменьшить время работы алгоритма. Принцип работы и детали реализации последовательного ВЛ-алгоритма изложены в основополагающих работах [115; 116], см. также [117; 118]. Дополнительно кд(Е) формируется гистограмма Н(Е), которая служит индикатором равномерного обхода всех возможных энергетических уровней системы. Изначально задаются следующие начальные значения: д(Е) = 1, Н(Е) = О, УЕ, модифика-ционный фактор / = е1 2.7182818, влияние точности которого на результат и скорость сходимости будет обсуждаться ниже.
Процесс работы алгоритма заключается в пошаговой генерации цепочки состояний системы. На каждом МК-шаге происходит выдвижение кандидата на новую конфигурацию С[+1, отличающуюся от предыдущей одним перевернутым спином. С учетом вероятности Рас либо принимается новая конфигурация (Сг+1 = C i+1), либо возвращается старая Сг+1 = Сг: pl,2 р2,3 р(п-1),п С1 - С2 - ... — Сп. (2.8) Вероятность обновления i m Pac(Eold - Enew) = min1,4Ш (2.9) зависит от распределения вероятности энергетических состояний, полученного на предыдущих итерациях алгоритма, где Е0и и Enew — энергии старой и новой конфигураций, соответственно.
Гистограммы обновляются независимо от принятия или отмены новой конфигурации согласно правилу д(Е) - д(Е) /, где / 1, v ; (2.10) Н(Е) - Н(Е) + 1.
В практической реализации для достижения пределов точности, которые вычислительное устройство может поддержать, желательно использовать lnд(Е) вместо д(Е). Тогда условие обновления д(Е) будет lng(E) lng(E)+ln(f). (2.11)
Семплирование выполняется до момента, пока гистограмма Н(Е) не станет равномерной, с определенной точностью. На этом шаг ВЛ заканчивается, устанавливаются новые значения / = V? и Н(Е) = 0, УЕ. Таким образом алгоритм начинает новый цикл семплирования с большей точностью обновления д(Е). Точность равномерности определяется максимальным отклонением каждого элемента гистограммы H(E) от ее среднего значения. Обычно это 80%. Согласно результатам, приведенным в работе [115], увеличение порогового значения приводит к ухудшению сходимости алгоритма. Увеличение точности результата не наблюдается. Ответ на вопрос, как влияет равномерность распределения вспомогательной гистограммы на точность вычислений, требует дополнительных исследований. Однако, можно утвердительно сказать, что увеличение равномерности распределения приведет к снижению скорости работы алгоритма.
Новое распределение g(E) формируется на основе предшествующего. Мо-дификационный фактор f является одновременно и критерием завершения, и показателем скорости вычисления. Алгоритм продолжается до тех пор, пока f fmin, т.е. пока не достигнуто определенное минимальное значение. Учитывая, что каждый МК-шаг g(E) увеличивается в f раз, путем изменения fmin фактически варьируется точность изменения g(E), за счет изменения числа полных ВЛ-циклов. Эта закономерность определяет баланс между точностью g(E) и скоростью работы алгоритма.
Для проверки точности ВЛ-алгоритма проведено сравнение результатов с точным решением для самой простой и хорошо исследованной модели Изинга на простой квадратной решетке, рисунок 1.3. Гамильтониан модели определен в уравнении (1.33).
Треугольная и гексагональная решетки
В ВЛ алгоритме, напрямую вычисляется отношение g(E) для различных энергий E1 и E2, g(E1)/g(E2). Если необходимо получить только температурную зависимость внутренней энергии или теплоемкости, относительного g(E) достаточно. Но если необходимо получить абсолютное значение энтропии, необходима нормализация g(E). В случае модели Изинга, каждый спин принимает одно из двух возможных значений, таким образом, условие нормализации будет g(E)=2Nspin, (3.3) E где Nspin число спинов. Если не требуется получение точного значения энтропии, то значения g(E) могут быть нормированы на 2N, при этом необязательно знать ЗООО точное вырождение каждого из этих значений. В случае разбавления, число спинов 7Vspin отличается от числа вершин N. Зависимость lnд(Е), другими словами энтропия, как функция Е (в единицах J) модели Изинга на решетке пирохлора, изображена на рисунке 3.2. Размер системы L = 6 (N = 3456). График приведен для одного образца с постепенным увеличением уровня разбавления х. Энергия принимает значение от — NJ до 3NJ для чистой системы (х = 0). Стоит заметить, что энергия принимает значение кратное 4 J для чистых систем. Для разбавленных систем, энергия принимает значение кратное J, и при изменении значения спина она меняется на 2 J. Таким образом, итоговая энергия в рамках одного эксперимента является четным числом J либо нечетным числом J.
Температурное усреднение энтропии S = lnд(Е) получено согласно уравнению (1.29) для небольших систем, и согласно (1.30) для больших систем. Теплоемкость получена согласно (1.28). На рисунке 3.3 изображена температурная зависимость теплоемкости на спин для антиферромагнитной модели Изинга на решетке пирохлора cж от 0.0 до 0.9с шагом 0.1. Температура Т измерена в единицах J/кB. Размер системы L = 6 (N = 3456). Усреднение было взято по 40 случайным образцам. Статистические ошибки не превышают толщины линии. На рисунке приведены данные только для L = 6; зависимость от размера достаточно маленькая, так как система не испытывает фазового перехода в модели с ближним порядком. Самый высокий пик теплоемкости наблюдается при х = 0.
Температурная зависимость энтропии на спин для антиферромагнитной модели Изинга на решетке пирохлора (х = 0.0,0.1, 0.9) изображена на рисун 0.3 Зависимость концентрации разбавления от максимального значения теплоемкости на спин для антиферромагнитной модели Изинга на решетке пирохлора. Размеры систем L = 1 (N = 16) и L = 6 (N = 3456). Перколляционный порог для решетки пирохлора (алмаза) хс = 0.61 [140] отмечен стрелкой. ке 3.4. Усреднение было взято по 40 образцам. Размеры системы L = 1 (N = 16) и L = 6 (N = 3456). Размерная зависимость достаточно мала. Остаточная энтропия (Т — 0) становится больше, когда существенно х 0. В высоко температурном приделе (Т - ос) энтропия на спин приближается к ln 2 = 0.693.
Полный перебор и ВЛ решения для зависимости максимума теплоемкости на спин от концентрации разбавления для антиферромагнитной модели спинов Изинга на решетке пирохлора показаны на рисунке 3.5. Относительная погрешность достаточно мала в обоих случаях. Размеры систем L = 1 (N = 16) и L = 6 (N = 3456). Перколяционный порог для решетки пирохлора (алмаза) хс = 0.61 [140] показан стрелкой.
В тексте работы и на рисунках используются символы S/Nspin, C/Nspin и C/7Vspin, которые обозначают, что имеют место и конфигурационное и термодинамическое усреднения. Символы lnд(Е) и 5о/Лspin подразумевают, что было произведено конфигурационное усреднение.
Для проверки точности вычислений, детально исследована зависимость размера остаточной энтропии. Остаточная энтропия может быть вычислена из исходных данных lnд(Е), которые были показаны на рисунке 3.2. На рисунке 3.6 приведены значения остаточной энтропии для «чистой» системы (х = 0) как функции от 1/N (N = 7Vspin). Точное приближение остаточной энтропии чистой системы (х = 0) используя последовательный метод Нэгла [141] имеет значение 0.208 0.206
График остаточной энтропии на спин чистой антиферромагнитной модели Изинга на решетке пирохлора как функция 1/N (N = 7Vspin). Размер системы L = 3 (N = 432), L = 4 (N = 1024), L = 5 (N = 2000) и L = 6 (N = 3456). Точное решение Нэгла [141] (0.20501) показано красной стрелкой, где приближение Полинга [18] (0.20273) показано голубой стрелкой.
Точное решение энтропии и теплоемкости на решетках спинового льда
Как было сказано ранее, искуственный спиновый лед это массив однодо-менных ферромагнитных наноостровков. В рассматриваемой ИСЛ модели, макроспин или суперспин Изинга идеализируется как магнитный дипольный момент, благодаря сильной анизотропии формы. (Здесь идалее для простоты слово «спин» будем использоваться наравне со «суперспином» или «макроспином»). Конечно, идеальный диполь это всего лишь приближение и упрощение. Настоящий нано-островок может иметь граничные магнитные явления, интенсивность которых зависит от формы и размеров наноостровка и близости наноостровков в вершине. Так же необходимо заметить, что в дипольной модели «магнитные заряды» полностью сконцентрированы в центрах ребер решетки, таким образом рассматриваемые модели имеют значительные отличия от вершинных моделей. XMCD изображения, смотри, например [21], позволяют сделать вывод, что плотность намагниченности равномерна по всей длине наноостровка. Это подтверждает однодо-менную природу островка и демонстрирует превосходство анизотропии формы [10]. Однодоменное состояние и ориентация магнитного момента направленного вдоль длинной оси приводит к эффективному Изинг-подобному поведению. Рассматриваемая модель не включает эффекты релаксации на концах частиц. В модели наноостровок находится на ребре решетки и его длинная сторона намного меньше, чем длина ребра.
Все представленные решения в этой главе получены в приближении равновесия, то есть при условии, что все энергетические барьеры, контроллируемые анизотропией формы, либо другими типами магнитных анизотропий, были преодолены.
Взаимодействие рассматривается как диполь-дипольное, гамильтониан определен уравнением (1.43), где - суммарный магнитный момент островка.
В виду рассмотрения дальнодействующего взаимодействия между спинами системы, накладываются определенные ограничения на объемы численных операций и данных. Число итераций, необходимых для расчета энергии одной конфигурации, зависит от числа частиц как zN, где z - число ближайших соседей. Оно возрастает от 2N, при z = 4 для близкодействия, до N(N-1) для дальнодействия. Общее число возможных конфигураций системы в зависимости от числа спинов N возрастает, как 2N. Как следствие, строгое вычисление методом полного перебора доступно только для сравнительно небольших систем N 40 Для получения точной ПВС используется полный перебор, рисунок 4.2. На рисунке 4.3 представлены температурные зависимости термодинамических функций КСЛ, ШСЛ и ГСЛ. Крупноразмерные решетки ИСЛ были исследованы независимо используя параллельный метод Ванга-Ландау и метод Метрополиса для гарантии сходимости, рисунки 4.4, 4.6, 4.8. Достоверность полученных результатов подтверждена путем сравнения данных моделирования с точными решениями для небольших а)
Гистограммы кратности вырождения энергий фрустрированного спинового льда для дальнодействия (левый столбец) и короткодействия (правый столбец). а) Квадратный спиновый лед, 24 диполя. б) Гексагональная решетка, 30 диполей. в) Шакти решетка, 32 диполя. Данные получены исчерпывающим перечислением. Линиями обозначено нормальное распределение с параметрами, представленными в таблице 6. а)
Энтропия (сверху) и теплоемкость (снизу). а) Решетка квадратного спинового льда, 24 диполя. б) Гексоганальная решетка спинового льда, 30 диполей. в) Шакти решетка спинового льда, 32 диполя. N, путем сравнения результатов независимых численных экспериментов используя два МК метода для относительно большого числа частиц.
Термодинамические значения энтропии S(T), теплоемкости С(Т), магнитной восприимчивости в нулевом поле Х ±(T)\h o и параметра порядкаГ(Т) получены согласно уравнениям (1.29), (1.28), (1.20) и (4.3), соответственно.
В соответствии с правилами статистической механики для строгих вычислений термодинамических характеристик в равновесии важно получить статсумму Z. Но это возможно только если имеется информация о всех 2 состояниях. Понятно, что получение такой информации для больших систем требует громадных ресурсов, и таким образом, возможно только для малого числа частиц. Поэтому, для небольших систем (N 32) используется метод полного перебора всех конфигураций. Для больших систем применяется алгоритм ВЛ, описанный в параграфе 2.3.
Перед построением Q(E) необходимо предварительно оценить энергетические границы Emin (основное состояние) и Етах. Для определения ПВС текущая энергия конфигурации сравнивается со всеми предыдущими энергиями. Важно иметь в виду специфику работы с компьютерным представлением чисел с плавающей точкой во время ВЛ-семплирования. Сравнение двух идентичных double чисел часто работает некорректно. Каждая вычисленная энергия будет иметь одно, или как минимум, двойное вырождение, и число элементов гистограммы будет очень большим.
Для решения этой проблемы, энергетическое пространство между Emin и Етах было разбито на равные интервалы. Максимально возможное число интервалов использовалось для достижения хорошей сходимости. Уменьшение числа интервалов может негативно повлиять на точность результатов, а увеличение может сильно увеличить затраты на вычисления. Ширина одного интервала Е должна быть достаточно большой, чтобы адекватно показывать энергетический масштаб и запрещенные зоны рядом с минимумом и максимумом. В то же время она не должна быть бесконечно малой, чтобы не превысить предел вычислительной точности и размер доступной памяти. В работе использовалось 104 интервалов для квадратного спинового льда (рисунок 4.2а), 2-107 интервалов для гексагональной и шакти решеток (рисунок 4.2б, 4.2в). Столь малое число интервалов для КСЛ обусловлено малым числом частиц. Итоговое число конфигураций меньше чем 2 107. Если разделить ПВС на 2 107, ландшафт станет плоским (похожие энергетические значения «размажутся» из-за погрешности при вычислении чисел с плавающей точкой).
Результаты авторской реализации ВЛ алгоритма хорошо совпадают с точным решением. Точность для относительно большого числа частиц подтверждено совпадением графиков теплоемкости, восприимчивости и параметра порядка, полученных методами В Л и Метрополиса независимо.
На рисунках 4.1а, 4.1б и 4.1в изображено основное состояние КСЛ, ГСЛ и ШСЛ решеток, соответственно. Эти основные состояния наблюдаются одновременно в моделях с короткодействующими и дальнодействующими взаимодействиями для исследуемого числа диполей. Фрустрации для короткодействия (для первой координационной сферы) в модели КСЛ не наблюдаются, рисунок 4.1а.
Для КСЛ каждая вершина подчиняется правилу льда [153]. Возбужденное состояние, которое так же подчиняются правилу льда (например все строки направленны влево, а все столбцы вверх), не будет являться основным состоянием. КСЛ имеет два основных состояния с противоположной хиральностью, и таким образом, независимо от радиуса взаимодействия наблюдается двойное вырождение минимальной энергии. Явление присутствия спинов, энергия взаимодействия которых равна нулю (остаточная, без рассеивания), было исследовано в [101; 154].
На рисунке 4.2 приведены диаграммы ПВС, полученные методом полного перебора по всем возможным конфигурациям для дипольных моделей. В правой колонке на рисунке 4.2 изображена модель с ограниченным радиусом дипольного взаимодействия, которая не превышает радиуса первой координационной сферы, включающей только ближайших соседей. Левая колонка содержит ПВС для моделей с дальнодействующим дипольным взаимодействием (полносвязная модель).
В ПВС для КСЛ, ГСЛиШСЛ показано сходство формы распределения между моделями дальнего радиуса действия и короткодействия. Но дальнее взаимодействие приводит к размытию плотности состояний во всех описанных здесь случаях. Следует отметить выраженную асимметрию ПВС для гексагональной решетки 4.2б в обоих диапазонах