САМОСОГЛАСОВАННАЯ ДВУХЗОННАЯ МОДЕЛЬ СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Суслов Яков Александрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Обзор моделей свободноконвективного турбулентного пограничного слоя и экспериментальныхданных 15

1.1 Асимптотическая теория пограничного слоя С.С. Кутателадзе и ее развитие 15

1.2 Теория пограничного слоя Джорджа - Кэппа на основе анализа размерностей и ее развитие 18

1.3 Интегральный метод исследования структуры свободноконвективного турбулентного пограничного слоя 23

1.4 Анализ современных экспериментальных исследований свободноконвективного турбулентного пограничного слоя 28

1.5 Анализ результатов прямого численного моделирования свободноконвективного турбулентного пограничного слоя 34

1.6 Выводы по главе 1 36

Глава 2. Двухзонная самосогласованная модель свободноконвективного турбулентного пограничного слоя 37

2.1 Применение модели турбулентности - для описания течения в пристеночной области 37

2.2 Условия сопряжения пристеночной области с основной частью пограничного слоя и оценка влияния температурной стратификации на внешней границе пограничного слоя на формулировки граничных условий 42

2.3 Модель турбулентности при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии пульсаций и ее применение для описания течения в основной части пограничного слоя 44

2.4 Анализ полученных результатов и сопоставление с экспериментальными данными. 48

2.5 Выводы по главе 2 49

Глава 3. Реализация приближенного метода расчета свободноконвективного турбулентного пограничного слоя в рамках двухзонной самосогласованной модели 51

3.1 Выбор профилирующих функций для вертикальной скорости и избыточной температуры з

3.2 Структура приближения в основной части пограничного слоя и в пристеночной области 52

3.3 Применение приближенного метода для расчета свободноконвективного турбулентного пограничного слоя при больших числах Грасгофа. 56

3.4 Анализ полученных результатов и сопоставление с экспериментальными данными 62

3.5 Выводы по главе 3 70

Заключение 71

Список литературы 73

• Теория пограничного слоя Джорджа - Кэппа на основе анализа размерностей и ее развитие
• Анализ результатов прямого численного моделирования свободноконвективного турбулентного пограничного слоя
• Модель турбулентности при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии пульсаций и ее применение для описания течения в основной части пограничного слоя
• Структура приближения в основной части пограничного слоя и в пристеночной области

Введение к работе

Актуальность темы

В конце XX века и в начале XXI века исследователи значительно продвинулись в понимании природы турбулентности и в создании ее моделей. Последние гипотезы и экспериментальные исследование привели к созданию модели турбулентности при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии турбулентности, которую стало возможным применять для основной части свободноконвективного турбулентного пограничного слоя.

В результате современных экспериментальных исследований структуры свободноконвективного турбулентного пограничного слоя получил подтверждение теоретически предсказанный закон «—1/3» для зависимости температуры от расстояния до стенки внутри основной части пограничного слоя. Однако, в отличие от результатов работы [1], для скорости аналогичный закон оказался несправедливым, что говорит о вероятно более сложной форме зависимости скорости от расстояния до стенки.

Другой важный результат, вытекающий из современных экспериментальных работ, заключается в построении зависимости от расстояния турбулентных напряжений трения в пристеночной области свободноконвективного турбулентного пограничного слоя. Благодаря повышению точности измерений удалось показать, что соответствующая функциональная зависимость для напряжения трения имеет точку перегиба вблизи границы пристеночной области.

Следует заметить, что к настоящему времени в результате исследований характеристик теплообмена свободноконвективных турбулентных пограничных слоев накопилось большое количество эмпирических формул, выражающих связь между числами Нуссельдта и Грасгофа, а также плотностью теплового потока и температурой на твердой границе с учетом физических свойств жидкости. Значительная часть из них до сих пор не получила теоретического объяснения.

Одна из возможных попыток решения накопившихся проблем состоит в построении замкнутой модели свободконвективного турбулентного слоя с использованием последних наработок в области применения моделей турбулентности и привлечением современных экспериментальных данных для проверки модели. В работах российских физиков С.С. Кутателадзе, А.Г Кирдяшкина, В.П Иванкина и др. была предложена модель [2-6], суть которой заключается в двухзонном представлении свободноконвективного турбулентного пограничного слоя. Эти идеи в конце 70-х и начале 80-х годов двадцатого века получили развитие в виде теоретических работ С. Кэппа и В. Джорджа [1] и [7-8]. В данных работах с использованием теории размерности было получено качественное описание основных характеристик течения в пристеночной области (закон стенки), на внешней границе пограничного слоя (закон дефекта скорости) и в динамическом слое выталкивающей силы (закон «-1/3»). Тем не менее для количественного описания свободноконвективного турбулентного пограничного слоя полученные результаты подходили плохо. Это было обусловлено отсутствием моделей турбулентности, применимых для свободной конвекции. В течение последних лет появились модели турбулентности, применимые для свободной конвекции, в том числе в динамическом слое выталкивающей силы.

