Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Многочастичная ССКМ и модели типа Калоджеро 18
1.1 Системы с отделимым движением центра масс 19
1.2 Внутренняя структура компонент супергамильтониана 25
1.3 Примеры 29
1.3.1 3-частичная суперсимметричная система 29
1.3.2 iV-частичные суперсимметричные системы с парным взаимодействием 31
Глава 2 Операторы Данкла 35
2.1 Определение операторов Данкла [86], [87] для моделей типа Калоджеро 35
2.2 Локальная форма гамильтонианов 36
2.3 Сплетающие операторы в локальной форме 38
2.4 Операторная природа соотношений сплетания 41
2.5 Связь с суперсимметричной квантовой механикой 42
Глава 3 Соотношения сплетания с операторами Данкла, не сводимые к суперсимметричной квантовой механике 47
3.1 Автоморфные локальные операторы Данкла 47
3.2 Примеры с JV = 3.. 49
3.3 Связь между операторами Данкла для L-образных схем Юнгаи операторами Лакса 51
3.4 Супероператор Лакса для модели Калоджеро в осцилляторном потенциале 56
Глава 4 Операторы Данкла и форм-инвариантность 62
4.1 Форм-инвариантность модели Калоджеро 62
4.2 Форм-инвариантность модели Сазерленда 64
4.3 Соотношения сплетания скалярных и матричных гамильтонианов типа Калоджеро 67
Глава 5 Суперсимметричная квантовая механика и факторизация гамильтониана Паули 71
5.1 Гамильтониан Паули как матричная компонента супергамильтониана 73
5.2 Унитарный поворот. 76
5.3 Зависимость спектра от импульса вдоль оси Х2 78
5.4 Более общий метод факторизации 80
5.5 Случаи, когда #() диагонализуем 83
Глава 6 Факторизация многомерных матричных гамильтониа нов как обобщение многомерной суперсимметричной квантовой механики 86
6.1 Обобщение ССКМ, использующее матричный аналог суперпотенциала 86
6.2 Сохранение четности фермионного числа 88
6.3 Обобщение ССКМ, использующее алгебру Клиффорда 88
6.4 Примеры 90
Заключение 92
Приложение 95
- Внутренняя структура компонент супергамильтониана
- Локальная форма гамильтонианов
- Связь между операторами Данкла для L-образных схем Юнгаи операторами Лакса
- Форм-инвариантность модели Сазерленда
Внутренняя структура компонент супергамильтониана
Из (1.31) следует, что компоненты супергамильтониана h имеют вид: где матрицы Т - представляют12 оператор Кц в фоковском подпространстве, характеризующемся фермионным числом М (в переменных фр): следует, что компоненты? имеют вид Перейдем к определению матриц13 Т - К Соотношения (1.17),(1.18) можно переписать так: При выводе (1.49) мы воспользовались ортогональностью матрицы R. Смысл обозначения {Tk)pm будет ясен несколькими строками позже. Подставляя в (1.50) конкретный вид матрицы (Ту) ./ из (1.48), можно показать, что (Tfypw — 0. Таким образом, окончательный вид (1.49) таков: Аналогично, можно показать: Применяя закон коммутации (1.51) к состоянию (1.32) М раз, получаем: Таким образом, на пространстве, образованном состояниями (1.32) операторы Kij и матрицы Ту образуют тензорное представление ранга М группы SN перестановок ф+. Состояния (1.32), очевидно, антисимметричны. В Приложении 1 доказывается по индукции следующая Теорема 1.; Представление (1.53) группы Su перестановок является неприводимым и соответствует схеме Юнга14 (N — М, Iм). Теперь ясен смысл обозначения (1.50): из(1.53) следует, что Ту = Ту . Таким образом, из Теоремы следует, что матрицы Ту образуют представление SN СО схемой Юнга (N — 1,1), имеющей форму (повернутой) буквы L. В разделе 1.1. было показано, что супергамильтониан h имеет блочно-диагональную структуру из N блоков. Возникает естественный вопрос: существуют ли еще меньшие "подблоки", или блоки (1.33) являются "наименьшими". Поскольку для любого М, в силу утверждения Теоремы, матрицы Ту- реализуют неприводимое представление S , ОНИ не могут одновременно быть приведены к блочно-диагональной форме изменением базиса. В общем случае, когда все коэффициенты didjW при этих матрицах независимы, это эквивалентно тому, что h M\ в свою очередь, не может изменением базиса быть приведен к блочно-диагональной форме. Таким образом, блоки (1.44) являются "элементарными".
