Солитоны в спинорной модели Скирма - Фаддеева Молотков Вячеслав Иванович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Особенности описания солитонных решений в нелинейных спинорных моделях 11

1.1 Солитонная концепция описания элементарных частиц 11

1.2 Необходимость спинорной реализации киральных моделей 21

1.3 Восьмиспинорное пространство. Тождество Бриоски 21

1.4 Выводы 25

Глава 2. Разыскание симметрии, отвечающих различным гомотопическим группам (лептонная и барионная фазы) 26

2.1 Этапы исследования 26

2.2 Поиск групп симметрии 26

2.3 Универсальность вакуума 29

2.4 Структура индекса Хопфа 31

2.5 Выводы 33

Глава 3. Структура генератора электрического заряда и лагранжиана в спинорной модели Скирма - Фаддеева 34

3.1 Этапы исследования 34

3.2 4-ток в восьмиспинорном поле 34

3.3 Структура генератора заряда. Безмассовость фотона 35

3.4 Структура лагранжиана модели 36

3.5 Лагранжиан вакуума 37

3.6 Уравнение Лагранжа-Эйлера для сг-модельного члена в сферических координатах 37

3.7 Аксиально-симметрическое поле 39

3.8 Водородоподобная подстановка 43

3.9 Выводы

Заключение

Список литературы

• Необходимость спинорной реализации киральных моделей
• Восьмиспинорное пространство. Тождество Бриоски
• Универсальность вакуума
• Структура генератора заряда. Безмассовость фотона

Введение к работе

Актуальность темы. В современной физике элементарных частиц при описании структуры частиц господствуют составные модели, в которых частицы конструируются из бесструктурных объектов (кварков, глюонов). Существенным недостатком таких моделей является предположение о бесструктурности исходных элементов частиц, что приводит к появлению рас-ходимостей, уменьшающих предсказательную силу теории.

В связи с этим особое значение приобретают попытки описать структуру частиц вне рамок составных моделей. Одним из направлений такого рода является физика солитонов, в которой частицы описываются регулярными решениями некоторых нелинейных уравнений.

Среди моделей такого рода хорошо известны модель Скирма в ядерной физике и модель Фаддеева в физике лептонов, которые рассматривают для описания структуры частиц топологические солитоны, т.е. полевые конфигурации, наделенные специальными топологическими зарядами (инвариантами). В модели Скирма таким зарядом является степень отображения Q = deg yS —> S ), интерпретируемая как барионное число, служащее генератором гомотопической группы 7T^(S ) = Z. Аналогично в модели Фаддеева в качестве топологического инварианта используется индекс ХопфаС^я, который является генератором гомотопической группы 7T^(S²) = Z и интерпретируется как лептонное число.

Целью данной диссертации является попытка объединенного описания лептонов и барионов в рамках нелинейной спинорной теории. При этом ставится задача реализации гомотопических групп 7Гз(о) и tt^(S ), соответствующих описанию барионного и лептонного секторов.

В работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. При использовании тождества Бриоски в 8-спинорной модели найдено несколько возможных групп симметрии, характеризующих объединенную модель.

2. С помощью найденных групп симметрии построены S и S многообразия, которые могут служить для описания лептонов и барионов.

3. Найдено состояние, общее для барионного и лептонного секторов, которое может служить вакуумом.

4. Как для лептонного, так и для барионного секторов выписана а-модельная часть функции Лагранжа и найден вид оператора электрического заряда Г_е. Для системы уравнений Лагранжа - Эйлера в сферических координатах получено решение, справедливое на малых расстояниях.

Научная новизна. При построении модельного описания элементарных частиц, относящихся к классу барионов и лептонов, возникла необходимость отыскания S и S многообразий с общей компонентой, играющей роль вакуума. В работе впервые в рамках 8-спинорной модели элементарных частиц были найдены S и S многообразия, пригодные для описания лептонов и барионов. В рамках этой теории впервые был построен вакуум и найден вид генератора электрического заряда Г_е. Исследована сг-модельная часть функции Лагранжа. Впервые получено решение системы уравнений Лагранжа - Эйлера, справедливое на малых расстояниях.

