Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор теоретических и экспериментальных исследований корреляций состояний микрообъектов 18
1.1 Введение 19
1.2 Наблюдаемая Белла 22
1.3 Анализ наблюдаемых корреляций с помощью неравенств Белла 23
ГЛАВА 2. Стохастическая гравитационная модель квантовых корреляций 28
2.1 Стохастические гравитационные поля и квантовые корреляции в рамках солитонной модели 28
2.2 Описание механизма возникновения случайной фазы с помощью стохастического искривленного пространства 33
2.3. Обсуждение 35
ГЛАВА 3. Стохастическая модель кубитов 36
3.1. Введение 36
3.2. Радиочастотная модель, описывающая корреляции запутанных состояний микрообъектов 36
3.3. Алгоритм программы для стохастической гравитационной модели квантовых запутанных состояний 38
3.4. Заключение 455
ГЛАВА 4. Алгоритм для построения стохастической модели кубитов 46
4.1 Введение 46
4.2. Физические основы описания алгоритма модели квантового компьютера на классическом компьютере 47
4.3. Моделирование стохастических кубитов на классическом компьютере 51
4.4. Инициализация стохастических кубитов 52
4.5. Преобразование Адамара для стохастических кубитов 53
4.6. Логический элемент CNOT для стохастических кубитов 54
4.7. Обсуждение 55
Заключение 57
Приложение 1 59
Приложение 2 66
Литература 77
- Анализ наблюдаемых корреляций с помощью неравенств Белла
- Описание механизма возникновения случайной фазы с помощью стохастического искривленного пространства
- Алгоритм программы для стохастической гравитационной модели квантовых запутанных состояний
- Физические основы описания алгоритма модели квантового компьютера на классическом компьютере
Введение к работе
Компьютерное моделирование поведения квантовых микрообъектов и их состояний встречается с определенными трудностями, связанными с неоднозначностью поведения микрообъектов (дуализм волна-частица) и с невозможностью объяснения квантомеханических свойств с помощью классических воззрений и логики. В данной работе делается попытка найти и построить удовлетворительную стохастическую модель поведения квантовых микрообъектов с помощью широко известных методов и уравнений Общей Теории Относительности в применении к гравитационным стохастическим полям.
Описание квантовых корреляций дает возможность исследовать их свойства и судить о них, как об одном из фундаментальных явлений квантового мира. Дальнейшее их исследование позволит перейти к более сложным задачам, имеющим перспективу практического использования, таким, как, например, построение модели квантовых вычислений. Такие практические задачи не выполнимы без долговременных теоретических исследований наиболее общих свойств микромира, описываемых квантовыми явлениями. Полученные выводы о приготовлении и анализе квантовых состояний важны при практическом решении задачи создания кубитов (квантовых битов) с целью применения их для квантовых вычислений. Несмотря на то, что еще нет единого мнения о том, какой может быть реализация квантового бита - на ЯМР, квантовых точках, коррелированных фотонах, или другой, уже сейчас ясно, что этот выбор будет сделан только в результате наиболее полного изучения приготовления и измерения запутанных состояний. В работе получен
положительный вывод о принципиальной возможности моделирования квантовых запутанных состояний на классическом компьютере стохастическими методами. Полученные выводы и оценки необходимы для правильного построения многокубитовых систем. И хотя этому препятствуют многие нерешенные задачи квантовой теории, изучение запутанных поляризационных квантовых состояний может привести к созданию многокубитовых квантовых систем.
Получена стохастическая гравитационная модель квантовых корреляций и микрообъектов, нашедшая практическое применение в компьютерной программе, моделирующей запутанные состояния. Проведено исследование стохастического искривленного пространства с флуктуациями метрики, позволяющее получить гравитационную стохастическую модель квантовых корреляций со случайной фазой.
Целью диссертационной работы являлось исследование и построение компьютерной модели корреляций квантовых состояний микрообъектов, что представляет фундаментальный и практический интерес. Согласно этой цели были поставлены следующие основные задачи:
Исследовать структуру случайной фазы, способной порождать корреляции запутанных состояний, с открывающейся перспективой моделирования их на примере флуктуации метрики стохастического искривленного пространства.
Построить модель стохастического искривленного пространства с флуктуациями метрики, позволяющей получить стохастическую модель куби-тов.
Создать алгоритм и программу модели кубитов.
