Содержание к диссертации
Введение
1. Проблемы низкоразмерного магнетизма 8
1.1. Стандартные приближения в исследовании трехмерных магнетиков 8
1.2. Трудности теории низкоразмерного магнетизма 13
1.3. Теория Чакраварти - Гальперина - Нельсона 15
1.4. Некоторые другие теории двумерного магнетизма 17
1.5. Скирмионы. Классический подход 19
1.5.1. Энергия единичного скирмиона 23
1.6. Скирмионы. Квантовомеханический подход 25
1.7. Элементарные возбуждения в двумерных магнетиках со скирмионами 28
1.8. Скорость ядерной спиновой релаксации 34
1.9. Допированные магнетики 38
1.9.1 Дырка в модели Гудинга 40
1.9.2. Дырка, образующая синглет Жанга-Райса 43
2. Образование скирмионного состояния при допировании 44
2.1. Постановка задачи 44
2.2. Метод исследования 46
2.3. Классический скирмион 49
2.4. Скирмион в модели Гудинга. Ферромагнетик 53
2.5. Скирмион в модели Гудинга. Антиферромагнетик 61
2.6. Скирмион, образованный сингл етом Жанга-Райса. Ферромагнетик 68
2.7. Краткие выводы 72
3. Стабильность скирмионного состояния 73
3.1. Введение. 73
3.2. Анизотропия обменного взаимодействия 75
3.3 Учет следующей координационной сферы 80
3. 4. Учет эффектов трехмерия 83
3.4.а. Две слабовзаимодействующие плоскости 83
3.4.6. Трехмерный случай 85
3.5. Краткие выводы 86
4. Допированные магнетики в модели скирмионов: спиновая корреляционная длина и скорость ядерной релаксации 88
4.1. Постановка задачи 88
4.2, Радиус скирмиона в дотированном магнетике 90
4.3. Скорость ядерной спиновой релаксации 94
4.4. Краткие выводы 96
5. Ширина линии ЭПР в окислах меди 97
5.1, Постановка задачи 97
5.2. Скорость спин-решеточной релаксации в двумерной решетке электронных спинов 102
5.3. Влияние допирования на скорость электронной спиновой релаксации в двумерной решетке 106
5.4. Скорость электронной спиновой релаксации в одномерной цепочке 110
5.5. Краткие выводы 115
Заключение 117
- Трудности теории низкоразмерного магнетизма
- Дырка в модели Гудинга
- Анизотропия обменного взаимодействия
- Скорость спин-решеточной релаксации в двумерной решетке электронных спинов
Введение к работе
В настоящее время одним из приоритетных направлений в изучении физики конденсированного состояния является изучение высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП). С момента открытия ВТСП-соедине-ний [1] опубликовано огромное количество экспериментальных и теоретических работ. Однако до сих пор не существует общепринятой теории ВТСП, объясняющей механизм, приводящий к большим значениям Тс в этих соединениях.
Подавляющее большинство ВТСП-соединений являются «купрат-ными», то есть их структура базируется на плоскостях С11О2. Поэтому особое внимание уделяется изучению магнитных свойств медно-оксидных плоскостей в связи с общепризнанным мнением об их определяющей роли в механизме высокотемпературной сверхпроводимости.
При изучении свойств магнитно-оксидных плоскостей Си02 необходимо учитывать, что в ВТСП-соединениях расстояние между соседними плоскостями значительно превышает расстояние между атомами меди в плоскости, что обуславливает большую анизотропию свойств. В частности, спиновая корреляционная длина в плоскости составляет 3-4 величины параметра решетки, а в перпендикулярном направлении она меньше расстояния между плоскостями [2]. Из этого следует, что носители заряда в пределах одной плоскости сильно изолированы от носителей заряда в других плоскостях, и электронные состояния в них носят двумерный характер, что подтверждается и экспериментальными данными [3-6].
Так как родительскими соединениями высокотемпературных сверхпроводников являются антиферромагнитные диэлектрики, основным видом взаимодействия в которых является гайзенберговский обмен, были предприняты многочисленные попытки теоретического исследования двумерного гайзенберговского антиферромагнетика со спином 5=1/2 [7-42]. Не смотря на определенные успехи, достигнутые в этом направлении
и большое количество экспериментальных данных по рассеянию нейтронов и ядерной магнитной релаксации в La2Cu04 и УВагСіїзОб [3-6], единой теории, описывающей поведение двумерного гайзенберговского антиферромагнетика без привлечения подгоночных параметров, пока нет. По-видимому, это связано со специфическими трудностями в изучения двумерных систем и необходимостью использования недостаточно обоснованных приближений.
