Введение к работе
Актуальность темы.
Задачи, решаемые в диссертации, связаны с изучением калибровочной теории высших спинов, которая рассматривается как возможный кандидат на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий.
Калибровочные теории высших спинов являются расширением теорий супергравитации. Если в супергравитации описывается гравитационное взаимодействие безмассовых полей спина s = 3/2, то теории высших спинов решают ту же проблему для безмассовых полей высших спинов s > 2. Основной мотивацией исследования таких теорий послужило стремление преодолеть известное ограничение на число супергенераторов N < 8, вызванное ограничением з < 2 в d = 4 теориях супергравитации, и надежда, что теории, обладающие большим числом калибровочных симметрии, позволят справится с ультрафиолетовыми расходи-мостями в квантовой теории гравитации.
На сегодняшний день известны следующие нелинейные теории высших спинов:
на уровне функционала действия в размерностях d = 4 (E.S. Fradkin, М.А. Vasiliev, Phys. Lett. В 189 (1987) 89) и d = 5 (М.А. Vasiliev, Nucl. Phys. В 616 (2001) 106; K.B. Alkalaev, М.А. Vasiliev, Nucl. Phys. В 655 (2003) 57), описывающие взаимодействия симметричных полей в кубическом приближении;
на уровне уравнений движения в произвольной размерности, описывающие взаимодействие симметричных полей в любом порядке по взаимодействию {М.А. Vasiliev, Phys. Lett. В 243 (1990) 378; Phys. Lett. В 567 (2003) 139).
Эти теории обладают следующими общими свойствами:
в теориях присутствуют безмассовые возбуждения бесконечных
систем спинов 0 < s < со (существует минимальная теория, содер
жащая только четные спины);
- І
теории определены только на фоне пространства анти-де Ситтера (пространства постоянной отрицательной кривизны R = — d(d — 1)Л2)
взаимодействие содержит члены со старшими производными, неана-литичные по А;
теории инвариантны относительно калибровочных преобразований, образующих бесконечномерные супералгебры (алгебры высших спинов);
Геометрия пространства AdSd, возникающая в качестве пертурбатив-ного вакуума теорий высших спинов, имеет определяющее значение при построении непротиворечивого и нетривиального взаимодействия полей высших спинов. С технической точки зрения, присутствие в теории размерного параметра А позволяет строить бесконечное число вершин взаимодействия, вовлекающих произвольное число полей и производных, и обезразмериваемых отрицательными степенями А. Поэтому взятие формального предела А = 0 не определено, что делает плоскую геометрию неадекватным фоном для динамики взаимодействующих полей высших спинов. Тем не менее, если исключить гравитационное взаимодействие калибровочных полей высших спинов, примеры непротиворечивых кубичных взаимодействий полей высших спинов могут быть построены и на плоском фоне {A. Bengtsson, I. Bengtsson and L. Brink, Nucl. Phys. В 227 (1983) 31).
Неаналитичность теорий высших спинов по А не означает, что плоский фон недостижим для этих теорий, а лишь указывает на то, что плоская геометрия несовместима с калибровочными симметриями высших спинов. Предположим, что симметрии высших спинов теории тем или иным способом (например, с помощью размерной редукции) нарушены до симметрии супергравитации. В спектре полученной теории появится бесконечная башня массивных возбуждений, а безмассовыми останутся только возбуждения, отвечающие подалгебре ненарушенных симметрии, т. е. полям спина s = 1, 3/2, 2. Одновременно изменится и космологическая постоянная, которая может стать равной (или близкой) нулю.
Полученная в результате теория может претендовать на роль "правильной" физической теории, например, может отвечать той или иной теории струн, а о теориях высших спинов, таким образом, можно думать как о симметричной фазе этих теорий.