В соответствии с (1.36), (1.37), эти элементарные блоки h сплетаются компонентами Чщ+1,М)1 (M.Af+i) суперзарядов. Рассмотрим теперь свойства этих компонент: Будучи компонентами q+ = (f p qp (1-26), операторы Чщ+1,м) отображают собственные функции ф(м)из подпространства с фермионным числом М в собственные функции ф( +1) из подпространства с фермионным числом М Из (1.36), (1.37) следует, что собственные функции ф(м) и ф(м+1) связаны следующими соотношениями: или, в компонентах15, При выводе (1.55), (1.55) мы воспользовались тем, что из определения фермионных переменных Якоби: фк = Якіфі и ортогональности матрицы Яы следует, что ф\ = Якіфкі а также тем, что Соотношения сплетания (1.36),(1.37) в новых обозначениях примут вид: Коэффициенты (1.57) легко найти с помощью соотношений (1.24). А именно: где Р- перестановка индексов /?і-../?м а (—1)F - ее четность. Если не существует перестановки, переводящей набор индексов в правой части в набор в левой, то скалярное произведение равно нулю. В простейшем (но не тривиальном) случае N = 3 супергамильтониан (1.42) состоит из шести компонент: четырех скалярных и двух 2x2 матричных операторов типа Шредингера. Их спектры и собственные функции связаны друг с другом в силу соотношений сплетания. Рассмотрим простую систему, порожденную суперпотенциалом удовлетворяет условию отделимости ДЦМ (1.15) с Два скалярных блока (1.46) соответствующего супергамильтониана (1.42) тогда примут вид 3-мерного гармонического осциллятора с хорошо известным спектром: Две другие скалярные компоненты не будут точно решаемыми: Тем не менее, соотношения сплетания (1.59) дают возможность найти часть16 спектра обеих матричных компонент (1.42): где матрицы Ту реализуют неприводимое представление группы 5з со схемой Юнга (2,1): Гамильтонианы (1.60)-(1.62) сплетаются (см. (1.58), (1.59)) компонентами суперзарядов (1.55), (1.56), где Обобщение на бблыние N очевидно. Заметим, что вышеизложенный подход может также быть применен без всякого изменения к системам, не симметричным относительно перестановок ХІ, т.е., с неодинаковыми частицами. їв Эта ситуация напоминает, например, квазиточно решаемые модели, рассмотренные в [98]. Если ограничиться системами, в которых и скалярные и матричные гамильтонианы Н м) соответствуют парному взаимодействию17, необходимо (но не достаточно) потребовать, чтобы суперпотенциал удовлетворял условию18: где /(&) есть некая вещественная функция.
Это значит, что где U(x)1h(x) -также вещественные функции. Ограничимся далее рассмотрением суперпотенциалов следующего вида: Это соответствует выбору системы корней Ду; суперсимметричные системы типа Калоджеро, соответствующие другим системам, рассматривались в [66], [71]. Для них суперпотенциал будет иметь вид, отличный от (1.64); тем не менее, для этих систем можно повторить рассуждения данной главы (с некоторыми изменениями). Для таких w компоненты Ъ.(м) (см. (1.44)) примут вид Чтобы Н ) содержал только парные взаимодействия, необходимо также [2],[93], чтобы величина Е Т разлагалась в сумму двухчастичных членов. Для этого необходимо, чтобы существовала такая вещественная функция v(x), что Все решения (1.68) были найдены Калоджеро [53]. Они приведены в Таблице (см. [93]). Если выполнено (1.68), то (1.65) принимает вид: Таким образом, компоненты (1.65) теперь все соответствуют парному взаимодействию. Для всех систем из Таблицы кроме модели Калоджеро обычно полагают Wc = 0. Тогда, и уровни энергии супергамильтониана (1.42) двукратно вырождены. Из (1.43) следует, что решением уравнения Шредингера с нулевой энергией для (двукратно вырожденной) компоненты Н() остается (1.66). Можно показать, что для моделей Сазерленда и Бете-Янга компонента (1.70), соответствующая нулевому фермионному числу, совпадает с точностью до константы со скалярным гамильтонианом ТС (0.9), ГС и Бете-Янга (0.10), соответственно, так как в этом случае Ту = 1. В случае модели Калоджеро (1.69) принимает вид:
