Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Дифференциальные форш и метод обратной задачи: основные элементы
1. Метод обратной задачи рассеяния 12
2. Нелинейные реализации и формы Картана 15
3. Обратный эффект Хиггса 19
ГЛАВА 2. Нелинейная реализация конформной группы двумерного пространства-времени и а/ =0 уравнение лиувилля
1. Структура конформной группы двумерного пространства-времени 25
2. Нелинейная реализация конформной группы 28
3. Линейная задача и общее решение А/ =0 уравнения Лиувилля 35
4. Комплексное уравнение Лиувилля 38
ГЛАВА 3. Суперсимметрии двумерного пространства-времени и /v =1 уравнение лиувилля
1. Суперрасширения конформной группы 44
2. Структура безмассовых супермультиплетов 49
3. А/ =1 уравнение Лиувилля 54
ГЛАВА 4. N =2 Уравнение лиувилля
1. Нелинейная реализация конформной А/=2, cL =2
супергруппы и А/ =2 уравнение Лиувилля 61
2. Анализ компонентного состава А/ =2 уравнения Лиувилля и линейная задача 64
3. Общее решение А/ =2 уравнения Лиувилля 67
ГЛАВА 5. А/ =4 уравнение лиувилля
1. Конформная Д/=4, cL =2 супергруппа, ее нелинейная реализация и А/ =4 уравнение Лиувилля 72
2. Анализ /1/=4 уравнения Лиувилля в компонентах 76
3. Трансформационные свойства 79
4. Линейная задача для /V =4 уравнения Лиувилля 82
ГЛАВА 6. Преобразования бэклубда для суперрасширений уравнения ЛИУВИЛШ
1. Общий метод построения преобразований Бэклунда: А/ =0 уравнение Лиувилля 86
2. Преобразования Бэклунда для /1/=1, И/ =2 и /1/=4 уравнений Лиувилля 90
Заключение 95
Литература
- Нелинейные реализации и формы Картана
- Нелинейная реализация конформной группы
- Структура безмассовых супермультиплетов
- Анализ компонентного состава А/ =2 уравнения Лиувилля и линейная задача
Нелинейные реализации и формы Картана
Описанный в предыдущем параграфе метод обратной задачи рассеяния содержит одну существенную неопределенность; форма -О. , для которой пишется представление нулевой кривизны (1.3), изначально ничем не фиксирована и в каждом конкретном случае должна быть угадана. Метод нелинейных реализаций, рассмотренный в общих чертах в данном параграфе и-широко используемый в диссертации позволяет получать конкретную структуру дифференциальных 1-форм, исходя из заданной группы симметрии б- . Как будет показано в дальнейшем на примере уравнения Лиувилля и его суперрасширений, применение этого метода к определенным бесконечномерным симметри-ям позволяет получать явный вид формы -О., удовлетворяющей требованию нулевой кривизны (1.3) и находить соответствующую линейную задачу (I.I).
Нелинейные реализации представляют собой главный метод динамической реализации симметрии. Изложим его основные моментыТ Пусть 3- -группа динамической симметрии с генераторами AiU , ... vf) и V, причем (Vd] генерируют подгруппу Н . Предполагается, что генераторы могут быть выбраны ор-тонормированными по отношению к внутреннемупроизведению Картана, т.е. самый общий допустимый вид коммутационных соотношений следующий: где С - структурные константы. В случае пространственно-временных симметрии будем предполагать, что генераторы трансляций Р включены в набор ІАі\ , а генераторы лоренцевских преобразований -в [\/ ] /29»3/. Если б- -супергруппа, то часть коммутаторов (I.II) заменяется антикоммутаторами, а генераторы сдвигов по грассмановым координатам Q.+ включаются, аналогично Р , в набор (Л .
