Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Кинематика реакции и наблюдаемые 14
1.1 Кинематика реакции фоторасщепления дейтрона 14
1.2 Поляризационные наблюдаемые в реакции фоторасщепления дейтрона 16
1.3 Выводы 22
Глава 2 Релятивистское описание реакции фоторасщепления дей трона на основе формализма Бете—Солпитера 23
2.1 Амплитуда реакции фоторасщепления дейтрона 23
2.2 Переход к матричному представлению 27
2.3 Классификация состояний системы протон-нейтрон 32
2.4 Парциальное разложение амплитуды БС дейтрона 35
2.5 Парциальное разложение амплитуды пр-пары 44
2.6 Аналитическая структура интеграла 48
2.7 Выводы 51
Глава 3 Релятивистские эффекты в реакции фоторасщепления дей трона 53
3.1 Сравнение двух релятивистских моделей нуклон-нуклонного взаимодействия 55
3.2 Расчёт вклада состояний с отрицательной энергией в наблюдаемые 62
3.3 Эффекты преобразования Лоренца амплитуды БС дейтрона . 65
3.4 Учёт взаимодействия в конечном состоянии 67
3.5 Выводы 71
Заключение 72
Литература 76
- Поляризационные наблюдаемые в реакции фоторасщепления дейтрона
- Переход к матричному представлению
- Парциальное разложение амплитуды пр-пары
- Эффекты преобразования Лоренца амплитуды БС дейтрона
Введение к работе
Теория нуклон-нуклонного (NN) взаимодействия лежит в основе всей ядерной физики. Одним из главных результатов многочисленных экспериментальных и теоретических исследований в этой области стало построение мезон-нуклонной теории ядра, в которой взаимодействие между нуклонами осуществляется путём обмена я, си, р, т), 6 и др. мезонами.
С установлением квантовой хромодинамики в качестве фундаментальной теории сильного взаимодействия NN-взаимодействие перестало рассматриваться как фундаментальное. Однако при описании ядер в области малых и средних энергий в качестве эффективных степеней свободы адекватно и целесообразно рассматривать нуклоны и мезоны. Взаимодействие между нуклонами количественно лучше всего описывается с помощью потенциалов, основанных на мезонном обмене. На основе квантовой хромодинамики пока не удаётся получить количественное описание NN-взаимодействия [1].
Сегодня одним из основных является вопрос об области применимости теории, основанной на мезон-нуклонных степенях свободы, за границей которой необходимо включать в рассмотрение кварки и глюоны [2]. Эта граница пролегает, по-видимому, там, где нерелятивистский подход уже не даёт удовлетворительного описания. Следовательно, для ответа на поставленный вопрос, необходимо развить последовательный релятивистский подход к описанию NN-взаимодействия, применимый как к NN-рассеянию, так и к реакциям, в которых нуклоны находятся в связанном состоянии.
Одним из таких подходов, полностью удовлетворяющим всем принципам релятивистской квантовой теории поля, является формализм, основанный на
Введение
уравнении Бете-Солпитера (БС) [3], [4]. Ввиду значительных математических и вычислительных трудностей данного 4-мерного формализма на его основе был развит квазипотенциальный подход к релятивистской проблеме двух тел, заключающийся в аппроксимации уравнения БС трёхмерными уравнениями. Среди основных можно выделить уравнения Бланкенбеклера-Шугара [5], Ка-дышевского [6], Гросса [7]. Прежде чем говорить о том, что уже сделано в рамках релятивистских подходов для описания NN-взаимодействия, остановимся на экспериментах, удовлетворительное описание которых является основным ориентиром для теории NN-взаимодействия.
Физической основой для построения всех моделей NN-взаимодействия является описание упругого NN-рассеяния, а также двухнуклонного связанного состояния — дейтрона. Дейтрон играет в ядерной физике роль, аналогичную роли атома водорода в атомной физике. Он позволяет, избегая трудностей многочастичной задачи, исследовать основные характеристики ядерного взаимодействия.
Существуют различные способы получения информации о взаимодействии нуклонов в дейтроне. Особую роль играют опыты по рассеянию электронов и фотонов на дейтроне. Электромагнитное взаимодействие хорошо изучено, а описывающая его квантовая электродинамика является самой точной физической теорией. Это позволяет целиком сфокусироваться на изучении ядерного взаимодействия.
Поскольку у дейтрона не существует возбуждённых состояний, в случае рассеяния электрона на дейтроне возможны три различных процесса [8]: 1) упругое рассеяние электрона на дейтроне, когда в конечном состоянии присутствуют электрон с не изменившимся по модулю импульсом и дейтрон; 2) электрорасщепление дейтрона — в конечном состоянии присутствуют электрон, протон и нейтрон; 2) глубоко неупругое рассеяние электрона на дейтроне — в конечном состоянии присутствуют электрон и всевозможные родившиеся при столкновении частицы. Перечисленные выше варианты соответствуют различным кинематическим областям 4-импульса, переданного дейтрону
Введение
электроном. Причём передача 3-импульса и передача энергии варьируются независимо.