Локальная форма гамильтонианов
Рассмотрим неприводимое представление А группы перестановок SN, реализованное на вещественных вектор-функциях20 /а(гсі,...,жл/); о; = 1, ..., dim Л матрицами Т4: где (Т)ра = №f)a/3 -(постоянные) матричные элементы обменного оператора Mij в представлении А. Заметим что Ту- вещественные симметричные ортогональные матрицы [99]. В дальнейшем мы будем использовать векторные обозначения: где постоянные векторы еа (а = 1,..., dim А) образуют базис в пространстве представления Л; где Mij действует только на аргумент /Q, а Ту- только на вектора еа. Гамильтонианы (2.4) действуют на функциях21, удовлетворяющих (2.11) следующим образом: или Я « НА , где знак " « " означает равенство на функциях, удовлетворяющих (2.9). Для гамильтониана Калоджеро (2.7), Заметим, что если f удовлетворяет (2.11), то Ш также удовлетворяет ему, так как (2.11) эквивалентно следующему условию (нет суммирования пог ,,7 ): Ш удовлетворяет (2.15), так как [Я, Т -Му] = 0. То же верно и для Нсо Можно показать, что в частном случае когда представление Л принадлежит классу, рассмотренному в Главе 1, матричные гамильтонианы (2.12), (2.14) отличаются от гамильтонианов (1.70), (1.72) всего лишь на аддитивную константу. Матричные гамильтонианы (2.12),(2.14) не содержат в явном виде операторы Mij. Было бы естественно теперь избавиться от обменных операторов также и в операторах Данкла (2.1),(2.6). Тогда, соотношения сплетания (2.5),(2.8) будут записаны в терминах только локальных операторов. Рассмотрим действие операторов Данкла на функциях со свойствами симметрии, описываемыми (2.9),(2.11). Величина щ/а теперь не удовлетворяет (2.9), даже когда /а удовлетворяет ему. Вместо этого, 7Г /а преобразуется под действием М как объект из прямого произведения представлений для щ и fa. Операторы Данклаї преобразуются под действием SN в соответствии с (2.2). При этом, щ образуют приводимое представление SN, так как величина 7Гі + ... + TTpf преобразуется как абсолютно симметричное представление. По этой причине, естественно переписать операторы Данкла в переменных Якоби или pk = RkrnKm- Поскольку выполнено (2.2), рассуждая аналогично предыдущей главе, мы можем показать, что р преобразуются под действием SM как неприводимое представление L со схемой Юнга (N — 1,1). Подобно (2.9), этот факт может быть записан как:
Объект p fa, таким образом, преобразуется под действием SN как внутреннее произведение L х А представлений L и А, или, более подробно, в соответствии с формулами (2.9), (2.16): Как уже указывалось в Приложении 1, внутреннее произведение L х А содержит только такие неприводимые представления 5#, схемы Юнга которых отличаются от схемы для А не более чем положением одной клетки. Впрочем, произведение может содержать не все такие представления: например, для абсолютно симметричного представления AQ СО схемой Юнга (7V), очевидно, и произведение не содержит (N). Пусть -некоторое неприводимое представление, входящее в L х А. Тогда мы можем выделить его вклад BLXAC помощью коэффициентов Клебша-Гордана (Ц, Аа\В т) = (а\а): Результирующая функция. удовлетворяет аналогу (2.9) для представления В: Это можно проверить, подставив (2.17) в (2.18) и используя равенство22: также свойство эрмитовости матриц Ту. На функциях, удовлетворяющих (2.9), оператор Дгв действует следующим образом: или, более коротко, D pa DBA, где знак " « " означает равенство на функциях, удовлетворяющих (2.9). Для моделей Сазерленда и модели Бете-Янга, [Н, щ] = 0, так что [Н, D ja] = 0. Следовательно, для любого /а, Для всех /а, удовлетворяющих (2.9), HApfp удовлетворяет (2.9) (см. конец предыдущего раздела) и Daafa удовлетворяет (2.18). Используя эти свойства симметрии, мы можем переписать (2.22) как Более коротко мы можем записать вышеприведенные рассуждения так: Разумеется, нигде не предполагается суммирования по А, В.