Методы исследования. Аналитические методы, использованные в диссертации, связаны с теорией групп и с решением системы дифференциальных уравнений Лагранжа - Эйлера.

В первой главе для описания элементарных частиц с помощью соли-тонов приходится использовать методы дифференциальной топологии и, в частности, язык топологических инвариантов и аппарат теории гомотопических групп.

Во второй главе с помощью теории групп были найдены S и S многообразия.

В третьей главе строится приближенное решение системы уравнений Лагранжа - Эйлера. Это система весьма сложна. Даже в простейшем аксиально-симметричном случае приходится решать систему четырех уравнений с переменными коэффициентами, зависящими как от радиальной, так и от угловой переменной. Применяется метод разделения переменных. Для части уравнений получены точные решения, выраженные через стандартные специальные функции, для других построены приближенные решения. В итоге, благодаря использованию водородоподобной подстановки получено

приближенное решение, относящееся к (7-модельной части функции Лагран-жа.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью примененных математических методов. Работа опирается на результаты из теории групп и методы решения систем дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

International Student Conference "Science and Progress" (Petergof, 14-18 november, 2011).

54-й научная конференция (Долгопрудный, МФТИ, 10-30 ноября 2011).

11-я Курчатовская молодёжная научная школа (Москва, НИЦ "Курчатовский институт", 12-15 ноября 2013).

Конференция-конкурс молодых физиков (Москва, Физический институт им. П.И. Лебедева, 3 февраля 2014).

L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектронники (Москва, РУДИ, 13-16 мая 2014).

Конференция-конкурс молодых физиков. (Москва, Физический институт им. П.И. Лебедева, 2 марта 2015)

LI Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектронники (Москва, РУДИ, 12-15 мая 2015).

Third International Conference "Modeling of Non-Linear Processes and Systems" (Moscow, Moscow State University of Technology "STANKIN", 22-26 June 2015).

Конференция-конкурс молодых физиков (Москва, Физический институт им. П.И. Лебедева, 2 марта 2016).

LII Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектронники (Москва, РУДН, 17-19 мая 2016).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 9 печатных изданиях [1-9], 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1-5], 4 — в других печатных изданиях [6-9].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и одного приложения.

Необходимость спинорной реализации киральных моделей

Рассмотрим это на следующем простом примере рис. 1.1. В начальный момент на действительный оси имеются две уединённые волны разной амплитуды, причем большая волна расположена слева от меньшей. Расстояние между ними достаточно велико, так что перекрываются только их экспоненциально малые хвосты.

Из этого начального состояния решение эволюционирует в соответствии с уравнением КдФ, и поскольку более высокая уединённая волна находится слева, она будет двигаться вправо быстрее, догонит меньшую волну, и произойдет их нелинейное взаимодействие, описываемое уравнением КдФ. Но оказывается (и это было неожиданным, по крайней мере, в то время, когда такая картина наблюдалась впервые), что они выходят из столкновения без изменения своей формы и амплитуды, лишь несколько смещенными от того места, где они находились бы, если бы не было взаимодействия. Отсюда вытекают следующие свойства уединенных волн, сближающие их с частицами: — стационарное распространение в виде импульсов — сохранение их формы и скоростей после взаимодействия Эти характеристики побудили Забуски и Крускала назвать их солитонами (от англ. "solitary wave" - уединенная волна). Итак, солитон - это существенно нелинейное локализованное образование, сконцентрированный сгусток энергии, обладающее указанными выше свойствами. «Вторым рождением солитона» А. Т. Филиппов в книге «Многоликий солитон» [20] называет использование ЭВМ для изучения этого явления. Он пишет:

" Новые возможности, предоставленные ЭВМ, начинают сильно менять характер работы физика-теоретика или математика. В первую очередь, изменяется само понятие о том, что значит решить задачу. Если, скажем, мы хотим изучить движение двух грузиков, связанных пружинками, нам достаточно получить уравнение, а все остальное предоставить машине. С такой же легкостью ЭВМ разберется и с движением пяти, десяти или ста грузиков. Для нас грузики и пружинки не были самоцелью. Они представляют собой простые механические модели гораздо более сложных физических систем. Кроме того, нас интересует не движение отдельных грузиков, а качественное поведение системы в целом. Мы старались выявить такие закономерности в движениях грузиков, которые позволили бы нам получить ясную, легко охватываемую нашей интуицией, физическую картину всех явлений. Уяснив эту картину, мы смогли бы затем разобраться в гораздо более сложных вещах, к которым мы иначе и не смогли бы подступиться."