В работе [9] показано, что модель турбулентности для вторых моментов пульсаций скорости и температуры при больших числах Ричардсона в алгебраическом приближении хорошо объясняет экспериментальные данные и применима для описания вклада турбулентных

составляющих в свободноконвективных течениях при больших значениях числа Грасгофа. В отличие от традиционных моделей, в данной работе было корректно учтено влияние термогравитационных сил на генерацию кинетической энергии турбулентности. В рамках данного подхода была объяснена полученная экспериментально степенная зависимость числа Нуссельдта от числа Грасгофа при показателе степени 1/3 для преставления с использованием температуры и 1/4 для преставления с использованием плотности теплового потока.

Важнейшей проблемой построения теоретической модели свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, пригодной для количественного описания, является корректное использование моделей турбулентности в пристеночной области и замыкание уравнений основной части пограничного слоя с уравнениями, действующими в пристеночной области. Суть данной проблемы состоит в том, что в основной части пограничного слоя и в пристеночной области действуют различные механизмы, определяющие структуру течения, а также - в необходимости корректного учета турбулентных напряжений трения на стенке.

Для качественного описания пристеночной области в современной теории

свободноконвективного турбулентного пограничного слоя используется гипотеза

квазиламинарного вязкого подслоя [1-8, 10], в рамках которой отбрасываются пульсационные составляющие и субстанциональные производные в уравнениях движения и переноса энергии. Однако данный подход противоречит экспериментальным данным [11-15], согласно которым максимум интенсивности турбулентных пульсаций находится вблизи внешней границы пристеночной области, а внутри пристеночной области интенсивность турбулентных пульсаций имеет тот же порядок, что и в динамическом слое выталкивающей силы.

Развитие современной теории требует использования, новых, более точных методов приближения уравнений свободноконвективного турбулентного слоя в основной части, вместо использования приближенных уравнений на основе теории размерностей. Одним из таких подходов может стать использование теории возмущений, вместе с применением модели турбулентности, справедливой при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии турбулентности, так как [7] показано, что поля скорости и температуры зависят от малого параметра, который представляет собой обратное отношение толщин пограничного слоя и его пристеночной области.

В практических задачах наибольшую трудность представляет собой определение полей скорости и температуры внутри свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, а также коэффициента теплообмена между стенкой и жидкостью в условиях развитой турбулентности. Существует несколько подходов к решению данной задачи – прямое численное моделирование уравнений Навье – Стокса, решение осредненных уравнений Навье -Стокса с использованием специальных моделей турбулентности для определения вклада пульсаций в осредненное движение и интегральные методы расчета, основанные на использовании приближенных данных о форме профилей вертикальной скорости и избыточной температуры.

При использовании прямого численного моделирования достигается наибольшая точность расчета [15], однако, чтобы корректно проводить расчеты этим способом требуется использовать очень маленькие шаги по времени и пространству, что сильно повышает требования к вычислительным мощностям и затрудняет использование прямого численного моделирования в практических задачах.

Для использования осредненных уравнений необходимо иметь аналитические выражения для членов, характеризующих вклад турбулентных пульсаций в средние характеристики течения. Для расчета вклада турбулентных пульсаций используют специальные модели турбулентности,

которые позволяют вычислить вклад турбулентных пульсаций в трение и плотность теплового потока. Наибольшую сложность при данном подходе представляет подбор правильной модели турбулентности применительно к свободной конвекции.

При всей своей простоте, использование интегральных методов сопряжено со значительным снижением точности, по сравнению с прямым численным моделированием или решением осредненных уравнений с использованием моделей турбулентности. Это связано с приближенным определением профилей вертикальной скорости и температуры, а также с использованием моделей турбулентности или эмпирических формул для определения трения и плотности теплового потока на твердой стенке. С другой стороны, при достаточно точном подборе профилей, погрешность интегральных методов сильно снижается.

Так как современная теория свободноконвективного турбулентного пограничного слоя основана на двухзонном представлении, то в настоящей работе данное представление развивается с использованием модели турбулентности, справедливой при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии турбулентности и методов теории возмущений. В основе лежит самосогласованная двухзонная модель свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, описанная в работах [7] и [8], а также модель турбулентности для вторых моментов пульсаций скорости и температуры при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии пульсаций в алгебраическом приближении, описанная в работе [9].

Цель работы

Целью работы является в создание двухзонной самосогласованной модели свободноконвективного турбулентного пограничного слоя около вертикальной нагретой пластины с температурной стратификацией на внешней границе с помощью применения модели турбулентности для вторых моментов пульсаций скорости и температуры при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии турбулентности, учитывающей взаимодействие основной части пограничного слоя с пристеночной областью и в построении приближенного метода расчета полей скорости и температуры внутри данных пограничных слоев.

Научная новизна

Научная новизна результатов работ определяется тем, что в ней:

Исследована структура течения в пристеночной области, показано, что в данной области осредненные уравнения эквивалентны случаю вынужденного турбулентного пограничного слоя, с использованием модели турбулентности к — со получены уравнения, описывающие профилирующие функции вертикальной скорости и температуры в пристеночной области.

Выведены условия сопряжения на границе основной части пограничного слоя и пристеночной области, а также исследовано влияние температурной стратификации на внешней границе на течение в основной части пограничного слоя.

Для основной части пограничного слоя, с помощью применения модели турбулентности для вторых моментов пульсаций при больших числах Ричардсона были получены уравнения, описывающие профилирующие функции для вертикальной скорости и температуры.