Аналогично вышеизложенному, для модели Калоджеро из (2.8) следует, что Заметим, что теперь все величины в (2.23),(2.24) локальны, т.е., не содержат обменных операторов Мц. Соотношения (2.23),(2.24) не являются операторными соотношениями сплетания, подобными рассмотренным в предыдущей главе, поскольку выполняются только на функциях, удовлетворяющих условию симметрии (2.9). На функциях вне этого класса (2.23), (2.24), вообще говоря, могут не выполняться. Однако, мы можем доказать, что они выполняются на всех функциях и, таким образом, являются операторными соотношениями сплетания, используя следующую теорему: Теорема 2: Пусть А - некое представление 5yv, й L- дифференциальный оператор конечного порядка, коэффициентами которого являются рациональные функции переменных ХІ, или smxi,cosХІ, гии shuijCtucj (но не два из этих вариантов одновременно), сингулярные только на мнооюестве U = {x3i,j : і ф j, ХІ = Xj}. Эти коэффициенты являются матрицами размерности dimA х dinL4. Тогда, если L « О (на функциях, удовлетворяющих (2.11) для представления А), то L = 0.
Доказательство Теоремы 2 содержится в Приложении 2. Применяя эту теорему к соотношениям (2.23),(2.24), мы можем заключить, что они справедливы в операторном смысле23. 23Теорему 2 нельзя применить к модели с V(x) — Zsignx, поскольку тогда (2.23) может содержать сингулярности типа дельта-функции на множестве U. В данном разделе ограничимся рассмотрением представлений со схемами Юнга вида которые подробно рассматривались в Главе 1. Рассмотрим соотношения сплетания (2.23) для моделей Сазерленда и модели с дельта-функциями в случае представления А из класса (2.26). Как легко видеть, гамильтониан (2.13) отличается от (1.70) только аддитивной скалярной константой. Ниже мы покажем, что и сплетающие операторы (2.20) на самом деле суть не что иное как компоненты суперзаряда (1.55),(1.56). Поскольку схемы Юнга для В и А принадлежат классу (2.26) и могут различаться не более чем положением одной клетки (см. [99], глава 7, раздел 13), В может либо совпадать с Л, либо иметь вид (N — М =F 1, l 1) Рассмотрим случай, когда В = (N — М — 1,1м+1). Для него можно следующим образом ввести коэффициенты Клебша-Гордана в (2.20): где величины (3\ , \(3 определены в (1.57). Это возможно, так как коэффициенты (2.27) удовлетворяют соотношению (2.19)(см. также примечание к нему): а следовательно, действительно являются коэффициентами Клебша-Гордана. Доказательство (2.28) см. в Приложении 3. С учетом (2.27), операторы (2.21) для моделей Сазерленда и модели Бете-Янга при В = (N — М — 1,1 +1) принимают вид: поскольку в Приложении 4 доказано, что для любого Vkm = —Утк верно равенство: модели Бете-Янга D 5A = — гд. Все аналогично для 5 = (N — М +1, Iм-1). А именно, можно следующим образом ввести коэффициенты Клебша-Гордана в (2.20): Это возможно, так как для любых г, j выполнено соотношение: аналогичное (2.28). Его доказательство также см. в Приложении 3. С учетом (2.27), операторы (2.21) для моделей Сазерленда и модели Бете-Янга при В
Связь между операторами Данкла для L-образных схем Юнгаи операторами Лакса
Рассмотрим операторы (2.20) в случае, когда представления А и В совпадают и соответствуют схеме Юнга вида (TV — М, Iм). В этом случае оказывается, что в качестве коэффициентов Клебша-Гордана для отображения А х А — А, фигурирующих в определении (2.20), можно взять следующие величины: где -фермионные переменные, удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям (1.5); Щк - матрица перехода от обычных переменных к переменным Якоби; /5 - состояния из базиса (1.32). Это возможно, так как коэффициенты (3.7) удовлетворяют соотношению (2.19)(см. также примечание к нему): Доказательство соотношения (3.8) см. в Приложении 3. Теперь мы можем подставить коэффициенты Клебша-Гордана (3.7) в определение операторов (2.20): Учитывая определение (3.7) и тот факт что RmkRmi = бы, можно заметить, что Для дальнейшего упрощения (3.11) можно использовать следующие равенства: Первое равенство (3.12) выполнено, поскольку свертка антисимметричного объекта Vkm и симметричного Ккт равна нулю. Второе доказано в Приложении 4. Подставляя (3.12) в (3.11), получаем: а Ly-матрица Лакса [56], [53]. В [82] показано: супероператор Лакса для модели ТС и модели Калоджеро без гармонических членов коммутирует с супергамильтонианом (1.74): Итак, мы видим, что матричные элементы оператора Данкла в базисе (1.32)в данном случае выражаются через матричные элементы суперопера тора Лакса. ! Однако супероператор Лакса (3.14), вообще говоря, действует в полном фермионном фоковском пространстве с базисом (1.41). Поэтому представляет интерес вопрос о его матричных элементах в базисе (1.41).