Нелинейная реализация группы G- полностью задается выбором подгруппы стабильности Н , при этом Q- реализуется левыми (или правыми) сдвигами на фактор-пространстве G-/H : gCC)= Є- - 0gO = e є (1.12)
Здесь 4. ( 0) - поля, параметризующие &/Н . Если среди генераторов {AL\ есть сдвиги по обычным либо по грассмановым координатам, т.е. рассматриваются нелинейные реализации пространственно-временных симметрии, то в качестве соответствующих 5 выбираются координаты
Все остальные поля, в соответствии с законами нелинейных реализаций 2 30 , преобразуются по представлениям подгруппы Н , но с параметрами - функциями от : где V - генераторы К в представлении .
Преобразования полей "С" сами по себе определяют реализацию группы G- , в отличие от полей х , на которых Q- может быть реализована только при участии ." . Как следует из (I.I2), поля : выделены тем, что при действии генераторов {Ас\ они преобразуются неоднородно, в то время как поля при действии всей группы Q преобразуются однородно. Таким образом, из полей без участия производных нельзя построить инвариантов, поэтому весь набор оказывается безмассовым. Поля г называются голдстоу-новскими.
Для построения инвариантных лагранжианов необходимо определить ковариантные производные полей 1.4 О и (э е) . Оказывается, что для нелинейных реализаций можно построить объекты, обладающие простыми трансформационными законами - формы Картана & " и Vе /28-30/. g 4v «lgc CO:AL + V V (I.I4)
Формы ь и - ковариантные дифференциалы голдстоуновских полей , а формы V" " - играют роль ковариантных связное тей для полей 4 . Соответственно, ковариантные дифференциалы полей 4А имеют вид:
При действии группы G- дифференциалы " и т преобразуются однородно, как поля 1 и 4 в подгруппе Как следует из рассмотрения, число голдстоуновских полей, изначально присутствующих в теории, совпадает с числом генераторов фактор-пространства &/Н .
В случае пространственно-временных симметрии ковариантные дифференциалы и ковариантные производные можно определить только при условии, что трансляции (и супертрансляции) образуют инвариантную группу относительно Н . Тогда ковариантные дифференциалы суть формы при Рр (а также при Q в суперслучае), а ковариантные производные определяются следующим образом
Нелинейная реализация конформной группы
Рассмотрим нелинейную реализацию группы G- к , отвечающей алгебре (2.13), в фактор-пространстве &-/Н , где И - группа Лоренца Sot4j ) . В соответствии с анализом проведенным в 2 Главы I диссертации, при таком выборе фактор-пространства все поля будут преобразовываться по представлениям группы Лоренца двумерия. Кроме того,в силу уже упоминавшейся в Гл I (3) общей теоремы работы , единственным существенным голдстоуновским полем будет дилатон - голдстонион, отвечающий генератору дилатаций 2 = L0++-L0_ . При любой другой, более широкой подгруппе Н , число существенных голдстоуновских полей теории возрастает. Поэтому ограничимся анализом минимальной ситуации с К { и J . Элемент смежных классов &/н параметризуем следующим образом
На самом деле, алгебре (2.13) соответствует псевдогруппа однако для дальнейшего анализа разница между группами и псевдогруппами будет не существенна, поэтому условимся говорить о группах, имея в виду настоящее замечание. световые координаты двумерного пространства Минковокого, бесконечный набор координат-полей. Группа G- , в соответствии с (I.I2) реализуется на фактор-пространстве (2.17) левыми умножениями: элемент подгруппы И , зависимость которого от групповых параметров Я Г и параметров фактор-пространства б-/к однозначно фиксирована коммутационными соотношениями (2.13). Расстановка групповых факторов в виде (2.17) удобна тем, что при ней трансформационный закон координат совпадает с обычным конформным преобразованием в двух измерениях: а групповая вариация поля ц: Л и элемент К зависят только от ос± , но не от полей-координат: Геометрия фактор-пространства G/н описывается формами Кар-гана, которые определяются соотношением
