Расчёт характеристик критического поведения и нарушения скейлинга в скалярных моделях квантовой теории поля Письменский Артем Леонидович

Содержание к диссертации

Введение

1 Расчёт асимптотик пропагаторов в логарифмических размерностях с помощью уравнения ренормгруппы 16

1.1 Введение 16

1.2 Общее решение уравнения ренормгруппы 17

1.3 Вычисление асимптотик

1.3.1 Асимптотика инвариантного заряда 22

1.3.2 Асимптотика пропагатора

1.4 Теория 03 30

1.5 0(А )-спмметричная теория фА 32

1.6 Теория ф6 39

1.7 Обсуждение результатов 41

2 Трехпетлевый расчёт критического индекса Фишера теории 03 методом конформного бутстрапа 45

2.1 Введение 45

2.2 Метод конформного бутстрапа для теории 03 45

2.3 3-петлевой расчёт критического индекса теории 03 47

3 Расчёт 4-петлевой поправки к критическому индексу Фишера теории 03 методом конформного бутстрапа

3.1 Проведение расчёта 57

3.2 Результат 87

Основные результаты и выводы 89

А Приложения к Главе 1 93

А.1 Выражения для инвариантного заряда и пропагатора в терминах коэффициентов разложения в ряд теории возмущений &еа-функции, аномальной размерности поля и оператора собственной массы 93

А.2 Рекуррентные соотношения для диаграмм 7і и 72 Ю7

В Приложения к Главе 3 110

8.1 Метод расчёта диаграмм Gn 110

8.2 Диаграммы с конечными вкладами при d = 6 Ill

Литература 1

• Общее решение уравнения ренормгруппы
• 0(А )-спмметричная теория фА
• Метод конформного бутстрапа для теории 03
• Выражения для инвариантного заряда и пропагатора в терминах коэффициентов разложения в ряд теории возмущений &еа-функции, аномальной размерности поля и оператора собственной массы

Введение к работе

Актуальность темы исследования. В настоящее время квантово-полеввіе методві активно исполвзуются в теории критического поведения как статических, так и динамических систем [9, 10]. Как показывает эксперимент, критические явления характернві для многих систем жидкоств-пар и ферромагнетиков [10]. Для них существует критическая температура, при которой пропадает различие между жидкоствю и газом, а ферромагнетик становится пар амагнетиком.

Наиболее важнвім достижением физики критических явлений явилосв открвітие универсалвности, которая проявляется в том, что различнвіе системні вблизи критической точки обладают одинаковыми количественными характеристиками.

Исследования квантовополеввгх моделей показывают, что для болынин-ства систем вблизи критической точки наблюдается масштабная инвариантности (скейлинг), которая, в частности, ввіражается в том, что парная корреляционная функция Грина (пропагатор) является степенной функцией координат. Одной из важнвіх задач квантовой теории поля является расчёт показателя этой степени (критического индекса). В некоторвгх исключителвнвгх случаях скейлинг может нарушатвся, что приводит к появлению дополни-телвнвіх логарифмов у степенной асимптотики пропагатора. Проблема нарушения скейлинга не может бвітв решена по теории возмущений, так как каж-двій следующий член ряда оказывается более значимвш, чем предвідущий. Хотя интерес к подобного рода проблемам возник давно, они не утратили актуалвноств и по настоящее время.

Болвшое значение для создания современной теории критического поведения имели исследования модели Изинга, и, в частности, полученнвіе в 1941-1942 годах для её двумерной версии точнвіе аналитические результаты.