При упругом рассеянии передача энергии равна нулю, передаётся только импульс, электрон взаимодействует с дейтроном как с единым объектом. Эта реакция несёт богатую информацию о волновой функции дейтрона, позволяет определить его электромагнитные формфакторы, характеризующие пространственное распределение электрического заряда, магнитного и квадру-польного моментов в дейтроне [9].
В электрорасщеплении дейтрона передача энергии уже не равняется нулю и превосходит энергию связи дейтрона. В этом случае вместо формфакторов вводятся структурные функции, зависящие как от квадрата переданного импульса, так и от переданной энергии. В модели партонов, т. е. составных частей исследуемого объекта, структурные функции выражаются через распределение партонов, в нашем случае нуклонов, по долям полного импульса составного объекта, в нашем случае дейтрона. Электрон уже не взаимодействует с дейтроном, как с единым целым, а начинает различать его составляющие. В таких экспериментах, определяя структурные функции, можно получить информацию о динамике нуклонов в дейтроне. Таким образом, в дополнении к пространственному распределению нуклонов в дейтроне удаётся определить их распределение по импульсам.
С дальнейшим ростом переданной энергии рассеяние электронов на дейтроне переходит в фазу глубоко неупругого рассеяния. В таких экспериментах начинает проявляться структура нуклонов. В бьёркеновском пределе структурные функции перестают зависеть от переданного импульса и переданной энергии по отдельности, а зависят только от их отношения х = <\2/Ъ, что говорит о присутствии внутри нуклонов точечных объектов, на которых и происходит рассеяние. Такая картина является одним из основных аргументов в пользу кварковой модели строения адронов.
Перейдём далее к рассеянию фотонов на дейтроне. Остановимся подробнее на фоторасщеплении дейтрона. Из этой реакции также можно извлечь
Введение
информацию о структурных функциях дейтрона. Основное отличие от электрорасщепления состоит в том, что реальный фотон имеет нулевую массу и, следовательно, передача энергии равняется передаче импульса. С одной стороны это приводит к тому, что фоторасщепление несёт меньшую по сравнению с электрорасщеплением информацию (количество структурных функций, извлекаемых из реакции, уменьшается). Но есть и некоторое преимущество. Дело в том, что изучение взаимодействия виртуального гамма-кванта с нуклоном представляет собой непростую задачу. Если же мы не интересуемся этим вопросом, то реакция фоторасщепления выглядит предпочтительнее реакции электрорасщепления, поскольку взаимодействие реального фотона с нуклоном осуществляется достаточно просто.
Остановимся на одной из основных трудностей, возникающих при описании реакции фоторасщепления дейтрона. С ростом энергии налетающего фотона увеличивается полная энергия конечного состояния, что приводит к возбуждению всё большего числа нуклонных резонансов. Первый из них Л(1232)-резонанс возбуждается при Еу ~ ЗООМэВ. Когда энергия фотона достигает 4 ГэВ, вклад могут давать все 24 хорошо установленных нуклонных резонанса, приведённых в [10]. В микроскопической модели точный учёт всех этих резонансов — очень сложная задача. Возможен подход, учитывающий резонансы эффективным образом, путём усреднения по многим адрон-ным состояниям. Аналогичные проблемы возникают и при описании реакции электрорасщепления дейтрона.
Остановимся далее кратко на результатах применения релятивистских подходов к описанию NN-взаимодействия. Уравнение БС было решено в лестничном приближении в рамках модели взаимодействия с однобозон-ным обменом (ОВЕ) в работах [И]-[13], в работах [14], [15] при решении использовалась сепарабельная модель взаимодействия. Полученные решения были использованы для рассмотрения реакции упругого электрон-дейтронного рассеяния и вычисления дейтронных формфакторов [15]-[18]. В работе [19] уравнение Гросса в рамках ОВЕ модели взаимодействия было
Введение
использовано для описания упругого NN-рассеяния. В работе [20] уравнение Бланкенбеклера-Шугара было использовано для построения зарядово-зависимого NN-потенциала CD-Bonn на основе ОВЕ модели взаимодействия. В рамках формализма БС были рассмотрены реакции глубоко неупругого рассеяния электрона на дейтроне [21]-[24], упругого электрон-дейтронного рассеяния [25], упругого протон-дейтронного рассеяния на 180 [26], [27], расщепления дейтрона протоном [28], а так же подробно рассмотрены статические свойства дейтрона [29], [30].
