Содержание к диссертации
Введение
1 Динамические критические явления и методы их описания 18
1.1 Введение 18
1.2 Фазовые переходы и критические явления 19
1.3 Динамическое критическое поведение 24
1.4 Системы с медленной динамикой и эффекты старения 30
1.5 Двумерная XY-модель и фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулесса 37
1.6 Методы моделирования критического поведения однородных и структурно неупорядоченных систем 45
2 Исследование неравновесного критического огрубления, фраг ментации и неравновесной вихревой динамики однородной и структурно неупорядоченной двумерной XY-модели 55
2.1 Введение 55
2.2 Огрубление и фрагментация в двумерной XY-модели 56
2.3 Метод определения геометрических характеристик кластеров в системе 63
2.4 Метод исследования вихревых возбуждений в структурно неупорядоченной системе 64
2.5 Исследование динамики кластеризации в системе при различных температурах и концентрациях спинов
2.5.1 Исследование динамики огрубления 65
2.5.2 Исследование динамики фрагментации 72
2.5.3 Равновесие при огрублении и фрагментации 75
2.5.4 Понижение размерности кластеризации 2.6 Исследование вихревой динамики в системе при различных температурах и концентрациях спинов 83
2.7 Исследование механизма влияния структурного беспорядка на процесс огрубления через вихревую подсистему 88
2.8 Выводы 92
3 Исследование эффектов старения в однородной и структур но неупорядоченной двумерной XY-модели при релаксации из различных начальных состояний 95
3.1 Введение 95
3.2 Исследование эффектов старения в процессе релаксации системы из начального высокотемпературного состояния
3.2.1 Исследование эффектов старения 95
3.2.2 Исследование температурной и концентрационной зависимости флуктуационно - диссипативного отношения 100
3.3 Исследование эффектов старения в процессе релаксации системы из начального низкотемпературного состояния 105
3.3.1 Старение и нарушение флуктуационно - диссипа-тивной теоремы 105
3.3.2 Субстарение и нарушение флуктуационно - дис-сипативной теоремы 107
3.4 Выводы 112
Численное исследование равновесных низкотемпературных свойств однородной и структурно неупорядоченной двумерной XY-модели 114
4.1 Введение 114
4.2 Численное исследование однородной системы в рамках динамик Метрополиса и Кавасаки 114
4.3 Определение критической температуры структурно неупорядоченной системы с различной концентрацией дефектов 117
4.4 Исследование температурной зависимости и влияния структурного беспорядка на поперечную жесткость системы 119
4.5 Исследование температурной и концентрационной зависимости аномальной размерности системы 122
4.6 Выводы 123
5 Заключение 126
Литература
- Системы с медленной динамикой и эффекты старения
- Исследование динамики кластеризации в системе при различных температурах и концентрациях спинов
- Исследование температурной и концентрационной зависимости флуктуационно - диссипативного отношения
- Определение критической температуры структурно неупорядоченной системы с различной концентрацией дефектов
Введение к работе
Актуальность темы
Особенности критического поведения систем вблизи точки фазового перехода второго рода связаны с возникновением в критическом состоянии аномально больших, долгоживущих и сильно взаимодействующих флуктуации основных термодинамических величин. Понижение размерности рассматриваемых систем приводит к усилению флуктуационных эффектов.
Особое место среди низкоразмерных систем занимают двумерные системы с непрерывной симметрией. Известно, что в данных системах дальний порядок разрушается при всех конечных температурах. Однако случай двумерной XY-модели характеризуется осуществлением в системе топологического фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулесса при температуре Твкт Фазовый переход связан с диссоциацией связанных пар вихрь-антивихрь в точке перехода. Особенностью данной системы является аномально сильная пространственная и временная корреляция состояний системы во всей низкотемпературной фазе Т < Твкт; характеризуемая степенным законом спадания, в то время как для термодинамических фазовых переходов второго рода эффекты сильной корреляции осуществляются лишь вблизи критической точки. Это позволяет наблюдать медленную динамику двумерной XY-модели не только вблизи критической точки, а во всем низкотемпературном диапазоне
Т < Твкт
Двумерная XY-модель является одной из базовых фундаментальных моделей исследования фазовых переходов и критических явлений и применяется для описания широкого спектра реальных физических систем [1, 2], в частности ультратонких магнитных пленок, планарных магнетиков типа «легкая плоскость», сверхтекучих тонких пленок, двумерных кристаллов и двумерной турбулентности.