На защиту выносятся следующие результаты:
построена стохастическая модель квантовых корреляций с учетом случайных флуктуации метрики пространства;
построена модель стохастического искривленного пространства с флук-туациями метрики, позволяющая получить стохастическую модель куби-тов;
созданы алгоритм и программа, моделирующие кубиты.
Диссертация включает в себя введение, четыре главы, два приложения, заключение и список литературы.
Содержание диссертации
Во введении сформулированы цели исследования, дана постановка основных задач, а также обосновывается актуальность выбранной темы.
Анализ наблюдаемых корреляций с помощью неравенств Белла
Квантовая механика - теория, аксиоматика которой основывается на результатах, полученных в ряде экспериментальных работ. Эти эксперименты невозможно было объяснить в рамках классической физики, и они легли в основу будущей квантовой теории.
И хотя новая теория не исследовала природу эффектов, лежащих в основе квантовой механики, но она позволила производить конкретные расчеты реальных физических эффектов и смогла правильно предсказывать поведение квантовых микрообъектов. Эти предсказания рассчитывались косвенным образом, т.е. с применением функций и величин с неизвестными физическими свойствами и физическим смыслом. Их свойства оказались настолько непривычными и противоречившими до тех пор известным представлениям о природе, что их исследование продолжается и в настоящее время со все более усиливающейся остротой. Это связано с потребностями различных смежных прикладных областей науки иметь более ясные фундаментальные физические основы для своего развития.
Впервые вопрос о применимости коррелированных квантовых состояний в квантовой механике с целью более полного ее изучения, был поставлен в работе Эйнштейна, Подольского и Розена (ЭПР) «Является ли квантомеханическое описание полным?» [1]. Авторы эффекта ЭПР сделали вывод о неполноте квантомеханического описания после подробного рассмотрения одного мысленного эксперимента. Впоследствии эта работа станет одной из наиболее цитируемых среди других работ по этой тематике в общефизических журналах.
В [1] в качестве заключения утверждалось, что квантовомеханическое описание микрообъектов не является полным. Отсюда можно сделать вывод, что квантовомеханическое описание необходимо дополнить некоторыми случайными переменными, устраняющими эту неполноту. В частном случае, эти переменные иногда называют скрытыми параметрами, с надеждой на то, что они позволят непротиворечиво интерпретировать результаты квантовых экспериментов, не меняя радикальным образом математического аппарата квантовой механики. Вплоть до настоящего времени их введение не только не оправдало ожидаемых надежд, но и не были решены вопросы: допустимо ли их введение в квантовую механику и существуют ли они вообще. Кроме того, введение новых параметров неизвестно какой природы и с неизвестными свойствами скорее ставит новые вопросы, чем решает старые. Несмотря на это, исследование этого вопроса было полезным при становлении квантовой механики, т. к. ответ на этот вопрос связан с исследованием природы, физического смысла и интерпретации поведения квантовых микрообъектов и их описания с помощью квантовой теории. Позднее фон Нейманом [2] было доказано, что аксиоматика квантовой механики не допускает введения новых переменных. Важно, однако, что приведенное в [2] доказательство оказывается несправедливым в некоторых случаях, например, для попарно наблюдаемых микрообъектов (для гильбертова пространства с попарно коммутирующими операторами). В этом случае справедлива другая теорема, допускающая введение таких переменных [3] для попарно коммутирующих операторов. Эта дискуссия, начавшаяся в прошлом веке, дала толчок созданию неравенств Белла [4,5], дающих экспериментальный критерий для разрешения этого спора. Последующая за этим серия экспериментальных работ [6-23] довольно убедительно подтвердила выводы квантовой теории.
Как уже ранее нами отмечалось, этот вопрос связан с фундаментальными основами и пониманием физики, поэтому его изучение привело к открытию новых свойств квантовых микрообъектов. Обратимся к мысленному эксперименту, предложенному авторами ЭПР [1], и только в наши дни проведенному [6-23] для поляризационных состояний фотонов. Пусть два фотона А и В взаимодействуют в начальный момент времени и разлетаются в противоположных направлениях. Пусть первый описывается волновой функцией ц/А. Второй - ц/в. Система из двух фотонов А и В описывается волновой функцией ц/АВ. Причем ц/АВ ц/Аув. Возведя в квадрат последнее неравенство, получим РАВ РАРВ.
Но для независимых событий А и В с вероятностями РА и Рв, согласно теории вероятности, Рлв =РАРВ.