Наше исследование посвящено применению формализма БС к описанию реакции фоторасщепления дейтрона. Эта реакция позволяет подробно проанализировать особенности релятивистского подхода. Релятивистские волновые функций дейтрона и нейтрон-протонной (пр) пары существенно отличаются от своих нерелятивистских аналогов. Реакция фоторасщепления дейтрона несёт информацию о том, насколько сильно это влияет на экспериментально наблюдаемые величины. Существуют различные релятивистские модели NN-взаимодействия. Результаты их использования для расчёта наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона позволяют оценить преимущества и недостатки той или иной модели.
Необходимо отметить, что данная реакция рассматривалась ранее на основе альтернативных формализму БС подходов [31]-[44]. Среди последних достижений в этой области можно выделить работы [37]-[40] и [41]-[44]. В работе [40] используется подход, основанный на уравнении Шредингера и нерелятивистских операторах электромагнитного тока. К нерелятивистскому результату добавляются релятивистские поправки первого порядка в р/М.-разложении, кроме того учитывается влияние "буста"волновых функций. Взаимодействие моделируется однобозонным обменом. В последних работах используется потенциал Bonn, полученный при решении квазипотенциального уравнения Бланкенбеклера-Шугара [20]. Учитываются мезонные обменные токи, в том числе обмен тяжёлыми мезонами. Принимается во внимание возможность возбуждения Д-изобарных конфигураций. На этом основании
Введение
удаётся достичь удовлетворительного согласия с экспериментальными данными для неполяризованного дифференциального сечения и поляризационных наблюдаемых в области энергий налетающего фотона до порога рождения пиона. В работе [44]реакция фоторасщепления дейтрона рассматривается на основании техники дисперсионных соотношений. Данный подход позволяет выполнить релятивистский калибровочно-инвариантныи расчёт амплитуды фоторасщепления дейтрона. В последних работах реакция фоторасщепления рассматривается в области энергий налетающего фотона от порога реакции до 400 МэВ. Учитывается взаимодействие в конечном состоянии и возможность возбуждения А(1232) и N*(1400) резонансов. Кроме того учитываются мезонные обменные токи.
Цель работы — определение роли динамических и кинематических релятивистских эффектов в реакции фоторасщепления дейтрона на основе формализма БС.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
о разработка комплекса программ для описания реакции фоторасщепления дейтрона в формализме БС;
о расчёт наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона и оценка вклада в них различных релятивистских эффектов;
о включение в рассмотрение компонент амплитуды БС с отрицательной энергией и определение играемой ими роли;
о учёт взаимодействия в конечном состоянии на основе формализма БС и изучение его влияния на наблюдаемые реакции фоторасщепления дейтрона;
о оценка чувствительности результатов расчёта к использованию различных моделей NN-взаимодействия.
Охарактеризуем кратко направления и методы исследования. Теоретический анализ проводился методами релятивистской квантовой теории поля.
Введение
Связанные состояния и состояния рассеяния описывались в рамках формализма БС. Ввиду большой громоздкости окончательных аналитических выражений для их получения использовалась компьютерная система символьных вычислений REDUCE. Для окончательных численных расчётов был написан ряд программ на языке программирования FORTRAN.
Научная новизна работы.
В диссертации формализм БС применён к описанию реакции фоторасщепления дейтрона.
Впервые рассчитан вклад состояний с отрицательной энергией амплитуды БС дейтрона в наблюдаемые реакции фоторасщепления дейтрона.
Впервые в этом подходе учтено взаимодействие в конечном состоянии в реакции фоторасщепления дейтрона.
Впервые проанализирована чувствительность поляризационных наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона к эффектам Лоренц-преобразования амплитуды БС дейтрона и к двум различным релятивистским моделям взаимодействия.
Объект исследования — дейтрон.
Предмет исследования — релятивистские эффекты в реакции фоторасщепления дейтрона.
На защиту выносятся следующие результаты:
На основе формализма БС исследованы динамические и кинематические релятивистские эффекты, проявляющиеся в реакции фоторасщепления дейтрона. Включены в рассмотрение компоненты амплитуды дейтрона с отрицательной энергией. Определено, что они дают значительный вклад в различные наблюдаемые реакции фоторасщепления дейтрона, начиная с энергии ~ 200 МэВ. Выявлена существенность влияния, оказываемого преобразованием Лоренца амплитуды БС дейтрона на наблюдаемые реакции фоторасщепления дейтрона.