Современная теория развития теории солитонов начинается с работы, опубликованной в 1955 году Ферми, Пастой и Уламом в качестве отчета Ло-саламосской научной лаборатории и посвященной исследованию нелинейных дискретно нагруженных струн. Эти исследования по термализации (замедлению нейтронов) в нелинейных колебательных системах были начаты Ферми в связи с появлением новых возможностей электронно-вычислительной техники. Отсутствие термализации в численных экспериментах оставалось парадоксом в течение ряда лет. Позже Забуски и Крускал показали, что длинные волны, бегущие в одном направлении по дискретно нагруженной струне, с квадратичными силами взаимодействия между частицами, могут быть описаны уравнением КдФ, и они установили, что полученные ими решения содержат стабильные объекты, позже названные солитонами. Это и объяснило отсутствие термализации [19].

В 1967 году Крускалом и соавторами был найден метод получения точного решения уравнения КдФ - метод так называемой обратной задачи рассеяния. Суть метода обратной задачи рассеяния состоит в замене решаемого уравнения (например, уравнения КдФ) системой других, линейных уравнений, решение которых легко находится. Этим же методом в 1971 советскими учеными В.Е.Захаровым и А.Б.Шабатом было решено нелинейное уравнение Шрёдинге-ра.

В связи с бурным развитием солитонной тематики в 60-е ггоды XX века стала снова актуальна проблема описания локализованных структур, а также частиц как протяженных объектов в физике конденсированных сред. В физике элементарных частиц свое применение находят трехмерные солитоны, выступая в качестве образов протяженных частиц, моделируя их структуру и другие свойства.

Параллельно произошло экспериментальное подтверждение наличия структуры у сильновзаимодействующих частиц: в экспериментах Р. Хофштад-тера (1958) по упругому рассеянию электронов на протонах было найдено распределение электрического заряда в протоне; в экспериментах Е. Блума и др.(1969) по глубоконеупругому рассеянию электронов на нуклонах было обнаружено явление скейлинга — масштабной инвариантности сечения рассеяния.

На основании наблюдений в 1969г. Ричард Фейнман предположил, что нуклоны состоят из более мелких структур - партонов, которые позже назовут кварками. Эти частицы он описывал дополнительными координатами, из-за чего нуклон рассматривался как составная частица. На основании этой идеи Фейнман предполагал перестроить аппарат квантовой теории поля, чтобы избавиться от расходимостей и использовать это для описания внутренней структуры частиц, например, с помощью форм-факторов.

Это объяснило, почему в случае упругого рассеяния нуклоны представляют собой протяженные объекты, а глубоконеупругий процесс сводится к рассеянию на системе точечных (бесструктурных) объектов — партонов.

Восьмиспинорное пространство. Тождество Бриоски

Данная глава посвящена истории возникновения понятия солитона и его применяя к описанию элементарных частиц. В связи с этим пришлось прибегнуть к языку топологических инвариантов и аппарату гомотопических групп. На примере моделей Скирма и Фаддеева была показана необходимость применения спинорной реализации киральных моделей.

Восьмиспинорная полевая модель позволяет рассматривать барионы и лептоны как состояния, реализуемые на S - и S - подмножествах в S . В данной модели был получен явный вид (1.8-1.15) для спинорных величин из тождества Бриоски (1.3), что существенно поможет для дальнейших вычислений. Глава 2. Разыскание симметрии, отвечающих различным гомотопическим группам (лептонная и барионная фазы)

В данной главе рассматриваются лептоны и барионы с математической точки зрения как сотояния, принадлежащие многообразиям S2 и 5 3 в восьмис-пинорном пространстве. Для этого решается задача поиска групп симметрии, отвечающих различным фазам. Несмотря на кажущуюся простоту вычислений, это не было реализовано предшественниками. Далее, для определения вакуумного состояния на найденные группы симметрии накладывается дополнительное условие - требования совпадения одной компоненты. Это сужает наш поиск до двух групп симметрии - по одной на каждый сектор.

По аналогии с тождеством Фирца (1.5), представим сумму произведений тока j jV1 + j jV1 из тождества Бриоски (1.4) как квадрат величины А: jMjM+jM? = A2, где величина А явно выражается через биспиноры следующим образом: А2 = №){?) -\ Р+\2{х+х){Щ-\х+е\ 0. Это позволяет переписать тождество Бриоски (1.4) в следующем виде: 2ІмІМ = s2+p2 + lt2 + 32 + А2. (2.1) Отсюда следует, что граничное условие (1.7) определяет фиксированную (вакуум) точку на поверхности S% [29]. Используя (1.7) и хорошо известное свойство гомотопических групп сфер: 7T (Sn) = 0, п 4, приходим к выводу о том, что только две фазы с нетривиальным топологическим зарядом могут существовать в рассматриваемой модели. Первая фаза соответствует TT (S ) = Z (модель Скирма), а вторая - TT (S2) = Z (модель Фаддеева).

В работах [30; 31] было сделано предположение, что вакуумное состояние фу может быть определено условием з{фу) т 0. Это позволяет использовать инвариант s + а , определяющий сферу S , соответствующую модели Скирма. И наоборот, если только (Vv) 7 0, тогда 5 0(3)-инвариант v 2 определяет сферу S2, что соответствует модели Фаддеева. Однако при таком подходе трудно учесть универсальность вакуума, т.е. условие того, чтобы фазы были независимы и обладали общим состоянием - вакуумом.

Для решения этой проблемы вначале было предложено рассматривать 16-спинорное поле [6; 7]:

В результате получается, что 16-спинорный ток складывается из двух 8-спинорных токов, каждый из которых времениподобный. Это удается показать с помощью тождества Бриоски (1.4). Поэтому для 16-компонентного спинора вакуум определяется той же самой формулой Бриоски, так как вакуум есть восьмиспинор. Отсюда следует, что структура квадрата тока в вакууме получается в точности такой же, как и у Бриоски - сумма восьми квадратов, каждый из которых можно интерпретировать либо как скаляр в квадрате, либо как псевдоскаляр в квадрате, либо как вектор в квадрате, либо как псевдовектор в квадрате. Этот важный результат позволяет произвести классификацию состояний по топологическому заряду, т.е. выделить лептонный и барионный секторы.

Однако этот путь для нас не является привлекательным, так как не существует аналога тождества Бриоски (1.4) в 16-спинорном пространстве, что ведет к громоздким вычислениям. Из-за этого вернемся в "родное"8-спинорное пространство и попытаемся найти группу 5 7(2), которая сохраняет спинорные величины, соответствующие барионному и лептонному секторам, и при этом соблюдается универсальность вакуума.

Для этого будем использовать матрицу преобразования: и ( -ь- „) (2 2) которая удовлетворяет требованию принадлежности к группе SU(2) - унитарности, т.е. условию U+U = UU+ = I. Эта матрица (2.2) будет действовать на поле 2-спиноров. Для нахождения групп инвариантности составляются все возможные пары из компонент 8-спинора (1.2) (fi,Xii@ и эрмитово-сопряженных к ним величин (+, Х+, +, @+- Суть вычисления сводится к тому, чтобы найти матрицы преобразования U (2.2) между этими парами, которые сохраняют сферы S2 (лептоны) и 5 3 (барионы).

