Содержание к диссертации
Введение
1. Нелинейные локализованные возбуждения в молекуле ДНК 9
1.1. Структура и функции молекулы ДНК 9
1.2. Математические модели нелинейной динамики молекулы ДНК
1.2.1. Модели, описывающие вращательные движения оснований 16
1.2.2. Модели, описывающие сдвиговые движения оснований. Модель ДНК Пейрара-Бишопа и е модификации 20
1.3. Дискретные и мобильные бризеры 27
1.3.1. Стационарные дискретные бризеры 27
1.3.2. Мобильные дискретные бризеры 30
1.3.3. Дискретные бризеры в моделях динамики ДНК 31
1.4. Выводы по главе 1 34
2. Методика исследования и комплекс программ для моделирования дискретных бризеров 35
2.1. Методика нахождения и исследования дискретных бризеров 35
2.1.1. Численный метод нахождения дискретных бризеров 35
2.1.2. Устойчивость дискретных бризеров 37
2.2. Методы нахождения мобильных бризеров 38
2.3. Описание программного комплекса для моделирования дискретных
бризеров 40
2.3.1. Описание программы «Моделирование дискретных бризеров в модели ДНК Пейрара-Бишопа» 40
2.3.2. Описание программы «Моделирование мобильных дискретных бризеров в модели ДНК Пейрара-Бишопа» 46
2.4. Выводы по главе 2 51
3. Дискретные бризеры и мультибризеры 53
3.1. Стационарные дискретные бризеры и мультибризеры в модели ДНК
Пейрара-Бишопа 53
3.1.1. Односайтовые дискретные бризеры 56
3.1.2. Мультибризеры 58
3.2. Исследование устойчивости дискретных бризеров 60
3.2.1. Исследование устойчивости односайтовых и двухсайтовых дискретных бризеров 60
3.2.2. Исследование устойчивости трхсайтовых дискретных бризеров.. 3.3. Энергия и амплитуда дискретных бризеров 67
3.4. Выводы по главе 3 70
4. Мобильные дискретные бризеры 72
4.1. Приближенные мобильные бризеры 72
4.1.1. Получение приближенных мобильных бризеров 72
4.1.2. Взаимодействие мобильных бризеров 78
4.2. (p/q) – резонансные численно точные мобильные бризеры 84
4.2.1. Метод расчта ЧТМБ 85
4.2.2. Нахождение начального приближения к ЧТМБ 86
4.2.3. Нахождение численно точных МБ 89
4.2.4. Устойчивость ЧТМБ 94
4.3. Выводы по главе 4 96
Заключение 98
Список работ автора по теме диссертации 99
Список литературы
- Модели, описывающие сдвиговые движения оснований. Модель ДНК Пейрара-Бишопа и е модификации
- Устойчивость дискретных бризеров
- Исследование устойчивости дискретных бризеров
- Взаимодействие мобильных бризеров
Модели, описывающие сдвиговые движения оснований. Модель ДНК Пейрара-Бишопа и е модификации
Работы группы Проховского по изучению нормальных мод рамановской и инфракрасной спектроскопии ДНК [30, 31] обнаружили существование в ДНК низкочастотных колебательных мод водородных связей оснований, так называемое «дыхание» (breathing) ДНК. Проховским показано [31], что растяжение водородных связей оснований при «дыхании» ДНК существенно нелинейно. На основе этих работ в 1989 году Пейрар и Бишоп построили простую модель для описания процесса денатурации молекулы ДНК [3]. Модель Пейрара-Бишопа (ПБ) учитывает, что молекула ДНК состоит из двух полинуклеотидных цепей, и представляет собой две цепочки дисков, связанных друг с другом продольными и поперечными пружинами (рис. 1.10). Рисунок 1.10 - Модель ДНК Пейрара-Бишопа
Взаимодействие между соседними узлами одной цепочки описывается гармоническим потенциалом -к(и„ -и„ Л1 - для верхней и -k(v„ -v„ Л1 - для нижней цепочки соответственно, где k - константа взаимодействия вдоль цепи, un, vn - смещение нуклеотидов массы m из положения равновесия в направлениях, показанных стрелочкой. Взаимодействие между узлами разных цепочек моделирует потенциал Морзе V(un-vn) = D{Qxp[-a(un-vn)]-\f - потенциал, имитирующий водородные связи, соединяющие основания комплементарных пар. Здесь D -энергия диссоциации полинуклеотидных цепочек, а а - параметр, обратный длине (пространственный масштаб потенциала).
Для простоты авторы пренебрегают неоднородностью последовательности оснований и асимметрией двух цепочек ДНК и используют одинаковую массу m и константу стекинг-взаимодействия оснований k вдоль каждой из цепочек. Потенциал Морзе представляет собой усредннный потенциал, моделирующий водородные связи оснований.
Гамильтониан модели ПБ имеет вид: + D[\-QxV(-a(un-vn))]2}. Движения двух цепочек описываются переменными хп ={ип +vw)/V2, Уп = (и„ - vn )/V2 . Координата хп описывает положения центра масс пар оснований, а координата уп - растяжение водородных связей оснований. Уравнения движения модели в этих переменных принимают вид: \ d2jCn т k(xn_l-2xn+xn+l\ dt 2 \ "1 (1.1) т% = к(уп 1-2Ун + +1)-2V2 exp(- U Лаун)-і] I dt 2 v /L v / J Методами статистической физики авторы получили зависимость среднего растяжения водородной связи пары оснований у от температуры. Эта зависимость оказалась весьма чувствительной к параметрам модели. Для того чтобы температура денатурации была согласована с экспериментальными данными, константа к должна быть порядка 3.0 10-3 эВ/.
Хотя вычисленная зависимость у от температуры и показывает, при какой температуре происходит денатурация ДНК, но не показывает, каким образом это происходит. Поэтому Пейрар и Бишоп объяснили начальный процесс тепловой денатурации локализацией энергии в цепочке ДНК с помощью нелинейных эффектов. Если во втором уравнении системы (1.1) перейти к континуальному пределу и разложить нелинейные слагаемые в правой части в ряд Тейлора, то уравнение, описывающее растяжение водородных связей оснований, примет вид: т -к(уп+1 -2Уп +yn_l)+4Da2yn -б4ЇВс?у2п+ЦDaAуъп =0. (1.2) При помощи метода многомасштабного разложения [32], можно получить решение (1.2): Уп = Fl (Хп , l)eXP[z( / - Ш)} + к.с. + + E[F0(Xn,T) + F2(Xn,T)Qxp[2i(qnl-oyt)] + к.с.\ (1.3) где - малый параметр, Хп= ml, =t, I - шаг рештки (/ = 3,4 ), параметры и q определяются дисперсионным соотношением (1.2), функции F0 и F2 выражаются через функцию F1, а сама функция F1 является решением нелинейного уравнения Шрдингера: dFl [kl2lm-V2g\d2Fl \6Da42 i - + 2 + l ll i=5 (1-4) —L + i: J _L + ds 2co az2 ш/и где Z =X - Vg T, s = 2 t, Vg = q k Iі/ w. Решением (1.4) является бризер -локализованное в пространстве и периодическое по времени колебание, похожее на «дыхание» ДНК, наблюдаемое в экспериментах. При подстановке решения (1.4) в (1.3) получаются решения уравнений динамики ДНК в виде малоамплитудных бризеров, описывающие растяжение водородной связи основания. Далее в тексте под словом бризер будет подразумеваться приближенное решение нелинейных уравнений, полученное при помощи метода многомасштабного разложения, в отличие от термина «дискретный бризер». Динамику бризеров в модели ПБ рассмотрел Доксуа [33]. Он добавил в гамильтониан модели ПБ дополнительный член, связанный со спиральной структурой ДНК, аналогично тому как это ранее сделал Гаета [18] для модели Якушевич и получил решения в виде бризеров. В работе [34] Доксуа, Пейрар и Бишоп исследовали модель ПБ методом молекулярной динамики с термостатом Нозе-Хувера. При низких температурах авторы наблюдали формирование небольших осциллирующих областей открытых состояний, локализованных на нескольких нуклеотидах ДНК, что находится в соответствии в экспериментально наблюдаемым «дыханием» ДНК. Результаты показали, что с увеличением температуры в ДНК эти области разрастаются и объединяются, что в конечном итоге приводит к полному разделению цепей ДНК. Однако модель ПБ давала слишком большие величины температуры денатурации и не объясняла резкого разделения цепей при температуре денатурации. Поэтому в работах [35, 36] Пейрар, Бишоп и Доксуа представили другую модель, добавив ангармонизм в потенциал, описывающий стекинг-взаимодействие, и заменив две переменные и и v - одной переменной у, описывающей растяжение водородной связи. Гамильтониан этой модели, названной ПБД-моделью ДНК, имеет вид: H = U-y2n+D[Qxp(-yn)-\f + n г n + - [1 + p exp(- a(yn + yn_x ))bn JVi f } ПБД-модель позволила более точно описать процесс денатурации ДНК и давала более резкую зависимость разделения цепочек от температуры, наблюдаемую в эксперименте.
Впоследствии модели ПБ и ПБД с успехом применялись для описания особенностей процесса денатурации ДНК в реальных системах. Были предложены различные модификации потенциалов стекинг-взаимодействия и водородных связей, позволившие более точно описать экспериментальные кривые [37-41].
Другим вектором изучения ПБ и ПБД моделей было изучение процессов переноса и локализации энергии в цепочках ДНК. Растяжение водородных связей оснований при возникновении и прохождении нелинейных волн в ДНК хорошо подходили для объяснения «дыхания» ДНК, возникновения открытых состояний в начале процессов транскрипции и денатурации, дальнодействующих эффектов, подобных регуляции транскрипции. Поэтому возникло большое число моделей, в которых основное внимание уделялось сдвигу оснований. Независимо от Пейрара и Бишопа похожая модель ДНК изучалась Текьера с соавторами [42]. Они нашли два режима динамики начальных возмущений в цепочке ДНК, которые зависят от параметров ДНК. Если поперечные силы (межсайтовые) по порядку величины равны продольным (онсайтовым), то возбуждение останавливается, если же межсайтовые силы превосходят онсайтовые, то возбуждение распространяется вдоль цепи. В работе Текьера с соавторами [43] изучалось влияние точечных неоднородностей в последовательности ДНК на динамику бризеров. В АТ-цепочке одна пара оснований заменялась на GC-пару через разные значения глубины ямы потенциала Морзе DAT = 0,2 эВ и DGC = 0,3 эВ и разные массы. Были обнаружены остановка, расплывание, отражение и прохождение бризера через неоднородность. Схожие результаты для неоднородности масс и констант стекинг-взаимодействия [44, 45] и параметров потенциала Морзе [46] были получены Хисакадо и Вадати. В рамках полудискретного метода многомасштабного разложения ими было получено стохастическое нелинейное уравнение Шрдингера и исследовано отражение, остановка и прохождение бризера через неоднородность. В работах Тинга и Пейрара [47, 48] численным методом и методом коллективных координат было исследовано взаимодействие бризеров с двигающимся дефектом. Дефект моделировался в континуальном пределе неоднородным стекинг-взаимодействием в виде ступеньки функции Хевисайда, к(х) = ф(х + і)-в(х-і)], где - константа стекинг-взаимодействия, / - длина дефекта, х - координата вдоль оси молекулы ДНК. Дефект может моделировать РНК-полимеразу, которая в процессе транскрипции создат область открытого состояния. Остановка бризеров на дефекте может объяснить процесс локализации термальной энергии ДНК в области открытого состояния, необходимой для разрыва пар оснований.
Устойчивость дискретных бризеров
Двухсайтовые ДБ являются неустойчивым при 0 S 0.651. При S 0.652 есть как устойчивые, так и неустойчивые решения.
В точке Sкрит 0,6519 происходит бифуркация решений и так называемое явление обмена стабильностью (stability exchange) между двухсайтовыми и односайтовыми ДБ. Впервые этот эффект был обнаружен Кэмпбеллом и Пейраром [59] для бризеров в цепочке осцилляторов с потенциалом 4.
Для односайтового бризера вблизи Sкрит две изолированные пары собственных значений матрицы монодромии приближаются к реальной оси и при достижении параметром S значения Sкрит покидают единичную окружность (см. рисунок 3.13) – ДБ становится неустойчивым по отношению к малым возмущениям. При этом наблюдается исчезновение локализованных собственных векторов матрицы монодромии. Для двухсайтового ДБ – наоборот, действительные изолированные собственные значения, лежащие за пределами единичной окружности, при достижении параметром S значения Sкрит возвращаются на единичную окружность и ДБ становится устойчивым по отношению к малым возмущениям (см. рисунок 3.14).
Для двухсайтового ДБ, заданного кодовой последовательностью {..0,0,– 1,+1,0,0..}, наблюдается несколько иной сценарий. Продолжение решения возможно до значения Smax 0,328 (см. рисунок 3.15). Потеря устойчивости ДБ происходит в результате бифуркации Хопфа. С увеличением параметра S два комплексно сопряжнных мультипликатора Флоке удаляются от действительной оси по окружности. При достижении параметром S значения 0,129 они сталкиваются с другими мультипликаторами Флоке под некоторым углом, не равным 0 и , и покидают е, что приводит к потере устойчивости ДБ (см. рисунок 3.16).
ДБ локализуют энергию молекулы ДНК в небольшой области пространства, что может быть ответственно, например, за образование открытого состояния в процессе функционирования ДНК. Энергию ДБ можно найти подстановкой решения в гамильтониан, соответствующий уравнению (3.2): н=иЯ + ls(y„ -Л_,)+[І-ЄХР(- „)](. (3.6) Методом продолжения решения по параметру можно найти зависимость энергии и амплитуды ДБ от величины межчастичного взаимодействия S.
На рисунке 3.21 показаны зависимости энергий односайтового Ех и двухсайтового Е2 ДБ, а также их разности от параметра межчастичного взаимодействия S. Энергия двухсайтового ДБ больше энергии односайтового ДБ при S 0,623. При 5 0,623 односайтовый и двухсайтовый ДБ имеют практически одинаковое значение энергии и при S 0,623 энергия односайтового ДБ больше энергии двухсайтового ДБ на незначительную величину, непрерывно уменьшающуюся с увеличением S. В размерных переменных с увеличением S величина энергий односайтового и двухсайтового ДБ изменяется в пределах от 0,73 kBT до 5,34 kBT по данным работы [3] и от 2,43 kBT до 17,64 kBT по данным работы [33] (Т = 300К, kB – постоянная Больцмана).
На рисунке 3.22 показана зависимость амплитуды односайтового и двухсайтового ДБ от параметра межчастичного взаимодействия S. Амплитуда двухсайтового ДБ A2 монотонно возрастает от 0,404 до 0,60 c увеличением S, а амплитуда односайтового ДБ увеличивается до максимального значения, равного max(A1) 0,672 при S 0,403, а затем монотонно убывает до величины 0,628.
Энергия трхсайтовых ДБ и двухсайтового ДБ, заданного кодовой последовательностью {..0,0,–1,+1,0,0..}, монотонно увеличивается с увеличением параметра межчастичного взаимодействия S (см. рисунок 3.23 а). Форма зависимости от S энергии и амплитуды двухсайтового ДБ, заданного кодовой последовательностью {..0,0,–1,+1,0,0..}, не сильно отличается от трхсайтового ДБ, заданного кодовой последовательностью {..0,0,–1,0,+1,0,0..}. В размерных переменных она с увеличением параметра S изменяется от 1,47 kBT до 5,32 kBT по данным работы [3] и от 4,87 kBT до 17,57 kBT по данным работы [33]. Энергия трхсайтового ДБ, заданного кодовой последовательностью {..0,0,–1,+1,–1,0,0..} с увеличением параметра S изменяется от 2,21 kBT до 8,0 kBT по данным работы [3] и от 7,31 kBT до 26,64 kBT по данным работы [33].
Амплитуда ДБ, заданная кодовой последовательностью {..0,0,–1,+1,– 1,0,0..}, монотонно увеличивается с ростом S до величины 0,9, а амплитуды ДБ, заданные кодовыми последовательностями {..0,0,–1,+1,0,0..} и {..0,0,–1,0,+1,0,0..}, возрастают до максимального значения, достигаемого вблизи максимально возможного параметра S, а затем незначительно убывают. Максимум амплитуды ДБ, заданного кодовой последовательностью {..0,0,–1,0,+1,0,0..}, равен 0,7151 и достигается при S 0,349, а для ДБ, заданного кодовой последовательностью {..0,0,–1,+1,0,0..}, максимум амплитуды равен 0,7466 и достигается при S 0,322 (см. рисунок 3.23 б). Амплитуды этих ДБ в размерных переменных изменяются от 0,22 до 0,45 .
В данной главе проведено исследование дискретных бризеров и мультибризеров на примере модели Пейрара-Бишопа молекулы ДНК. Рассмотрены как стационарные дискретные бризеры и мультибризеры, так и мобильные дискретные бризеры. 1. Получена область существования ДБ для всего диапазона допустимых частот ДБ в зависимости от параметра межчастичного взаимодействия S, характеризующего стекинг-взаимодействие молекулы ДНК. 2. Получены решения в виде односайтовых ДБ, двухсайтовых ДБ, заданных кодовыми последовательностями {..0,0,+1,+1,0,0..}, {..0,0,–1,+1,0,0..} и трхсайтовых ДБ, заданных кодовыми последовательностями {...,0,0,-1,+1,-1,0,0...} и {...,0,0,-1,0,+1,0,0...}. 3. Для каждого из найденных решений методом Флоке проведено исследование устойчивости. Показано, что найденные решения устойчивы по отношению к малым возмущениям. 4. Методом продолжения решения по параметру изучен механизм потери устойчивости ДБ в исследуемой модели при изменении параметра межчастичного взаимодействия S. Для односайтовых ДБ и двухсайтовых ДБ, заданных кодовыми последовательностями {..0,0,+1,+1,0,0..}, происходит явление обмена стабильностью при Sкрит 0,6519, в результате которого при S Sкрит односайтовые ДБ являются устойчивыми, а двухсайтовые – нет. А при S Sкрит – наоборот, односайтовые ДБ являются неустойчивыми, а двухсайтовые – устойчивыми. Для трхсайтовых ДБ потеря устойчивости происходит в результате бифуркаций Хопфа при S 0,186 для ДБ, заданного кодовой последовательностью {...,0,0,-1,+1,-1,0,0...}, и при S 0,254 для ДБ, заданного кодовой последовательностью {...,0,0,-1,0,-1,0,0...}. 5. Методом продолжения решения по параметру построена зависимость энергии и амплитуды найденных решений от параметра межчастичного взаимодействия S.
Исследование устойчивости дискретных бризеров
При расчте ЧТМБ методом Ньютона на каждом шаге алгоритма вычисляется матрица Якоби. Если метод сходится и решение в виде ЧТМБ найдено, то матрица Якоби на последнем шаге является матрицей монодромии и возможно исследование устойчивости ЧТМБ методом Флоке.
На рисунке 4.28 показано расположение мультипликаторов Флоке на комплексной плоскости для ЧТМБ с b = 1/(10 Tb), S = 0,6 (см. рисунок 4.21). Данный ЧТМБ является устойчивым по отношению к малым возмущениям. Для ЧТМБ с параметрами b = 1/(15 Tb), S = 0,44 (см. рисунок 4.26) расположение мультипликаторов Флоке показано на рисунке 4.29. Видно, что полученный ЧТМБ является сильно неустойчивым по отношению к малым возмущениям, чем, по-видимому, и объясняется его остановка после прохождения небольшого числа узлов цепочки ДНК.
Расположение мультипликаторов Флоке на комплексной плоскости для ЧТМБ с b = 1/(15 Tb), S = 0,44 Как показало исследование, ЧТМБ неустойчив по отношению к малым возмущения как при очень больших, так и очень малых скоростях. На рисунке 4.28 показана зависимость модуля мультипликаторов Флоке от скорости ЧТМБ для параметра S = 0,6. При других значениях параметров межчастичного взаимодействия S характер зависимости качественно не изменяется.
В данной главе проведено исследование мобильных дискретных бризеров и мультибризеров на примере модели Пейрара-Бишопа молекулы ДНК. Рассмотрены приближенные мобильные дискретные бризеры (p/q) - резонантные мобильные дискретные бризеры.
1. Методами возмущения стационарных ДБ получены приближенные МБ для исследуемой модели. Получить МБ можно только для односайтового ДБ и двухсайтового ДБ, заданного кодовой последовательностью {..0,0,+1,+1,0,0..}. Построена эволюция центра МБ и скорости МБ в зависимости от величины возмущения. Получена зависимость эффективной массы и скорости МБ от величины возмущения. При увеличении возмущения увеличивается скорость мобильного бризера, но уменьшается мобильность – МБ более интенсивно излучает фононы и теряет энергию при движении.
При увеличении значении параметра межчастичного взаимодействия S в дискретной цепочке уменьшается потенциал Пайерлса-Набарро и становится возможным возбудить движение МБ с постоянной скоростью. Однако, с ростом величины возмущения возрастает излучение фононов движущимися МБ.
2. Численно продемонстрировано взаимодействие между МБ. При столкновении МБ, движущихся навстречу друг другу с одинаковой скоростью, происходит их неупругое взаимодействие, порождающее бризер, сопровождаемый фоновым излучением. При столкновении МБ с разными скоростями, движущихся навстречу друг другу или в одном направлении, МБ упруго взаимодействуют и обмениваются скоростями. При столкновении МБ с близкими по модулю скоростями, движущихся навстречу друг другу, МБ неупруго взаимодействуют и образуются стационарный ДБ и МБ, сопровождаемые фоновым излучением.
3. Рассмотрен метод Ньютона нахождения (p/q)-резонансных ЧТМБ в модели ДНК Пейрара-Бишопа. Построена методика, которая позволяет находить приближения к методу Ньютона поиска ЧТМБ с различными скоростями из допустимого моделью интервала.
4. Получены устойчивые по отношению к малым возмущениям решения в виде (p/q)-резонансных ЧТМБ в модели ДНК Пейрара-Бишопа. Как оказалось ЧТМБ можно получить только при определнных значениях параметра S. При малых значениях параметра S ЧТМБ получить не удатся. При 0,44 S 0,5 сходимость метода Ньютона поиска ЧТМБ плохая, полученные ЧТМБ являются неустойчивыми по отношению к малым возмущениям, теряют энергию при движении и останавливаются. При больших значениях S получение ЧТМБ для большого интервала скоростей не представляет трудности. Методом Флоке возможно исследование устойчивости любого полученного решения в виде ЧТМБ.
Как показало исследование, ЧТМБ неустойчив по отношению к малым возмущения как при очень больших, так и очень малых скоростях. 1. Разработан оригинальный комплекс программ для моделирования дискретных и мобильных бризеров в модели Пейрара-Бишопа молекулы ДНК и изучения их свойств. 2. Впервые получены решения уравнений движения модели Пейрара-Бишопа молекулы ДНК в виде односайтовых, двухсайтовых и трхсайтовых дискретных бризеров и проведено исследование их устойчивости. Найдены зависимости характеристик полученных решений от параметров модели. Получены решения в виде приближенных мобильных бризеров в исследуемой модели и проведено исследование их динамики и взаимодействия. 3. Предложен метод, который позволяет находить приближения к методу Ньютона поиска (p/q)-резонансных численно точных мобильных бризеров с различными скоростями из допустимого моделью интервала. С использованием разработанного метода впервые в модели Пейрара-Бишопа молекулы ДНК найдены (p/q)-резонансные численно точные мобильные бризеры. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук доценту Закирьянову Фариту Кабировичу, всем преподавателям и сотрудникам кафедры теоретической физики физико-технического института Башкирского государственного университета.
Взаимодействие мобильных бризеров
В реальных дискретных системах МБ ответственны за перенос энергии, вещества, импульса. Они могут возникать в произвольных местах молекулярной цепочки и взаимодействовать между собой, поэтому представляет интерес исследование взаимодействий МБ.
Было проведено моделирование взаимодействия двух одинаковых односайтовых МБ. Использовалась цепочка из 800 узлов с затухающими граничными условиями при параметре межчастичного взаимодействия S = Sкрит = 0,6519. В начальный момент времени два стационарных ДБ с частотой b = 1,8 помещались в узлы с номерами 350 и 450. Им задавалась начальная скорость методом пиннинг-моды с возмущением 1 для первого ДБ и 2 для второго ДБ. Полученные таким образом МБ «запускались» интегрированием уравнения движения модели. Получены следующие результаты:
a) При столкновении МБ, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями (1 = 0,2, 2 = – 0,2), происходит их взаимодействие, порождающее бризер, сопровождаемый фоновым излучением (см. рисунки 4.8, 4.9).
б) При столкновении покоящегося ДБ и движущегося МБ (1 = 0,2, 2 = 0), происходит упругое взаимодействие между ними и обмен скоростями. МБ останавливается, а стационарный бризер приобретает некоторую скорость и становится МБ (см. рисунки 4.10, 4.11).
Столкновение МБ, движущихся навстречу друг другу с разными скоростями г) При столкновении МБ с близкими по модулю скоростями (1 = 0,2, 2 = –0,195), движущихся навстречу друг другу, МБ неупруго взаимодействуют и образуются стационарный ДБ и МБ, сопровождаемые фоновым излучением (см. рисунок 4.14, 4.15).
Впервые решения такого типа упоминаются в работе [79]. Обри и Кретеньи получили ЧТМБ для уравнения Клейна-Гордона с потенциалом Морзе [79]. Гомез-Гарденез с соавторами исследовали численно точные МБ в рештках, описываемых дискретным нелинейным уравнением Шрдингера [82]. Йосимура с соавторами получили ЧТМБ для уравнения ФПУ [83]. Они рассматривали так называемые (р/д)-резонансные ЧТМБ. То есть ЧТМБ, имеющие внутреннюю частоту и повторяющие свой профиль при сдвиге на р узлов через время Т= q (2 / ь), где q - натуральное число. Имеются также работы, где Т - период ЧТМБ не задатся, а вычисляется наряду с профилем ЧТМБ методами минимизации (работа группы Чечина по ЧТМБ в уравнении ФПУ [109]). В дальнейшем под ЧТМБ мы будем иметь в виду (р/д)-резонансные ЧТМБ.
Работ по ЧТМБ пока очень мало. Сам алгоритм получения ЧТМБ нигде формально не описан и есть только намки на его реализацию авторами статей [79, 82, 83]. В них говорится, что для получения ЧТМБ использовался метод Ньютона. Однако подчркивается, что метод Ньютона, использующийся повсеместно для получения стационарных ДБ, использовать нельзя, так как матрица Якоби оказывается сингулярной. Но можно использовать метод Ньютона с изменениями, включающими сдвиг по координате и скорости на р узлов и вместо решения СЛАУ Jx = B для нахождения очередного приращения к решению в методе Ньютона х = х + х, используется псевдообратная (pseudo-inverse) матрица Якоби Г, то есть x = B J –\ Псевдообратная матрица получается методом сингулярного разложения (SVD, Singular Value Decomposition) [ПО]. Также данный метод очень чувствителен к начальным условиям и сходится только при выборе «хороших» начальных условий, которыми могут быть приближенные МБ.
Система (4.9) - это система линейных алгебраических уравнений для приращений v, . Решить е можно методом наименьших квадратов, что эквивалентно поиску решения методом нахождения псевдообратной матрицы, как описано выше. Тогда очередное приближение к решению находится по формуле (4.10): tn+1 = W+AW, (4.10) vn+1 =vn+ Avw. Собственно нахождение ЧТМБ делится на 2 этапа. Первый - это нахождение хорошего начального приближения к методу Ньютона, а второй -использование метода Ньютона для нахождения ЧТМБ c найденными на первом этапе приближенными МБ в качестве начального приближения.
Для получения хорошего начального приближения к методу получения ЧТМБ вычисляется стационарный ДБ у%(0) c частотой ь для выбранного значения константы межчастичного взаимодействия S. Скоростная часть ДБ задатся нормализованным локализованным собственным вектором пиннинг моды или дискретным градиентом уп(0)=- +1(0)-у _1(0))/2.
Для нахождения приближения к ЧТМБ со скоростью b = p/(q Tb) скоростная часть ДБ умножается на множитель и получившийся приближенный МБ используется как начальное условие для интегрирования уравнений движения. МБ помещается в узел с номером к (значение к бралось как середина цепочки уп). Исследуемая система интегрируется до времени Т= q Tb и считается норма разности между решением и приближенным МБ, сдвинутым на p узлов вправо. Этот процесс повторяется с постепенным увеличением множителя на небольшую величину до тех пор, пока норма разности не достигнет минимального значения. Приближенный МБ, полученный при этом минимальном значении и принимается за начальное условие для нахождения ЧТМБ.
Зависимость нормы решения от множителя имеет унимодальный характер при увеличении значения от нуля. Это связано с тем, что приближенный МБ проходит точно через (k + p)-й узел при определнном значении , соответствующем минимуму нормы разности решения, а при больших значениях МБ удаляется от (k + p)-го узла (см. рисунок 4.17).