В данной работе исследование двумерных магнетиков проводится в модели скирмионов. В этом подходе сильные спиновые флуктуации, характерные для двумерных систем, учитываются неоднородным мета-стабильным состоянием, называемым скирмион. Скирмионный подход хорошо зарекомендовал себя при изучении статических и динамических магнитных характеристик недопированных купратов [41,42].
Одной из важнейших проблем является понимание процессов на начальных этапах допирования купратов, при переходе их в металлическую и сверхпроводящую фазы. Существуют работы [57, 58], в которых авторы показывают, что при допировании дырка в плоскости СиОг вызывает рождение скирмион а. Даная диссертация посвящена изучению статических и динамических спиновых характеристик в модели скирмионов как в недопированных купратах, так и на начальных этапах допирования. Работа состоит из 5-ти глав.
В первой главе описываются трудности, возникающие при изучении двумерных систем, и дается обзор работ о наиболее значимых моделях и теориях, предложенных для описания двумерного гайзенберговского антиферромагнетика как в недопированном случае, так и при допировании.
Во второй главе проводится моделирование спиновой динамики в двумерном гайзенберговском магнетике при допировании. Установлено, что при допировании дырка инициирует образование скирмиона.
Изучается случай ферромагнетика и антиферромагнетика. Рассматривается случай периодического распределения дырок в образце.
В третьей главе рассматривается вопрос стабильности скирмионного состояния. Изучается влияние на размер и форму скирмиона таких факторов, как анизотропия обменного взаимодействия, взаимодействие не только с ближайшими, но и со следующими соседями, учет эффектов трехмерия: случай двух слабовзаимодействующих плоскостей и трехмерный случай с малым взаимодействием между плоскостями.
В четвертой главе исследуется допированный двумерный гайзенберговский антиферромагнетик. Считается, что при допировании часть дырок индуцирует образование скирмионов. Таким образом, в системе присутствуют два типа скирмионов — тепловые и индуцированные дырками. Записывается система уравнений на радиус скирмиона rQ и на среднее значение z-компоненты спина а. Численное
решение дает температурную зависимость спиновой корреляционной длины, скорости ядерной релаксации, обусловленной сверхтонким взаимодействием.
В пятой главе исследуется спин-решеточная релаксация в родительских соединениях высокотемпературных сверхпроводников. В La2Cu04 рассматриваются гармонические колебания октаэдра СиОб, спиновая система описывается в модели скирмионов. Изучается температурная зависимость скорости спин-решеточной релаксации как в чистом La2Cu04, так и при допировании. В последнем параграфе пятой главы вычисляется скорость спин-решеточной релаксации в оксиде меди СиО.
В заключении формулируются основные результаты исследования и положения, выносимые на защиту.
Трудности теории низкоразмерного магнетизма
В двумерных ферро- и антиферромагнетиках ситуация принципиально отличается от трехмерного случая. Прежде всего это связано с тем, что от числа измерений зависит наличие или отсутствие дальнего порядка при конечных температурах. Используя известные неравенства Боголюбова для функций Грина можно получить прямое и строгое доказательство отсутствия дальнего порядка для широкого класса модельных гамильтонианов при d 2 (d размерность пространства). Обзор этого круга вопросов можно найти в работе [10]. Для двумерной модели Гайзенберга это утверждение было доказано в работах [11,12] и носит название теоремы Мермина - Вагнера -Хогенберга. Очевидно, что в отсутствии дальнего порядка система не может находиться вблизи однородного основного состояния (представляющего собой максимально возможное упорядочивание), и, следовательно, стандартные методы теории трехмерного ферромагнетизма становятся неприменимыми. Это можно показать, обратившись к представлению Холстейна-Примакова. Усредняя выражения (1.4) с учетом теоремы Мермина — Вагнера - Хогенберга, получим: Это означает, что (и.\ S l, и оператор пп стоящий под корнем, нельзя считать малым параметром. Иначе говоря, взаимодействие спиновых волн настолько велико, что разрушается дальний порядок. То есть нельзя ограничиться несколькими членами разложения корня в (1.4) и считать взаимодействие спиновых волн малым по отношению к энергии невзаимодействующих возбуждений. Ряды теории возмущений, вычисленные таким образом, являются расходящимися, причем расходимость возникает уже в нулевом приближении (без учета взаимодействия спиновых волн). То же самое можно сказать о приближении молекулярного поля в методе функций Грина: флуктуации спиновых операторов не являются малыми, и нет никаких оснований обрывать цепочку уравнений (1.6), считая их равными нулю. Таким образом, методы, успешно применявшиеся в трехмерном случае, становятся непригодными для анализа двумерных систем; это ведет к необходимости поиска новых подходов, которые не опирались бы на малость спинволнового взаимодействия.