В приложении А представлены расчёты для различных групп инвариантности. Выпишем для примера случаи бариона 2.3 и лептона 1.2. В следующем разделе читатель поймет, почему именно эти два случая вынесены на обозрение

Универсальность вакуума

Для вакуума лагранжиан будет иметь следующий вид: Cvi = D vlaJaD v = 16 (CV1CV1 + CV2CV2) [{DpCviY D»CVi + (D,CV2y D»CV2] (3.11) где Cy\ и Cy2 - комплексные константы, которые описывают вакуумное состояние (2.7). Так как Су\ и Су2 - постоянные величины и Тефу = 0 согласно (3.5), удлиненная производная тождественно равна нулю в вакуумном состоянии D ipy = 0. В результате сг-модельный член лагранжевой плотности (3.11) также тождественно равен нулю: С VI 0. (3.12) 3.6 Уравнение Лагранжа-Эйлера для сг-модельного члена в сферических координатах дС Выпишем уравнение Лагранжа-Эйлера для лагранжиана (3.7) в стационарном случае: дС div 0/ ; ч - —- = 0. (3.13) При переходе к сферическим координатам (г,ш,(3) (рис.3.1) лагранжиан С в уравнении (3.13) домножается на якобиан J (r,/3) = r2sin/3.

Сферические координаты (г,ш,(3) Найдем отдельно члены правой части уравнения Лагранжа-Эйлера (3.13) для (7-модельной части лагранжиана (3.9). Дивергенция для первого члена в сферических координатах имеет следующий вид: div дСі д{Щ д (дС\г2 sin (3\ д {дС\г2 sin (3\ д (дС\г2 sin (3" (3.14) (3.15) r2sin/3. д(3 V д {дрф дио \ д (дшф дг \ д {дгф+) = ; Ьо7а (Ф+Ъ ) {дгф - ie0ArTeil;)r2sm(3 + -щ bo"fa (Ф+Ъ1аф) (д ф - геоА Теф) г2 sin/ + j [7о7а (Ф+Ъ ) {дшф - іе0АшТеф) г2 sin (3} . Аналогично поступаем со второй частью уравнения: дф+ X {Ъ1аФ) Г2 Sin f3 + (іе0АмГе +7о7а ) ( +7о7« ) - \іеоА Ге\2 ( +7о7« ) (іоіаф) Суммируя результаты (3.14) и (3.15), мы можем выписать уравнения Эйлера-Лагранжа в сферических координатах для сг-модельного члена лагранжиана барионного и лептонного секторов(З.ІЗ): 2 г [ 7а (ЄЄ + 0+Є) (дгф - ге0АгГеф) г2 sin в] + 2 - [7о7а (ЄЄ + 0+(3) (д ф - геоА Теф) r2 sin/3] + 2 [7о7а (Є С + 0+Р) (д"ф - ге0А"Геф) г2 sin /3] (3.іб) - (д +Ъ1ад ф д,ф+Ъ1а1е Теф + ге0А Тег1;+Ъ1ад"Ф) X (Ъ1аФ) Г2 Sin f3 (ЄС + 0+Є) А,Теф+Ъ1ад»ф) - \ге0АиГе\2 (Ъ1аф) r2sin/3 = 0. Для упрощения уравнения рассмотрим аксиально-симметричное поле. 3.7 Аксиально-симметрическое поле

Рассмотрим аксиально-симметрическое поле (рис.3.1), инвариантное относительно угла UJ. Спин направлен вдоль оси z. В данном поле рассматривается инвариантная группа, состоящая из пространственной и изотопической частей: G = diag [SO(2)s SO(2)A здесь индексы S и I соответствуют пространственным и изотопическим поворотам, diag означает совпадение параметров перемножаемых групп или их пропорциональность. Из действия изотопического генератора f=i с"з группы 5 0(2)/ и пространственного генератора группы SO(2)s, состоящего из спинового 1 7з 8 - 4 и азимутального дш поворотов, возникает уравнение для нахождения компонент восьмиспинора: -сг3 h U dt ф = 0. (3.17) Решая уравнение (3.17), получим, что 8-спинор имеет следующий вид: / /W) \ д(г,Р)еіш u(r,p) Ф v(r,P)eitJ /2(r,/3)e— и2(г,Р)е-іш (3.18) где f(r,/3),g(r,/3),u(r,/3),v(r,/3)J2(r,/3),g2(r,/3),U2(r,/3),V2(r,/3) -функции радиуса г угла [5. Используя (2.7), получаем следующий вид для спинора вакуума следующий вид: / /W) (3.19) фу д(г,Р)е" д(г,Р)е" ig(r,(3)eli if(r,P) ig(r,P)eu \ I При д(г)е1Ш — 0 вакуумный спинор можно представить в виде: Ф v / о if о if (3.20) что тождественно удовлетворяет условиям (3.5) Тефу = 0,Tg = Ге, которы должен удолетворять на найденный зарядовый генератор Ге (3.6). 4-ток в вакууме (3.2) принимает следующее значение:

По аналогии с теоремой Коулмэна-Пале (1.1) преположим, что можно отделить углы в системе уравнений Эйлера-Лагранжа (3.27-3.30). Для этого воспользуемся свойством водородоподобной функции. Волновую функцию электрона в атоме водорода можно представить в виде комбинации двух сферических спиноров [40]. Это дает возможность найти собственные функции гамильтониана, содержащего спин. Например, это верно для гамильтониана Паули.

Запишем с помощью сферических спиноров первого рода функции первого 2-спинора лептонного 8-спинора (3.22) и(г,/3), v(r,/3)elu; [21]: и(г,/3) v(r,/3)eu voi(r)eiUJ COS /З (З.ЗҐ Рассуждения для функций f(r,(3), д(г,(3)еш аналогичны. Представление (3.31) позволяет рассматривать 4-ток как радиальную функцию в системе уравнений (3.27-3.30). Выпишем отдельно первое уравнение (3.27), введя функцию J (г) = j(r)r2: sin/ dr dr dr2 dJ(r)du т/ xd2u v + J(rA + J(r) d_ d(3 ndu n 2"11 cos/3- + sm/ 0. Продифференцируем и разделим на J(r) sin /3: 1 dJ(r)du d2u du d2u d/3 dfr + 7ГТ + Ct9P S + 77 = 0. J(r) dr dr dr2 Представим функцию и{гф) в виде и{гф) = Н(г)В(/3) для разделения переменных в уравнении: Г (г) -т -Н В + Я"В = -ctg/ЗНВ - ЕВ". J(r) Разделим обе части уравнения на произведение НВ: J (r)H Н" В В" Л Это позволяет разделить переменные и выписать отдельно два уравнения: V Я" + —Я - ЛЯ = 0 (3.32) В" + ctg/3B + ЛЯ = 0. (3.33) Начнем изложение решения со второго уравнения (3.33). Для этого произведем замену переменной ( = cos/З, тогда: в(Р) = у(С), , (Ш dyd( , d2B . dy , . dy d( = y"sm2p-y ( = y"(l-(2 ) -y ( Отсюда следует, что уравнение (3.33) можно переписать в следующем виде: у" (С2 - 1 ) + 2уХ -Ху = 0. (3.34) Представив параметр Л в виде: A = z/(z/ + l), (3.35) мы получим известное дифференциальное уравнение Лежандра [41]: у" (С2-1 ) +2 - + 1) 2/ = 0, (3.36) в котором параметр v может быть любым комплексным числом.Это уравнение имеет следующие два линейно независимых решения: п (п - г(/ + 1)г1, -1F (ї+1 ї±1.ї± .1\ (3 37) WU 2-+1r(z/ + 32 ) V 2 2 2 C2 где F — гипергеометрическая функция, Г - гамма-функция.

Функции Pj/(C) и Qv(C,) (3.37) называются функциями Лежандра 1-го и 2-го рода. Если v не равно целому числу, то в точках ( = — 1 и = оо функция Pv{(,) имеет особенности; если же v целое и больше нуля V = п, п 0, п Є Z, то функция Pj/(C) обращается в полином Лежандра Рп(С) і ПРИ целом отрицательном v обращается в P_n_1().

Структура генератора заряда. Безмассовость фотона

В данной главе рассматриваются лептоны и барионы с математической точки зрения как сотояния, принадлежащие многообразиям S2 и 5 3 в восьмис-пинорном пространстве. Для этого решается задача поиска групп симметрии, отвечающих различным фазам. Несмотря на кажущуюся простоту вычислений, это не было реализовано предшественниками. Далее, для определения вакуумного состояния на найденные группы симметрии накладывается дополнительное условие - требования совпадения одной компоненты. Это сужает наш поиск до двух групп симметрии - по одной на каждый сектор.

По аналогии с тождеством Фирца (1.5), представим сумму произведений тока j jV1 + j jV1 из тождества Бриоски (1.4) как квадрат величины А: jMjM+jM? = A2, где величина А явно выражается через биспиноры следующим образом: А2 = №){?) -\ Р+\2{х+х){Щ-\х+е\ 0. Это позволяет переписать тождество Бриоски (1.4) в следующем виде: 2ІмІМ = s2+p2 + lt2 + 32 + А2. (2.1) Отсюда следует, что граничное условие (1.7) определяет фиксированную (вакуум) точку на поверхности S% [29]. Используя (1.7) и хорошо известное свойство гомотопических групп сфер: 7T (Sn) = 0, п 4, приходим к выводу о том, что только две фазы с нетривиальным топологическим зарядом могут существовать в рассматриваемой модели. Первая фаза соответствует TT (S ) = Z (модель Скирма), а вторая - TT (S2) = Z (модель Фаддеева).

В работах [30; 31] было сделано предположение, что вакуумное состояние фу может быть определено условием з{фу) т 0. Это позволяет использовать инвариант s + а , определяющий сферу S , соответствующую модели Скирма. И наоборот, если только (Vv) 7 0, тогда 5 0(3)-инвариант v 2 определяет сферу S2, что соответствует модели Фаддеева. Однако при таком подходе трудно учесть универсальность вакуума, т.е. условие того, чтобы фазы были независимы и обладали общим состоянием - вакуумом.

Для решения этой проблемы вначале было предложено рассматривать 16-спинорное поле [6; 7]:

В результате получается, что 16-спинорный ток складывается из двух 8-спинорных токов, каждый из которых времениподобный. Это удается показать с помощью тождества Бриоски (1.4). Поэтому для 16-компонентного спинора вакуум определяется той же самой формулой Бриоски, так как вакуум есть восьмиспинор. Отсюда следует, что структура квадрата тока в вакууме получается в точности такой же, как и у Бриоски - сумма восьми квадратов, каждый из которых можно интерпретировать либо как скаляр в квадрате, либо как псевдоскаляр в квадрате, либо как вектор в квадрате, либо как псевдовектор в квадрате. Этот важный результат позволяет произвести классификацию состояний по топологическому заряду, т.е. выделить лептонный и барионный секторы.

Однако этот путь для нас не является привлекательным, так как не существует аналога тождества Бриоски (1.4) в 16-спинорном пространстве, что ведет к громоздким вычислениям. Из-за этого вернемся в "родное"8-спинорное пространство и попытаемся найти группу 5 7(2), которая сохраняет спинорные величины, соответствующие барионному и лептонному секторам, и при этом соблюдается универсальность вакуума.

Для этого будем использовать матрицу преобразования: и ( -ь- „) (2 2) которая удовлетворяет требованию принадлежности к группе SU(2) - унитарности, т.е. условию U+U = UU+ = I. Эта матрица (2.2) будет действовать на поле 2-спиноров. Для нахождения групп инвариантности составляются все возможные пары из компонент 8-спинора (1.2) (fi,Xii@ и эрмитово-сопряженных к ним величин (+, Х+, +, @+- Суть вычисления сводится к тому, чтобы найти матрицы преобразования U (2.2) между этими парами, которые сохраняют сферы S2 (лептоны) и 5 3 (барионы).

В приложении А представлены расчёты для различных групп инвариантности. Выпишем для примера случаи бариона 2.3 и лептона 1.2. В следующем разделе читатель поймет, почему именно эти два случая вынесены на обозрение.