Содержание к диссертации
Введение
1 Реджевская феноменология 12
1.1 Экспериментальные данные 12
1.2 Адронные модели
1.2.1 Кварковые модели 14
1.2.2 Струнный подход 17
1.2.3 Другие подходы 19
1.3 Выводы 20
2 Универсальное описание радиальных возбуждений тяжелых и легких векторных мезонов 21
2.1 Введение 21
2.2 Векторный спектр 24
2.3 Адронные струны. 27
2.4 Фитирование данных 31
2.5 Предсказания 39
2.6 Обсуждение 41
2.7 Выводы 44
3 АдС/КТП соответствие и его приложения к физике адронов 45
3.1 Введение 45
3.2 Калибровочно/Гравитационная дуальность
3.2.1 Пространство анти—де Ситтера 47
3.2.2 Дуальность 50
3.2.3 Голографический словарь
3.3 Модель «жесткой стенки» 60
3.4 Модель «мягкой стенки» 65
3.5 Модели для тяжелых кваркониев 67
4 Кварковые массы и мезонный спектр: голографический под ход 70
4.1 Введение 70
4.2 Модель «без стенки» 73
4.3 Феноменология 79
4.4 Калибровочно неинвариантный пример 81
Заключение
Кварковые модели
Одной из самых успешных моделей стала кварковая модель, которая выделила среди адронов две группы: мезоны, состоящие из двух кварков, и барионы, состоящие из трёх [ ]. Оба типа частиц являются цветовыми син-глетами. Кварки в кварковой модели называют конституентными. Их мас сы отличаются от токовых масс в лагранжиане КХД (1.4). Взаимодействие между кварками, объединяющее их в связанное состояние, осуществляется за счет обмена глюонами и может быть представлено в виде некоторого эффективного потенциала Ves, который в случае qq системы содержит короткодействующее одноглюонное взаимодействие и линейно растущее взаимодействие на больших расстояниях, связанное с конфайнментом.
Нерелятивистская потенциальная модель. Для поиска связанных состояний решается стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом: H = Ho(p) + VeS(p,r) (1.5) где Щ - энергия свободных кварков. В простейшем случае нерелятивистской потенциальной модели свободная энергия имеет вид: Н0(р) = [ тас2 Н + [ mac2 Н (1.6) 2mq ч 2тч Потенциальная энергия Ves(p, г) заменяется на Ves(r) и принимает форму: VeS(r) = Hconi + ЯЬур + Hso (1.7) где Hconi - линейный потенциал, не зависящий от спина, не позволяющий кваркам покидать мезон, а также имеющий кулоновское поведение на малых расстояниях. Второй член Hhyp связан с цветным сверхтонким расщеплением. Последний вклад Hso ответственен за спин-орбитальное взаимодействие.
Открытие j/ -мезона в 1974 привело к активному изучению потенциальных моделей. С помощью нерелятивистской потенциальной модели можно описать радиально-возбужденные состояния чармония [25, 26]. Применения потенциальной модели для кваркония приведено в статье, где не учитывается спин кварков [26].
Релятивистская потенциальная модель. В 1985 Годфрея и Исгуром была предложена релятивизированная кварковая модель [5]. Отличалась она от своих нерелятивистских аналогов другим видом для свободной энергии кварков: Jp\ + m2q + Jp2 + m\ H0(p) = p2 + m2 + p2 + m2 (1.8) Константа связи становиться «бегущей»: as as(r)
Параметры струнного натяжения Ъ и кварковой массы mq имеют другие численные значения, нежели в нерелятивистских потенциальных моделях. Предложенная модель была использована для описания чармония и ботта-мония [27,28]. Помимо этого, данная модель оказалась достаточно успешной не только для описания мезонов, но и для барионов [29,30].
Модель квазипотенциала. Еще один способ релятивизировать потенциальные модели стал подход, предложенный Эбертом, Фаустовым и Галкиным [ ], названный «квазипотенциальным» и был успешно применен для описания чармония [ 1]. В его рамках решается уравнение Шредингера: (М - р2 + т2- ф2 + т2)фм{р) = J V(p, q, М)фм{4) где фм{р) -волновая функция связанного состояния, V(p,q,M) - кварк— антикварковый квазипотенциал, М - масса связанного состояния ир- относительный импульс. В работе [ ] исследуется боттомоний и получается хорошее согласование с экспериментом в однопетлевом приближении, за исключением основной траектории (с дочерними все в порядке). Модель предсказывает линейное поведение, а на эксперименте видна очень сильная нелинейность.
Несмотря на значительные усложнения моделей Годфрея—Исгура, квазипотенциалов, модель группы Корнелла, для чармония, наиболее близкие к эксперименту результаты дает простая нерелятивистская модель [ ].