Математическое описание таких состояний обычно производится с использованием векторов, где 0) обозначает спин (для частиц) и поляризацию (для фотонов), повернутые вниз, a l) - вверх. В литературе запутанными состояниями называются такие состояния частиц или фотонов А и В, для которых можно записать если спин системы равен нулю.
Микрообъекты в таких состояниях также называют запутанными [24-31]. Впервые такие состояния рассматривались в работе [24]. Природа запутанных состояний до настоящего времени не выяснена, однако этот вопрос активно исследуется в настоящее время [26].
Термин "запутанный" (в разных работах эти состояния называют зацепленными, спутанными или перепутанными) возник как перевод английских слов entanglement и entangled. Как уже описывалось выше, эти состояния мало изучены. Пока еще не ясно как характеризовать степень запутанности таких состояний, однако в последнее время для их характеристики стали использовать термин concurence [32,33], который можно перевести как взаимозависимость или взаимосогласованность. Эта величина обычно обозначается буквой С и может меняться от 0 до 1. Причем 1 характеризует максимальную степень запутанности, а 0 - отсутствие запутанности.
Описание механизма возникновения случайной фазы с помощью стохастического искривленного пространства
При описании основ квантовых вычислений авторы обычно опираются на фундаментальные физические представления о квантовых явлениях [57,58]. Эти явления удобно демонстрировать на основе управляемых корреляций Эйнштейна - Подольского - Розена (ЭПР) [1] в варианте Бома [7]. Однако сами по себе управляемые корреляции типа ЭПР-Бома между показаниями двух удаленных приборов не являются, по мнению некоторых авторов [34,56], существенно квантовым явлением. Принципиальное отличие квантовых и классических представлений заключается [4,5] в нарушении неравенства Белла. В работах по квантовым вычислениям (см. [47,51,53]), не затрагивающих, как в докладе Фейнмана [57,58], непосредственно полного моделирования квантовой системы, необходимость такого различия, как неравенство Белла, не требуется.
В настоящее время не существует удовлетворительного моделирования картин квантовых состояний и их интерференции на классическом компьютере. Идея квантовых вычислений, предложенная Р. Фейнманом в [57,58], основывается на нашей неспособности моделировать квантовые картины на классическом компьютере в силу различных причин. Но создавать модели квантовых картин с помощью квантовых элементов не составило бы труда. В свою очередь, это означает необходимость создавать квантовые элементы. Конечно, это значит, что такие элементы должны интерферировать, а коэффициент корреляции их должен быть отличен от нуля. Тогда изменение хотя бы одного элемента меняло бы всю квантовую картину. Это свойство квантовых элементов называют квантовым параллелизмом. Если в классическом компьютере значение единицы информации (бита) оказывается О либо 1, то в квантовом компьютере каждый квантовый элемент описывается волновой функцией // = а0) + &1), которая указывает на нахождение этого элемента в состоянии суперпозиции нуля и единицы, где а,Ь - комплексные величины ограниченные условием нормировки (здесь \а\2 + Щ2 = 1) с вероятностями P(0) = \af,P(\) = \b\2.
Такой бит информации называют квантовым битом, или кубитом, обладающим вышеуказанным свойством квантового параллелизма. Единственный кубит не обладает нужными нам квантовыми свойствами, т.к. он не обладает свойством квантового параллелизма. Свойство квантового параллелизма моделируется в известных эмуляторах квантового компьютера [59-63]. В работе [64] описана программа для классического компьютера, имитирующая би-фотоны (Приложение 1). Если мы имеем регистр из кубитов, то при квантовых вычислениях производится унитарная операция сразу для всех 2 амплитуд [26]. При этом все кубиты должны быть коррелированы (когерентны). Таким образом, квантовый компьютер - это ансамбль коррели-рованых (когерентных) квантовых ячеек - кубитов. Пока не ясно с помощью каких конкретно квантовых элементов их удобно создавать и использовать. Поэтому для выяснения свойств квантовых объектов, вычислительных операций с ними, их сохранения и измерения [65-67], обратимся к моделированию кубитов и их квантовых свойств на классическом компьютере, насколько это возможно.
В настоящее время считается, что кубиты можно приготовить на основе микрообъектов, находящихся в квантовых ЭПР состояниях. Также можно использовать запутанные (иногда их называют зацепленными) состояния, в зарубежной литературе - entanglement states или entangled states.