Полная форма _Q_ преобразуется относительно (2.19) по стандартному закону нелинейных реализаций 8-30/ - зо _Q/ = -і If" U + І.ЛЛИ (2-24) причем все ее компоненты, кроме коэффициента при генераторе и , преобразуются однородно. Приведем явный вид нескольких первых компонент: (и л - е Лек, о = Ми - Z otcc (2.25) из = г 1Аъ1 + кч5гІ .+ - 4 Л Нам понадобится также вид компонент формы И 0 = ajo + R. +- J;R +tJ" t/ _Q_ = X 0 +JQ-, (2.26)
Формы il0 и -Q 0 определены так, что первая принадлежит алгебре s, t С 2.,Q.)(1.37), а вторая - ее ортогональному дополнению, которое порождается бесконечным набором генераторов
Заметим, что компоненты формы JQ. , стоящие при генераторах \Z\-XіЛ.у L l- 3- іЛ., получаются из и)0 , иа - заменой тя-»-ил ), Для того, чтобы исключить бесконечный набор голдстоуновских полей { -2ги О \ , наложим следующие ковариантные связи обратного эффекта Хиггса нулю равны компоненты форм -м ( , } в направлениях otoc соответственно, и форма при генераторе дилатаций Ъ целиком. Уравнения (2.28) выражают высшие параметры-поля гг О, г О через единственное поле - дилатон и(й ): іс Ь - {э±" ) .[Э+ч З (2.29) Соответственно, формы (2.25) теперь выражаются через единственное поле u )
В силу своего определения форма -Q. (2.23) подчиняется уравнению Маурера-Картана: ASL - L -О. ч XL (2.31) Подчеркнем, что на этом этапе уравнение (2.31) удовлетворяется тождественно и не несет какого-либо динамического содержания.
Как было показано в 3 Главы I диссертации, можно усилить условия (2.28), не нарушая при этом инвариантности относительно группы Gr . А именно, наложим условия ковариантной редукции фактор-пространства 6-/ц к его связному подпространству 5L(2,G)/H В виде: каждое из которых дает два уравнения для коэффициентов при Лес и б/х"" в соответствующих CJ . Очевидно, что условия (2.33) содержат в себе связи обратного эффекта Хиггса (2.28). Поэтому поля [Ъ С --)} будут выражаться через дилатон и (а.) соотношениями (2.29). Однако, в уравнениях а) и в) содержатся дополнительные ограничения на поле цс .) . Как видно из (2.30), условия (2.33а) приводят к уравнению Лиувилля на мх) :
В Приложении I показано, что остальные уравнения системы (2.33) не приводят к каким-либо дополнительным ограничениям на поле « :») , они удовлетворяются тождественно.
Обсудим кратко геометрический смысл условий (2.33). Согласно Каргану (см., напр./ ) уравнения такого типа (уравнения Пфаффа) соответствуют выделению некоторого связного вполне геодезического подмногообразия в данном групповом пространстве. В рассматриваемом случае таким подмногообразием является двумерная пседосфера S L (.0.,0.)/ о см) . Поле исл задает вложение этой псевдосферы в GysoOMV В том, что компоненты формы (2.27) действительно описывают псевдосферу ( ю0+ u)0ft - ковариантные дифференциалы, и)? -SoCW связность), легко убедиться, построив соответствующий инвариантный интервал
Можно осуществить ковариантную редукцию и к этому подпространству, выделив в полной форме XI часть, лежащую в алгебре двумерной группы Пуанкаре 34 4 +,1-+-L_ J, и приравняв нулю остальную ее часть, натянутую на генераторы L±, L+ + L_} i-\ ,.. . Соотношения (2.33) заменяются условиями (они следуют из (2.33) в пределе контракции = ). Высшие параметры-поля выражаются через и с } так же, как и в предыдущем случае, а поле исэс.) удовлетворяет теперь свободному уравнению:
Кривизна метрики, как и следовало ожидать, оказывается при этом равной нулю. Таким образом, в рамках данного подхода уравнение ДГиувилля (2.34)и свободное уравнение (2.37) описываются с единой точки зрения, как условия ковариангного выделения разных связных подпространств в одном и том же фактор-пространстве G-/Qou, ).
Отметим, что для нашей конструкции важна бесконечномерность алгебры &- и нельзя ограничиться ее максимальной конечномерной подалгеброй SOCa.i -fLr+jL+jL +J. Действительно, как показано в 3 главы I диссертации, ограничение группой осі,ї) немедленно приводит к набору связей (1.38), (1.39), жестко фиксирующих зависимость иоо от оь1 , выделяя класс частных решений уравнения Ли-увилля (1.40), (I.4I).