Проведено исследование уравнений, описывающих пристеночную область и основную часть пограничного слоя, с помощью теории возмущений, в результате чего получены асимптотические зависимости для полей скорости и температуры

Предложен приближенный метод расчета полей скорости и температуры внутри свободноконвективного турбулентного пограничного слоя с помощью использования асимптотик профилирующих функций вертикальной скорости и температуры, а также условий сопряжения пристеночной области с основной частью пограничного слоя.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты позволяют уточнить внутреннюю структуру свободноконвективного турбулентного пограничного слоя и получить в явном виде профилирующие функции для вертикальной скорости и температуры во всей толщине пограничного слоя, существование которых было впервые доказано в работах [6-8]. Применение модели турбулентности для вторых моментов пульсаций при больших числах Ричардсона позволило получить аналитические выражения для турбулентных напряжений трения и плотности теплового потока в пристеночной области и на самой стенке, что в свою очередь позволяет решить задачу о корректной постановке граничных условий на стенке при турбулентной свободной конвекции. Найденные условия сопряжения основной части пограничного слоя с пристеночной областью позволяют уточнить механизмы взаимовлияния пристеночной области и динамического слоя выталкивающей силы. Результаты анализа влияния температурной стратификации на внешней границе на течение внутри пограничного слоя может быть использованы для решения полной задачи турбулентной свободной конвекции в замкнутом объеме, где пограничный слой сопрягается с уравнениями, описывающими ядро, в котором турбулентность менее развита, либо отсутствует за счет существенно меньших местных перепадов (градиентов) температуры, чем в пограничном слое

Практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты могут быть использованы в высших учебных заведениях и научных центрах, занимающихся научными исследованиями в области турбулентности и свободной конвекции. В рамках данной работы был реализован приближенный метод расчета полей скорости и температуры, позволяющий свести общую задачу о свободноконвективном турбулентном пограничном слое к задаче об изменении условий сопряжения на границе пристеночной области и основной части пограничного слоя при изменении вертикальной координаты, что в большинстве практических расчетов сводится к нахождению решения системы нелинейных ОДУ второго порядка. Также научно-методические идеи работы могут быть использованы при разработке научно-образовательных курсов, для подготовки кадров высшей квалификации.

Положения, выносимые на защиту

1. Рассмотрены особенности свободноконвективного турбулентного слоя вблизи твердой границы и в основной части. Путем анализа критериев подобия, показано, что вблизи стенки преобладают вязкие силы, в то время как в основной части доминируют конвективные силы. Предложена формула для оценки толщины области, в которой преобладают вязкие силы, полученная на основе анализа критериев подобия.

2. Путем применения двух различных моделей турбулентности для пристеночной области и основной части свободноконвективного турбулентного пограничного слоя построена двухзонная самосогласованная модель. Осуществлен вывод уравнений для профилирующих функций вертикальной скорости и избыточной температуры в

пристеночной области и основной части пограничного слоя с учетом температурной стратификации на внешней границе, получены условия их сопряжения.

3. На основе анализа уравнений профилирующих функций вертикальной скорости и избыточной температуры рассмотрена их асимптотика, как в пристеночной области, так и в основной части пограничного слоя. На основе данных асимптотик предложен приближенный метод расчета полей скорости и температуры, в рамках данного метода получено аналитическое решение соответствующей системы уравнений для случая с однородным тепловым потоком на твердой границе при больших числах Грасгофа.

4. В рамках применения приближенного метода, показано, что при больших числах Грасгофа наблюдается эквивалентность задания однородных граничных условий первого и второго рода на твердой границе, а также получена аналитическая формула, связывающая температуру стенки и плотность теплового потока. На основе найденного аналитического решения, предложены формулы, выражающие зависимость вертикальной компоненты скорости и избыточной температуры от поперечной и продольной координаты, которые обобщают и уточняют ряд известных результатов.

Достоверность научных результатов

Достоверность полученных результатов основывается на применении строгих математических методов современной теории турбулентности, статистической физики, гидродинамики, теории дифференциальных уравнений, теории возмущений и математической физики. Полученные уравнения проверены с помощью предельных переходов и сопоставления с экспериментальными данными. Достоверность результатов подтверждается совпадениями с выводами современной теории турбулентности и свободной конвекции о поведении и структуре полей скорости и температуры внутри пограничного слоя.

Личный вклад

Основные результаты, приведённые в диссертации, получены лично автором и обсуждены с научным руководителем, доктором физико-математических наук, заведующим кафедрой теоретической физики и механики Российского университета дружбы народов, профессором Рыбаковым Ю.П., которому принадлежит основная формулировка задачи исследования.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы были представлены на следующих конференциях:

Шестая Российская Национальная конференция по тепло-массообмену (РНКТ-6), секция «Свободная конвекция», НИЦ Московский Энергетический Институт, Москва, 2014.

L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, секция «Теоретическая физика», Российский университет дружбы народов, г. Москва, 2014.

LI Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, секция «Теоретическая физика», Российский университет дружбы народов, г. Москва, 2015.

Результаты работы были отражены в отчётах по проекту 13-08-00277 «Теоретическое исследование влияния естественной конвекции на нестационарные температурные поля в замкнутых объемах при комбинированном подводе тепла» под эгидой РФФИ.

Публикации

Основные результаты диссертации представлены в 7 работах, 3 из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 63 наименований. Объем диссертации - 77 страниц.

Теория пограничного слоя Джорджа - Кэппа на основе анализа размерностей и ее развитие

Экспериментальные исследования свободноконвективного турбулентного пограничного слоя ведутся уже долгое время. Одними из первых работ, в которых исследовались свойства свободной конвекции около вертикальной нагретой пластины, были исследования Гриффитса, Дэвиса и Саундерса [30, 31], которые исследовали свободную конвекцию при больших числах Рэлея (Да 1010). В результате этих исследований была получена формула: Nux = 0.17Ra3x (1.4.1)

В работах Влита и Лайю [32], которые были опубликованные в 1969 году были описаны результаты экспериментов, проведенных на воде в широком диапазоне разностей температур стенки и жидкости. Аналогичную серию экспериментов провел Б. Гебхарт идр. [34-36]. Основными результатами данных работ является получение формулы для числа Нуссельдта, которая обобщает (1.4.1), а также профилей вертикальной скорости и температуры: Nux = O.S6SRax22 (1.4.2) і з г_7ет # L_ + Л(Рг) (1.4.3) а3 а2 Х Аи2 Х (l- 10 (1.4.3) W xV+io Wmax \S 8 В дальнейшем Р. Чизрайт, Е. Ирикипиотукс и др., [37] провели серию экспериментов на воздухе, которые получили следующую формулу для воздушной среды: = 0.17 14 (1.4.4) С 1982 по 1994 годы, Миямото и др., [43] опубликовали результаты серии экспериментальных исследований турбулентной свободной конвекции около вертикальной нагретой пластины. Аналогичные исследования в то же время проводили Р. Смит [38], Т. Тсуи и И. Нагано [39-41]. Данные исследований указанных авторов практически совпадают. Основным результатом данных исследований являются экспериментальные зависимости интенсивностей пульсаций от поперечной координаты для избыточной температуры и вертикальной скорости. Было получено, что максимум пульсаций температуры достигается на расстоянии приблизительно 4 мм от стенки. Из этих результатов следует, что пульсационные составляющие играют огромную роль в динамике пристеночной области. В связи с этим встает вопрос о корректности пренебрежения турбулентными составляющими в уравнениях (1.1.1) – (1.1.2) и (1.2.1) – (1.2.2). В 1982 году М. Миямото и др. [43-44] опубликовали исследования пульсаций вертикальной скорости в свободно конвективном турбулентном пограничном слое. Согласно этим данным максимум пульсаций скорости находился на большом расстоянии от стенки, однако последующие [49] эксперименты показали, что максимум пульсаций скорости также находится вблизи стенки на расстоянии примерно 5 мм. Таким образом, пульсационная составляющая напряжений трения в пристеночной области играет важную роль в соответствующих уравнениях.

В работах [41] и [45-46] исследуются профили турбулентных напряжений трения и турбулентного теплового потока поперек пограничного слоя. Из результатов этих работ следует, что профиль турбулентных напряжений трения в пристеночной области близок к константе, которая равна значения напряжений трения на стенке.

В течении последних 20 лет экспериментальными исследованиями свободноконвективного турбулентного пограничного слоя активно занимались в Санкт Петербургском Государственном Университете на кафедре гидродинамики. В работах [47-51], которые проводились Ю.С. Чумаковым и др., проведено детальное исследование свободноконвективного пограничного слоя в воздушной среде. В результате данных исследований удалось значительно уточнить результаты работ [41-46] за счет применения современных методик проведения эксперимента. Были получены следующие профили скорости и температуры для турбулентной свободной конвекции вблизи вертикальной нагретой пластины на воздухе: Здесь использованы обозначения: f/ = w/gBATz) 2 , Т = , х = у Grz/z,y - расстояние от стенки по нормали, 1 - Grz = 4.3 1010, 2 - Grz = 9.1 1010, 3 - Grz = 2.0 1011, 4- Grz = 2.2 1010 и 5 - Grz = 9.9 1010. Использовались данные работы [49]. Как видно из рис. 1.4.1, профили вертикальной скорости имеют сильные градиенты в пристеночной области. Отсюда следует, что производные—и —в дх дх пристеночной области принимает большие значения, причем скорость изменяется сильнее чем температура. Еще одним важным результатом работы [49], является то, что формула (1.2.23) подтверждается на достаточно большом участке - более 10 мм, однако формула (1.2.22) верна лишь на участке длиной менее 2мм, что говорит о том, что она плохо описывает реальный профиль скорости в пограничном слое. Обе формулы начинают работать на расстояниях более 2 мм от стенки.

Другим важным выводом данной серии работ [47-51] стало подтверждение закона стенки (1.2.16) и (1.2.18) на расстояниях порядка 1мм от стенки, следовательно, данные формулы можно использовать для оценки скорости в пристеночной области.