Как можно моделировать такие состояния на классическом компьютере? До пионерской работы Белла отличать стохастическую реализацию квантовой теории от стандартной на практике не представлялось возможным. В этой работе было показано, что эти два описания можно различать с помощью наблюдаемой Белла. Однако, если поставить целью не поиск различий, а нахождение общих свойств стохастической реализации квантовой теории и стандартного квантово-механического описания, то можно считать значение наблюдаемой Белла несущественным. Такой поиск общих свойств дает возможность построения компьютерной модели запутанных состояний. Т.к. стохастическую модель можно рассматривать как классическую, она легко поддается моделированию. В данной работе рассмотрено стохастическое искривленное пространство, порождающее флуктуации фазы случайного поля при описании реальных квантовых объектов. Важно, что рассмотрение случайных гравитационных полей в качестве стохастических переменных не является единственным из допустимых стохастических реализаций. На основе системного генератора случайных чисел компьютера была создана модель случайного процесса j (t), являющегося случайной фазой.
Алгоритм программы для стохастической гравитационной модели квантовых запутанных состояний
Для применения логического элемента CNOT необходимо использование контрольного кубита, уже описанного выше. Кубит, к которому мы применим логическую операцию CNOT, будем называть кубитом-мишенью или целевым кубитом. Логическое значение контрольного кубита не меняется.
Рассмотрим два случая: - если контрольный кубит имеет значение l), то кубит-мишень переключается на обратное значение; если контрольный кубит равен 0), то значение кубита-мишени не меняется. Отметим, что для реализации на классическом компьютере стохастической модели квантовых алгоритмов, представляющих собой различные комбинации логических элементов, таких как преобразование Адамара и логический элемент CNOT, необходимо использовать инициализованные стохастические кубиты, описанные в разделе 4.4.
При реализации с помощью классического компьютера работы квантовых алгоритмов на стохастическом квантовом компьютере должен быть достигнут выигрыш во времени для решения некоторых задач [54,55,64]. Но, сравнивая скорость вычислений реального квантового компьютера и его стохастической модели, можно было бы заключить, исходя из выводов Белла [4,5], что скорость вычислений реального квантового компьютера должна быть выше, чем скорость стохастической модели квантового компьютера. Это связано с тем, что значение наблюдаемой Белла для квантовых состояний, согласно выводам Белла, в V2 раз должно быть больше, чем значение наблюдаемой Белла в стохастической модели квантовых состояний.
С другой стороны, в настоящее время существует множество проблем с реализацией, измерениями, декогерентизацией и т.д. В результате встает вопрос - какой выигрыш во времени реальный квантовый компьютер по сравнению со стохастической моделью квантового компьютера будет иметь при реализации квантовых алгоритмов для квантовых вычислений? Возможно, сегодня нерешенные технические и технологические проблемы для реализации реального квантового компьютера скоро будут решены. Но, даже если это будет не так, стохастическая модель все равно найдет применение в классическом компьютере, так как не требует изменения его, а лишь расширяет возможности классического компьютера специальными программными средствами, описанными выше. Описанную нами стохастическую гравитационную модель можно было бы использовать для реализации на классическом компьютере стохастической модели некоторых квантовых алгоритмов, представляющих собой различные комбинации квантовых (в сочетании с использованием классических) логических элементов, таких как преобразование Адамара и логический элемент CNOT.
Во введении были описаны задачи, решения которых приведены в этой работе. Поэтому в заключении приведем выводы, вытекающие из этих решений. Во-первых, получена модель квантовых корреляций микрообъектов с учетом случайных флуктуации, на примере флуктуации метрики пространства.
Во-вторых, при исследовании структуры случайной фазы, способной порождать корреляции запутанных состояний с открывающейся перспективой моделирования их на примере флуктуации метрики стохастического искривленного пространства, получено, что учет случайных флуктуации фазы приводит к тому, что состояния разнесенных невзаимодействующих квантовых микрообъектов оказываются величинами коррелированными.
В третьих, был описан алгоритм стохастической модели квантовых вычислений (основанный на полученной программе стохастических кубитов) с помощью введения стохастического искривленного пространства с флук-туациями метрики.
В четвертых, составлена действующая компьютерная программа, позволяющая моделировать кубиты стохастическими методами.