Структура безмассовых супермультиплетов
Прежде чем перейти к построению нелинейных реализаций суперрасширений конформной группы двумерного пространства-времени, целесообразно изучить структуру минимальных супермультиплетов рассматриваемых супергрупп, включающих в себя дилатон ut») . Такое изучение позволит исключить из рассмотрения супергруппы, приводящие к физическим неинтересным либо малосодержательным системам. Основным принципом отбора интересных систем может быть выбрано условие исключения супергрупп, минимальные супермулъти-плеты которых содержат на массовой поверхности поля с лоренцевы-ми весами А Такое ограничение представляется весьма разумным, поскольку поля с отвечают в четырехмерии высшим спинам ( 1), поэтому трудно надеяться получить для них в двумерии интересные уравнения.
По определению, условимся называть лоренцевым весом генератора Gx коэффициент А в коммутаторе I Lu,6 1= 3-Л , где и - генератор Лоренцевых поворотов. Прежде чем переходить к построению минимальных супермульти-плетов, содержащих дилатон ис ) , сделаем два существенных замечания.
Во-первых, поскольку мы хотим построить суперрасширения уравнения Лиувилля, то аналогично ситуации 2 Главы 2, линейно и однородно по полям и координатам будет реализована только подгруппа конформной группы - группа Пуанкаре и, соответственно, ее суперрасширения для суперконформных групп, рассмотренных в 1 данной главы. Поэтому достаточно изучить структуру супермульти-плетов соответствующих плоских суперсимметрий. Во-вторых, нам будет достаточно исследовать безмассовые представления расширенных супергрупп плоской суперсимметрии, поскольку именно такие супер-мультиплеты появляются в суперрасширениях УЛ. (Как показано в работах 5 размерный параметр, присутствующий в УЛ связан не с возникновением массивных состояний в теории, а со спонтанным нарушением Пуанкаре-симметрии, т.е. отсутствием Пуанкаре-инвариантных решений уравнений движения. Аналогичная ситуация возникает и при рассмотрении суперрасширений УЛ).
Начнем с рассмотрения представлений плоской л/ =1 суперсимметрии: Построение будем производить, исходя из безмассовых представлений группы Пуанкаре двумерия
Мы найдем представления обычным образом, выбирая состояния с ло ренцевым весом А в качестве вакуумных состояний для понижающего значения Л оператора -3, : Соответственно, безмассовые л/ =1 супермультиплеты на массовой оболочке содержат только два базисных состояния: (Действительно, состояние &+ &J- 1 эквивалентно, в силу (3.15), состоянию - р4-\ » представляющему собой "сдвиг" состояния 1Х ). Учитывая, что приходим к выводу, что минимальный безмассовый мультиплет, содержащий дилатон ( =о , включает на массовой оболочке фермион (. - аЛ так, физический состав супермультиплета s -\ суперсимметрии, включающего дилатон,следующий
Структура коммутационных соотношений в данном случае напоминает случай л/ =2, поэтому опять выберем состояние ІХ^оО (3.16), которое теперь несет также индекс группы внутренней симметрии о/, в качестве вакуума для операторов G-±*r , t.J :
Тогда супермульгиплеты, построенные по 1>, <0 , включают в себя следующий набор либо, если основное состояние синглет по и(3.} : что соогвегсгвует состояниям Поэтому дилатон можно поместить в следующие супермулътиплеты последний из которых как раз и не содержит полей с лоренцевыми весами Отметим, также, что можно наложить условия вещественности на состояние, что приведет к дальнейшей редукции супермультиплета (в этом случае Окончательно, минимальный М =4 супермультиплет, включающий состояния с IM содержит следующие компоненты: действительных скаляра комплексных фермиона
Таким образом, мы показали, что существует только три суперрасширения конформной группы двумерия, супермулътиплеты которых удовлетворяют условию 1М ^х АнализУ таких супергрупп Применим теперь развитый во второй главе диссертации метод построения уравнений, инвариантных относительно некоторой бесконечно параметрической группы, к простейшему л/ =1 суперрасширению конформной группы двумерия