В струнном описании адронов исследуются связанные состояния из кварков в виде массивных точечных объектов и глюонного поля, которое описывается струной. В случае мезонов мы имеем два кварка, которые соединены струной. В статье рассматривается система из двух массивных бесспиновых кварков, связанных безмассовой струной [ ]. Действие модели состоит из части, описывающей два массивных кварка и действия Намбу—Гото, отвечающее за струну:
Векторный спектр
Массы известных векторных мезонов со скрытым ароматом даны в Таб. 1. В соответствии с кварковой моделью, векторные двухкварковые состояния могут образовывать S или D-волновые резонансы. Мы будем придерживаться типичного разделения состояний на S или D-волновые, которые приняты в литературе.
Некоторые недостоверные состояния мы не учитываем. Не рассматриваем состояние бо (2330) потому что оно, возможно, является состоянием бо (2290), полученным другой коллаборацией (в Таб. 1 мы используем результаты ана лиза Багга данных коллаборации «Crystal Barrel» [ ]). Также мы исключаем состояние (11020), интерпретация которого неясна (его электромагнитная связь подозрительна мала по сравнению с (10860), что может означать сильную примесь D-волнового состояния в резонансе).
Состояние 0(2175) мы интерпретируем как 3-е радиальное возбуждение 0(1020) так как при этом наблюдается «естественная» разница масс между 1-ым и 3-им возбуждениями — около 500 МэВ («естественная» разница масс между 1-ым и 2-ым возбуждениями оценивается в 300-350 МэВ). Такой выбор будет также удовлетворять нашим фитам в разделе 2.4.
Достоверно известные D-волновые состояния ф и не известны, поэтому мы ищем единое описание спектров только б -волновом секторе. Выбранный нами спектр б -волновых радиальных состояний г\) и богаче чем спектр легких векторных мезонов. Спектры изображены на Рис. (2а), (2Ь),(За) и Рис. (ЗЬ).
Ожидаемый спектр б -волновых состояний. Экспериментальные данные взяты из Табл. 1. Квадрат отвечает за новое предсказанное состояние "0(1900) с массой 1.9(2) ГэВ. Состояние 0(2175) имеет 3-й номер радиального возбуждения, о чем сказано выше. Этот спектр имеет замечательное реджевское поведение: которое очень похоже на то, которое наблюдается для легких нестранных мезонов [40,42]. Однако, фитируемые наклон a и интерсепт b гораздо больше чем в случае легких мезонов [40,42] (см. Табл. 2).
Для интерсепта, полученный результат выглядит естественно, но наклон пропорционален натяжению адронной струны (или энергии на единицу длинны для потенциальных моделей с линейным потенциалом, описывающим кон-файнмент), которое должно быть приблизительно равно 1 ГэВ2.
Ниже, мы приведем мотивацию линейной параметризации спектра векторных мезонов со скрытым ароматом универсальными параметрами a и b. Единственным переменным параметром будет являться масса кварков.
Для лучшего понимания соотношения (2.1), его полезно вывести из стру-ноподобных моделей. Таких моделей в литературе достаточно много, поэтому мы воспользуемся основными приемами в некой упрощенной форме. Безмассовую пару кварк—антикварк можно описать, как кварки, двигающиеся вместе, и натянутое между ними хромоэлектрическое поле в виде струны. Энергия системы (масса мезона) вычисляется так: М = 2р + иг (2.2) где р обозначает импульс кварка, г -расстояние между кварком и антикварком, а а является постоянным натяжением струны. Предполагается также, что кварки совершают колебательные движения внутри полевой трубки, поэтому мы можем проквантовать их с помощью полуклассических условий Бора—Зомерфельда: pdr = 7r(n + b)} п = 0,1,2,.... (2.3) о Здесь / - максимальное расстояние разлета пары кварк—антикварк, а константа Ъ зависит от граничных условий. Подставляя импульс р из (2.2) в (2.3) и используя определение (т = М/I получаем спектр мезонов:
В релятивистском пределе Mn m, соотношение (2.6) упрощается до (2.4), а в нерелятивистском случае Мп — 2т С 2т, соотношение (2.6) дает спектр линейно растущего потенциала: Мп пз. В общем случае полиномиально растущего потенциала У га (а 0) мы получим спектр Мп п«+2 при достаточно больших п [ 9]. Спектр и Т-мезонов нельзя фитировать законом (2.6) с универсальными параметрами а и Ъ из-за сильной нелинейности на типичных массах тяжелых кварков. Эта нелинейность возникает из подстановки (2.5), которую часто используют в струноподобных [1,13,60,61] и полурелятивистских потенциальных моделях [3-5,11,12,39,62], а также в моделях основанных на уравнении Бете-Солпитера [7,36,63]. Во всех этих моделях наблюдается возникновение нелинейности при больших т, хотя сама форма нелинейности оказывается модельно зависима. В сущности, кварки рассматриваются как почти свободные частицы на массовой поверхности. Если же мы хотим иметь реджевское поведение спектра для любых кварковых масс, нам не следует использовать подстановку (2.5).
Калибровочно/Гравитационная дуальность
Мы обнаружили, что спектры легких и тяжёлых мезонов со скрытым ароматом могут быть параметризованы универсальным способом (2.8). Конечно же это соотношение приблизительно 2 и отождествляет параметр т с кварко 2Соотношение (2.8) не может быть точно полученным из КХД, так как кварковая масса не ренормин-вариантный объект, а массы адронов являются таковыми. Однако, если считать адроны узкими резонансами, то точность этого предположения позволяет пренебрегать «бегом» кварковых масс. вой массой, а и Ь — универсальные параметры, ответственные за глюодина-мику и образование резонанса. Наклон а предположительно связан с AQCD ренорминвариантный масштабный параметр КХД. AQCD немного уменьшается, если учитывать кварки нового аромата (это может объяснить поведение разницы масс А і в Таб. 3)
Анзатц (2.8) корректно воспроизводит спектральную универсальность в секторе векторных мезонов со скрытым ароматом и показывает, как массы резонансов формируются из масс кварков и глюонного взаимодействия: нерелятивистский вклад от двух статичных кварков и релятивистская добавка за счет глюонного поля. Два вклада четко разделены между собой. Насколько нам известно, соотношение (2.8) не может быть воспроизведено в часто используемых потенциальных и струноподобных моделях. Основная проблема состоит в том, что подобное разделение релятивистской и нерелятивистской частей отсутствует. В потенциальных моделях возникает следующее разделение: кварковые массы дают дополнительный вклад в массу мезона в нерелятивистских моделях (согласуется с (2.8)), но глюодинамика оказывается нерелятивистской (расходиться с (2.8)). В релятивистских потенциальных моделях глюодинамика становиться релятивистской (согласуется с (2.8)), но кварковые массы не дают аддитивного вклада из-за замены (2.5) (расходиться с (2.8)).
Один из способов для решения вышеупомянутых проблем, строить модели с другим дисперсионным соотношением для кварков: Е = \р\ + т (2.17) Соотношение (2.17) может возникать согласно свойствам кварков вне массовой поверхности. Другой способ решения, который можно использовать в моделях глюонной трубки — использование замены p — p + m в выражении (2.2) вместо (2.5).
Соотношение (2.17) может выражать тот факт, что в любой динамической модели нельзя найти абсолютное значение энергии, а лишь разность энергий. Постоянная m охватывает вклады, которые не связаны с механизмом конфайнмента (масса кварка, спин-спиновое и спин-орбитальное взаимодействия и другие вклады). Наши фиты показывают, что для векторных мезонов разных сортов со скрытым ароматом, основным вкладом в m является кварковые массы. Возможно это связано с тем, что кварки (будучи фермио-нами) дают негативный вклад в энергию вакуума КХД. Этот эффект может дать возможное объяснение заключения о статичной природе кварков: добавляя кварк—антикварковую пару (масса кварков m) в вакуум КХД, его энергия понижается приблизительно на величину 2m. В первом приближении это единственный эффект от кварков, который следует учитывать в динамической кварковой модели. Поэтому, модель, предложенная для описания спектроскопии лёгких мезонов должна быть пригодна (в рамках погрешности узкорезонансного приближения) для описания тяжёлых мезонов и наоборот, как минимум в векторном секторе. Например, линейный спектр (2.1) воспроизводиться в голографической модели «мягкой стенки» для КХД [ 0], как показано в Разд. 3.4. Наш анализ (см. Гл. 4) показал, что эта модель, без каких либо изменений, может быть применена для тяжелых векторных мезонов — необходимо сдвинуть спектр на величину 2m, как в выражении (2.8).
Было предложено обобщение линейных радиальных траекторий Редже на случай массивных кварков. В рамках этого обобщения, форма вклада в мезонную массу за счет конфайнмента универсальна для любых кваркониев. Мы демонстрируем, что полученное соотношение для масс (2.8) находиться в хорошем соответствии с экспериментальными данными для векторных мезонов со скрытым ароматом. Также это соотношение демонстрирует некоторые интересные предсказания в мезонной спектроскопии. Хотя наше рассмотрение было достаточно простым и не учитывало многие эффекты (такие как релятивистское смешивание S и D волновых состояний, приводящее к некоторым сдвигам масс [64,65], а также сдвигам масс, возникающих за счет перехода от большого Nc к реальному Nc = 3), качество финальных фитов сравнима с типичными результатами полурелятивистских потенциальных моделей и других, технически сложных подходов.
Модель «без стенки»
Так называемый «bottom-up» голографический подход для описания КХД [8,9] оказался весьма плодотворным методом для теоретического исследования феноменологии сильных взаимодействий. В нем начинают рассуждения с реальной КХД, а затем, применяя рецепты АдС/КТП соответствия, строят эффективную пятимерную модель для сильных взаимодействий. Изначально, данный подход применялся в спектроскопии легких мезонов (низкоэнергетическая физика, адронные формфакторы, эффекты, возникающие при конечной температуре, и другие приложения (см. [19,93])). К удивлению, было мало попыток применить голографическое описание в секторе тяжелых кварков. Целью настоящей работы является решение этой задачи для векторных мезонов со скрытым ароматом.
Наш выбор таких адронных состояний связан с наличием большого числа экспериментальных данных о радиальном спектре [41]. Так как радиальные возбуждения возникают естественным образом в 5-ти мерных голографиче-ских моделях — они отождествляются с Калуца—Клейновскими модами — то предсказания могут быть проверены феноменологически. К тому же, го-лографическое описание векторных мезонов относительно несложно [8, 9] и выглядит наиболее естественным, когда начинается работа с сохраняющимися токами.
Известно, что б -волновые векторные мезоны со скрытым ароматом рождаются в большом количестве в процессе е+е аннигиляции. Предполагается, что механизм образования резонансов в таком процессе одинаков на всех энергетических масштабах. Мы считаем, что в релятивистской картине1 формирования массы, вклад, возникающий за счет глюонного взаимодействия, не зависит от аромата кварков. Приближенную величину этой добавки можно получить из спектра ы-мезонов (положив mUid = 0). Другими словами, спектр векторных мезонов со скрытым ароматом, зависит от кварковых масс, а вклады от остальных эффектов (в том числе и глюонного взаимодействия) задают коэффициенты в соответствующей формуле для массы адронов.
Спектр состояний, который мы собираемся описывать, представлен в Таблице 1. На Рис. (2a) рис. (3a)-(3b) радиальных спектров прослеживается универсальное реджевское поведение М% п, где п - радиальное квантовое число. Помимо этого поведения, присутствует единый для всех графиков эффект: основное состояние систематически оказывается ниже линейных траекторий. Вероятно, некий универсальный механизм ответственен за подобное ключевым моментом является работа именно с квадратом массы. Переходя к линейной массе (нерелятивистская картина) появится зависимость «энергии связи» от кваркового аромата. поведение: похоже, эффект связан с минимальным сближением кварков в основном состоянии.
На языке нерелятивистских потенциальных моделей это может означать что потенциал конфайнмента почти полностью разрушается на характерных для размера основного состояния масштабах, за счет кулоновского, спин-спинового или другого взаимодействия. Нам не известно обсуждение этого вопроса в литературе, поэтому было решено убрать основное состояние из расчетов линейных траекторий, которые затем мы будем описывать в рамках голографического подхода. Для описания экспериментальных данных используем линейный анзатц (2.1): Mn2 = a(n + b), который дает результаты, приведенные в Таблице 2. Наклон A и пересечение B растут с увеличением кварковой массы, причем пересечение растет гораздо быстрее. Предвидя возможные вопросы, необходимо сделать некоторое пояснение. Обычно, приведенный выше реджевский закон (2.1) применяется для описания спектра легких мезонов, так как подобное поведение предсказывают квазиклассические модели КХД струн с безмассовыми кварками. Поэтому, удивительным фактом стало то, что линейный закон работает и для тяжелых векторных мезонов, причем их спектр подчиняется этому линейному закону с большей степенью точности, чем спектр легких мезонов. В дополнение к этому, последние два состояния траектории на Рис. (2a) требуют уточнений, в то время как состояния траекторий на Рис. ((3a)) и Рис. ((3b)) очень подробно исследованы [41]. Руководствуясь этими замечаниями, мы считаем, что если данные по легким мезонам мотивировали нас использовать описание спектра вида (2.1), то данный анзатц может быть использован и для описания тяжелых мезонов.
Наша цель: используя голографический подход, найти функции а(т) и Ь(т) (т - масса кварка), предполагая, что спектр линеен (2.1).
Данная модель иногда в литературе называется «бесстеночной». В принципе, само дилатонное поле может быть формально (т.е., пренебрегая поверхностными членами) убрано из действия модели с «мягкой стенкой» (3.48) следующей заменой полей: Ам — ( Ам. Цена, которую придётся заплатить за это упрощение - появление r-зависимого массового члена для Ам. Однако, модель может быть переформулирована в калибровочно-инвариантном виде, если мы предположим, что этот член получается из конденсации некоторого скалярного поля ф [ 4]. В частности, стандартный выбор ip г 2 [10] приводит к (пятимерному расширению) полевой части действия с т2 = —4 [94]. В такой «бесстеночной» модели предполагается что сначала конденсируется поле ф, и только после этого извлекают феноменологию.