Отметим, что при успешном воспроизведении программы стохастической модели квантовых вычислений на классическом компьютере может получиться существенный выигрыш во времени для специального класса задач. Это связано с тем, что такая модель позволит воспроизвести работу квантовых алгоритмов.
Физические основы описания алгоритма модели квантового компьютера на классическом компьютере
Впервые вопрос о применимости коррелированных квантовых состояний в квантовой механике с целью более полного ее изучения, был поставлен в работе Эйнштейна, Подольского и Розена (ЭПР) «Является ли квантомеханическое описание полным?» [1]. Авторы эффекта ЭПР сделали вывод о неполноте квантомеханического описания после подробного рассмотрения одного мысленного эксперимента. Впоследствии эта работа станет одной из наиболее цитируемых среди других работ по этой тематике в общефизических журналах.
В [1] в качестве заключения утверждалось, что квантовомеханическое описание микрообъектов не является полным. Отсюда можно сделать вывод, что квантовомеханическое описание необходимо дополнить некоторыми случайными переменными, устраняющими эту неполноту. В частном случае, эти переменные иногда называют скрытыми параметрами, с надеждой на то, что они позволят непротиворечиво интерпретировать результаты квантовых экспериментов, не меняя радикальным образом математического аппарата квантовой механики. Вплоть до настоящего времени их введение не только не оправдало ожидаемых надежд, но и не были решены вопросы: допустимо ли их введение в квантовую механику и существуют ли они вообще. Кроме того, введение новых параметров неизвестно какой природы и с неизвестными свойствами скорее ставит новые вопросы, чем решает старые. Несмотря на это, исследование этого вопроса было полезным при становлении квантовой механики, т. к. ответ на этот вопрос связан с исследованием природы, физического смысла и интерпретации поведения квантовых микрообъектов и их описания с помощью квантовой теории. Позднее фон Нейманом [2] было доказано, что аксиоматика квантовой механики не допускает введения новых переменных. Важно, однако, что приведенное в [2] доказательство оказывается несправедливым в некоторых случаях, например, для попарно наблюдаемых микрообъектов (для гильбертова пространства с попарно коммутирующими операторами). В этом случае справедлива другая теорема, допускающая введение таких переменных [3] для попарно коммутирующих операторов. Эта дискуссия, начавшаяся в прошлом веке, дала толчок созданию неравенств Белла [4,5], дающих экспериментальный критерий для разрешения этого спора. Последующая за этим серия экспериментальных работ [6-23] довольно убедительно подтвердила выводы квантовой теории.
Как уже ранее нами отмечалось, этот вопрос связан с фундаментальными основами и пониманием физики, поэтому его изучение привело к открытию новых свойств квантовых микрообъектов. Обратимся к мысленному эксперименту, предложенному авторами ЭПР [1], и только в наши дни проведенному [6-23] для поляризационных состояний фотонов. Пусть два фотона А и В взаимодействуют в начальный момент времени и разлетаются в противоположных направлениях. Пусть первый описывается волновой функцией ц/А. Второй - ц/в. Система из двух фотонов А и В описывается волновой функцией ц/АВ. Причем ц/АВ ц/Аув. Возведя в квадрат последнее неравенство, получим РАВ РАРВ.
Но для независимых событий А и В с вероятностями РА и Рв, согласно теории вероятности, Рлв =РАРВ. Математическое описание таких состояний обычно производится с использованием векторов, где 0) обозначает спин (для частиц) и поляриза цию (для фотонов), повернутые вниз, a l) - вверх. В литературе запутанными состояниями называются такие состояния частиц или фотонов А и В, для которых можно записать если спин системы равен нулю. Если спин системы равен двум, то запутанные состояния записываются как Микрообъекты в таких состояниях также называют запутанными [24-31]. Впервые такие состояния рассматривались в работе [24]. Природа запутанных состояний до настоящего времени не выяснена, однако этот вопрос активно исследуется в настоящее время [26]. Термин "запутанный" (в разных работах эти состояния называют зацепленными, спутанными или перепутанными) возник как перевод английских слов entanglement и entangled. Как уже описывалось выше, эти состояния мало изучены. Пока еще не ясно как характеризовать степень запутанности таких состояний, однако в последнее время для их характеристики стали использовать термин concurence [32,33], который можно перевести как взаимозависимость или взаимосогласованность. Эта величина обычно обозначается буквой С и может меняться от 0 до 1. Причем 1 характеризует максимальную степень запутанности, а 0 - отсутствие запутанности.