Анализ компонентного состава А/ =2 уравнения Лиувилля и линейная задача
Все остальные антикоммутаторы и коммутаторы равны нулю как следствие (5.33). Иными словами, исчезновение кривизны полной 1-фор-мы .D-o индуцируется представлением нулевой кривизны (5.33) для ее спинорных компонент. Заметим, что операторы tf- , +р. заданы не на всей супералгебре sutv І Л , а на ее подалгебре, образованной генераторами \ u}J0K , «»+, O.S \ и являщейся SU() -расширением супералгебры минимального представления нулевой кривизны для л/ =2 уравнения Лиувилля. Отличие случаев /V =2 и л/ =4 состоит в том, что помимо первых двух связей в (5.33), непосредственно обобщающих существенные связи случая А/ =2, появляется еще и третья существенная связь (при л =2 она следует из первых двух). Оператор V-ы. задан на супералгебре { UjT0K ) +01 Q-в, сопряженной к (5.35) и порождающей в коммутации с ней всю супералгебру suut-{ i%) . Однако для вычисления { V-u , Vt\ достаточно знать антикоммутатор не выводящий за рамки указанных подалгебр. Из сказанного ясно, что линейную задачу можно записать в виде: столбец из четырех комплексных А/ =4 суперполей, преобразующихся по фундаментальному представлению супералгебры suCMlfc . Нетрудно представить (5.36) в явной матричной форме, используя реализацию генераторов SU (. 1 ) матрицами 4x4 с нулевым супершпуром. Мы не будем приводить здесь это представление из-за его громоздкости. Линейная задача в компонентах может быть получена последовательным действием на (5.36) спинорных удлиненных производных.
В заключение этого параграфа коснемся вопроса о спектральном параметре. По аналогии со случаями АУ =0, А/ =1 и А/ =2 естествен-но ввести его в форму -О-о правым константным поворотом из подгруппы стабильности Н : si?(А - д нЧл ЗнСА , энсл н (5.37) Поскольку К - SoCM4) $ и(ї), спектральных параметров в данном случае четыре и они могут быть объединены в вещественный кватернион: Х- А0 4-е Г " (5.38)
Итак, в данной главе мы построили А/ =4 суперсимметричное расширение уравнения Лиувилля с калибровочной 2с/ .сл) х t/_ (z} сим_ метрией, изучили его свойства инвариантности и нашли линейную задачу, для которой оно служит условием интегрируемости. Полученная система дает новую нетривиальную реализацию (на классическом уровне) супералгебры Sud) суперструнь/2 28 , отличную от реализации Адемолло и др./-1- /. Хотя состав лиувиллевского /1/=4 су-пермультиплета по числу компонент совпадает с составом свободного А/ =4 супермультиплета, положенного в основу описания Su(z) -суперструны в работе/15/, их трансформационные свойства по отно - 85 шению к диагональной группе автоморфизмов Suez} существенно различаются. Авторы работы 1 используют SU(з.) -синглетное киральное А/ =4 суперполе, дополнительно подвергнутое связягл чет вертого порядка по спинорным производным. У нас базисным объектом является кватернионное суперполе лі со связями первого по рядка. Соответственно, физические бозоны в являются Sc/te) синглегами, а у нас принадлежат представлению ІФЗ группы &UC }, причем они имеют ясный геометрический смысл: синглетное поле дилатон, а триплетное поле параметризует однородное пространство (ЛСД) v SU-U) /SOC2.) (различаются и St/Ca. ) -свойства вспомогательных полей). Эти новые, привлекательные черты рассмотренной модели стимулируют желание исследовать ее квантовую структуру. Можно надеяться, что ее квантование приведет к Sc(z) -суперструне, свободной от основного недостатка существующего варианта такой струны - - - присутствия духовых состояний при любом числе измерений пространства. Интересно отметить, что в случаях А/ -2 и А/ =1 лиувиллевские супермультиплетъ/ и супер-мультиплеты соответствующих суперструн полностью совпадают.