На протяжении последних десятилетий наблюдается всё возрастающий интерес к вычислениям ренормгрупповых характеристик квантовополевых моделей. Он обусловлен не только увеличивающейся точностью экспериментальных данных в области физики критических явлений, но и необходимостью проверки новых теоретических подходов и разработки новых методов, касающихся нетеоретиковозмущенческих проблем. Ренормгрупповой анализ Стандартной модели оказался необходимым, в частности, при исследовании свойств бозона Хиггса, открытого на Большом Адронном Коллайдере в 2012 году. В последнее время также значительно возрос интерес к исследованию конформной теории поля, которая используется как при изучении критических явлений, так и в теории точно интегрируемых моделей. Хотя для ре-

нормгрупповых расчётов в настоящее время уже исполвзуются компвютер-нвіе программы, тем не менее, активно разрабатываются и аналитические методы, которвіе, по-прежнему, оченв важнві в этой области. Приведеннвіе в диссертации резулвтатві могут внести существеннвш вклад в далвнейшее развитие эффективных аналитических подходов, как для исследования критических явлений, так и для нетеоретиковозмущенческих расчётов в квантовой теории поля.

Степень разработанности темы исследования. Для теоретических исследований критических явлений было разработано несколвко методов. Болвшие успехи при расчётах критических индексов бвіли достигнутві с по-мощвю уравнений ренормгруппві [9, 10]. Преимущество этого подхода в том, что он даёт возможноств проводити частичнвіе суммирования бесконечного числа членов ряда теории возмущений.

Уравнения ренормгруппы оказалисв оченв эффективны для расчётов улвтрафиолетовых и инфракраснвгх асимптотик функций Грина. Эта задача становится нетривиалвной в том случае, когда вкладві в асимптотику членов ряда теории возмущений не компенсируются малоствю константні взаимодействия и требуется учёт вкладов во всех её порядках, т.е. проведение частичного суммирования ряда теории возмущений. Исполвзование метода ренормгруппві даёт возможноств решатв такие задачи.

Кроме ренормгруппового подхода, для исследования асимптотик масштабно и конформно инвариантнвгх теорий поля существуют алвтернативнвіе подходы — методы уравнений самосогласования и конформного бутстрапа. Их преимущество заключается в сокращении количества диаграмм Фейнма-на, которвіе необходимо учеств для получения резулвтата. Метод уравнения самосогласования бвіл исполвзован для расчёта 1/п-разложения критических индексов, а также индекса, определяющего инфракрасную асимптотику глю-онного пропагатора поля Янга - Миллса.

Хотя к настоящему времени уже имеются существеннвіе достижения в области теории критических явлений и исследования нетеоретиковозмущенческих эффектов квантовой теории поля, тем не менее, многие проблемні ещё недостаточно изучены. Резулвтатві, приведённые в диссертации, могут оказатвся важивши для далвнейших исследований в этих направлениях.

Целью диссертационной работві является исследования асимптотического поведения парнвіх корреляционнвіх функций Грина скалярнвгх моделей квантовой теории поля в критической точке.

С помощвю уравнения ренормгруппві проводятся расчетві инфракрас-НВІХ асимптотик пропагатора скалярнвгх теорий в логарифмической размерности при фиксированной константе связи, находятся логарифмические по-

правки к уже известным ведущим приближениям. Особое внимание уделяется О(Л0-симметричной теории ⁴, и, в частности, обсуждаются полученные для этой модели резулвтатві с точки зрения гипотезві её тривиалвности в критической точке. Методом конформного бутстрапа проводятся расчеты трёх-и четырёх-петлевого приближения аномалвной размерности поля в рамках є-разложения для теории ф³- взаимодействия.

Научная новизна. Основнвіе резулвтатві, представленнвіе в диссертации, являются НОВВІМИ и опубликованві в рецензируемвгх международнвгх научнвіх журналах.