Как было показано выше, в двумерных магнетиках имеет место сильное взаимодействие спиновых волн, которое нельзя считать возмущением. С точки зрения общей теории фазовых переходов это взаимодействие представляет собой те самые критические флуктуации, которые всегда возникают при приближении системы к фазовому переходу. Действительно, теорема Мермина-Вагнера-Хогенберга запрещает существование дальнего порядка для размерности d = 2 при любой конечной температуре, но допускает его возникновение при Г—О. Это означает, что 7 =0 является точкой фазового перехода, а интересующие нас низкие температуры Т «J представляют собой область критических флуктуации. В свете сказанного представляется естественным применить хорошо разработанный аппарат флуктуационной теории критических явлений, называемый ренорм-групповым анализом, для исследования двумерных гайзенберговских систем при низких температурах. Это было проделано в работах Чакраварти, Гальперина и Нельсона [14-16] на примере нелинейной 7-модели, которая, как полагают, хорошо описывает двумерный изотропный антиферромагнетик в приближении сплошной среды. В рамках этого подхода было найдено выражение для спиновой корреляционной длины: Сравнение формулы (1.10) с экспериментальными данными по рассеянию нейтронов в недопированном оксиде меди La2Cu04 при температурах выше TN = Ъ25К показало качественное согласие теории ЧГН с экспериментом [17,18]. При этом выяснилось, что без подгонки параметров не обойтись. В рамках теории ЧГН 2тср = 0.94J, с = \.64Ja/h; ps - постоянная спиновой жесткости с учетом квантовых флуктуации. Величина обменного интеграла J=1580 К была получена из независимых измерений скорости спиновых волн при Т TN [19], а = 3.8А. Подгонка (1.10) к эксперименту привела к значению 1nps=\.\\J. В работах [14-16] это расхождение было отнесено к недостаткам вычисления ps в рамках спинволновой теории. Чакраварти и Орбахом были найдены также аналитические выражения для времени продольной релаксации ядерных спинов и ширины линии ЭПР [20,21]. И хотя они, как и выражение (1.10) для корреляционной длины, и дают качественное согласие с экспериментом, но требуют еще большего числа подгоночных параметров. В заключение обсуждения теории ЧГН стоит сказать, что эта теория является серьезным шагом вперед в изучении двумерного магнетика. В этой теории последовательно вычисляются основные физические характеристики системы, неплохо согласующиеся с экспериментальными данными. Однако теория ЧГН не свободна от некоторых недостатков и неясных моментов, главными из которых являются применимость только в области температур Т К J; использование подгоночных параметров, без которых не удается получить хорошего количественного согласия с экспериментом; сомнение применимости нелинейной а модели для случая 5=1/2. Таким образом, теория Чакраварти-Гальперина-Нельсона оставляет достаточно широкое поле для исследования двумерного гайзенберговского антиферромагнетика. Помимо метода ЧГН было предпринято довольно много попыток построения теории двумерного гайзенберговского антиферромагнетика при низких температурах.
Кратко остановимся на идеях, используемых в этих методах. Прежде всего, существует большое количество компьютерных расчетов, которые более или менее согласуются с теорией ЧГН и с экспериментальными данными [22-26]. В работе [27] предполагается, что некоторые точные теоремы, полученные для одномерной цепочки, могут быть применены и для двумерного случая, а на этом основании делается заключение относительно основного состояния антиферромагнетика. Но, как показывают и теория и эксперимент, поведение системы может кардинально меняться в зависимости от числа измерений, поэтому полученные результаты не могут считаться достаточно надежными. В работе [28] рассматривается не квадратная решетка, а две взаимодействующих цепочки (так называемая «лестница»). Однако попытка распространить решение для такой «лестницы» на случай двумерной решетки кажется не очень оправданной. В работах [29,30] вычисления проводятся с гамильтонианом Н = /_ ЫzS-,Szl+s + J±S Sj+s j, причем второе слагаемое рассматривается как возмущение. Рассчитанные величины представляются в виде степенных рядов по % = J]_ f Jz Для перехода к модели Гайзенберга необходимо положить % — 1. Очевидно, что сходимость рядов теории возмущений с параметром малости, равным единице, вызывает сомнения, хотя авторы и приводят некоторые аргументы в пользу этого предположения. Заслуживает внимания работа Чубукова [31], в которой исходным пунктом анализа является классическая нелинейная а- модель с числом компонент параметра порядка N » 1 и с параметром малости \/ N. Существенным плюсом данной работы является рассмотрение более широкого температурного диапазона, чем в теории Чакраварти--Гальперина-Нельсона. Представляет также интерес теория, основанная на так называемом швингеровском бозонном представлении [32,33]. Спиновые операторы модели Гайзенберга выражаются через операторы рождения и уничтожения бозонов: S+ =a+b, S = ab+, Sz -1/2(aa+ -b+b). Затем спиновые переменные формально рассматриваются не как векторы, а как матрицы: Sp = а+а -а , a,J3 =\,...,N. Полагая N — со, можно провести вычисления с точностью до 0(1/N). Однако, поскольку реальной системе соответствует N=2, использование 1/ N в качестве параметра малости представляется не очень убедительным.
Дырка в модели Гудинга
При допировании La2Cu04 трехвалентный ион La + замещается двухвалентным ионом Sr +, в результате в плоскости СиОг по соседству с ионом Sr2+ появляется дырка. И так как соответствующий потенциал имеет ось симметрии четвертого порядка, дырка совершает движение по атомам кислорода в малой области с той же самой симметрией. В рамках t-J - модели такое движение сводится к движению по медным узлам. Подобная конфигурация представлена на (рис. 1.6). Для описания движения дырки в двумерной решетке со спином S—X12 в работе [57] используется гамильтониан t — t — J модели: В (1.53) первое слагаемое соответствует ближним перескокам, второе слагаемое описывает диагональные перескоки; суммирование по i, j, Ґ по четырем положениям, обозначенным на (рис. 1.6) цифрами 1,2,3,4. Суперобменное слагаемое включает в себя спиновые операторы S - crJraа-С&, где X - матрицы Паули; а также числа заполнения nt для ионов меди. Далее в работе [57] находятся собственные энергии и собственные состояния дырки, определяемые гамильтонианом (1.53). Подсчитывается топологический заряд, и.оказывается, что нижнему по энергии состоянию больше не соответствует плоская спиновая конфигурация, как это было для полностью свободной дырки [48-49, 59-60]: дырка порождает вокруг себя скирмионное состояние. В дальнейшем автор рассматривает вопрос стабильности скирмионного состояния, и приходит к выводу, что стабильность зависит от соотношения fit: при t /t 0 скирмион стабилен, при t It 0 стабильность скирмионного состояния находится под вопросом. Однако в случае La2Cu04 /7/=-0.136 [61], это позволяет автору заключить, что в данном соединении при допировании дырка порождает вокруг себя образование скирмионного состояния, и состояние это стабильно. Жангом и Райсом было показано [62], что при допировании плоскости Си02, дырка, попавшая в элементарную ячейку, «распределяется» по четырем кислородным узлам вокруг атома меди и образует триплетное или синглетное состояние с дыркой на ионе меди. Жанг и Райе показали, что синглетное состояние обладает меньшей энергией, и предположили, что можно рассматривать в качестве носителя заряда не дырку, а спиновый синглет. Хотя проблема одной дырки в основном исследуется на основе модели синглета Жанга-Райса, основное внимание уделяется эффектам, возникающим при перескоках синглета. Однако спиновая конфигурация вблизи синглета, исследовалась недостаточно активно.
В работе Моринари [58] было показано, при допировании дырка индуцирует образование скирмиона. Суть работы [58] заключается в следующем. Состояние синглета Жанга-Райса является суперпозицией двух состояний: когда дырка, распределенная по кислородным узлам, имеет направление спина вверх, а дырка на ионе меди имеет направление спина вниз; и наоборот, когда спин кислородной дырки направлен вниз, а дырка на ионе меди имеет спин, направленный вверх. В работе [58] автор делает предположение, что состояние синглета Жанга-Райса, при котором спин дырки на ионе меди направлен в соответствии с антиферромагнитным порядком, не сильно влияет на окружающую спиновую конфигурацию в отличие от случая, когда спин дырки на ионе меди направлен в противоположную сторону. Используя в расчетах нелинейную с - модель автор показал, что состояние синглета Жанга-Райса с направлением спина дырки на ионе меди, не соответствующим антиферромагнитному порядку, индуцирует образование вокруг дырки скирмионной спиновой конфигурации. дырки, так как поведение допированных магнетиков представляет наибольший практический интерес в связи с тем, что в подобных соединениях наблюдается высокотемпературная сверхпроводимость. В параграфе 1.9 теоретического обзора говорилось о существовании работ [57,58], в которых авторы доказывают, что при допировании дырка вызывает рождение скирмиона. Так, в работе Гудинга [57], было показано, что при замещении в La2CuC 4 трехвалентного иона La двухвалентным ионом Sr образующаяся дырка «размазывается» по кластеру 2x2. И нижнее по энергии состояние квазилокализованного движения дырки оказывается такое, что связанные с дыркой ионы меди образуют структуру, поддерживающую скирмион. Совсем недавно было показано, что дырка в модели Жанга-Райса (которая лежит в основе t J - модели для купратов) порождает возмущение антиферромагнитного порядка в виде скирмиона как в локализованном, так и в мобильном состояниях [58]. В то же время существует ряд альтернативных работ, в которых доказывается, что при допировании образуются другие состояния. В последнее время наиболее пристальное внимание было привлечено к спиральному типу возмущений антиферромагнитного спинового порядка при допировании купратов, который был предложен в работах [48,49] незадолго до «скирмионной» идеи. В частности, была исследована роль беспорядочного распределения допирующих примесей в образовании состояния спинового стекла при концентрации стронция 0.02 х 0.06 на основе представления, что все дырки локализуются этими примесями и образуют спиральные локальные искажения антиферромагнитного порядка [56]. Наоборот, в работах [51,54] на основе t — J - модели авторы пришли к выводу, что спиральное состояние в плоскости СиОг порождается делокализованной дыркой, если учесть обменные взаимодействия не только ближайших ионов меди, но и следующих двух координационных сфер. Эти выводы были получены на основе приближенных аналитических исследований.
В этой главе мы рассмотрим возможность образования скирмионного возбуждения анти ферромагнитного порядка на основе точного решения численными методами задачи о возмущении антиферромагнитного порядка вследствие локального возмущения, вызванного внедренной дыркой. За основу метода отыскания равновесной конфигурации, возникающей вследствие возмущения однородного магнитного порядка внедренной электронной дыркой, мы возьмем уравнение движения для магнитного момента: где h(r,t) - эффективное магнитное поле других магнитных моментов, действующее на магнитный момент M(r,t), R(r,t) - релаксационный член. Первое слагаемое в (2.1) описывает прецессию магнитного момента в локальном магнитном поле, второе - релаксацию к равновесной конфигурации вследствие диссипации энергии. Форма релаксационного слагаемого была установлена в общем виде в работе Барьяхтара-Пелетминского [63] на основе закона сохранения энергии: M{r,t) времени. Первое слагаемое в (2.2) отвечает за релаксацию величины магнитного момента M(r,t), второе описывает релаксацию направления магнитного момента к оси легкого намагничения, определяемой направлением h(f,t). В случае двумерного гайзенберговского магнетика можно перейти от магнитного момента M(r,t) к спину s(i,k)! в дискретной решетке, где (і,к) - индексы, определяющие позицию спина в решетке. В обменно-связанной системе спинов локальное поле можно установить на основе квантов ом еханического уравнения движения на спин s(i,k)t с гамильтонианом обменного взаимодействия (1.1): Вычислив коммутатор [// (/), ,?(/,&),], получим выражение для h{i,k\: з где J - константа обменного взаимодействия с ближайшими соседями, суммирование по 8 означает суммирование по ближайшим соседям. Отыскание равновесной конфигурации было продемонстрировано Валднером [64]. В выражении (2.2) т2 с г,, то есть поворот магнитного момента к оси легкого намагничения происходит намного быстрее установления равновесного значения величины магнитного момента. Процедура релаксации спиновой системы к состоянию с минимальной энергией заключалась в следующем: после задания какого-то начального состояния дискретной решетки спинов стартовал итерационный процесс, заключавшийся в изменении направления спинов s(i,k):
Анизотропия обменного взаимодействия
В данном параграфе займемся изучением влияния анизотропии обменного взаимодействия на форму скирмиона. Будем рассматривать ферромагнетик в при допировании в модели Гудинга, когда дырка совершает квазилокальное движение по кислородным узлам в пределах кластера 2x2 иона меди. В анизотропном случае гамильтониан гайзенберговского обмена запишется в следующем виде: В качестве начального выберем то же состояние, что и в параграфе 2.3 в случае многих дырок. В анизотропном случае процедура релаксации немного изменится. Как уже было сказано, параметр у пропорционален величине обменного интеграла У. Если J становится анизотропным Jx=J=J Jr, то и установится анизотропным ух = у - у , Ф у7. В таком случае уравнения (2.7) и (2.8) остаются верными с той лишь разницей, что анизотропия появится в выражениях для поля /г(/, к), действующего на спин s(i, к): s В остальном процедура релаксация спиновой системы к состоянию с минимальной энергией остается такой же, как и в главе 2.3. В результате видим, что форма скирмиона меняется в зависимости от величины анизотропии обменного взаимодействия ((рис. 3.1), (рис.3.2)). На (рис.3.3) представлено сечение плоскости Си02 плоскостью 0XZ для разных соотношений J , и У,. До сих пор мы изучали релаксацию спиновой системы двумерного магнетика к состоянию с минимальной энергией, обусловленную гайзенберговским обменным взаимодействием в приближении ближайших соседей. В реальном же случае надо учитывать взаимодействие и со следующими соседями. В данном параграфе рассмотрим взаимодействие не только с ближайшими соседями, но и со спинами следующей координационной сферы. Гамильтониан обменного гайзенберговского взаимодействия запишется как: В качестве начального выберем то же состояние, что и в параграфе 2.3 в случае многих дырок. В процедуре релаксации изменится выражение для поля, h(i,k), действующего на спин s(i,k): їг{ик) у {і + 8,к + д) + г {і Суммирование по 8 означает суммирование по спинам, расположенным по диагонали от s{i,k), соотношение у соответствует соотношению у j . В остальном релаксация спинов к состоянию с минимальной энергией проходит так же, как и в главе 2.3. В результате видим, что форма скирмиона меняется в зависимости от величины обменного взаимодействия со спинами из следующей координационной сферы. На (рис.3.5) представлено сечение плоскости CuOi плоскостью 0XZ для разных соотношений У, и У при У, 0, на (рис.3.6) при J. 0.