Актуальность изучения калибровочных теорий высших спинов резко возросла в связи с гипотезой Малдасены об AdS/CFT соответствии (J.M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231), связывающей теорию гравитации в d+1-мерном пространстве анти-де Ситтера (AdSd+i) с d-мерными конформными теориями на (конформной) границе AdSd+i Соответствие устанавливается между полями теории в объеме и токами на границе. На сегодняшний день основные тесты этой гипотезы проведены в режиме больших значений постоянной т'Хоофта 9ум^ ~* > что соответствует непертурбативному режиму теории на границе и квазиклассическому пределу теории в объеме. В противоположном режиме 9ум^ -* 0 теория на границе является свободной (т.е. обладает бесконечным набором симметрии), а потому и дуальная ей теория должна обладать бесконечным набором симметрии. Таким образом, хорошим кандидатом на роль дуальной теории является теория высших спинов в пространстве AdSd+i {В. Sundborg, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 102 (2001) 113).
Одним из основных направлений дальнейшего развития теорий высших спинов является выход за пределы симметричных полей и построение взаимодействующих теорий высших спинов в произвольных размерностях для полей смешанного типа симметрии. Однако, до недавнего времени, общая теория свободных полей смешанного типа симметрии в AdS-пространстве отсутствовала. Дело в том, что классификации безмассовых представлений групп Пуанкаре и анти-де Ситтера принципиально различны: безмассовые поля смешанного типа симметрии в AdSd не классифицируются согласно неприводимым представлениям малой группы SO (d — 2), как можно было бы ожидать по аналогии с пространством Минковского. Точнее, каждое неприводимое безмассовое поле на
фоне AdSd распадается на совокупность неприводимых безмассовых полей на плоском фоне (L. Brink, R. Metsaev, М. Vasiliev, Nucl. Phys. В 586 (2000) 183). С теоретико-полевой точки зрения это означает различную структуру калибровочных симметрии полей в пространствах Минков-ского и анти-де Ситтера (R. Metsaev, Phys. Lett. В 354 (1995) 78; Phys. Lett. В 419 (1998) 49).
Одним из методов удобных для эффективной работы с бесконечными наборами полей и естественно возникающих в теории высших спинов является так называемая "развернутая формулировка", которая позволяет переформулировать динамические уравнения рассматриваемой системы как некоторые условия нулевой кривизны, дополненные определенными связями, не содержащими пространственно-временных производных. Такая формулировка, в принципе применимая к любым динамическим системам, полезна как минимум в двух отношениях. Она приводит к простой конструкции общего решения свободных уравнений, а также, делая явными бесконечномерные симметрии высших спинов, подсказывает, как описать нелинейную динамику.
В этой связи является актуальным изучение динамики несимметричных полей на пространстве анти-де Ситтера произвольной размерности и исследование общих свойств развернутой формулировки динамических систем.
Цель работы. В первой части диссертационной работы (глава 1) изучается возможность тетрадно-подобного описания динамики полей произвольного типа симметрии в пространстве AdSd на примерах несимметричных полей типа "крюк" и "окошко". Вторая часть (главы 2—5) посвящена исследованию свойств развернутой формулировки динамических систем и ее применению для анализа некоторых конкретных динамических систем, включая уравнения Клейна-Гордона, Дирака и конфомно инвариантные уравнения.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые.
Научная и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, имеют непосредственное применение в теориях калибровочных полей высших спинов, а также в исследованиях интегрируемых систем и полевых моделей, связанных с теорией струн. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах теоретического отдела ФИАН, а также конференции QUARKS III, (Валдай, июнь 2002), на III международной Сахаровской конференции по физике (Москва, 22-29 июня, 2002), конференции, посвященной 70-ти летию теоретического отдела ФИАН (Москва, 11-16 апреля, 2005) и на IV международном симпозиуме Quantum Theory and Symmetries (Варна 15-21 августа, 2005).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 статьи и 1 статья направлена в печать (см. стр. 21).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, объединяющих 24 раздела, заключения, двух приложений и списка цитированной литературы, включающего 120 именований. Общий объем работы - 134 страницы.