1. С помощвю метода ренормгруппві бвіли найденві поправки к известному главному приближению пропагатора в скалярнвгх моделях квантовой теории поля с взаимодействием ф³, ⁴, ф⁶ в логарифмических размерностях. Показано, что они выражаются через логарифм и логарифм логарифма им-пулвса. Частв из них универсалвнвіе и не зависят от константні связи. Имеются также зависящие от неё неуниверсалвнвіе поправки. Показано, что существует масштабное преобразование, в резулвтате которого вся зависимости полученного асимптотического приближения переходит в переопределение величины импулвса пропагатора. Резулвтатві опубликованы в статве [1]. Согласно полученному приближению, О(Л0-симметричная теория ф⁴ при конечном числе компонент N является негауссовой, её пропагатор отличается логарифмическими поправками от пропагатора вида 1/р² свободной теории, а связнвіе функции Грина порядка п > 2 нелокалвны. С этой точки зрения, модели не является тривиалвной, и лишв в пределе N —> оо теория становится гауссовой с пропагатором свободного безмассового поля.

2. На основе исполвзования уравнений конформного бутстрапа в теории скалярного поля с взаимодействием ф³ проведенні расчетві трёх- и четвірех-петлеввіх приближений аномалвной размерности поля в рамках є-разложения [2], [3]. При этом были разработаны новые методы расчёта фейнмановских диаграмм. Продемонстрировано преимущество исполвзуемого подхода, в котором по сравнению с ренормгрупповвім требуется ввічисление менвшего количества диаграмм.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации предлагаются новвіе методві исследования критических режимов в квантовополеввгх системах. Продемонстрирована эффективноств метода конформного бутстрапа для практических расчетов є-разложения критических индексов на примере модели скалярного поля с взаимодействием ф³. Разработан ренормгруп-повой метод расчётов характеристик нарушения скейлинга в критической точке в моделях квантовой теории поля в логарифмической размерности, с помощвю которого бвіли найденві поправки к асимптотике пропагаторов для

скалярных полей. Результаты могут найти применение в других физических теориях, в том числе в квантовой электродинамике, квантовой хромодина-мике и Стандартной модели. Они могут послужить основой предсказания и исследования новых физических явлений в теории фундаментальных взаимодействий и статистической физике.

Методология и методы исследования. Представленные в диссертации результаты исследований основаны на использовании математического аппарата квантовой теории поля. В настоящее время он является наиболее эффективным для описания поведения систем вблизи критической точки. Для расчётов асимптотики парной корреляционной функции (пропагатора) моделей квантовой теории поля в логарифмической размерности применялся метод уравнений ренормгруппы. Для вычисления критического индекса г/ в рамках є-разложения теории ф³ использовался метод конформного бутстрапа, при этом применялись уже известные и разработаны новые методы вычисления фейнмановских диаграмм.

Достоверность результатов обусловлена чёткой постановкой задач, применением точных математических методов для их решения, а также сравнением результатов исследований, представленных в диссертации, с полученными ранее другими авторами.

Основные положения, выносимые на защиту:

3. В схеме минимальных вычитаний в логарифмической размерности пространства для квантовополевых теорий с взаимодействием ³, ⁴, ф⁶ получено выражение для оператора собственной энергии вплоть до четырёхпет-левого приближения.

4. В логарифмической размерности пространства с помощью уравнения ренормгруппы проведён расчёт поправок к главному приближению асимптотик больших и малых расстояний пропагаторов теорий ф³, ⁴, ф⁶. Показано, что во всех случаях они выражаются через логарифм и логарифм логарифма импульса. Согласно полученным результатам, в четырёхмерном пространстве 0(ІУ)-симметричная теория ф⁴ при конечном N не является гауссовой, и её пропагатор только в главном приближении — чистая степень, к которой имеются логарифмические поправки. В пределе N —> оо все поправки исчезают, и теория становится гауссовой.

5. С помощью метода конформного бутстрапа, в рамках є-разложения, получено аналитическое выражение для трёх- и четырёхпетлевого приближения критического индекса Фишера г\ теории с взаимодействием ф³. Результат для 4-петлевой поправки хорошо согласуется с её численным значением, полученным другими авторами, использовавшими метод ренормгруппы. Проведены также расчёты ренорм-инвариантной комбинации амплитуд с четырёх-

петлевой точностью.

Апробация результатов и публикации. Результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и школах:

1. Международная студенческая конференция «Science and Progress — 2010»
(Санкт-Петербург, Россия, 2010 г.).