При исследовании матричных элементов в базисе (1.41) естественно перейти в к переменным Якоби: Таким образом, супероператор Лакса в координатах Якоби разбивается на части, соответствующие оператору Данкла и суперзарядам, а также члены, соответствующие движению центра масс (последние несущественны, так как движение центра масс независимо). Следовательно, свойство коммутации супероператора Лакса с супергамильтонианом (3.15) следует из соотношений (2.23) и справедливо не только для модели ТС и модели Калоджеро без гармонических членов, но и для модели ГС. Это можно показать следующим образом: (3.15) эквивалентно тому, что для любых \а , \р из базиса (1.32). Для доказательства (3.18) полезно знать матричные элементы оператора С. В частности, а/? найдены в (3.17). Далее, из (3.16), следует, что Используя (3.17), (3.19)-(3.21), мы теперь можем вывести условия (3.18) из (2.23) и его частного случая (1.58), (1.59): образом, мы доказали, что супероператор Лакса коммутирует с супергамильтонианом, используя только соотношения (2.23), (1.58), (1.59). Объект, аналогичный супероператору Лакса (3.14) можно построить и для модели Калоджеро в осцилляторном потенциале: где С - супероператор Лакса (3.14) для модели Калоджеро без осцилляторных членов.
Более детально, і г — ктФкФтї Lfm = Ljbra ± ШХкдкт] Lkm = -Ідк5кт + « — При этом, оператор (3.22) и супергамильтониан (1.75) удовлетворяют следующим соотношениям: являющимся обобщением (3.15). (3.23) - соотношения осцилляторной алгебры, которые можно использовать для построения спектра 7І, а также его интегралов движения. Аналогично предыдущему разделу, (3.23) можно доказать, установив связь между операторами (3.22) и (2.25). А именно, оператор (2.25) имеет вид где,.1)(м) - автоморфный локальный оператор Данкла (3.9), (3.13) для суперсимметричной модели Калоджеро без осцилляторных членов. Далее, учитывая (3.7), получаем: Подставляя (3.25) и (3.13) в (3.24), получаем: где Q% определен в (1.25). Так же, как супероператор Лакса (3.14), оператор , вообще говоря, действует в полном фермионном фоковском пространстве с базисом (1.41). Поэтому представляет интерес вопрос о его матричных элементах в базисе (1.41). При исследовании матричных элементов С в базисе (1.41) естественно перейти в = = к переменным Якоби. При этом вид оператора С в переменных Якоби уже найден в (3.16). Что же касается добавки 6С,
Форм-инвариантность модели Сазерленда
В предыдущем разделе мы упоминали, что операторы (2.1) коммутируют с гамильтонианом (2.4). Этим же свойством обладают и всевозможные полиномы из операторов (2.1). Например, можно рассмотреть полином следующего вида: где ki Ф kj при і ф j; -операторы Данкла (2.1). Очевидно, что S ф 0, так как не равен нулю член высшего порядка по производным. Можно показать, что МцБ — —БМц. Таким образом, оператор S преобразует абсолютно симметричные функции (представление AQ)B антисимметичные (представление А-), и наоборот. На симметричных функциях, 5 « 5Л- , где S - o - локальный оператор, который получается из S, если мы перенесем в нем все обменные операторы Mij вправо и заменим на 1. Кроме того, из сравнения (1.70),(2.13) в случае представления AQ следует, что на симметричных функциях, На антисимметричных функциях, аналогично, где 5 ЛоЛ- - локальный оператор, который получается из 5, если мы последовательно перенесем в нем все обменные операторы М (начиная с самого правого) вправо и заменим на -1. Можно заметить, что на антисимметричных функциях есть оператор (4.2) для другой комбинации /. Из (4.3)и Теоремы 2 следует, что SAA = (5 - 4) Поэтому, достаточно рассматривать только операторы - и (SAA ) для произвольных комбинаций кі в (4.2). Теперь, действуя так же как при выводе (2.23), мы можем показать, что на симметричных функциях Из Теоремы 2 следует, что для моделей Сазерленда равенство (4.4) выполнено и в операторном смысле. Следовательно, мы также можем использовать его эрмитово сопряжение: Мы намеренно подчеркиваем зависимость всех величин от константы /; это нам понадобится ниже. Вышеприведенные рассуждения справедливы как для моделей Сазерленда так и модели Бете-Янга. С этого момента будем рассматривать только модель ТС, поскольку у модели ГС нет дискретного спектра.
Как следует из (1.70), компоненты Н \ Я супергамильтониана имеют вид: Можно заметить, что гамильтонианы (4.6),(4.7) обладают свойством форм-инвариантности0 5: Соотношение сплетания (4.5), условие форм-инвариантности (4.9) и знание основного состояния (4.8) позволяют нам построить некоторые возбужденные состояния гамильтониана Н \ аналогично тому как это делается для одномерных задач. А именно, Соотношение (4.11) доказывается по индукции: если оно справедливо для Z, то из (4.5),(4.9) следует, что оно верно и для/+1. Для I — 0, (4.11), очевидно, выполняется. Условие форм-инвариантности (4.9) было предложено в [93], [89]. Однако в этих работах не было построено никакого соотношения сплетания для модели Сазерленда, аналогичного (4.5), а именно оно позволило нам построить часть ее спектра. Впрочем, в [89] был построен аналог (4.9), (4.5) для модели Калоджеро. Оператор (4.2) - частный случай операторов, предложенных в [83] в контексте суперсимметричной модели ТС. Однако, в [83] не рассматривались соотношения сплетания (4.4), (4.5) и не обсуждалась форм-инвариантность модели ТС. Состояния (4.10) не исчерпывают весь спектр модели ТС, найденный в [55], [57]-[59]. . Заметим, что так что соотношение (4.4) не позволяет нам получать состояния с энергией меньше чем у основного. Доказательство (в дальнейшем будем опускать зависимость от/): »1— »АГ так как из (1.67), (2.1), (1.12) и (1.43) следует, что Как мы неоднократно видели выше, когда известны (некоторые) собственные функции одного из гамильтонианов в соотношении сплетания типа (2.23), это соотношение сплетания позволяет строить собственные функции второго.
Аналогично, можно показать: если мы знаем интегралы движения для одного из сплетаемых гамильтонианов, соотношение сплетания позволяет найти интегралы для другого.; В данном разделе мы построим пример такой процедуры - соотношения сплетания скалярного и матричного гамильтонианов типа Калоджеро, когда матричный гамильтониан соответствует произвольному представлению S . А именно, для моделей Сазерленда и Бете-Янга всегда можно определить следующие операторы: При этом очевидно, что [Я, Sa] = 0. Желательно, чтобы порядок Sa по производным, равный Т й\ kj, был минимальным. Простейшим (но не всегда оптимальным) примером такого набора операторов является следующий: «ъ-, #; ij&k єсть оператор Юнга, соответствующий символу Яманучи о: (проектор на функции, обладающие соответствующей симметрией). При этом необходимо, чтобы в (4.12) кг Ф kj при г ф j. Из (4.13) следует: если My/ = /, то MyS/ = T S/, так что Sa преобразует представление Ло в А. Следовательно, на симметричных состояниях,