Как можно видеть, в ферромагнетике, в случае взаимодействия со следующими соседями ферромагнитного знака, форма скирмиона существенно не меняется; в случае же, когда гайзенберговский обмен с соседями из следующей координационной сферы имеет антиферромагнитный знак, скирмион при Jx =0.5,/ превращается в почти двумерный вихрь, при росте J] совсем пропадает. Как известно, скирмион является топологическим возбуждением, возникающим в двумерном магнетике. И до сих пор мы рассматривали рождение скирмиона в плоскости Си02. Однако реально купраты являются двумерными магнетиками лишь приближенно: обменное взаимодействие между плоскостями присутствует, хотя по величине оно гораздо меньше обменного взаимодействия в плоскости Си02. В данной главе мы займемся изучением влияние на скирмион эффектов трехмерия: в параграфе 3.4.а будет рассмотрен случай двух взаимодействующих плоскостей (такой случай соответствует соединению УВа2СизОб), в параграфе 3.4.6 изучим трехмерный случай со слабым взаимодействием между плоскостями (такая структура характерна для La2Cu04). 3.4.а. Две слабовзаимодействующие плоскости. В этом параграфе мы рассмотрим случай двух слабовзаимодействующих плоскостей. Начальные условия задаются аналогично тому, что и в параграфе 2.3 в случае многих дырок. В случае введения дополнительного взаимодействия изменится процедура релаксации. На спин s(i,k) кроме поля ближайших соседей в плоскости /;(/,&) — уУя(і + S,k + S) будет действовать поле ближайшего спина из соседней плоскости //(/Д) = у -s (i,k), где у -параметр, пропорциональный величине обменного интеграла между плоскостями J ; Г(/Д) - спин, принадлежащий другой плоскости. То есть выражение для As (і, к) в случае двух взаимодействующих плоскостей перепишется как Будем исследовать как меняется форма скирмиона зависимости о соотношения У IУ, что эквивалентно соотношению обменных интегралов J IJ. При проведении процедуры релаксации важно, какое задается начальное. состояние. Рассматривались два случая: случай, когда во второй плоскости спиновая система находится в однородном состоянии, и случай, когда начальная спиновая конфигурация во второй плоскости аналогична первой (см. (рис.2.1)) и также во вторую плоскость внедрена дырка. Было установлено, что в случае, когда во второй плоскости спины находятся в однородном состоянии, скирмион очень неустойчив (разрушается при межплоскостном взаимодействии \J \-0.00006J). В случае же, когда во второй плоскости тоже рождается скирмион, и по сути имеет место взаимодействие между скирмионами, скирмион гораздо устойчивее (разрушается при J = 0.03 J, или в случае взаимодействия между плоскостями антиферромагнитного знака, при J = -0.09J).
В данном параграфе рассмотрим трехмерный случай с взаимодействием между плоскостями. Будем рассматривать куб 16x16x16. У спина появится еще один индекс: s(i,k,j), где j обозначает номер плоскости. В каждой плоскости начальные условия задаются аналогично что и в параграфе 2.3 в случае многих дырок. И помимо поля ближайших соседей в плоскости h{i,к,j) = У2_, О + 3,к + 8,j) на спин будет действовать поле ближайших соседей из других плоскостей h\i,k,j) = у -\s(i,kj + 1) +(/,, у —1)} . В остальном процедура релаксации аналогична случаю двух плоскостей, только более длительная. В трехмерном случае опять-таки рассматривался случай, когда во всех плоскостях кроме одной спины находятся в однородном состоянии, и случай, когда во всех плоскостях начальная спиновая конфигурация одинаковая, и в каждой плоскости присутствует электронная дырка. Было установлено, что в случае, когда во всех плоскостях, кроме первой, спины находятся в однородном состоянии, скирмион еще менее устойчив, чем при рассмотрении двух взаимодействующих плоскостей (разрушается при межплоскостном взаимодействии \f\ = 0.00003J). В случае же, когда во всех плоскостях рождаются скирмионы, скирмион разрушается при J = 0.015J, или, в случае взаимодействия между плоскостями антиферромагнитного знака, при J -0.05J. Как можно видеть, отличие трехмерного случая от случая двух взаимодействующих плоскостей состоит в том, что скирмион разрушается при меньшем межплоскостном взаимодействии. В данной главе был рассмотрен вопрос стабильности скирмионного состояния при учете факторов, возникающих при переходе от двумерного магнетика с обменным взаимодействием в приближении ближайших соседей, к реальным купратам. В параграфе 3.2 было изучено влияние анизотропии обменного взаимодействия на форму скирмиона. Было показано, что при Jz J t скирмион стремится превратиться в вихрь. Случай, когда Jг Jpl вообще ведет к разрушению топологических возбуждений типа скирмион. В параграфе 3.3 в гамильтониане гайзенберговского обмена (1.1) учитывалось взаимодействие не только с ближайшими соседями, но и со спинами следующей координационной сферы. Было показано, что при отрицательном знаке J] 0 обменного интеграла взаимодействия с диагональными спинами, форма скирмиона искажается сильнее, чем при «/[ 0. Сильный отрицательный обмен с диагональными спинами ведет к разрушению скирмиона. Так как в реальных купратах существует взаимодействие между плоскостями СиОа, в параграфе 3.4 исследовалось влияние такого взаимодействия на скирмион. В параграфе 3.4.а исследовались две взаимодействующие плоскости (такую структуру имеет YBa2Cu306); в параграфе 3.4.6 изучается трехмерный случай со взаимодействием между плоскостями, что соответствует случаю La2Cu04. Были рассмотрены два варианта: когда спины в остальных плоскостях находятся в однородном состоянии, и когда во всех плоскостях рождаются скирмионы. В обоих случаях было показано, что при определенной величине взаимодействия между плоскостями скирмион разрушается (причем в aслучае однородной спиновой конфигурации в других плоскостях это происходит гораздо быстрее). Отличие трехмерного случая от случая двух взаимодействующих плоскостей в том, что скирмион разрушается при меньшем межплоскостном взаимодействии.
Скорость спин-решеточной релаксации в двумерной решетке электронных спинов
Подсчитаем скорость спин решеточной релаксации, обусловленной колебаниями октаэдра типа Q4 и Qs- Спиновая система рассматривается в скирмионной модели. Гамильтониан системы можем записать в виде: где H$i - гамильтониан спин-решеточного взаимодействия (5.1), a Hss - гайзенберговский гамильтониан спин-спинового взаимодействия ионов меди (1.1). Для вычисления скорости спин-решеточной релаксации (или, что является тем же самым, количества переходов в единицу времени) воспользуемся модифицированным золотым правилом Ферми: где Pi - статистический вес, а // ( -гамильтониан в гайзенберговском представлении. Используя конкретный вид гамильтониана (5.І), получим выражение для скорости релаксации, содержащее произведение четырехспиновых корреляционных функций и однофононных колебательных корреляционных функций. Смешанные колебательные корреляционные функции вида \QAQ5) будут равны нулю, а \Q QA) = \Q5Q5/ Переходя к суммированию по ближайшим соседям, мы получаем следующее выражение для скорости спин-решеточной Здесь a = x,y, индексы А и В означают различные подрешетки в антиферромагнетике, 5,5 - элементарные векторы решетки, \5\ = \5 = а, где а - постоянная решетки. Для нахождения колебательных корреляционных функций произведем разложение (Qj{0)Qj.(t)) в ( -пространстве: Запишем Q через операторы рождения и уничтожения фононов В и где а - постоянная решетки, М - масса иона кислорода, Q - частота фононных колебаний. В гармоническом приближении колебательный гамильтониан запишется как; Пренебрегая дисперсией собственных частот колебаний Q. = П, для пространственно-временного Фурье-образа корреляционных функций имеем следующее выражение: Спиновые корреляционные функции в модели скирмионов были получены в параграфе 1.7. Подставив полученные корреляционные функции в выражение (5.4), и произведя переход к непрерывному пределу, получим следующую скорость спин-решеточной релаксации: Температурная зависимость скорости релаксации при разных частотах фононных колебаний Q. представлена на (рис.5.3). Как можно видеть, в недопированном магнетике скорость релаксации экспоненциально расходится при малых температурах, проходит через минимум и в дальнейшем монотонно растет с ростом температуры. Полученная зависимость совпадает с зависимостью, полученной в работе [68]. Так как скорость спин-решеточной релаксации растет с увеличением температуры, то она может стать главным вкладом в ширину линии ЭПР при высоких температурах.
Изменение частоты фононных колебаний приводит лишь к смещению кривой температурной зависимости, качественно она остается той же самой. Произведем численную оценку скорости в минимуме. Используя следующие численные значения: G/A 2, Л/Д 0.066, /=1500 К, ЙП 10 К, T«600 , получаем скорость спин-решеточной релаксации порядка 10 сек . Это величина сравнимая с величиной, полученной в работе [68], В параграфе 5.2 была подсчитана скорость спин-решеточной релаксации в La2Cu04 в модели скирмионов. Было получено выражение 5.9) для скорости релаксации как функции температуры и радиуса скирмиона гд. Температурная зависимость скорости релаксации ведет себя следующим образом: экспоненциально расходится при малых температурах, проходит через минимум и в дальнейшем монотонно растет с ростом температуры. Рассмотрим как изменится ситуация при допировании. Вычислив радиус скирмиона rQ для ненулевых концентраций методом, изложенным в параграфе 4.2, можно получить скорость спин решеточной релаксации как функцию температуры и концентрации АН — АН(п, Т). Результаты представлены на (рис.5.4), (рис.5.5). Температурная зависимость для скорости спин-решеточной релаксации качественно похожа на зависимость для скорости ядерной релаксации за исключением области низких температур. При ненулевой концентрации при Т — О также пропадает расходимость, однако скорость спин-решеточной релаксации стремится к какому-то конечному значению (см, вставку (рис.5.4)), в то время как скорость ядерной релаксации стремится к нолю при Т — 0. Для иллюстрации того, что скорость спин-решеточной релаксации при Т — 0 имеют конечную ненулевую величину, на (рис.5.5) температурная зависимость изображена в логарифмическом масштабе. При повышении температуры скорость спин-решеточной релаксации, аналогично скорости ядерной релаксации, растет как Т , проходит через максимум (особо заметный при малых концентрациях), затем идет спад и при больших температурах остается практически постоянной. При высокой температуре скорость спин-решеточной релаксации практически не зависит от концентрации дырок, так как при большой температуре доминирующая роль принадлежит тепловым скирмионам. Открытие ВТСП не только стимулировало изучение магнитных и кинетических свойств плоскостей Си02) но и вызвало повышенный интерес к оксиду меди СиО. Исследовалась его удельная теплоемкость, магнитная восприимчивость. Из экспериментальных данных [72,73] было установлено, что оксид меди СиО имеет одномерный характер с величиной интеграла обменного взаимодействия в цепочке порядка 400 К; температура Нееля составляет примерно 230 К. Проводились и эксперименты по ЭПР. Однако, как и для случая ВТСП-материалов и их родительских соединений, сигнал ЭПР в обычном частотном диапазоне обнаружен не был.
Причина этого крылась в большой ширине линии: в работе Киндо, Хонда и Конаши [74] благодаря использованию импульсного сканирования всей частотной области был обнаружен сигнал ЭПР в оксиде меди СиО с шириной линии более чем одна Тесла. Температурная зависимость ширины линии представлена на (рис.5.6). Качественно эта зависимость схожа с зависимостью ширины линии ЭПР для ЬагСиО,), полученной в работе [68]. Это наводит на подозрение - не один ли и тот же механизм ответственен за уширение? В данном параграфе будет вычислена скорость спин-решеточной релаксации, обусловленной спин-фононным взаимодействием (5.1) для оксида меди СиО. Структура данного соединения представлена на (рис.5.7). Её можно, описать следующим образом: строительными элементами являются параллелограммы, которые формируют цепочки с общими ионами кислорода. Подобные цепочки пересекают кристалл в двух направлениях. В двумерном случае в качестве колебаний решетки выступали искажения октаэдра CuOs- В случае одномерной цепочки оксида меди СиО будут рассматриваться наклоны параллелограммов Си04; оси наклонов проходят через диагонали параллелограммов. Для вычисления скорости спин-решеточной релаксации воспользуемся формулой: где S и S+ - компоненты полного спина системы. Колебательные корреляционные функции в гармоническом приближении будут иметь тот же вид, что и в двумерном случае (см. (5.8)): другой будет лишь частота фононных колебаний Q.. Аппроксимируем временную зависимость в выражении для спиновых корреляционных функций экспонентой: где Г - константа затухания. В случае антиферромагнетика [76]: где G{q/) - какая то функция от (q/ ), - обратная корреляционная длина. Из классического рассмотрения Фурье-образ статической корреляционной функции запишется как: Сравним температурную зависимость (5.16) с экспериментальной [73]. Возьмем следующие значения величин, входящих в выражение (5.16): В качестве подгоночных параметров используем параметр константы затухания G{ql ) и частоту фононных колебаний П. Результаты подгонки на (рис.5.8) для значений подгоночных параметров G{q I ) & 672см 1, Q«102CJU_1. Из (рис.5.8) видно, что выражение (5.16) хорошо описывает линейную часть температурной зависимости ширины линии.