2. Международная студенческая конференция «Science and Progress — 2011»
(Санкт-Петербург, Россия, 2011 г.).

3. Международная студенческая конференция «Science and Progress — 2012»
(Санкт-Петербург, Россия, 2012 г.).

4. Международная студенческая конференция «Science and Progress — 2013»
(Санкт-Петербург, Россия, 2013 г.).

5. Международная конференция «Quarks - 2014» (Суздаль, Россия, 2014
г.).

6. Международная конференция «In Search of Fundamental Symmetries»,
посвященная 90-летию со дня рождения Новожилова Ю. В. (Санкт-
Петербург, Россия, 2014 г.).

7. 5-я международная конференция «Models in Quantum Field Theory»,
посвященная 75-летию со дня рождения Васильева А. Н. (Санкт-Петер
бург, Россия, 2015 г.).

Публикации.

Содержание диссертации полностью отражено в 3 статьях, опубликованных в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus [1-3], а также в тезисах докладов 5 международных конференций [4-8].

Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично, либо при совместной работе в неразделимом соавторстве. Он внес решающий вклад в разработку нового метода построения е-разложения на основе уравнений конформного бутстрапа. Эффективность этого подхода убедительно продемонстрирована в написанной без соавторов работе диссертанта, в которой им получена ранее неизвестная четырёхпетлевая поправка для индекса Фишера.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 62 наименования. Объём работы — 122 страницы.

Общее решение уравнения ренормгруппы

Как известно, в точках фазовых переходов второго рода возникают обычно критические явления, характерной особенностью которых является масштабная инвариантность (скейлинг). Она проявляется в том, что асимптотики корреляционных функций на больших расстояниях описываются обобщенно однородными функциями. В частности, парная корреляционная функция (пропагатор) для трансляционно-инвариантной системы представляет собой степенную функцию, и для нее задачей теории критических явлений является расчет показателя степени (критического индекса). Для этого разработаны различные методы [1,2]. Из них наиболее эффективными являются метод ренормгруппы, позволяющий найти аппроксимации для критических индексов на основе использования начальных отрезков ряда теории возмущений, и метод уравнений самосогласования, в рамках которого удалось получить наиболее точные приближения для l/n-разложения критических индексов в О(п)-симметричной фА-теории [32,33,35].

Интересной проблемой является возможность нарушения скейлинга в критической точке в некоторых исключительных случаях. Анализ этого эффекта в логарифмической размерности пространства проводится в этой главе в рамках метода уравнения ренормгруппы.

Общее решение уравнения ренормгруппы Уравнение ренормгруппы [1,2] имеет вид: ( д д \ , /І—Ь р( )——Ь 27( л D{u,}p}g) = О, (1.1) (7/І од где используются следующие обозначения: /І — масштабный параметр, имеющий размерность массы, (3(g) — бета-функция, j(g) — аномальная размерность поля, g — константа связи (или её функция), р — импульс, D — пропагатор.

В уравнении (1.1) стоит производная по масштабному параметру. Но нас интересует зависимость пропагатора от импульса. Используя уравнение, связывающее производную по масштабному параметру /І с производной по импульсу р

С точки зрения математики в качестве F(g) годится любая дифференцируемая функция, но нас интересует не произвольное решение уравнения, а только пропагаторное: подставляя s = 1 в (1.5) и учитывая, что д(1, д) = д, мы получаем: F(g) = Ф(1,д), и решение уравнения (1.4) записывается в виде:

Поэтому оказывается, что бета-функции и аномальной размерности не достаточно, чтобы найти асимптотику пропагатора, нужно знать ещё Ф(1,д) (пропагатор как функция константы связи при s = 1). Эту функцию можно найти из уравнения Дайсона-Швингера: D (р,д) = А (р) —Ті(р,д), (1.8) где А(р) — затравочный пропагатор, (р, д) — оператор собственной массы (сумма 1-неприводимых диаграмм). В схеме минимальных вычитаний