В результате ряда экспериментальных работ были получены следующие профили интенсивности пульсаций температуры: Рис. 1.4.2

Здесь использованы обозначения: х = у Nuz/z, у - расстояние от стенки по нормали, It - интенсивность пульсаций температуры, 1 –Grz = 2.70 1010, по данным [49], 2 - Grz = 3.95 1011,по данным [49], 3 - Grz = 1.21 1011,по данным [43], 4 - Grz = 8.44 1010,по данным [40], 5 - Grz = 6.90 1010,- по данным [38], 6 - Grz = 6.52 1010,по данным [44]. Использовались данные работы [49]. Из рис. 1.4.2 следует, что It достигает максимума на расстоянии примерно 4 мм от стенки (х 0.7), откуда следует, что влияние пульсационной составляющей начинается на очень небольших расстояниях от стенки. Ниже приведены графики интенсивности пульсаций вертикальной и нормальной скоростей на основе ряда экспериментальных исследований:

Анализ результатов прямого численного моделирования свободноконвективного турбулентного пограничного слоя

Формулы (3.3.7) - (3.3.14) показывают, что в турбулентном пограничном слое с большим поперечным числом Грасгофа при постоянном тепловом потоке на стенке быстро растет вертикальная скорость течения, при этом толщина пограничного слоя и избыточная температура стенки растут медленно.

Следует заметить, что формула (3.3.11) находится в согласии с предположениями С.С. Кутателадзе о линейной зависимости толщины пограничного слоя от вертикальной координаты.

Применив формулы (3.3.7) - (3.3.12) к отношению щ 8 и поперечному числу Грасгофа, можно получить следующие зависимости: z-1 (3.3.14) Grs z4 (3.3.15)

Таким образом, для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя вблизи вертикальной поверхности с постоянным тепловым потоком,приближениеСг5 - ооактуально с ростом длины пластины, и наоборот на вертикальных пластинах небольшой длины следует отказаться от данного приближения.

Также следует заметить, что в рамках рассматриваемых приближенных уравнений существует прямое соответствие Grs и Grz, то есть Grs = К(Рг) X Grz, где К - постоянная, зависящая от числа Прандтля.

Из формул (3.3.11) - (3.3.14) следует, что наибольший рост по вертикальной координате получает толщина пограничного слоя.

С учетом формулы (3.3.6) константу С можно найти из уравнения (3.3.5): С = 3 4 (д$а)14?гг (3.3.16) рСр Таким образом, поле температур внутри пограничного слоя в приближении Grs - оо имеет вид: Т-ТО0 = 4 (двау4 X 3РА Ї3 - 3 - 1 (3.3.17) рср 8 8 Формула (3.2.19), как видно из ее структуры, является частным случаем формулы (1.2.19), в котором функция/21 имеет следующий вид: f -,Рг = 3Рг2 () 3 - 3 - 1 « 3Рг2 - 3 (3.3.18) J21ri \Г W r} Константы А иВопределяются из уравнений (3.3.3) - (3.3.6) с учетом формулы (3.3.16): 0.516АВ17 = = (i f84 (3.3.19) VPr Xv2 0.0523Л2Б12 31 = 3 2SE3f84 (3.3.20) 2 Xv2 В результате решения данной системы, можно получить следующие значения констант: А = 1.53Рг11 34и 84 (3.3.21) В = 43 (3.3.22) Отсюда следует, что скорость внутри пограничного слоя в приближении Grs - оо с учетом формул (3.3.6), (3.3.7), (3.3.8) и (3.3.22) задается формулой: 1 1 w = 1.53 4 Рг7 21 (1 -)4 (3.3.23) рср У]7 S Выражение (3.3.23) является частным случаем формул (1.2.16) и (1.2.18), где функция 1 задается выражением: /11 = 1.53Pr7 34 21 (1 -)4 (3.3.24) Формулу (3.3.24) с учетом (3.3.8), (3.3.11) и (3.3.24) можно также записать в виде: 4 1 /11 = 1.45Рг2 -21 [-7 (1 - )4 (3.3.25) В области г] «х «S решение уравнений пограничного слоя для вертикальной скорости в виде (3.3.23) отличается от предложенной на основе теории размерностей формулы (1.2.22), однако если ввести новую координату х по формуле = 7 34, то характер зависимости от будет аналогичен формуле (1.2.22): 1 = 1.53 4 170 3 (1 - )4 (3.3.26) Следует заметить, что зависимость поля вертикальной скорости в виде (3.3.26) не представляется возможным получить из соображений теории размерностей.Формула (3.3.26) показывает также существенную неавтомодельность профиля вертикальной скорости ввиду изменения в зависимости от вертикальной координаты .Для поля избыточной температуры решение уравнений пограничного слоя в виде (3.3.19) аналогично формуле (1.2.23) и является ее прямым обобщением.

Данные выражения полностью аналогичны формулам (1.1.23) и (1.1.24), однако постоянные/ и /С2здесь заданы в аналитическом виде.