Оценена чувствительность результатов расчёта к использованию различ-
Введение
ных моделей NN-взаимодействия. Определено, что несмотря на согласие расчётов, основанных на однобозонной и сепарабельной моделях взаимодействия, в описании статических свойств дейтрона и фазовых сдвигов упругого NN-рассеяния, различие во внемассовом поведении однобозон-ного и сепарабельного ядер приводит к очень существенному расхождению в описании наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона.
В рамках формализма БС введено в рассмотрение взаимодействие в конечном состоянии с учётом]So, 3Ро, 3Si — 3Dj,1 Pi, 3Р] парциальных состояния с положительной энергией. Определена значительность его вклада в наблюдаемые реакции фоторасщепления дейтрона, в том числе в области, где начинают проявляться релятивистские эффекты.
Разработан комплекс программ для описания реакции фоторасщепления дейтрона в формализме БС, позволяющий проводить расчёты поляризационных наблюдаемых реакции с использованием различных моделей NN-взаимодействия и выделять интересующие детали рассматриваемого процесса, в том числе релятивистские эффекты.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах Лаборатории теоретической ядерной физики ДВГУ, XV и XVI Международных семинарах по проблемам физики высоких энергий "Релятивистская ядерная физика и квантовая хромодинамика"(Дубна — 2000, 2002), Второй всероссийской конференции "Университеты России - фундаментальные исследования"(Москва — 2001), Шестой и Девятой Всероссийских научных конференциях студентов-физиков и молодых ученых (Томск — 2000, Красноярск — 2003), Второй региональной научной конференции "Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование"(Хабаровск — 2001), 3-х Региональных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых по физике (Владивосток - 1999, 2000, 2001).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 работ [45]-[57].
Введение
Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения и списка литературы из 80 наименований. Общий объём диссертации — 81 страница машинописного текста, включая 12 рисунков и 2 таблицы.
Содержание работы. В первой главе описывается кинематика реакции фоторасщепления дейтрона; получаются выражения для дифференциального сечения в случае неполяризованных частиц и для поляризационных наблюдаемых (в терминах амплитуд реакции), используемые далее в расчётах.
Во второй главе излагается релятивистский подход к описанию реакции фоторасщепления дейтрона. Вначале рассматривается выражение для амплитуды реакции фоторасщепления дейтрона, полученное в подходе БС. Описываются возможные приближения.
Далее осуществляется переход к матричному представлению для амплитуды реакции, удобному с расчётной точки зрения. Оно заключается в том, что все величины, входящие в выражение для амплитуды реакции, в том числе амплитуды БС дейтрона и np-пары, представляют из себя матрицы 4x4.
Далее, исходя из принципа Паули, определяется какие парциальные состояния возможны в системе протон-нейтрон, на основании чего производится парциальное разложение амплитуды БС связанного протон-нейтронного состояния в системе покоя, а также парциальное разложение амплитуды nip-пары в случае учёта взаимодействия в конечном состоянии.
В конце главы рассматривается аналитическая структура интегралов присутствующих в выражении для амплитуды реакции в случае учёта взаимодействия в конечном состоянии. После чего интеграл по относительной энергии снимается с помощью теоремы Коши о вычетах. Далее учитывается возможность "пинча", т. е. ситуации, когда два полюса — один в верхней комплексной полуплоскости, другой — в нижней, имеют одинаковую действительную координату.
Третья глава посвящена обсуждению релятивистских эффектов, проявляющихся в реакции фоторасщепления дейтрона. Вначале кратко характеризу-
Введение
ются используемые приближения.
Затем производится сравнение двух релятивистских моделей NN-взаимо-действия — реалистической модели с однобозонным обменом и сепарабельной модели. Приводятся графики зависимости дейтронных вершинных функций в 3S++, 3Df+ каналах, рассчитанных в этих двух моделях, от модуля относительного импульса при относительной энергии равной нулю. Делается вывод о значительном различие в их поведении, для импульсов > 500 МэВ. Приводится таблица со статическими свойствами дейтрона, рассчитанными в этих двух моделях. Производится расчёт неполяризованного дифференциального сечения и поляризационных наблюдаемых — асимметрии линейно поляризованных фотонов и тензорной асимметрии дейтрона. Делается вывод о большой чувствительности всех наблюдаемых величин к поведению вершинных функций, рассчитанных в этих моделях.
Далее рассматривается влияние парциальных состояний с отрицательной энергией в вершинной функции на наблюдаемые реакции фоторасщепления дейтрона. Делается вывод о значительности вклада 3Р и 1 Pf состояний, начиная с энергии налетающего фотона 200 МэВ.
Далее анализируются эффекты преобразования Лоренца амплитуды БС дейтрона. Делается вывод о важности вклада этих эффектов в дифференциальное сечение реакции, особенно в области малых углов.