Таким образом, для нахождения асимптотики пропагатора нужно знать (3(g), 7(#) и (l? ). Чтобы найти S(l,g), потребуется вычислить диаграммы Фейнмана. Удобно ввести функции р(д) и а(д), удовлетворяющие дифференциальным уравнениям: Используя обозначение si = ep 9 s, можно записать: р(д) = lnsi, таким образом, инвариантный заряд д зависит не по отдельности от s и д, а только от комбинации ep y9 s:

Мы видим, что пропагатор представляется в виде произведения амплитуды, зависящей от масштабного параметра /І и константы связи д, и функции Ф, зависящей только от si. Наша цель — найти асимптотику пропагатора при больших значениях lnsi и фиксированной константе связи д. Для нахождения р(д) и а(д) мы используем уже известные приближения для (3(g) и 7(#), а функцию S(l,g) вычисляем, используя технику диаграмм Фейнмана и методы, описанные в [32,33,37-42].

0(А )-спмметричная теория фА

Результаты опубликованы в статье [45]. Используя уравнение ренорм-группы, мы провели расчёт асимптотики пропагатора для теорий 03, фА и ф6. Уравнение включает в себя бета-функцию и аномальную размерность поля. Но для получения результата нужно знать ещё оператор собственной массы как функцию константы связи при фиксированном значением импульса. Чтобы найти его, потребовалось вычислить диаграммы Фейнмана оператора собственной массы в соответствующем порядке.

Ведущее приближение пропагатора в теориях фА и ф6 — чистая степень, в то время как ведущее приближение в теории 03 имеет дополнительную степень логарифма импульса. Поправки во всех случаях выражены через логарифм и логарифм логарифма безразмерного импульса. Асимптотические разложения для всех этих теорий можно записать в виде: где Si = ef g s. В этом выражении все коэффициенты Vnm выражаются явно через коэффициенты функций (3(g), j{g) и (1, (?) и не содержат р(д). Это означает, что пропагатор D(p,g) факторизуется: D(p,g) = Q(fi, g) f(si), Q(fi,g) = e a 9 + p 9 . Функции (т(д) и р(д) в Q(p,,g) определяются дифференциальными уравнениями с дополнительными условиями: Эти функции вычисляются в виде ряда теории возмущений по константе связи д. Общая форма асимптотики факторизованного пропагатора сохраняется при преобразовании s\ — s i = е S\ с постоянным А, не зависящем от д: Чем больше членов ряда теории возмущений для функции (3(g) и гу(д) известно, тем больше поправок для пропагатора можно найти. Если мы знаем к + 1 член для этих функций, то после расчёта к членов функции S(l,g) мы можем найти коэффициенты Wnm вплоть до п = к. Для теории фА известно 5 членов для /3(g) и f(g), поэтому можно вычислить Wnm до п = 4. Для теории 03 только 3 члены было сосчитано, поэтому пропагатор можно вычислить до W2m. А для теории ф6 мы знаем 2 члена (3(g) и (д), таким образом, мы можем найти пропагатор только до W\m.

Все расчёты были выполнены в схеме ренормировок MS. Есть и другие схемы. Функции /3(g), ry(g), S(l,g) зависят от схемы, что имеет место и для коэффициентов Vnm в асимптотическом ряде пропагатора. Тем не менее, в каждой схеме есть единственное процедура факторизации, приводящая его асимптотику к форме D(p,g) = Г2(/і,д)Ф(йі). Различие между двумя схемами ренормировки сводится к различию в константах перенормировки полей и константы связи и параметрах нормировки. Если Di(, (?і, /ІІ), 1)2(5 92-, М2) пропагаторы, полученные в двух разных схемы ренормировки с соответствующей константой перенормировки поля Z(gi), то при больших lns. Таким образом, функция Ф( і) в факторизованной форме пропагатора D(p,g) определяется однозначно, если соответствующим образом зафиксировать один из неуниверсальных коэффициентов Wnm. Например, может быть условие \ц = 0, использованное в наших расчётах.

Модель фА детально исследована в рамках аксиоматической и конструктивной квантовой теории поля. Вопрос, является ли она тривиальной в размерности d = 4, изучался в работах [52,53]. Квантовая теория поля называется тривиальной или теорией обобщённо свободного поля, если в координатном пространстве его n-точечные ампутированные функции Грина обращается в нуль при несовпадающих аргументах для п 2 [53]. Пропага-тор в модели фА совпадает с пропагатором безмассового свободного скалярного поля только в главном асимптотическом приближении. Асимптотику 4-точечной ампутированной функции Грина G можно также вычислить с помощью уравнения ренормгруппы. Нетрудно заметить, что простейшая однопетлевая диаграмма G даёт логарифмическую поправку к главному асимптотическому приближению, и G4 оказывается не локальной, т.е. не исчезает при несовпадающих аргументах. Это может рассматриваться как аргумент, что 4-мерная безмассовая модель фА не является тривиальной.

Согласно нашим результатам, для 0(7У)-симметричной безмассовой теории фА с конечным N, пропагатор имеет вид 1/р2 только в главном асимптотическом приближении. Тем не менее, все поправки исчезают в пределе N —а теория становится гауссовой. Любопытно также, что нет поправок к главному приближению пропагатора при N = —2. Это можно ожидать, так как формальное расширение і-мерной 0(7У)-симметричной модели в точку N = —2 описывается теорией двух фермионных полей с квадратичным локальным взаимодействием, которое не может быть негауссовым из-за антикоммутативности полей [54]. Полученные результаты показывают, что это свойство теории не нарушается в случае d = 4.

Метод конформного бутстрапа для теории 03

В первой диаграмме 2 нижних вершины интегрирования уникальны, и после интегрирования любой из них мы получаем диаграмму ( 4(1,1,2,2,3 + х ,с х ,2 +бо ), которая вычисляется указанным выше алгоритмом. Замечание: в процессе вычислений появляются диаграммы G l, 1,/3), (1, 2, /3) и Сз(1,1,1,/Зі,/З2), которые расходятся в размерности 6: если индекс М вершины (суммарный индекс линий, примыкающих к ней) целочисленный и М 3, то такая вершина в размерности 6 расходится. Поэтому для них мы временно вводим размерную регуляризацию (d = б + 2є). А в диаграммах, где М 4 уже полюсов по є нет и можно положить є = 0. Результат для первой диаграммы будет содержать полюса по си (но полюсов по є не будет). Вторая и третья диаграммы, входящие в Q2, уже считаются просто (во второй диаграмме нижняя левая вершина интегрирования уникальна). Результат вычисления следующий:

Перейдём к вычислению диаграммы 72- От неё нам потребуется найти 3 члена. Аналогичным образом выносится функция Ф: Этот граф имеет полюс 4-го порядка по є, и дифференцирование по си не увеличивает сингулярности. Нужно вычислить три члена по є для 72І =о Путём интегрирования уникальных вершин мы сводим Обозначим её 72. Две сингулярности вынеслись во множитель Н(а + а )2, и граф 72 уже имеет полюс 2-го порядка: в нём расходятся верхний и нижний треугольники. Наша задача — извлечь 3 члена разложения по є при си = 0 и 2 члена при произвольном си до линейного по си вклада. Для этого введём при ш = 0 имеет полюс первого порядка по є, а при является конечной. Рассмотрим сначала 72 72 при ш = 0. Так как эта разность конечна, она не зависит от способа регуляризации. При ш = 0 у графа 72 имеется 3 линии с индексом а — а, величиной порядка є. Нам нужно перенести левую и среднюю линии к правой. Чтобы найти разность, достаточно рассмотреть диаграмму, где изначально правая линия отсутствует, а левую и среднюю надо перенести на её место. /

Перенос левой линии направо не даст вклада (так как диаграмма симметрична), вклад даст только перенос средней линии направо. Чтобы посчи II II тать 72 72 , выберем индексы линий такими, чтобы у первой диаграммы было 4 уникальных вершины интегрирования, а именно:

Сначала рассмотрим случай, когда c51 = c52 = 0 (перекладина отсутствует). В этом случае диаграмма считается явно. Разложив выражение в ряд по до квадратичного члена, мы получаем следующий результат: d - 1 +С11Є + С12 d — 1 + C21 + c22 ; - = 7Г + 27Г (—2 + т)є+ ]_ о "I- C-,42 d 1+С41Є + d — 1 + C3l + C32 +7Г6 + 2r(r — 4) — + en + cfi + C21 + СЦС21 + ci + + C31 + d + C41 + C31C41 + c ] є2 + 0{ei) Как видно из структуры выражения, в линейном порядке по є коэффициенты Cik, і = 1, 2,3, 4, не входят, а в квадратичном порядке входят Qi, а СІ2 не входят. Поэтому для вычисления диаграммы до квадратичного порядка достаточно оставить линейное приближение для индексов указанных 4 линий.

Перейдём к вычислению {o 2/Cf )\uj=o. Разность 72 72 при произвольном си будет иметь полюс первого порядка по є. Этот полюсной вклад нам и потребуется (а конечная часть при произвольном си не нужна). Поэтому на эту разность повлияет только перенос линии с индексом си.

Здесь мы также имеем право регуляризовать так, чтобы в первом графе было 4 уникальных вершины. Пояснение: перенос линии с индексом си из среднего положения в правое эквивалентен последовательно применённым 2 переносам: перенос верхнего хвоста линии направо и перенос нижнего хвоста, в первом случае мы вычитаем сингулярный вклад от верхнего треугольника, во втором — от нижнего. Поэтому указанная разность не зависит от способа регуляризации. /

Сначала рассмотрим её при си = 0: нам нужно найти 2 члена разложения по є. Диаграмма имеет полюс 6-го порядка (расходятся треугольники с индексами а на сторонах). После интегрирования некоторых уникальных вершин получаем следующее: сх а Полученный граф уже имеет полюс 3-го порядка. Имеется несколько линий с индексом а — а, который порядка е. Чтобы извлечь 2 члена разложения от данного графа, можно перенести хвост линии с индексом a —а, опирающийся на сингулярный треугольник, к другой вершине этого треугольника (так как отличаться эти диаграммы будут в третьем нетривиальном порядке).

Выражения для инвариантного заряда и пропагатора в терминах коэффициентов разложения в ряд теории возмущений &еа-функции, аномальной размерности поля и оператора собственной массы

Во всех членах R(v) степень 1пг не выше степени v. R(v)2, R(v) , ... будут обладать таким же свойством. Следовательно, в выражении для ln(l + R(v)) будет то же самое. Так как в уравнении в члене при ln(l + R(v)) стоит множитель -и, то там степень In-и всегда будет меньше степени -и, поэтому для нахождения Qn+i,o (коэффициента при г;та+11пта+1Н) этот член не нужно учитывать.

Отсюда видно, что Qn+1,0 = bb322 Qn0 = bb322 bb322 = bb322 . Для n + 1 гипотеза справедлива, таким образом, мы доказали гипотезу. Значит, все Qn0 действительно находятся явно. В универсальном приближении можно за писать: g = r / QnOV In \v +... = — у - v In M+... = г h... 02 02 пЦ b2l - %vln\v\ Tfj—U Tfj—U On Коэффициенты QVJI\ уже будут содержать р(д), следовательно, они уже не будут универсальны.

Общее утверждение: коэффициенты Qn\ выражаются через &2? &з и является линейной функцией от р(д); Qn2 выражаются через &2? &з и &4 и является полиномом второй степени по р(д). Коэффициенты Qnm выражается через &2? &з5 ? Ьт+2 и являются полиномом степени т по р(#). Доказательство. Посмотрим на формулу (A.1):

Коэффициент pk выражается через &2, &з, , Ofc+з. Решаем уравнение (A.1) итерациями. Универсальное приближении для д уже найдено. Теперь подставим д в следующем приближении: а = г / vn(Qno nм + Qniin"- M) + ? где Qno уже известны, а Qn\ — неопределённые коэффициенты, которые предстоит найти. Для них получится уравнение вида: CiQni + C2p{g)QnO = О, где Сі, С і — известные величины. Из этого уравнения следуют, что зависят от &2, &з и содержат линейную функцию от р(д). Для Qn2 будет: C\Qn2 + C2p{g)Qni + CzPiQno = о, коэффициент Qni содержит линейную функцию от р(д), следовательно, Qn2 будет содержать квадратичную функцию от р(д). Продолжая итерации, мы придём к следующему уравнению для Qnm: из которого следует, что Qnm выражается через &2, 63, , Ьт+2 и являются полиномом степени т по р(#).

С помощью программы «Wolfram Mathematica» вычислены коэффициенты Qnm до 5-го порядка. Коэффициенты И то и V m связаны: Wnm = (—l)mVnm. Чтобы найти коэффициенты V ,o, достаточно в формуле (A.2) в квадратных скобках оставить только единицу, так как в членах g(v), g(v)2, ... степень v будет как минимум на единицу больше степени In г , и они не дадут вклад в VnQ.

Докажем общее утверждение: Wnm, как и V m, — полиномы степени m по Л и зависят от &2, ..., &т+2, Сі, ..., cTO+i, ai, ..., ато. Чтобы найти Vni, нужно в формуле (A.2) в квадратных скобках оставить единицу и линейный по д член, а в формуле (1.19) оставить члены с коэффициентами QnQ и Qn\. А для нахождения Vnm потребуется формулы (A.2) и (1.19) в следующих приближениях:

Так как Qki является полиномом степени / по р(д), то Vnm будет полиномом степени не выше т по р(д). Но так как коэффициент Qnm, который является полиномом степени т по р(д), учитывается для вычисления Vnm, то и Vnm будет также полиномом степени т по р(д), следовательно, Wnm будет также полиномом степени т по А. Что и требовалось доказать. В случае с\ = 0 выражение (A.2) упрощается: x(v) = і + / Xn g{v)n-, п=\ в этом случае Voo = 1, а коэффициенты, которые были универсальными, зануляются: Vno = 0, п 1, зато коэффициенты Vn\ становятся универ 102 сальными, Vn2 становятся линейными функциями А, Vnz — квадратичными, а Vnm — полиномами степени т—1. Для нахождения универсальных членов достаточно написать: x(v) = 1 + Xi9 {v) + потому что в остальных слагаемых степень v будет как минимум на 2 больше степени 1пг . По формуле (1.19): _\ 21 J + 3 [ 21 - 1 — 21 /j J ) Применяя эту формулу к любой из тройных вершин интегрирования г/1,..., Уп-2 и выбирая линию, идущую к г/о в качестве базовой, мы получаем в правой части равенства 4 диаграммы, в каждой из которых индекс М уменьшился на единицу (уменьшился индекс либо базовой линии, либо одной из соседних ей). К 4 полученным диаграммам снова применим указанную Ill формулу интегрирования по частям, и каждая из них выразится через 4 новых с индексом М — 2. И так далее. Рано или поздно индекс одной из линий, примыкающих к г/о, станет равным нулю, значит эта линия разорвётся и получится диаграмма типа Gn_i(mi, ...,mn_i,/3i, ...,/Зп_2). С ней тоже проделываем эту процедуру. В конце концов всё выразится через линейную комбинацию диаграмм типа G2(mi,m2,/3i), которые уже явно интегрируются. Используя результат вычисления диаграммы Gn, можно вычислить явно диаграмму Gn, которая получается из Gn преобразованием Фурье, считается явно. Эту диаграмму можно представить в виде: