Преобразование Дарбу для спектральных задач с редукциями Устинов, Николай Витальевич

Введение к работе

Актуальность темы. Открытие метода обратной задачи рассеяния СМОЗР) обусловило значительное продвижение в понимании физических и математических сторон нелинейных явлений. Его интенсивное развитие объясняется как наличием многочисленных приложений в физике интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений (НЭУ), рассматриваемых в рамках МОЗР, так и разнообразием и элегантностью возникающих математических структур.

Получение из условия совместности вспомогательной линейной системы (пары Лакса) системы интегрируемых НЭУ, имеющей физические приложения, делает важной задачу изучения дополнительных ограничений - редукций, налагаемых на коэффициенты пары Лакса и, следовательно, на данные рассеяния. Учет редукций приводит к более громоздкому представлению решения обратной задачи и, возможно, к отсутствию дискретной части данных рассеяния.

В связи с этим становятся важными задачи расширения классов данных рассеяния, особенно тех, которые допускают восстановление решения НЭУ в точном виде, и нахождения эффективных способов построения решений, удовлетворяющих редукциям. Один из путей решения поставленных задач состоит в развитии алгебраических методов с последующим погружением в МОЗР.

В последнее время МОЗР активно применяется в квантовой электронике и нелинейной оптике при изучении распространения электромагнитных волн в резонансных многоуровненвых средах, в средах с нелинейной зависимостью показателя преломления от амплитуды электрического поля, в теории поверхностных оптических волн, а также для описания прохождения электромагнитной волны через нелинейную границу. Получаемые с его помощью решения описывают существенно нелинейный характер взаимодействия волн и содержат сведения о возможностях наблюдения физических процессов и их протекании. Ослабление ограничений на параметры физических систем, которые описываются интегрируемыми системами НЭУ, можно достичь усложнением редукций, налагаемых на пару Лакса.

Цель работы. В диссертации ставились следующие задачи : 1) развить технику преобразования Дарбу (ПД) построения

последовательности потенциалов спектральной задачи Захарова--Шабата С3D произвольной матричной размерности;

1. разработать метод выделения потенциалов и решений соответствующих интегрируемых ГОУ, удовлетворяющих редукционным ограничениям после проведения последовательности ПД;

2. установить связь техники ПД с МОЗР основанном на аппарате краевой проблемы Римана-Гильберта (PD;

3. применить развитую технику для получения решений систем нелинейных уравнений Шредингера СНЮ и уравнений Максвелла--Блоха С МБ), описывающих распространение поляризованных электромагнитных волн соответственно в нерезонансной нелинейной среде и в резонансной двухуровневой среде, с одним из уровней вырожденным по проекции полного углового момента, с учетом произвольного неоднородного уширения энергетических линий и расстройки от резонанса Стакие же уравнения возникают при изучении распространении двухчастотного импульса излучения в трехуровневой среде, в которой один из переходов запрещен, а силы осцилляторов двух других равны)

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. введены элементарные ПД СЭПД), факторизуищие обычное ПД задачи ЗШ; изучены их свойства; показано, что ЭПД образуют абелеву группу; определено бинарное ПД СБПД) как сумма ЭПД;

2. получены итерационные формулы ЭПД и БПД задачи ЗШ с полиномиальной зависимостью потенциала от спектрального параметра;

3. предъявлены решения задачи РГ с произвольным, неодинаковым числом нулей произвольной кратности вне и внутри границы областей аналитичности; в случае одинаковых сумм кратностей нулей рекуррентые соотношения в терминах проекторов разрешены через определители; получены решения задачи РГ в пределе при стремлении положения нулей к границе;

4) разработан метод построения решений интегрируемых НЭУ,
возникающих из условий совместности при наложении на потен
циалы редукций, связанных с автоморфизмами в пространстве ре
шений спектральной задачи; показано,что для некоторых редук
ций построенные решения не попадают в класс решений, получа
емых в рамках обычной схемы МОЗР, основанной на формализме

задачи РГ;

5) при помощи развитой техники построены решения систем МБ и НШ на нулевом и периодическом фоне, описывающие процессы формирования и распада импульсов; в частности, показано, что в случае произвольных заселенностей уровней устойчивым оказывается импульс, резонансный переходу с большей начальной раз-HocTbD заселенностей уровней.

Практическая и теоретическая ценность. Перечисление редукций нелинейных уравнений может дать новые примеры физически важных уравнений, допускающих представление в виде условия совместности вспомогательной линейной системы, а также ослабить ограничения на параметры нелинейных систем, интегрируемость которых известна. Анализ получаемых аналитически решений дает информацию о характере протекания физических процессов. Влияние физических факторов, нарушающих интегрируемость нелинейных уравнений, часто оказывается возможным учитывать по теории возмущений.

Для интегрируемых случаев систем МБ, описывающих распространение многочастотных импульсов в многоуровневых резонансных средах, с помощью развитой техники мсжно учитывать влияния теплового уширения линий, произвольной начальной заселенности уровней, пространственной неоднородности плотности резонансных атомов Сэто оказывается важным при изучении процессов прохождения импульсов через тонкую пленку резонансных частиц). Особенности поведения получаемых решений могут использоваться для преобразования частоты импульсов излучения, лазерного разделения изотопов, фотостимулирования химических реакций, для измерения дипольних моментов переходов, при создании устройств управления лазерным излучением.

При помощи ПД можно строить помимо экспоненциально убывающих на бесконечности решений, неограниченно растущие, рационально убывающие, периодические решения НЭУ, а также изучать взаимодействие солитонов на таком фоне. Интерпретация этих решений в рамках МОЭР может дать новые классы данных рассеяния. Развитая техника введения ЭПД и учета редукций допускает обобщение на спектральные проблемы, где полное развитие МОЗР громоздко, либо еще не выполнено.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены в 1991 г. на международной школе-семинаре "Nonlinear waves" Сг.Светлогорск» РФ), в 1990 и 1992 гг. на международных конференциях "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems" Сг. Галиполи, Италия; г.Дубна, РФ), в 1993 г. на международной" конференции "Nonlinear Theory and its Applications" Сг.Гонолулу, США), в 1994 г. на семинаре--совещании "Нелинейные волны" Сг.Светлогорск, РФ), а также докладывались на семинарах кафедр физики высоких энергий и элементарных частиц СПбУ и теоретической физики КГУ.

Публикации. По результатам диссертации имеется 6 печатных работ.

Обьем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 97 страницах машинописного текста. Она состоит из введения, трех глав с автономной нумерацией формул, двух приложений и списка литературы из 79 наименований.