В конце главы проводится расчёт наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона с учётом взаимодействия в конечном состоянии в ^о, 3Ро. 3Si —3 Eh, ^i, 3Pi парциальных каналах. Отдельно анализируется влияние взаимодействия в конечном состоянии на дифференциальное сечение реакции в каждом из этих каналов. Также рассматривается их совокупный вклад в поляризационные наблюдаемые. Основной вывод — взаимодействие в конечном состоянии значительно изменяет поведение наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона. Это остаётся справедливым и в области энергий, где релятивистские эффекты начинают играть важную роль.
В заключении перечисляются результаты, полученные в работе.
Поляризационные наблюдаемые в реакции фоторасщепления дейтрона
Теперь необходимо выбрать систему координат для описания начального и конечного состояний, рис. 1.2. В СЦМ ось Z направим вдоль импульса фотона q = (0,0, си), тогда импульс дейтрона будет направлен в противоположную сторону. Импульс регистрируемого протона р будем характеризовать полярным и азимутальным углами 8 и ф, а направление поляризации дейтрона (ось d), т. е. направление внешнего поляризующего магнитного поля, —углами 0d и фл. Инвариантность относительно вращений фиксирует зависимость элементов матрицы амплитуд от угла ф [37]: где амплитуды tsmsAmd зависят только от азимутального угла 0. С учетом проекций спинов частиц в начальном и конечном состоянии всего у нас имеется 24 комплексных амплитуды (с учётом того, что один общий фазовый множитель остаётся неопределённым, останется 23 амплитуды). Сохранение чётности в ЭМ взаимодействиях приводит [60] к соотношению которое показывает, что у нас из 24 остается всего 12 независимых амплитуд. Для того чтобы выразить поляризационные наблюдаемые через амплитуды необходимо записать выражения для поляризационной матрицы плотности фотона и дейтрона. Матрицу плотности фотона можно представить в виде где О"І — матрицы Паули, Pi — параметры Стокса, принимающие значения в интервале от —1 до 1. Величина PY = у?]2 + Pj2 + Pj2 характеризует степень поляризации фотонного пучка. Параметр Pj характеризует степень линейной поляризации фотона вдоль оси X, если Pj 0, или вдоль оси Y, если Pj 0; параметр Р — степень линейной поляризации вдоль (Р 0) или против (Pj 0) направления, составляющего угол 45 с направлением оси Y в плоскости, перпендикулярной импульсу фотона Ц; параметр Pj характеризует степень круговой поляризации. Параметр Р = yPj 4- Pj называют степенью линейной поляризации. Если в качестве базисных векторов при построении матричных элементов fiy взять состояния с определенной спираль-ностью qA), тогда Pj = Pj. Степень линейной поляризации в этом случае р = л/РУ2 + Pj2- С помощью вращения вокруг оси Z всегда можно сделать так, чтобы J = 0. Тогда для Р 0 (Р 0) будем иметь фотон поляризованный по оси X (Y). Для определенности можно полагать, что линейная поляризация максимально вдоль оси X, т. е. Р = — Р[. Поляризационную матрицу плотности дейтериевой мишени (в лаб. системе) можно выразить через ориентационные параметры, характеризующие степень векторной (1=1) и тензорной (1=2) поляризации дейтрона [62]: Эта матрица плотности становится диагональной в базисе, образованном векторами Ximd» гДе та проекция на направление магнитного поля: Pmdm =Pmd6mdmii (1.20) где pmd — заселённость уровня с заданной проекцией на ось квантования.