Анализ решения системы уравнений (3.3.3) - (3.3.6),показывает, что оно обобщает основные результаты работ [16-20]. Из решений уравнений (3.3.3) -(3.3.6) следует закон стенки и закон дефекта скорости для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, асимптотика профилей скорости и избыточной температуры в области г] «х « S и характер зависимости максимальной скорости от вертикальной координаты. Анализ решений системы (3.3.3) - (3.3.6) позволил обобщить выводы [1-8] путем нахождения аналитической зависимости/ и /С2для течения во внешней части пограничного слоя. Из решения системы (3.3.3) - (3.3.6) для вертикальной скорости следует существенное уточнение характера асимптотики профиля скорости в области г] « х « 8, в том числе внутри динамического подслоя выталкивающей силы. Из анализа структуры решения системы (3.3.3) - (3.3.6) следует, что поперечное число Грасгофа Gr$, задающее отношение толщины пограничного слоя к толщине вынужденного вязкого подслоя, является фундаментальным безразмерным комплексом для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя.

В выбранном приближениит7/5 « 0, что физически означает пренебрежение зависимостяминапряжений трения и теплового потока в пристеночной области, так как ее толщина становится пренебрежимо мала по сравнению с общей толщиной пограничного слоя.

Для проверки полученных результатов были проведены расчеты в условиях ряда экспериментов [32, 36, 49], в которых измерялись поля скорости и температуры внутри свободноконвективного турбулентного пограничного слоя при различных числах Грасгофа, Прандтля. В работах [32] и [36] исследовался свободноконвективный турбулентный пограничный слой в воде при Гоо 25 - 300С. Числа Грасгофа в данных экспериментах имели порядок 1013 - 1015.В работе [32] наиболее полно представлены эксперименты V5 и V9. В эксперименте V5 плотность теплового потока на пластине составляла 19497 Вт/м2, в эксперименте V9 - 28661 Вт/м2. Из статьи [9] для сравнения с результатами расчета был взят эксперимент с тепловым потоком 4488 Вт/м2, как наилучшим образом описывающий область развитой турбулентности. В работе [49] проводились исследования свободной конвекции около вертикальной нагретой пластины с однородной температурой на воздухе, при этом числа Грасгофа достигали величин 1010 - 1011. Температура на внешней границе пограничного слоя была однородной 250С.

Модель турбулентности при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии пульсаций и ее применение для описания течения в основной части пограничного слоя

Формулы (3.3.7) - (3.3.14) показывают, что в турбулентном пограничном слое с большим поперечным числом Грасгофа при постоянном тепловом потоке на стенке быстро растет вертикальная скорость течения, при этом толщина пограничного слоя и избыточная температура стенки растут медленно.

Следует заметить, что формула (3.3.11) находится в согласии с предположениями С.С. Кутателадзе о линейной зависимости толщины пограничного слоя от вертикальной координаты.

Применив формулы (3.3.7) - (3.3.12) к отношению щ 8 и поперечному числу Грасгофа, можно получить следующие зависимости: z-1 (3.3.14) Grs z4 (3.3.15) Таким образом, для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя вблизи вертикальной поверхности с постоянным тепловым потоком,приближениеСг5 - ооактуально с ростом длины пластины, и наоборот на вертикальных пластинах небольшой длины следует отказаться от данного приближения.

Также следует заметить, что в рамках рассматриваемых приближенных уравнений существует прямое соответствие Grs и Grz, то есть Grs = К(Рг) X Grz, где К - постоянная, зависящая от числа Прандтля.

Из формул (3.3.11) - (3.3.14) следует, что наибольший рост по вертикальной координате получает толщина пограничного слоя. С учетом формулы (3.3.6) константу С можно найти из уравнения (3.3.5): С = 3 4 (д$а)14?гг (3.3.16) рСр Таким образом, поле температур внутри пограничного слоя в приближении Grs - оо имеет вид: Т-ТО0 = 4 (двау4 X 3РА Ї3 - 3 - 1 (3.3.17) рср 8 8 Формула (3.2.19), как видно из ее структуры, является частным случаем формулы (1.2.19), в котором функция/21 имеет следующий вид: f -,Рг = 3Рг2 () 3 - 3 - 1 « 3Рг2 - 3 (3.3.18) J21ri \Г W r} Константы А иВопределяются из уравнений (3.3.3) - (3.3.6) с учетом формулы (3.3.16): 0.516АВ17 = = (i f84 (3.3.19) VPr Xv2 0.0523Л2Б12 31 = 3 2SE3f84 (3.3.20) 2 Xv2 В результате решения данной системы, можно получить следующие значения констант: А = 1.53Рг11 34и 84 (3.3.21) В = 43 (3.3.22) Отсюда следует, что скорость внутри пограничного слоя в приближении Grs - оо с учетом формул (3.3.6), (3.3.7), (3.3.8) и (3.3.22) задается формулой: 1 1 w = 1.53 4 Рг7 21 (1 -)4 (3.3.23) рср У]7 S Выражение (3.3.23) является частным случаем формул (1.2.16) и (1.2.18), где функция 1 задается выражением: /11 = 1.53Pr7 34 21 (1 -)4 (3.3.24) Формулу (3.3.24) с учетом (3.3.8), (3.3.11) и (3.3.24) можно также записать в виде: 4 1 /11 = 1.45Рг2 -21 [-7 (1 - )4 (3.3.25) В области г] «х «S решение уравнений пограничного слоя для вертикальной скорости в виде (3.3.23) отличается от предложенной на основе теории размерностей формулы (1.2.22), однако если ввести новую координату х по формуле = 7 34, то характер зависимости от будет аналогичен формуле (1.2.22): 1 = 1.53 4 170 3 (1 - )4 (3.3.26) Следует заметить, что зависимость поля вертикальной скорости в виде (3.3.26) не представляется возможным получить из соображений теории размерностей.Формула (3.3.26) показывает также существенную неавтомодельность профиля вертикальной скорости ввиду изменения в зависимости от вертикальной координаты .Для поля избыточной температуры решение уравнений пограничного слоя в виде (3.3.19) аналогично формуле (1.2.23) и является ее прямым обобщением.

Данные выражения полностью аналогичны формулам (1.1.23) и (1.1.24), однако постоянные/ и /С2здесь заданы в аналитическом виде. Анализ решения системы уравнений (3.3.3) - (3.3.6),показывает, что оно обобщает основные результаты работ [16-20]. Из решений уравнений (3.3.3) -(3.3.6) следует закон стенки и закон дефекта скорости для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя, асимптотика профилей скорости и избыточной температуры в области г] «х « S и характер зависимости максимальной скорости от вертикальной координаты. Анализ решений системы (3.3.3) - (3.3.6) позволил обобщить выводы [1-8] путем нахождения аналитической зависимости/ и /С2для течения во внешней части пограничного слоя. Из решения системы (3.3.3) - (3.3.6) для вертикальной скорости следует существенное уточнение характера асимптотики профиля скорости в области г] « х « 8, в том числе внутри динамического подслоя выталкивающей силы. Из анализа структуры решения системы (3.3.3) - (3.3.6) следует, что поперечное число Грасгофа Gr$, задающее отношение толщины пограничного слоя к толщине вынужденного вязкого подслоя, является фундаментальным безразмерным комплексом для свободноконвективного турбулентного пограничного слоя. В выбранном приближениит7/5 « 0, что физически означает пренебрежение зависимостяминапряжений трения и теплового потока в пристеночной области, так как ее толщина становится пренебрежимо мала по сравнению с общей толщиной пограничного слоя. Уравнения (3.2.22) следующий вид: (3.2.24) в рамках сделанных допущений примут і — = и Рг3 дх дрх (3.3.36) — = pW -дх И \r) и 7х

Для проверки полученных результатов были проведены расчеты в условиях ряда экспериментов [32, 36, 49], в которых измерялись поля скорости и температуры внутри свободноконвективного турбулентного пограничного слоя при различных числах Грасгофа, Прандтля. В работах [32] и [36] исследовался свободноконвективный турбулентный пограничный слой в воде при Гоо 25 - 300С. Числа Грасгофа в данных экспериментах имели порядок 1013 - 1015.В работе [32] наиболее полно представлены эксперименты V5 и V9. В эксперименте V5 плотность теплового потока на пластине составляла 19497 Вт/м2, в эксперименте V9 - 28661 Вт/м2. Из статьи [9] для сравнения с результатами расчета был взят эксперимент с тепловым потоком 4488 Вт/м2, как наилучшим образом описывающий область развитой турбулентности. В работе [49] проводились исследования свободной конвекции около вертикальной нагретой пластины с однородной температурой на воздухе, при этом числа Грасгофа достигали величин 1010 - 1011. Температура на внешней границе пограничного слоя была однородной 250С. Для сопоставления с результатами экспериментов V5 и V9 использовались расчетные профили вертикальной скорости и температуры, а также избыточная температура стенки. На рис. 3.3.1 –3.3.3 приведены результаты эксперимента V5 и результаты расчетов, проведенных для условий этого эксперимента. Как видно из графиков, расчетные данные в высоко точностью совпадают с результатами экспериментов. Средняя погрешность составляет не более 10%. Для расчета течения использовалась система уравнений (3.2.19) – (3.2.21).

Модель турбулентности при преобладании термогравитационных механизмов генерации кинетической энергии пульсаций и ее применение для описания течения в основной части пограничного слоя

Данный подход был впервые применен Като в работе [22].Система (1.3.3) – (1.3.5),в общем случае, решается совместно с (1.3.14), (1.3.14)и (1.3.16) – (1.3.18), однако в ряде задач, на основе анализа асимптотик полей скорости и температуры, удается значительно упростить данную систему, путем упрощения зависимостей от вертикальной координаты функций и и замены этих зависимостей на другие, где используются переменные системы (1.3.3) – (1.3.5).

Применительно к свободноконвективному турбулентному пограничному слою интегральный подход впервые был применен Эккертом и Джексоном [21]. В своей работе они предложили задавать профили вертикальной скорости и температуры следующими функциями:

В результате интегрирования уравнений (1.3.3) - (1.3.5)с использованием (1.3.22) - (1.3.25) в случае однородного теплового потока были получены следующие соотношения для функции W, толщины пограничного слоя и числа Нуссельдта: А 1 5 и14р -бо ї4 W = т- Tvz x (1.3.26) 0.0228l4( + 14 0.0228 7( +Pr3)14 ! 5= lvT г Pr 2Z (1.3.27) Al4A7vTGr U 2 2 I 7 iVux = 0,0247(1 + 0,494Pr3 )"sGrz5Pr (1.3.28) Здесь Avv = fi(t)$(1 - t)8 dx = 0.0513, AT = fi(l - tb dx = 0.125, і1 x ЛуГ = 0 (t7l - t4(l - t7) dx = 0.036 - соответствующие интегралы от профилирующих функций. Формула (1.3.28) имеет хорошую точность для жидкостей, но в случае газов погрешность возрастает. Несмотря на это, формулы (1.3.26) и (1.3.27) вместе с формулами (1.3.22) и (1.3.23) имеют очень высокую погрешность - толщина пограничного слоя занижается примерно в три раза, а максимальная скорость завышается примерно в два раза.

Бейли [33] в своей работе показал, что формула (1.3.23) неверна и имеет сильное расхождение с экспериментальными данными. В ряде последующих работ [16-20] было показано, что функция h должна зависеть от х . Применительно к интегральным методам данная зависимость была впервые использована в работах [23-24], где функция h задавалась формулой: Тем самым предлагалось использовать поправочный коэффициент к формуле Блазиуса для определения напряжений трения на стенке. Данный коэффициент обозначен в формуле (1.3.30) через/С = 16.08 и задавался на основе анализа экспериментальных данных. Для определения теплового потока на стенке использовалась формула Влита - Росса, так как функция 7\ с учтом (1.3.29) имеет физический смысл избыточной температуры стенки: qw = 0.17Я( )з(Г1)з (1.3.31)

Использование соотношений (1.3.29) - (1.3.31) вместо (1.3.23) - (1.3.25) позволило существенно повысить точность расчетов по сравнению с методом Эккерта - Джексона [23], однако точность все еще оставалась низкой и погрешность метода достигала 30%, однако данная точность позволяла пользоваться интегральным методом в ряде практических приложений.

Из этих данных можно сделать вывод, что точность уравнений, полученных с помощью интегрального подхода критически зависит от точности задания формы профилирующих функций и уравнений связи для теплового потока и трения на стенке.

Экспериментальные исследования свободноконвективного турбулентного пограничного слоя ведутся уже долгое время. Одними из первых работ, в которых исследовались свойства свободной конвекции около вертикальной нагретой пластины, были исследования Гриффитса, Дэвиса и Саундерса [30, 31], которые исследовали свободную конвекцию при больших числах Рэлея (Да 1010). В результате этих исследований была получена формула: і Nux = 0.17Ra3x (1.4.1)

В работах Влита и Лайю [32], которые были опубликованные в 1969 году были описаны результаты экспериментов, проведенных на воде в широком диапазоне разностей температур стенки и жидкости. Аналогичную серию экспериментов провел Б. Гебхарт идр. [34-36]. Основными результатами данных работ является получение формулы для числа Нуссельдта, которая обобщает (1.4.1), а также профилей вертикальной скорости и температуры: Nux = O.S6SRax22 (1.4.2) і з г_7ет # L_ + Л(Рг) (1.4.3) а3 а2 Х Аи2 Х (l- 10 (1.4.3) W xV+io Wmax \S 8 В дальнейшем Р. Чизрайт, Е. Ирикипиотукс и др., [37] провели серию экспериментов на воздухе, которые получили следующую формулу для воздушной среды: = 0.17 14 (1.4.4) С 1982 по 1994 годы, Миямото и др., [43] опубликовали результаты серии экспериментальных исследований турбулентной свободной конвекции около вертикальной нагретой пластины. Аналогичные исследования в то же время проводили Р. Смит [38], Т. Тсуи и И. Нагано [39-41]. Данные исследований указанных авторов практически совпадают. Основным результатом данных исследований являются экспериментальные зависимости интенсивностей пульсаций от поперечной координаты для избыточной температуры и вертикальной скорости. Было получено, что максимум пульсаций температуры достигается на расстоянии приблизительно 4 мм от стенки. Из этих результатов следует, что пульсационные составляющие играют огромную роль в динамике пристеночной области. В связи с этим встает вопрос о корректности пренебрежения турбулентными составляющими в уравнениях (1.1.1) – (1.1.2) и (1.2.1) – (1.2.2). В 1982 году М. Миямото и др. [43-44] опубликовали исследования пульсаций вертикальной скорости в свободно конвективном турбулентном пограничном слое. Согласно этим данным максимум пульсаций скорости находился на большом расстоянии от стенки, однако последующие [49] эксперименты показали, что максимум пульсаций скорости также находится вблизи стенки на расстоянии примерно 5 мм. Таким образом, пульсационная составляющая напряжений трения в пристеночной области играет важную роль в соответствующих уравнениях.

В работах [41] и [45-46] исследуются профили турбулентных напряжений трения и турбулентного теплового потока поперек пограничного слоя. Из результатов этих работ следует, что профиль турбулентных напряжений трения в пристеночной области близок к константе, которая равна значения напряжений трения на стенке.

В течении последних 20 лет экспериментальными исследованиями свободноконвективного турбулентного пограничного слоя активно занимались в Санкт Петербургском Государственном Университете на кафедре гидродинамики. В работах [47-51], которые проводились Ю.С. Чумаковым и др., проведено детальное исследование свободноконвективного пограничного слоя в воздушной среде. В результате данных исследований удалось значительно уточнить результаты работ [41-46] за счет применения современных методик проведения эксперимента. Были получены следующие профили скорости и температуры для турбулентной свободной конвекции вблизи вертикальной нагретой пластины на воздухе: