Спинорная реализация киральной модели графена Искандар Мухаммад

Содержание к диссертации

Введение

I. Введение 5

1.1. Атом Углерода (его свойства) 6

1.2. Графен (история создания) 7

1.3. Физические Свойства графена 9

1.4. Структура Графеновых Кромок 13

II. Киральная модель графена .19

2.1. Спинорная Реализация Киральной Модели Графена

2.2. Нелинейная Спинорная Модель 20

2.3. Унитарный параметр порядка и гибридизация в графене 22

2.4. Волны на Поверхности Графена (рябь) 27

2.5. C – нанотрубки 38

III. Взаимодействие Графена С Внешним Магнитным Полем, Параллельным Поверхности графена 30

3.1. Структура Унитарной Матрицы в Киральной Модели Графена 30

3.2. Плотность Лагранжиана 31

3.3. Интеграл «Энергии» 37

3.4. Анализ решения в области 38

3.5. Анализ решения в области 40

IV. Взаимодействие Графена С Внешним Магнитным Полем, Ортогональным Поверхности графена .52

4.1 Структура Унитарной Матрицы в Киральной Модели .52

4.2 Лагранжева плотность 53

4.3 Анализ решения в области 60

4.4 Анализ решения в Области Малых r и Произвольных z 63

Выводы .68

Литература .69

• Графен (история создания)
• Нелинейная Спинорная Модель
• Анализ решения в области
• Анализ решения в области

Введение к работе

Актуальность темы. Существует постоянно растущий интерес к исследованиям графена, связанный с его уникальными свойствами, включая высокую электропроводимость и необычную прочность. Графен был теоретически описан и получил свое название в 1962 году после исследований, выполненных в группе Бёма. Известно, что он представляет собой одно-атомный слой углерода, или плоский одиночный слой графита, который содержит много слоев графена с межплоскостным расстоянием в 0.33 нанометра. С тех пор был предложен метод производства графена путем вытягивания с помощью эксфолиации (известный также как метод скотч-ленты), который был продемонстрирован Геймом и Новоселовым. В 2004 году были найдены другие методы, такие, как эпитаксиальный рост карбида кремния после нагревания до высоких температур (>1100С), эпитаксиальный рост на металлических подложках, таких, как убирание меди, натрия, иридия, рутения и никеля из металл-углеродных расплавов; наконец, возможно получение графена из углеродных нанотрубок или восстановление оксида графита с последующим отслаиванием листов путем расширения.

Графен обнаруживает удивительно высокую подвижность электронов при комнатной температуре. Экспериментально подтверждено её значение

15,000

^CmVVs

с теоретическим внутренним пределом в

200,000 cmVvs при концентрации носителей 1⁽⁾¹²/_ст2- Графен также имеет уникальные оптические свойства (поглощает ~2.3% белого цвета), теплофизические свойства (теплопроводность между (4.48±0.44)х10³ и

(5.30±0.48)х10^{3 W}/_mK, а также механические свойства (прочность разрыва в 200 раз больше, чем сталь, выдерживающей давление в 130 гПа).

В настоящее время для теоретического описания графена используется микроскопический подход, опирающийся на релятивистскую квантовую теорию многих частиц, применение которой вызывает значительные трудности. В связи с этим имеется потребность в создании достаточно простых феноменологических моделей, позволяющих тем не менее описать основные свойства графена и, в частности, его магнитные характеристики. Этим и обусловлена актуальность темы диссертации.

Цель работы. Целью данной работы является применение для описания магнитных свойств графена киральной модели графена в её спинорной реализации, предложенной в работах [1*,2*]. Углеродный атом обладает четырьмя валентными электронами в sp- гибридизированных состояниях, причем один из них «свободен» в гексагональной решетке графена, а три других образуют sp²-связи с соседями. Гибридизированные sp-состояния этого выделенного электрона в атоме углерода могут быть описаны унитарной SU(2)- матрицей, рассматриваемой как киральный параметр порядка. В диссертации изучается спинорная реализация киральной модели графена, использующая как спиновые, так и квазиспиновые возбуждения. Последние, как известно, связаны с колебаниями двух независимых треугольных подрешеток.

В работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

Предложенная в работах [1*,2*] киральная модель графена содержит очень простое кинковое решение для описания графеновой плоскости и решение с «ежовой» структурой для углеродной нанотрубки. Она также дает возможность описать структуру ряби в реальном графене, что иллюстрирует нестабильность Мермина - Вагнера для двумерных конфигураций. Опираясь на 8 - спинорное обобщение киральной графеновой модели, были рассмотрены спиновые и квази-спиновые возбуждения графенового слоя и его взаимодействие с однородным статическим магнитным полем. Была найдена приближенная структура магнитного поля на большом расстоянии от слоя и в центральной области.

В частности, для случая внешнего магнитного поля, параллельного графеновому слою обнаруживается очевидный диамагнитный эффект: ослабление магнитного поля в графеновом образце. Что касается случая магнитного поля, ортогонального к графеновому слою, то наблюдается усиление магнитного поля в материале в центральной области (для малых

г)-

Обьектом исследования является 8 - спинорное обобщение киральной графеновой модели, позволяющее рассмотреть спиновые и квазиспиновые возбуждения графенового слоя и его взаимодействие с однородным статическим магнитным полем.

Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы определяется следующими результатами:

Предложенная киральная модель графена дает нам возможность описать структуру ряби в реальном графене.

Опираясь на 8 - спинорное обобщение киральной графеновой модели, мы рассмотрели спиновые и квазиспиновые возбуждения графенового слоя и его взаимодействие с однородным статическим магнитным полем.

В частности, для случая внешнего магнитного поля, параллельного графеновому слою обнаруживается очевидный диамагнитный эффект: ослабление магнитного поля в графеновом образце.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретической характер. Полученные результаты могут найти применение при изучении групп симметрии различных полевых моделей в ядерной физике, физике частиц и в физике конденсированных сред.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Global Advanced Material and Surfaces (GAMS) 2015, Dubai, Arab United Emirates.

2. LII Conference on Problems of Dynamics, Particle Physics, Plasma Physics and Optoelectronics, Moscow: RUDN, 2016,.

3. The Third International Scientific Symposium “The Modeling of Nonlinear Processes and Systems” (MNPS-2015). Materials of the III-rd International Conference, STANKIN, Moscow, 2016.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 работ в рецензируемых отечественных и международных изданиях, список которых приводится в конце автореферата. Две статьи опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены автором. В совместных работах с Ю. П. Рыбаковым последнему принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов. Использованные материалы других авторов отмечены ссылками.

Структура и обьём диссертации. Диссертация изложена на 71 страницах и состоит из Введения, трёх глав, заключения, 8 рисунков и списка литературы из 30 наименований.

Графен (история создания)

Характер краев графена определяется свойствами структуры интересующего материала. Таким образом, важно отметить различные графеновые материалы (графеновые листы и тромбоциты, ленты, окисленный графен, химический / термически восстановленный графен и окисленные графеновые ленты, распакованные первоначально из карбоновых нанотрубок) с точки зрения влияния их краевой конфигурации, а также различных теоретических предсказаний их устойчивости и экспериментальные наблюдения химической реактивности. Мы предлагаем детальный обзор наиболее важных аспектов структурных эффектов края.

Графен, с его - гибридизированными атомами углерода, упакованными в гексагональный слой, который имеет ребра, включающие две разные конфигурации: "кресло" или "зигзаг" (Рис. 2). Край также может состоять из комбинации обеих конфигураций. Fig. 2. Схематическая иллюстрация (a) графитовой укладки типа ABAB и (b) двух ее краевых плоскостей (кресла и зигзагообразные края).

Каждый атом углерода зигзагообразной кромки имеет неспаренный электрон, который активен для соединения с другими реагентами. Атомы углерода креслообразного края также имеют неспаренный электрон, который активен для объединения с другими реагентами. Однако, атомы углерода креслообразной стороны являются более стабильными в отношении химической реакции, поскольку имеется тройная ковалентная связь между двумя открытыми краевыми атомами углерода каждого краевого гексагонального кольца (Рис. 3). Ребра зигзага обладают локализованным краевым состоянием, усиливающим локальную плотность состояния вблизи энергии Ферми, и эти состояния могут быть поляризованы Кулоновскими взаимодействиями. Рис. 3. (Цвет онлайн) Графеновые структуры с (a) краями зигзага и (b) кресел

Наноразмерные графеновые пластинки представляют собой еще один новый класс графеновых материалов, состоящих из одного или нескольких слоев графена, толщиной с от 0.34 до 100 нанометров. Они имеют унаследованное от края несвязывающее -состояние, которое может приводить к нетрадиционным наномагнитным свойствам, таким как состояния спинового стекла, магнитное переключение и зондирование спинового газа краевого состояния.

Разреженный графен внутри узкой полоски является результатом образования графеновых нанорибонов, которые также могут быть классифицированы как имеющие кресловую или зигзаговую структуру в соответствии с конфигурацией их границ (Рис. 3). Кресловая или зигзаговая геометрия обладает закрытыми краями, то есть полностью скоординированными связями. Когда края становятся дефектными, они называются "открытыми" (Рис. 4). Ленты с зигзагообразными краями (зигзаообразные графеновые наноленты, ZGNRs) обладают локальными электронами. Следовательно, ленточные графеновые кромки имеют значительно более высокую проводимость, чем ленточные графеновые листы. Конфигурация края может также быть по-своему классифицирована, поскольку внутренний слой может развернуться или свернуться/завиться, в зависимости от способа получения, такого как отжиг при высокой температуре или облучение электронным лучом. Следовательно, внутренние края формируются во время процедуры экс-расплющивания. Они связывают невозмущенное случайное рифленое строение атома с ненасыщенными атомами углерода. Однородность строения атома зависит от методов, используемых при производстве графеновых листов. У краев развернутого графена всегда есть грубость порядка миллимикрона без предпочтительного направления несмотря на их выравнивание. Однако графеновые листы могут свернуться/завиться назад с произвольным направлением сворачивания, приводящим к вращательным дефектам укладки.

Нелинейная Спинорная Модель

С самого открытия моноатомных углеродных слоев, называемых графенами, этот материал вызвал огромный интерес исследователей в связи с его экстраординарными свойствами в отношении магнетизма и высокой электропроводности. В основе этого исследования лежит следующее. Как известно, атом углерода обладает четырьмя валентными электронами в так называемых гибридизованных sp-состояниях, один из которых «свободен» в решетке графена, а все остальные образуют sp-связи с соседями.

Кажется естественным ввести скалярное and a 3 векторное поля, соответствующие s-орбитальному и p орбитальному состояниям «свободного» электрона соответственно. Эти два поля могут быть объединены в унитарную матрицу , рассматриваемую как параметр порядка рассматриваемой модели, если принять длинноволновое приближение, т.е. (2.15) где - единичная 2 x 2 - матрица, а - матрицы Паули с условием (2.16) Удобно построить путем дифференцирования кирального поля (2.15) так называемый левый киральный ток (2.17) Индекс , пробегает значения 0,1,2,3 и обозначает производные по времени и по пространственным координатам Тогда простейшая плотность лагранжиана имеет вид (2.18) и соответствует сигма-модельному подходу в теории поля с массовым членом. Здесь были введены постоянные параметры модели and . Сравнивая плотность лагранжиана (2.18) с теорией Ландау-Лифшица, относящейся к квазиклассическому длинноволновому приближению в магнитной модели Гейзенберга, можно интерпретировать параметр в (2.18) как обменную энергию между атомами (на постоянную решетки).

Подставляя (2.15) в (2.17), (2.18) и учитывая условие (2.16), легко получаем следующую лагранжеву плотность: (2.19)

Для случая малых a - возбуждений уравнения движения, порожденные формулой (2.19), принимают вид и относятся к закону дисперсии который в высокочастотном приближении имеет линейную фотоноподобную форму.

Мы начинаем со статической одномерной конфигурации относящейся к идеальной графеновой плоскости, нормальной, к оси z. В этом случае параметр порядка имеет вид с Лагранжевой плотностью (2.20) Структура (2.20) дает уравнения движения (2.21) с характерной толщиной (параметр длины) (2.22) Решение (2.21) удовлетворяет естественным граничным условиям ф к /2 / 0 и соответствует энергии на единицу площади 2.4 Волны на Поверхности Графена (рябь) Рассмотрим теперь малые возмущения решения (2.21) в непосредственной близости от идеальной графеновой поверхности, т. е. для небольшого – z . С , можно найти для возмущения and следующее значение Лагранжевой плотности : Теперь можно сделать вывод, что уравнения для статического возмущения суть (2.23) где + . В Декартовых координатах x , y на идеальной графеновой плоскости z = 0, легко находим возбуждения в периодическом виде cos Kx, (2.24) где . Экспоненциальный рост по Z решения (2.24) означает нестабильность идеального графена, что впервые упоминается Н. Д. Мерминым и Вагнером в 1966 г. в случае магнетиков. Существуют также кольца возбуждений аксиально-симметричной формы: (2.25) где функция Бесселя m-го порядка, m = 0,1, 2, ... и , полярные координаты в плоскости графена. Таким образом, можно сделать вывод, что плоскость графена допускает изгиб. Гофрировки плоскости графена действительно наблюдаются [6,7,8]. В представлении (2.23) следует также подчеркнуть, что кривая дисперсии обнаруживает анизотропный характер и имеет две ветви. Первая касается поперечных - возмущений и фотонного поведения. Вторая ветвь касается продольного - возмущения и”упомянутого выше массового поведения. 2.5. C – нанотрубки Будем теперь искать статические аксиально – симметричные конфигурации вида (2.26) Конфигурации (2.26) описывают бесконечные с - нанотрубки со структурой «Ежа» в поперечном сечении. Подставляя (2.26) в (2.18), получаем

Анализ решения в области

Эффект s- и p-гибридизации валентных электронов атомов углерода является основным свойствм электронной связи в моно-атомных углеродных слоях графена. Для реализации этого эффекта была предложена киральная модель графена, использующая унитарную SU (2) -матрицу рассматриваемую как параметр порядка. Здесь это единичная матрица и матрицы Паули соответственно. Скалярное и векторное поля , описывают гибридизацию, т. е. смесь s – и p – состояний свободными валентных электронов в плоскости одноатомного углерода. Для описания спина и квази спиновых возбуждений в графене вводим два Дираковских спинора и рассмотрим комбинированное спинорное поле в качестве нового параметра порядка, где - первый столбец . Лагранжева плотность модели, (4.1) включает проектор на положительные энергетические состояния, где , = 0, 1, 2, 3 , обозначает Дираковский ток, . Модель содержит два постоянных параметра: постоянную обмена I на постоянную решетки и некоторую характерную обратную длину . Взаимодействие с электромагнитным полем реализуется через расширение производной: , где – константа связи и - зарядовый оператор.

Давайте рассмотрим случай с ориентацией магнитного поля вдоль z-оси. Используя цилиндрические координаты r, , z, мы вводим векторный потенциал , с напряженностью магнитного поля , и естественным граничным условием на бесконечности: . Рассматриваемая модель допускает очевидную симметрию , - симметрию , которая позволяет вводить – 2- спинор, полагая , ), = col (v,u). Чтобы упростить вычисления, предположим малость радиального магнитного поля: . В этом приближении появляется новая дискретная симметрия: - , v , u , , которая позволяет ввести киральный угол , . Рассматриваем аксиально симметричную конфигурацию: u = u (r,z), = (r,z). На основании (4.1) мы можем получить новую лагранжеву плотность. Первая часть где и и Тогда первая часть принимает вид а вторая часть, третья часть, четвертая часть, и окончательная функция Лагранжа становится следующей: (4.2) где введена новая переменная: (4.3) и (4.4) (4.5) B=-дA (4.6) Используя уравнения (4.3) – (4.6), получаем новую лагранжеву плотность (4.7) где введена новая переменная R, обозначает дифференцирование относительно r и z. Уравнения движения, соответствующие (4.7), имеют вид: 58 (4.8) (4.9) (4.10) 4.3. Анализ решения в области Используем уравнения (4.8), (4.9), и (4.10) в области , где 0, R=1/4 +, A=B0r/2+, . Таким образом, уравнение (4.9) принимает форму: где const (4.11) (4.12) Подставляя (4.11) в (4.8) и (4.10), получаем неоднородные уравнения для и : (4.13) (4.14) с решением вида: (4.15) где радиальные функции N(r) и K(r) удовлетворяют следующим уравнениям: (4.16) (4.17) Теперь оценим магнитную напряженность: Принимая во внимание, что в силу (4.17) при , , получаем (4.18) (4.19) Однако, при , , и поэтому напряженность магнитного поля становится следующей: (4.20) (4.21) Как видно из (4.18) - (4.21) в зависимости от знака множителя наш графеновый материал обнаруживает диамагнитное или парамагнитное поведение. Поэтому было бы интересно получить числовые оценки для параметров модели. Ввиду принятых определений имеем где обменная энергия обычно принимается равной ch а постоянная решетки, как , где e является абсолютной величиной электронного заряда. Наконец, можно найти следующие численные значения:

Это означает, что параметр положительный, и предсказывается ослабление магнитного поля в графене в соответствии с (4.18) и (4.19) для больших r, и его усиление для малых r в соответствии с (4.20) и (4.21).

Анализ решения в области

Состояние, для которого некоторое поле реализует минимум энергии, известно как циклическое или вакуумное состояние. В вакуумном состоянии поле не зависит от координат. Воспользуемся тождеством Фирца – Паули – Бриоски: (2.1) где здесь – Матрицы Паули в изопространстве (2.2) а 8 - спинорное поле представляется как При этом используется потенциал Хиггса (2.3) где - некоторые постоянные. В вакуумном состоянии потенциал Хиггса обращается в ноль. Поэтому асимптотически мы можем записать, что при (2.4)

Важно то, что в силу тождества Фирца-Паули-Бриоски, в зависимости от вакуумного значения может быть реализовано многообразие или , чтобы соответствующая гомотопическая группа была нетривиальна. Во втором случае топологический заряд имеет вид степени отображения. Эта модель называется моделью Скирма для барионов, где скалярное поле в вакууме постоянно. Тогда инвариант (2.5) называется киральным инвариантом. Если , то многообразие есть и если , , (2.6) тогда , и это соответствует модели Фадеева для лептонов. 2.2 Нелинейная Спинорная Модель Чтобы убедиться в реализации состояний (2.5) и (2.6), рассмотрим лагранжеву плотность вида (2.7) где (2.8a) (2.8b) (2.8c) Тензор энергии-импульса определяется следующим образом: + (2.9) где, (2.10a) (2.10b) Отсюда легко получить плотность энергии, опираясь на теорему Эйлера об однородной функции (2.8): + (2.11) (2.12) Здесь - плотность энергии для and плотность энергии для . По теореме Нетер, энергию можно записать как, x (2.13) При этом получается оценка энергии x + x x + + x (2.14) Унитарный параметр порядка и гибридизация в графене

С самого открытия моноатомных углеродных слоев, называемых графенами, этот материал вызвал огромный интерес исследователей в связи с его экстраординарными свойствами в отношении магнетизма и высокой электропроводности. В основе этого исследования лежит следующее. Как известно, атом углерода обладает четырьмя валентными электронами в так называемых гибридизованных sp-состояниях, один из которых «свободен» в решетке графена, а все остальные образуют sp-связи с соседями.

Кажется естественным ввести скалярное and a 3 векторное поля, соответствующие s-орбитальному и p орбитальному состояниям «свободного» электрона соответственно. Эти два поля могут быть объединены в унитарную матрицу , рассматриваемую как параметр порядка рассматриваемой модели, если принять длинноволновое приближение, т.е. (2.15) где - единичная 2 x 2 - матрица, а - матрицы Паули с условием (2.16) Удобно построить путем дифференцирования кирального поля (2.15) так называемый левый киральный ток (2.17) Индекс , пробегает значения 0,1,2,3 и обозначает производные по времени и по пространственным координатам Тогда простейшая плотность лагранжиана имеет вид (2.18) и соответствует сигма-модельному подходу в теории поля с массовым членом. Здесь были введены постоянные параметры модели and . Сравнивая плотность лагранжиана (2.18) с теорией Ландау-Лифшица, относящейся к квазиклассическому длинноволновому приближению в магнитной модели Гейзенберга, можно интерпретировать параметр в (2.18) как обменную энергию между атомами (на постоянную решетки).