При этом имеют место следующие соотношения: Роо = 11 Ориентационные параметры по отношению к оси Z в случае произвольного направления поляризующего магнитного поля равны: Однако, мы рассматриваем процесс в системе СЦМ, в которой дейтрон движется со скоростью v = —q/Ed. В этом случае необходимо пересчитать ориентационные параметры (1.21) с помощью соответствующего преобразования Лоренца. Учитывая всё это, выражение (1.15) можно переписать в виде: Мы видим, что дифференциальное сечение состоит из двух слагаемых, первое содержит амплитуды Т-матрицы с одинаковыми индексами Л (это вклад неполяризованных и циркулярно поляризованных фотонов, обозначим его g ), а второе — с противоположными по знаку (это вклад линейно поляризованных фотонов, обозначим его g ) Для дальнейших преобразований нам понадобится формула (1.17), а так же следующие соотношения: Глава 1. Кинематика реакции и наблюдаемые С помощью этих соотношений можно сделать преобразование, которое используется далее: Теперь дифференциальное сечение можно переписать в терминах поляризационных наблюдаемых [37]: — двойные векторная и тензорная асимметрии дейтрона. Заметим, что вследствие инвариантности амплитуды относительно вращений начального состояний коэффициент асимметрии для циркулярных фотонов обращается в нуль для неполяризованного дейтрона. Мы видим, что полученное дифференциальное сечение рассеяния может быть выражено в терминах 19 наблюдаемых. Эти наблюдаемые в совокупности с наблюдаемыми, связанными с поляризацией нуклонов в конечном состоянии (так называемые передача поляризации одному и двум нуклонам), определяют 12 независимых амплитуд матрицы рассеяния [63]. В данной главе рассмотрена кинематика реакции фоторасщепления дейтрона и получены выражения для поляризационных наблюдаемых через амплитуды реакции. Эти выражения будут использованы далее в численных расчётах. В работе [64] показано, что амплитуда реакции фоторасщепления дейтрона может быть записана в следующем виде:
Переход к матричному представлению
В выражении (2.12)-величиныХр и Гк представляют собой прямое произведение 2-х столбцов из 4-х элементов. Величины Гц и G являются матрицами 4x4, действующими на і столбец в прямом произведении, соответствующий первой или второй частице (протону или нейтрону). Если мы перейдём к матричному представлению для амплитуд БС начального и конечного состояний, то ситуация несколько изменится. Определим как будет выглядеть выражение для амплитуды реакции в этом случае. Для этого покажем, что где фац = й« 8 й[Д ippv = Up 8 ul % u — столбец из 4-х элементов, й = и+7, подчеркнём, что в нашем случае индексы ее, 3 относятся к первой частице, a u,-v — ко второй, матрица А действует в спинорном пространстве 1-й частицы, матрица В — 2-й; Ф = Ucu(2)Tu(1), W — u(1)u(2)TUc — матрицы 4x4, матрица lie определена в (2.71). Действительно, левую часть равенства (2.14) можно переписать следующим образом: Глава 2. Релятивистское описание реакции фоторасщепления дейтрона... 28 Учитывая, что 11с = —1, и пользуясь возможностью циклической перестановки матриц под знаком следа получаем для правой части равенства (2.14): Т. о. мы показали справедливость равенства (2.14). Величина lie была введена не случайно. В принципе, можно было использовать более простые определения Ф = й(2)Тй(1 т, W = u(1)u(2)T, тогда Мы ввели lie в это равенство для того, чтобы исключить его из формул (2.95). Прежде чем переписывать выражение (2.12) в матричном представлении необходимо сделать некоторые замечания. Амплитуда или вершинная функция дейтрона известна в системе покоя дейтрона, т. к. именно в этой системе проще всего решать уравнения БС для этой величины. Дифференциальное сечение реакции имеет более простой вид в СЦМ. Кроме того угловые распределения экспериментальных данных обычно зависят от угла вылета протона в СЦМ. Поэтому мы будем использовать амплитуду реакции, записанную в СЦМ. Следовательно нам необходимо произвести преобразование Лоренца амплитуды БС дейтрона (или вершинной функции и пропагатора) из системы покоя дейтрона (ЛС) в СЦМ. Как известно [65], преобразование Лоренца спиноров производятся с помощью матрицы, которую в нашем случае можно записать в виде
Проведём некоторые преобразования с целью записать это выражение в другом виде. Заметим, что транспонирование матрицы не меняет её следа, поэтому Заметим далее, что принцип Паули приводит к следующим соотношениям для амплитуды и вершинной функции БС в матричном представлении Аналогичные соотношения будут справедливы и для величин х(0)(р;Р). Это выражение можно представить в виде двух диаграмм, приведённых на рис. 2.1. Рассмотрим далее случай взаимодействия в конечном состоянии. Аналог Из протона и нейтрона, имеющих спин 1/2 с произвольной проекцией на выбранную ось и изоспин 1/2 с проекцией +1/2 и —1/2 соответственно, можно построить систему, характеризующуюся следующим набором квантовых чисел: полный момент J, проекция полного момента М., чётность тс (определяемая орбитальным моментом системы), суммарный спин S, и полный изо-спин I (проекция полного изоспина равна 0).
Все эти величины сохраняются в ядерном взаимодействии, ввиду его инвариантности относительно преобразований вращения, пространственного отражения, перестановки спинов и вращения в изопространстве. Классификация состояний производится на основании принципа Паули, требующего антисимметричности полной волновой функции относительно одновременной перестановки пространственных, спиновых и изоспиновых координат нуклонов. На математическом языке это утверждение можно записать следующим образом: Симметрия волновой функции по отношению к перестановке пространственных координат определяется чётностью состояния, спиновых координат — величиной спина, изоспиновых координат — изотопическим спином: Таким образом получаем, откуда, например, следует, что при J = 0, S = 0 (следовательно и L = 0) существует протон-нейтронное состояние с I = 1, но не существует состояния с 1 = 0. Действуя аналогичным образом и используя спектроскопические обозначения 2s+1Lj, составляем таблицу 2.1 для классификации состояний [66]. В случае, когда мы имеем дело с дейтроном, полный момент протон-нейтронной системы фиксируется, т. к. спин дейтрона равен единице. Кроме того известно, что дейтрон имеет небольшой квадрупольный момент, следовательно необходимо присутствие D-волны. Поскольку состояния с разной чётностью не смешиваются из-за сохранения чётности в ядерном взаимодействии, присутствие Р-волн в дейтроне исключается. Таким образом приходим к выводу, что дейтрон представляет смесь 3Si и 3Di состояний.
Парциальное разложение амплитуды пр-пары
Целью данной главы было теоретическое описание реакции фоторасщепления дейтрона на основе формализма БС. Итогом стали следующие результаты: Получено выражение для амплитуды реакции фоторасщепления дейтрона в удобном с точки зрения аналитических преобразований матричном представлении. При этом использовалось импульсное приближение для тока взаимодействия фотона с дейтроном (фотон взаимодействует непосредственно с протоном или нейтроном). Было учтено взаимодействие в конечном состоянии. Произведено парциальное разложение амплитуд Бете—Солпитера дейтрона и пр-пары с учётом взаимодействия в конечном состоянии. Рассмотрена аналитическая структура интегралов присутствующих в выражении для амплитуды реакции в случае учёта взаимодействия в конечном состоянии. Интегрирование по относительной энергии производится с помощью теоремы Коши о вычетах. Анализируется возможность "пин-ча", т. е. ситуации, когда два полюса — один в верхней комплексной полуплоскости, другой — в нижней, имеют одинаковую действительную координату. » Остановимся ещё раз на тех приближениях, в рамках которых проводится наше исследование. Изобразим реакцию фоторасщепления дейтрона в виде диаграммы, рис. 3.1. С точки зрения теории здесь можно выделить три объекта, на адекватном описании которых и основывается всё построение. А именно, амплитуды БС дейтрона и пр-пары, которые на рисунке обозначены как х и х соответственно, и ток взаимодействия фотона с дейтроном, обозначенный J. Получение аналитического выражения для каждого из этих 3-х объектов представляет собой отдельную задачу. Выражение для тока взаимодействия фотона с дейтроном распадается на слагаемых (2.8). В первом приближении рассматривают только разложение амплитуд Бете—Солпитера дейтрона и пр-пары с учётом взаимодействия в конечном состоянии.
Рассмотрена аналитическая структура интегралов присутствующих в выражении для амплитуды реакции в случае учёта взаимодействия в конечном состоянии. Интегрирование по относительной энергии производится с помощью теоремы Коши о вычетах. Анализируется возможность "пин-ча", т. е. ситуации, когда два полюса — один в верхней комплексной полуплоскости, другой — в нижней, имеют одинаковую действительную координату. » Остановимся ещё раз на тех приближениях, в рамках которых проводится наше исследование. Изобразим реакцию фоторасщепления дейтрона в виде диаграммы, рис. 3.1. С точки зрения теории здесь можно выделить три объекта, на адекватном описании которых и основывается всё построение. А именно, амплитуды БС дейтрона и пр-пары, которые на рисунке обозначены как х и х соответственно, и ток взаимодействия фотона с дейтроном, обозначенный J. Получение аналитического выражения для каждого из этих 3-х объектов представляет собой отдельную задачу. Выражение для тока взаимодействия фотона с дейтроном распадается на слагаемых (2.8). В первом приближении рассматривают только первое из них. При этом фотон взаимодействует непосредственно с протоном или нейтроном. Такое приближение называется импульсным (IA). Выражение для амплитуды БС np-пары также состоит из 2 слагаемых (2.3). Первому из них соответствует так называемое плосковолновое приближение (PWA), которое означает, что протон и нейтрон в конечном состоянии распространяются без взаимодействия. Второе слагаемое учитывает взаимодействие в конечном состоянии (FSI) между протоном и нейтроном. Выражение для амплитуды БС дейтрона раскладывается по 8 парциальным состояниям (см. 2.3). Два из них соответствуют двум парциальным состояниям, имеющимся в нерелятивистском подходе, остальные первое из них. При этом фотон взаимодействует непосредственно с протоном или нейтроном.
Такое приближение называется импульсным (IA). Выражение для амплитуды БС np-пары также состоит из 2 слагаемых (2.3). Первому из них соответствует так называемое плосковолновое приближение (PWA), которое означает, что протон и нейтрон в конечном состоянии распространяются без взаимодействия. Второе слагаемое учитывает взаимодействие в конечном состоянии (FSI) между протоном и нейтроном. Выражение для амплитуды БС дейтрона раскладывается по 8 парциальным состояниям (см. 2.3). Два из них соответствуют двум парциальным состояниям, имеющимся в нерелятивистском подходе, остальные шесть имеют чисто релятивистское происхождение и связаны с присутствием спинорных состояний с отрицательной энергией. Исходя из этих соображений наше исследование можно разделить на две части. Первая посвящена рассмотрению парциальных состояний с отрицательной энергией в амплитуде БС дейтрона. Вторая — учёту взаимодействия
Эффекты преобразования Лоренца амплитуды БС дейтрона
Взаимодействие в конечном состоянии (ВКС) является неотъемлемой частью последовательного описания реакции фоторасщепления дейтрона и, как показывают наши исследования, даёт значительный вклад в наблюдаемые этой реакции в той области, где релятивистские эффекты начинают играть важную роль. Поэтому его необходимо рассматривать с релятивистской точки зрения. Что мы и попытаемся сделать в этом разделе. Как следует например из формулы (2.4), основой рассмотрения ВКС является знание Т-матрицы, которая в нашем релятивистском подходе получается решением соответствующего уравнения БС, с определённой моделью взаимодействия. Т-матрица, использованная в наших расчётах, была получена ре шением уравнения БС с сепарабельным ядром взаимодействия первого ранга [78], [79]. Результаты расчётов наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона с учётом ВКС приведены на рис. 3.8, 3.9. Вершинная функция дейтрона использованная нами здесь была получена на основе сепарабельного ядра взаимодействия Graz II и содержала 3Sj", 3D парциальные состояния. В парциальном разложении амплитуды БС непрерывного спектра, соответствующей ВКС учитывались первые 6 состояний с J =0,1, а именно So, 3Ро, 3Si — 3Di, 1Рь 3Pi парциальные состояния с положительной энергией. Рис. 3.8 приведён с целью разделения вкладов, даваемых каждым отдельным парциальным каналом в дифференциальное сечение. Кроме релятивистских с целью сравнения мы приводим нерелятивистские расчёты, проведённые с потенциалом Бонн [80]. Штрихованная кривая — релятивистский расчёт в плосковолновом приближении, сплошная кривая — релятивистский расчёт с учётом ВКС; пунктирная кривая — нерелятивистский расчёт в плосковолновом приближении, штрих-пунктирная кривая — нерелятивистский расчёт с учётом ВКС. Из рис. 3.8 можно сделать следующие выводы. На пороге реакции при 3 МэВ заметный вклад даёт только So состояние. Релятивистские и нерелятивистские расчёты практически совпадают для энергий 3 и 20 МэВ. При энергии 100 МэВ кроме So состояния значительный вклад дают также 3Ро и 3Pi состояния. При этой энергии появляется различие между релятивистским и нерелятивистским расчётами. Во-первых не совпадают кривые, рассчитанные в плосковолновом приближении, что связанно как с релятивистскими эффектами, так и с различиями в моделях взаимодействия. Во-вторых отличаются вклады ВКС, о которых можно судить по разнице между кривыми рассчитанными с его учётом и без учёта, что позволяет говорить о проявлении релятивистских эффектов в ВКС. На рис. 3.9 отдельные парциальные каналы не выделяются, рассматривается их сумма. Кроме дифференциального сечения приведены поляризационные наблюдаемые.
Основной вывод — ВКС значительно изменяет поведение наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона. Это остаётся справедли вым и в области энергий, где релятивистские эффекты начинают играть важную роль. В данной главе обсуждаются результаты численных расчётов наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона. Итоги следующие: Исследованы динамические и кинематические релятивистские, эффекты проявляющиеся в формализме БС. Включены в рассмотрение компоненты амплитуды БС дейтрона с отрицательной энергией. Определено, что они дают значительный вклад в различные наблюдаемые реакции фоторасщепления дейтрона, начиная с энергии 200 МэВ. Выявлена существенность влияния, оказываемого преобразованием Лоренца амплитуды Бете-Солпитера дейтрона на наблюдаемые реакции фоторасщепления дейтрона, начиная с энергии 200 МэВ. Оценена чувствительность результатов расчёта к использованию различных моделей NN-взаимодействия. Определено, что несмотря на согласие в описании статических свойств дейтрона и фазовых сдвигов нуклон-нуклонного рассеяния, различие во внемассовом поведении приводит к очень существенному расхождению в описании поляризационных наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона. Введено в рассмотрение взаимодействие в конечном состоянии с учётом 1 So, 3Ро, 3Si —3Dі,1 Pi, 3Р] парциальных состояния с положительной энергией. Определена значительность его вклада наблюдаемые реакции фоторасщепления дейтрона, в том числе в области, где начинают проявляться релятивистские эффекты.