Хотя равновесные свойства двумерной XY-модели к настоящему времени достаточно подробно исследованы, неравновесная релаксация и влияние структурного беспорядка на критические свойства вызывают значительный научный интерес. Связано это с явлениями медленной релаксации из начального неравновесного состояния, в частности эффектами старения, памяти и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы, а также влиянием на них сильной вихревой неравновесности, кластеризации областей квазидальнего порядка и пиннинга вихрей на дефектах.
Цели работы
- исследование влияния структурного беспорядка на неравновесные эффекты старения и нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы в системе.
определение влияния неравновесной вихревой динамики и спин-волновых элементарных возбуждений на процесс медленной критической релаксации системы из начального вихревого и безвихревого неравновесного состояния.
исследование неравновесной критической кластеризации в системе с дефектами для различных начальных неравновесных состояний, исследование взаимного влияния процесса локального упорядочения в области квазидальнего порядка и процессов неравновесной вихревой динамики.
численное исследование поперечной жесткости структурно неупорядоченной системы в низкотемпературной фазе, определение пределов применимости спин-волнового приближения и сравнение с результатами для однородной системы.
исследование динамических критических свойств двумерной XY-модели в рамках диссипативной модели критической релаксации и модели с сохраняющимся параметром порядка.
Научная новизна результатов
1. Впервые осуществлено численное моделирование неравновесной кри
тической релаксации структурно неупорядоченной двумерной XY-модели во
всей низкотемпературной фазе Т < Твкт в широком диапазоне спиновой кон
центрации р из двух различных неравновесных начальных состояний - низ
котемпературного То = 0 и высокотемпературного То 3> Твкт Исследова
ны эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы
в широком диапазоне времен ожидания tw и определены асимптотики пере
хода tw —> оо на скейлинговых динамических режимах. Определены темпера
турные зависимости асимптотического значения величины флуктуационно-
диссипативного отношения Х: степенные для начального высокотемпера
турного состояния и универсальная линейная - для низкотемпературного.
-
Впервые обнаружены эффекты субстарения для релаксации однородной и структурно неупорядоченной системы из начального низкотемпературного состояния. Исследованы соответствующие скейлинги и определена температурная и концентрационная зависимости индекса субстарения fj,(T,p). Показано, что /л(Т,р) = г/(Т,р), где г/(Т,р) - показатель аномальной размерности системы, определяющий степенной закон спадания пространственной и временной корреляции состояний системы в низкотемпературной фазе.
-
Впервые показано, что спин-волновое приближение принципиально не позволяет получить правильной температурной зависимости поперечной жесткости для системы с дефектами, и для адекватного описания свойств неупорядоченной системы даже в области низких температур требуется учет взаимодействия вихревой составляющей с полем дефектов структуры.
-
Впервые осуществлено прямое численное исследование кластеризации
в однородной и структурно неупорядоченной двумерной XY-модели. Обнаружен эффект аномального замедления процесса кластерного огрубления в неупорядоченной системе.
-
Впервые разработан и реализован метод поиска и идентификации вихревых элементарных возубждений в структурно неупорядоченной системе. Исследованы динамические зависимости процесса неравновесного пиннинга вихревых возбуждений. Показано, что динамика кластерного огрубления определяется динамикой свободных и пиннингованных вихревых возбуждений, и аномальное замедление кластеризации связано с замедлением вихревой динамики вследствие пиннинга вихревых возбуждений на дефектах.
-
Впервые показано, что неравновесное критическое поведение двумерной XY-модели во всей низкотемпературной фазе Т < ївкт описывается в рамках релаксационной модели А с несохраняющимся параметром порядка, а применение модели В с сохраняющимся параметром порядка возможно только в области низких температур Т <С ївкт
Научная и практическая значимость работы
Научная значимость работы обусловлена важностью выявления природы неравновесных процессов критической релаксации в структурно неупорядоченных системах и необходимостью разработки и апробации методик численного исследования неравновесных критических явлений. Особую значимость результаты работы приобретают при интерпретации результатов натурных экспериментов над системами с медленной динамикой, в частности при нарушении связи между корреляционными функциями и функциями отклика.
Практическая значимость работы обусловлена применением двумерной XY-модели для описания поведения и свойств широкого ряда физических систем, поэтому выявленные в диссертации особенности неравновесного поведения модели должны учитываться при их описании. В частности, поведение магнитных структур Ni/Cu(100), Co/Cu(100), Co-Ni/Cu(100) на основе ультратонких магнитных пленок Ni, Со и Co-Ni с толщинами N < 4 — 6 монослоев на металлической подложке из Си(100) описывается двумерной XY-моделью. Поэтому в искусственных магнитных структурах, создаваемых на их основе и обладающих эффектом гигантского магнитосопротивления, необходимо при процессах включения и выключения внешнего магнитного поля учитывать эффекты неравновесности, обусловленные медленной динамикой данных систем.
Полученные в диссертации результаты вносят существенный вклад в физику фазовых переходов и области исследования критического поведения низкоразмерных систем с непрерывной симметрией, характеризующихся аномально медленной динамикой.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Методика численного исследования неравновесных критических свойств однородной и структурно неупорядоченной двумерной XY-модели при релаксации из различных начальных неравновесных состояний и методика определения температурных и концентрационных зависмостей асимптотического значения величины флуктуационно-диссипативного отношения Х(Т,р) с использованием скейлинговых зависимостей и набора времен ожидания tw широкого диапазона.
-
Неравновесная критическая релаксация системы из низкотемпературного состояния демонстрирует эффекты субстарения с показателем fj,(T,p) = г)(Т,р). Температурная зависимость асимптотического значения флуктуационно-диссипативного отношения Х(Т,р) характеризуется универсальной зависимостью от Т/Твкт(р) Для различных спиновых концентраций р.
-
При релаксации системы из начального высокотемпературного состояния температурная зависимость асимптотического значения флуктуационно-диссипативного отношения Х(Т,р) имеет степенной вид. Введение в систему дефектов структуры приводит к понижению критического значения флук-туационно - диссипативного отношения в Твкт за счет процесса пиннинга вихрей.
-
Полученные численно и аналитически значения поперечной жесткости в однородной и структурно неупорядоченной системах указывают на существование нелинейных ангармонических спин-волновых эффектов и вкладов от межвихревого взаимодействия в чистой системе. Спин-волновое приближение не применимо для неупорядоченной системы вследствие пиннинга вихревых возбуждений на дефектах.
-
Методика исследования неравновесного процесса кластеризации и неравновесной вихревой динамики в однородной и структурно неупорядоченной двумерной XY-модели при релаксации из высокотемпературного и низкотемпературного начального состояния. Эффект аномального замедления процесса огрубления в структурно неупорядоченной системе обусловлен «окаймляющим» действием вихревой подсистемы.
-
Релаксация двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе корректно описывается динамикой Метрополиса с несохраняющимся параметром порядка, в то время как динамика Кавасаки с сохраняющимся параметром применима для описания только низкотемпературных свойств с Т< Твкт
Апробация работы
Основные результаты научной работы докладывались и обсуждались на Всероссийском научном семинаре «Вычислительная физика: алгоритмы, методы и результаты» (Таруса, 2011), на региональных научно-практических
конференциях «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2011, 2012, 2013, 2014), на VIII Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2012), на научно-практических семинарах «Вычислительная физика и суперкомпьютерные технологии» (Омск, 2012, 2013, 2014), на «XXV IUPAP Conference on Computational Physics» (Moscow, 2013), на «Moscow International Symposium on Magnetism (MISM)» (Moscow, 2014), на «Двадцать первой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых» (ВНКСФ-21, Омск, 2015), на Международной конференции «Spin physics, spin chemistry and spin technology» (St. Petersburg, 2015), на «International Conference on Computer Simulation in Physics and beyond» (Moscow, 2015), на семинаре «Методы суперкомпьютерного моделирования» (Таруса, 2015), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ.
Публикации
Список публикаций автора по теме диссертации включает 25 работ, опубликованных в российских и иностранных журналах, сборниках трудов и материалах конференций, из которых 8 статей в журналах из баз цитирования Scopus и Web of Science и перечня ВАК, монография и статья в сборнике, а также 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объем диссертации
Системы с медленной динамикой и эффекты старения
Фазовые переходы являются широко распространенными явлениями в природе. Под фазовыми переходами подразумевают переходы вещества [7, 154] из одной термодинамической фазы в другую. Термодинамическая фаза – статистически однородное состояние вещества, т.е. такое состояние системы, когда физические свойства во всех ее точках одинаковы. При сосуществовании в системе двух или трех фаз, между ними существует граница раздела фаз, характеризуемая поверхностной энергией. При движении по фазовой диаграмме системы линии (в более общем случае – поверхности) раздела фаз, с разных сторон от которых фазы различны, называют кривыми фазового равновесия.
Наиболее широко используемой [7] классификацией фазовых переходов является классификация Эренфеста (1933 г.). согласно которой можно выделить фазовые переходы первого рода (ФП I) и фазовые переходы второго рода (ФП II).
ФП I происходят путем появления новой фазы в объеме старой фазы в виде зародышей новой фазы [7]. Вблизи или выше точки ФП I зародыши имеют сверхкритический размер и постепенно увеличиваются, постепенно увеличивая объем новой фазы в массиве старой. Вследствие наличия границ раздела и различия в плотности фаз, ФП I происходит с поглощением или выделением тепла, называемого скрытой теплотой фазового перехода. При этом ФП I характеризуются разрывом первых производных химического потенциала при переходе через кривую равновесия фаз.
При протекании ФП II, напротив, новая фаза сразу возникает во всем объеме системы, полностью заменяя собой старую фазу, вследствие чего их называют непрерывными фазовыми переходами [7]. Сосуществование двух фаз, разделяемых ФП II, исключено. ФП II характеризуется тем, что первые производные от химического потенциала непрерывны, а вторые производные терпят конечный или бесконечный разрыв. Данного типа фазовые переходы обычно связаны со спонтанным нарушением симметрии системы.
Система в точке ФП II находится в критическом состоянии, в котором возникают критические явления. Под критическими явлениями обычно подразумевают процессы, связанные с возникновением в системе аномально больших, долгоживущих и сильно взаимодействующих флуктуаций основных величин. Критическим явлениям свойственны аномально высокие значения восприимчивости системы в критическом состоянии, аномально медленная динамика релаксации и развитая хаотичность поведения, приводящая к сложной предсказуемости временных зависимостей значений локальных величин.
При движении вдоль кривой фазового равновесия, через которую происходит ФП I, возможна ситуация, когда кривая закончится в критической точке. В окрестности критической точки происходят критические явления и ФП I, в некотором смысле, становится похожим на ФП II – скачки первых производных химического потенциала становятся малыми, при этом возникает аномальное поведение вторых производных химического потенциала. Обычно необходимым условием существования критической точки является совпадение неприводимых представлений групп симметрии переходящих друг в друга фаз («жидкость»–«газ», но не «кристаллическое состояние»–«жидкость»). Таким образом, все это определяет физическую общность между фазовыми переходами и критическими явлениями [7, 154]. Критическим явлениям, вследствие их флуктуационного характера, свойственна универсальность, когда явления из физически совершенно различных систем (смена агрегатных состояний, переходы между различными состояниями магнитного упорядочения в материалах, между различными кристаллическими модификациями и т.п.) описываются одинаковым набором закономерностей вблизи критической точки.
Первая универсальная теория фазовых переходов была предложена Л.Д. Ландау [154] и объединила существовавшие до этого теории критического поведения. Было введено фундаментальное для фазовых переходов понятие - параметр порядка, используемое для описания спонтанного нарушения симметрии при смене фаз. Теория Ландау базировалась на разложении термодинамического потенциала вблизи температуры фазового перехода в ряд по степеням параметра порядка с аналитическими по температуре коэффициентами разложения. Главный недостаток теории Ландау - отсутствие учета корреляции микроскопических переменных вследствие рассмотрения усредненной самосогласованной картины явления [1,5-9,11,12,14-16]. Теория Ландау, как и существовавшие до этого теории критических явлений, относятся к теориям среднего поля.
Исследование динамики кластеризации в системе при различных температурах и концентрациях спинов
Выше отмечалось, что эффективным методом исследования вкладов различных подсистем в общую картину критического поведения является исследование неравновесной критической релаксации из различных начальных неравновесных состояний [48]. Для раздельного исследования влияния вихревой подсистемы и подсистемы спиновых волн можно рассмотреть два существенно разных начальных состояния – высокотемпературное и низкотемпературное. На рис. 2.1 приведены визуали-56 зации состояний системы при моделировании из начального высокотемпературного и начального низкотемпературного состояний.
Высокотемпературное начальное состояние создается как равновесное состояние для системы с температурной То Твкт. При этом в системе присутствует значительное количество свободных вихревых элементарных возбуждений, концентрация которых существенно неравновесна для низкотемпературной фазы Т Твкт. Таким образом, данное состояние является «вихревым начальным состоянием».
Противоположностью начальному высокотемпературному, вихревому, состоянию служит низкотемпературное состояние, получаемое как основное состояние системы, при То = 0. Вихревые возбуждения в данном случае отсутствуют, и релаксация происходит преимущественно за счет спин-волновых эффектов, в особенности при Т С Твкт. Данное начальное состояние является «безвихревым».
В процессе неравновесной релаксации из начального вихревого состояния изначально в системе области квазидальнего-порядка практически отсутствуют - система полностью разупорядченная. С течением времени малые области растут и объединяются в более крупные, с уменьшением их общего количества. В процессе огрубления происходит «возникновение порядка из хаоса», т.е. просто разупорядоченная система с течением времени упорядочивается.
Огрубление встречается в исследованиях неравновесного критического поведения [49], кристаллического роста [54,55], наносуспензий и наноэмульсий (т.н. «ozou» эффект) [56-58], мороженого [59], квантовых точек [60-62], многих задачах астрофизики и космологии [63,64], а также в широком диапазоне задач материаловедения [65,66]. Динами Рис. 2.2: Визуализации неравновесного критического огрубления двумерной XY-модели из начального вихревого состояния. Выделены наиболее крупные структуры в системе. Оттенками отражены различные направления спинов в кластерах. Времена наблюдения: 0 (сверху слева), 2000 (сверху справа), 70000 (снизу слева) и 200000 (снизу справа) MCS/s. ческим системам с огрублением (англ. «coarsening dynamical systems») свойственны многие универсальные особенности, объединенные самой концепцией огрубления, а не конкретным видом системы [50–53].
На рис. 2.2 приведена визуализация динамики неравновесного критического огрубления двумерной XY-модели из начального вихревого Рис. 2.3: Визуализации вихревой динамики двумерной XY-модели из начального вихревого состояния. Стрелки – классические планарные спины. Времена наблюдения: 0 (сверху слева), 10 (сверху справа), 500 (снизу слева) и 5000 (снизу справа) MCS/s. состояния. Из приведенной визуализации наглядно видно, что с течением времени в системе растут крупные структуры.
Противоположным процессу огрубления можно ввести процесс «фрагментации». В процессе фрагментации изначально упорядоченная система разупорядочивается. Изначально крупные структуры в системе Рис. 2.4: Неравновесный процесс аннигиляции пары вихрь () – антивихрь () на временных этапах 300, 400, 500 MCS/s. уменьшаются в размере с общим увеличением их количества – малых структур в системе с течение времени становится больше.
Как было показано во введении, в двумерной XY-модели можно ввести две подсистемы – вихревую подсистему [18,19] и подсистему областей квазидальнего порядка (QLRO или «quasi-long-range-order») [44, 45].
В низкотемпературной фазе в состоянии термодинамического равновесия вихревые элементарные возбуждения в состоянии равновесия раздельно не наблюдаются, при этом возникает специфический вид упорядочения – QLRO-фаза (англ. «quasi-long-range-order»-phase) или квазидальний порядок [44, 45]. В QLRO-фазе пространственная корреляционная функция убывает с расстоянием достаточно медленно – в рассматриваемом случае двумерной XY-модели по степенному закону. При этом спиновая система в каждом конечном объеме системы локально упорядочена, но глобального упорядочения, т.е. дальнего порядка, не наблюдается.
В неравновесной критической динамике двумерной XY-модели при релаксации из начального вихревого высокотемпературного состояния в системе присутствуют свободные (в смысле – неспаренные) вихревые возбуждения, в то время как в равновесии в низкотемпературной фазе неспаренных вихрей нет – наблюдается QLRO-фаза. Таким образом, с течением времени с приближением системы к состоянию термодинамического равновесия концентрация свободных вихревых возбуждений снижается, а области квазидальнего порядка растут. Данный процесс будем называть «кластерное огрубление» или «огрубление областей квазидальнего порядка», подразумевая, что с течением времени области квазидальнего порядка растут и объединяются в более крупные. С уменьшением концентрации свободных вихревых возбуждений вихри становятся «крупнее» – каждый вихрь «охватывает» все большую область (см. рис. 2.3), что можно назвать вихревым огрублением в двумерной XY-модели.
В неравновесной критической динамике двумерной XY-модели при релаксации из начального упорядоченного низкотемпературного состояния изначально в системе все спины принадлежат одному кластеру. С течением времени данный кластер разрушается с образованием более мелких QLRO-структур. Данный процесс будем называть «кластерной фрагментацией» или «фрагментацией областей квазидальнего порядка».
Исследование температурной и концентрационной зависимости флуктуационно - диссипативного отношения
В данной главе проведено исследование эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в однородной и структурно-неупорядоченной двумерной XY-модели при релаксации системы из различных начальных неравновесных состояний - высокотемпературного вихревого и низкотемпературного упорядоченного.
Результаты данной главы опубликованы статьях в журналах из баз цитирования Scopus и Web of Sciense и перечня ВАК [128,131-134], а также в монографии [125] и обзорной статье в сборнике [126].
Концентрации спинов выбирались равными р = 1.0, 0.9 и 0.8. Моделирование осуществлялось в низкотемпературной фазе Березинского при температурах замораживания Т Твкт(р) с использованием алгоритма Метрополиса. Системе задавался старт из начального неравновесного высокотемпературного состояния с начальным значением намагниченности то С 1, которое приготавливалось при температуре То ТВКТСР). Для исследования неравновесных характеристик системы рассматривалась решетка с линейным размером L = 256. Для полу чения двухвременных зависимостей моделирование проводилось для 16 различных значений времени ожидания tw = 10, 20, 30, 40, 50, 100, 250, 500, 1000, 1500, 2000, 3500, 4000, 4500, 5000 и 10000 MCS/s и при временах наблюдения t — tw = 50000 MCS/s. Исследование двухвременной зависимости обобщенной восприимчивости системы проводилось с использованием метода малых случайных полей [48], для чего в момент tw к гамильтониану системы добавлялось слагаемое вида - PiSjii, где амплитуда h бимодального случайного поля hi = ±/г выбиралась равной 0.04. Использование данного метода требует проведения расчетов для каждого времени ожидания tw отдельно. При моделировании «чистой» системы с р = 1.0 проводилось статистическое усреднение по 6000 прогонок. При моделировании структурно неупорядоченной XY модели усреднение вычисляемых величин проводилось по 3000 примесным конфигурациям и 15 статистическим прогонкам для каждой примесной конфигурации.
Полученные двухвременные зависимости для автокорреляционной функции (рис.3.20) и обобщенной восприимчивости (рис. 3.25) явно демонстрируют замедление релаксационных процессов с увеличением tw. Был проведен расчет показателей степенной зависимости спада автокорреляционной функции C(t,tw) для различных временных интервалов - t — tw tw и t — tw tw 1. Результаты приведены в таблицах 3.4, 3.5 и 3.6.
Эффекты старения, проявляющиеся на временах t — tw tw, усиливаются с увеличением концентрации дефектов структуры. На больших временах наблюдения t — tw tw 1 поведение автокорреляционной
Двухвременная зависимость автокорреляционной функции системы с р = 1.0 и Т = 0.2 (a), р = 1.0 и Т = 0.4 (b), р = 0.9 и Т = 0.1 (c), р = 0.9 и Т = 0.4 (d), р = 0.8 и Т = 0.1 (e) и р = 0.8 и Т = 0.2 (f). На вставках представлены зависимости tvJ C(t,tw) от (t—tw) \ntw/tw \n(t—tw) для демонстрации скейлинговой формы автокорреляционной функции. функции характеризуется более быстрым степенным режимом спадания C(t,tw) (t/tw) Ac, чем в режиме старения. Было выявлено, что с ростом концентрации дефектов начало степенного режима сдвигается в область больших времен наблюдения.
Для двумерной (d = 2) системы автокорреляционная функция в Таблица 3.4: Показатели спада автокорреляционной функции C(t,tw) «чистой» (p = 1.0) системы для различных температур T TBKT, различных времен ожидания tw и асимптотических временных интервалов.
Для подтверждения скейлинговой зависимости автокорреляционной функции (3.87) было осуществлено построение зависимости tw C(t,tw) от (t—tw) lntw/twln(t—tw). Результаты приведены на вставках к рис. 3.20, которые демонстрируют коллапс полученных данных на долговременном этапе эволюции с t — tw tw 1 для различных tw на соответствующих универсальных кривых, отвечающих скейлинговой функции ФК( - «,Ш «,)]в(3.87). Таблица 3.6: Показатели спада автокорреляционной функции C(t, tw) структурно неупорядоченной системы с p = 0.9 для различных температур T TBKT(p), различных времен ожидания tw и асимптотических временных интервалов.
Предельное флуктуационно-диссипативное отношение (1.46) является универсальной характеристикой неравновесного критического поведения, поэтому определение значений ФДО должно производиться на временных участках с t — tw tw 1, где реализуется скейлинговое поведение C(t,tw). Так, значения X(tw) определялись нами из зависимостей Tx(t,tw) от C(t,tw) (рис. 3.22) в пределе С — 0 на временных участках, где выполнялась скейлинговая зависимость для автокорреляционной функции (3.87). На рисунках 3.22 и 3.23 данные участки выделены серым цветом.
Для различных времен ожидания tw были получены значения X(tw) (рис. 3.24), к которым затем была применена экстраполяция с tw — оо, т.е. l/tw — 0, с целью получения искомого предельного значения ФДО Х. Для р = 0.8 полученные в результате экстраполяции значения 100 Х для различных температур в низкотемпературной фазе приведены на рис. 3.24. Итоговые зависимости флуктуационно-диссипативного отношения Х от температуры для различных спиновых концентраций представлены на рис. 3.25. Для получения величины флуктуационно-диссипативного отношения X(t,tw) строились параметрические зависимости Т\ от С, представленные на рис. 3.22.
На основе анализа полученных значений Х(р,Т) Твкт(р) можно сделать вывод, что влияние структурного беспорядка приводит к увеличению значений предельного флуктуационно-диссипативного отношения Х с ростом концентрации дефектов, рассматриваемых для одинаковых температур замораживания Т Твкт(р).
Если задать температурную зависимость предельного ФДО в виде Х ТА, то показатель температурной зависимости Х(р) для различных концентраций примеси принимает следующие значения: Х(р = 1.0) = 1.988(23), Х(р = 0.9) = 1.848(22) и Х(р = 0.8) = 1.838(31). Экстраполяция полученных температурных зависимостей для Х(р,Т) Твкт(р) при Т — 0 дает Итт оХ00 = 0 для всех рассмотренных примесных концентраций.
Отличие полученного в данной работе для «чистой» (р = 1.0) системы в точке перехода Березинского-Костерлица-Таулесса значения Х(р = 1.0,Твкт) = 0.444(26) от аналитического значения Х(р = 1.0,Твкт) = 0.5, рассчитанного в безвихревом приближении [215], позволяет оценить вклад вихревой динамики в флуктуационно-диссипа-тивное отношение.
Определение критической температуры структурно неупорядоченной системы с различной концентрацией дефектов
Температурные зависимости корреляционного отношения R(T) для различных линейных размеров L и спиновых концентраций р. Наблюдается пересечения R(T) для различных L, при этом выделяется характерный треугольник в области Твкт(р). сти R(T) будет увеличиваться вблизи точки перехода, при этом для различных L будет наблюдаться пересечение кривых и образование характерного в таких случаях треугольника. Отношение корреляционных функций для решеток с различными L задается в виде: (4.92) R [№/2) ] [№/4) Г Исследовались линейные размеры L = 16, 32 и 48. Рассматривались спиновые концентрации р = 1.0, 0.9 и 0.8. Для однородной системы усреднение проводилось по 10000 статистическим конфигурациям. Для структурно неупорядоченной системы усреднение проводилось по 5000 примесным конфигурациям и по 10 статистическим конфигурациям для каждой примесной. На релаксацию системы к состоянию термодинамического равновесия отводилось 200 L2 MCS/s (из соображений z = 2) для «первой» температуры и 50 L2 MCS/s для остальных - равновесная конфигурация для температуры Т в конце счета запоминалась и использовалась как начальная для Т + AT, что позволило в 2 раза сократить время счета. На усреднение отводилось 200 L2 MCS/s. Результаты расчета приведены на рис. 4.32. Отчетливо наблюдается пересечение температурных зависимостей R(T) для различных значений линейного размера L. Наблюдаются характерные в таких случаях треугольники.
Из полученных температурных зависимостей R(T) получены значения Твкт{р): Твкт{р = 1-0) = 0.893(2), Твкт{р = 0.9) = 0.679(8) и Твкт(р = 0.8) = 0.485(6). Полученные результаты находятся в хорошем соответствии с результатами работ [44-46].
Выше были определены значения Твкт(р) для структурно неупорядоченной системы для ряда значений спиновой концентрации р. Однако, факт осуществления в структурно неупорядоченной двумерной XY-модели фазового перехода Березинского - Костерлица - Таулесса связан с возникновением в низкотемпературной фазе системы Т Твкт(р) отличной от нуля поперечной жесткости р(Т). При этом р(Т Твкт(р)) = 0.
В работах [222,223] в спин-волновом (без учета вихревой составляющей) приближении было показано, что температурная зависимость поперечной жесткости р(Т) в низкотемпературной фазе Т Твкт может быть найдена из решения самосогласованного уравнения р(Т) = ехр(—Т/4р(Т)). Подставляя в данное уравнение Т = 0 сразу приходим к выводу, что р(Т = 0) = 1.
Спин-волновое приближение хорошо работает в области низких температур Т С Твкт [18,19,46,222,223], поэтому интересно получить низкотемпературную асимптотику решения самосогласованного уравнения [222,223]. В области Т С Твкт величина р(Т С Твкт) 1, что позволяет заключить Т/4р(Т) С 1 и ехр(—Т/4р(Т)) 1 — Т/4р(Т). Выражение р(Т) = ехр(—Т/4р(Т)) предполагает, что р(Т) монотонна по Т, а т.к. р(Т = 0) = 1 и р(Т Твкт(р)) = 0, то 0 р(Т) 1. Введем соотношение Asw(T) = 1 + asw(T) (SW - «spin-wave», спин-волновое), где asw(T) С 1 при Т С Твкт. Подставляем введенное соотношение в исходное уравнение 1 + asw(T) 1 — л(л , т (гглл 1 — %{! — asw(T)). Получаем итоговое решение awU = —-, In. —І /4.
В итоге получаем низкотемпературную асимптотику psw(T) — 1 — Т/4. Данное выражение дает температурную зависимость поперечной жесткости р(Т) в области низких температур в предположении выполнимости спин-волнового приближения.
Для определения пределов применимости спин-волнового приближения и определения ангармонических вкладов спин-волновых вкладов и вкладов вихревой подсистемы требуется численное определение величины поперечной жесткости. Поперечную жесткость [18, 19] можно определить следующим выражением [274] 1 1 / —v . т2 р(Т,р) = — [(E)\ m і / РіРіЗІЩфї (/97 )r«7xl 5 (4.93) 2 Т 2-— i,j где Y{j - вектор из г-го спина в j-ый спин, х - единичный направляющий вектор, угловые и квадратные скобки, как и ранее, обозначают усреднение по статистическим конфигурациям и по распределению структурного беспорядка в системе.
Рассматривалась система с линейным размером L = 256 и начальное Температурные зависимости корреляционного отношения R(T). Пунктирной линией показана зависимость psw(T) 1 — Т/4 в спин-волновом приближении. Вертикальные стрелки указывают точки пересечения Твкт = тгр(Твкт)/2. состояние со случайной ориентацией спинов. Рассматривались спиновые концентрации p = 1.0 (однородная система), p = 0.9 и p = 0.8. На релаксацию системы отводилось 3-107 MCS/s. На получение равновесных характеристик отводилось 5-107 MCS/s. Для однородной системы усреднение проводилось по 100 различным начальным конфигурациям. Для структурно неупорядоченной системы использовалось усреднение по 50 примесным конфигурациям и по 5 статистическим конфигурациям для каждой примесной. Результаты моделирования представлены на рис. 4.33.