Содержание к диссертации
Введение
1 Математическая модель переноса многочастотного электромагнитного излучения в оптически плотном газе в условиях резонанса когерентного пленения населённостей 22
1.1 Перенос широкополосного излучения в оптически плотном газе щелочных атомов в отсутствие радиочастотного поля 22
1.1.1 Постановка задачи 22
1.1.2 Квантовые кинетические уравнения для атомной матрицы плотности 25
1.1.3 Переход к уравнениям для средних значений матрицы плотности и спектральному представлению лазерных полей 29
1.1.4 Уравнения переноса спектра излучения 34
1.2 Перенос широкополосного излучения в оптически плотном газе в присутствии радиочастотного поля, образующего замкнутую схему возбуждения 40
1.2.1 Квантовые кинетические уравнения для матрицы плотности в модели "трёхуровневого" атома 40
1.2.2 Переход к уравнениям для средних значений матрицы плотности и спектральному представлению лазерных полей 44
1.2.3 Уравнения переноса спектра излучения 50
1.3 Выводы к главе 1 53
2 Резонанс когерентного пленения населённостей в оптически плотной ячейке с буферным газом в модели трёхуровневой -схемы 54
2.1 Система уравнений для матрицы плотности атомов и для переноса спектра излучения 54
2.2 Анализ решения атомно-полевой системы уравнений 57
2.2.1 Влияние уширения спектра излучения на форму резонанса когерентного пленения населённостей 57
2.2.2 Влияние уширения спектра излучения на стабильность квантового стандарта частоты 62
2.2.3 Перенос межмодовых корреляций излучения 65
2.3 Выводы к главе 2 67
3 Резонанс когерентного пленения населённостей в оптически плотной ячейке с буферным газом при учёте сверхтонкой и зеема новской структур уровней щелочного атома 68
3.1 Стабильность квантового стандарта частоты при возбуждении КПН-резонанса излучением с различными типами поляризации 68
3.1.1 Влияние уширения спектра излучения на стабильность квантового стандарта частоты для конфигураций lin lin и lin lin 71
3.1.2 Оптимизация оптической толщины ячейки 75
3.1.3 Оптимизация интенсивности излучения 77
3.1.4 Оптимизация однофотонной отстройки излучения 81
3.2 Анализ световых сдвигов 83
3.2.1 Световой сдвиг в оптически плотной среде в конфигурации lin lin 83
3.2.2 Зависимость светового сдвига от интенсивности
3.3 Оценка влияния боковых компонент спектра излучения 88
3.4 Сравнение с экспериментом 90
3.5 Выводы к главе 3 92
4 Фазовая чувствительность оптических свойств атомного газа при замкнутой схеме возбуждения 94
4.1 Показатель преломления и поглощения оптически тонкой среды холодных атомов 94
4.2 Пространственные осцилляции интенсивности и показателя преломления в оптически плотной среде
4.2.1 Холодные атомы и монохроматические поля 100
4.2.2 Холодные атомы и импульсные поля 109
4.2.3 Горячие атомы и стационарные поля с конечной шириной спектра 112
4.3 Сравнение с экспериментом 115
4.4 Выводы к главе 4 118
Заключение 119
Приложения 120
A. Матричные элементы оператора дипольного момента 120
Б. Интеграл столкновений 121
B. Физические и оптические свойства атома 87Rb 125
Список литературы
- Переход к уравнениям для средних значений матрицы плотности и спектральному представлению лазерных полей
- Влияние уширения спектра излучения на форму резонанса когерентного пленения населённостей
- Оптимизация интенсивности излучения
- Пространственные осцилляции интенсивности и показателя преломления в оптически плотной среде
Переход к уравнениям для средних значений матрицы плотности и спектральному представлению лазерных полей
В интересующем нас классе задач, в частности, в области квантовых стандартов частоты и магнитометрии используются слабые электромагнитные поля, мало меняющие равновесную газокинетическую функцию распределения атомов. Все столкновительные процессы идут гораздо быстрее, чем процессы, связанные с полевым возбуждением. Это означает, что частота Раби такого поля много меньше частоты столкновений щелочного атома v. При концентрации буферного газа nbuf 1017 см-3 и температуре 60С частота столкновений составляет v 108с-1. Интенсивности излучения, используемые в стандартах частоты и магнитометрах, имеют значения 0.001 - 1 мВт/см2, что соответствует частотам Раби 105-107 с"1. Это позволяет предполагать, что населённость возбужденного уровня имеет значение, много меньшее населённости основного Рее рдд. Поэтому в уравнениях (13), (14) для оптических когерентностей можно пренебречь слагаемым, содержащим рее (адиабатическое приближение). Это также позволяет пренебречь когерентностями между возбужденными уровнями
Рассмотрим в системе уравнений (9)-(14) дрейфовое слагаемое vdpab(v)/dz. Как говорилось выше, в ячейку помимо щелочных атомов введен буферный газ, концентрация которого на несколько порядков выше концентрации щелочного металла (па nbuf), что делает длину свободного пробега I щелочного атома много меньше размеров ячейки. Поэтому перемещение щелочных атомов с определенной матрицей плотности в объёме ячейки, вызванное пространственными градиентами, имеет диффузионный характер. Причинами градиентов матрицы плотности в ячейке являются пристеночная релаксация и изменение характеристик излучения вдоль среды за счет поглощения и преломления. Оценим вли зо яние диффузии на итоговое распределение матрицы плотности в ячейке. Если домножить дрейфовое слагаемое для населенности pgg{v) на концентрацию щелочных атомов и проинтегрировать по скоростям, то под знаком производной возникнет поток jgg атомов, находящихся на уровне \д). Поток можем заменить согласно первому закону Фика через градиент концентрации: [ dpgg(v,z,t) djgg(z,t) Dd2 ngg(z,t) UaV dz dz dz2 ( ) где ngg - концентрация атомов на уровне \д),D- коэффициент диффузии. Длина свободного пробега атома при концентрации буферного газа nbuf 1017 см"3 составляет / « \/{ribuf {4uf + i"a)2) 10 3 см для пары рубидий - азот. Тогда коэффициент диффузии имеет порядок величины D = lvt/S 10 см2/с при температуре 60С. Как было сказано, градиент матрицы плотности может иметь место в пристеночной области: атом в когерентном состоянии, прорелак-сировав на стенке, может продиффундировать некое расстояние перед тем, как излучение снова переведет его в когерентное состояние (на это понадобится время П 1). Образуется пристеночный слой с пониженной атомной когерентностью. Толщина этого слоя лD г 10"3 см для частоты Раби П = lOV1 при рассматриваемых размерах ячейки порядка 1 см. Иными словами, при данных параметрах атомы всегда успевают перейти в равновесное с полем состояние и эффектом диффузионного перемешивания можно пренебречь. Таким образом, далее мы приравниваем нулю производную по координате в левых частях уравнений (9)-(14).
Как уже говорилось, p{v,z,t) представляет собой случайную функцию времени в виду флуктуаций излучения. Для практических расчетов интерес представляют усредненные по ансамблю флуктуаций излучения значения матрицы плотности (р(г , z)). Они не зависят от времени, поскольку излучение представляет собой стационарный случайный процесс. При усреднении уравнений (9) - (12) по ансамблю флуктуаций излучения в них войдут средние произведения вида (E (z,t)pegm(v, z,t)). Подставим в них выражения для оптических когерентностей, полученные из уравнений (13), (14) в квадратурах: t РедлЫ) = f dt exp [ (i8egj(v) - Vopt)(t - t )} iiY DeglEQl{t )pgligj{v,t )+ -L »І (16) + i Degl2El{t )pgl2g.{v,t )V j = 1,2. Здесь 5egj(v) = ujj —Loegj —kjV - расстройки лазерного излучения от конкретного перехода для скоростной группы v, Topt = Z/+7/2 - скорость распада оптических когерентностей, аргумент z у элементов матрицы плотности и полей опущен для краткости. Рассмотрим среднее произведение (E (t)pegj(v,t)) подставив в него найденное выражение (16): (E% (t)peg.(v,t)) = dt ey [{i5egj{v)opt){t )} Поскольку t в (17) пробегает значения (-ооД возникшие тройные корреляторы можно "расцепить", полагая, что состояние атомной системы в момент t не влияет на состояние поля в последующие моменты t в той же точке z:
Поскольку излучение представляет собой стационарный случайный процесс, мы можем выразить парную корреляционную функцию поля согласно теореме Винера-Хинчина через Фурье-преобразование спектральной плотности: оо {EQ:{t)Et{t )) = j JU e dw, (19) —оо где J\\{uj) и J22(w) - энергетические спектры излучения, центрированные на нулевую частоту. Они являются вещественными. Jy2iu)) - комплексная величина, называемая взаимным спектром, отражающая корреляции между частотными компонентами ш\ и ш2. Из (19) видно, что JU(OJ) = (UJ). Подставляя выражение (19) в (17), проведем интегрирование по t : {E0n (t)peg](v,t)) = -iWnl{5ego,v)Y Deg[(pg[gj{v)) 91 (20) iWn2{5ego, v) Deg2 (Pgi2g3 M), где Wnm(5eq.,v) = f d j {ш) - ф содержащие в себе только ъу0 —оо i(deg.(v)+w)— 1 0pt J , известные величины, Seg. - однофотонная расстройка j-ого поля от перехода е + \д-).
Уравнения (9) - (12) содержат неизвестную величину под знаком интеграла. Чтобы избавиться от интегрального характера уравнений, необходимо проинтегрировать их по скоростям атомов. В рассматриваемом нами случае, когда поля достаточно малы, распределение по скоростям долгоживущих элементов матрицы плотности, таких как низкочастотные когерентности и населенности основного состояния, очень слабо отличается от распределения Максвелла М(у). Поэтому далее мы положим: (Pgg(v,z)) = M(v){pgg(z)), {P99 (V,Z)) = M{v)(pggl{z)) (21) В итоге уравнения для радиочастотных когерентностей после усреднения по ансамблю флуктуаций излучения, подстановки (20), (21) и интегрирования по скоростям атомов примут вид [72]:
Влияние уширения спектра излучения на форму резонанса когерентного пленения населённостей
Чтобы решить систему уравнений для матрицы плотности атомов (90)-(93) совместно с системой уравнений переноса спектра (96)-(98), необходимо задать форму спектров на входе в среду. Для этого определим статистические свойства полей, представляющих собой стационарные случайные процессы: Sln(t) = (ап + Ъп п{1)У \ п = 1,2. (100) В (100) поле имеет амплитудные флуктуации, связанные со случайной добавкой bnCn(t) к средней амплитуде ап, и фазовые флуктуации, обусловленные случайной функцией (pn(t). Здесь n(t), ап, Ъп, (pn(t) - вещественные величины, (n(t)) = 0, (2(t)) = 1. Амплитудные и фазовые флуктуации предполагаются статистически независимыми. С учётом этого автокорреляционная функция поля имеет вид:
При нормально распределённых флуктуациях фазы, корреляции между которыми исчезают за время 2Г 1, среднее от экспоненты в правой части (101) может быть представленно в виде (е СЬЫ ))) = е- И, где т = t . Корреляционную функцию амплитудных флуктуаций в правой части (101) в случае нормально распределённых флуктуаций амплитуды также можно подставить в виде экспоненты, но с другим временем затухания: {n{t)n{t )) = е М. Тогда энергетический спектр такого поля представляет собой сумму двух резонансных контуров [81]: оо Jnn(uj) = [(П:(і)Пп(і-т))е-шЧт = 27Г V сю (102) O2 + b тг[Г/4 + о;2] п2тг[(Га + Гь)2/4 + о;2]
Первое слагаемое в (102) представляет собой спектральную линию сигнала, уширенную только благодаря фазовым флуктуациям. Второе слагаемое представляет собой спектр шума, в уширение которого дают вклад как фазовые, так и амплитудные флуктуации. Поэтому спектр (102) имеет вид узкого пика на широком "пьедестале". Для стабильных источников излучения потоянная составляющая поля ап значительно превосходит величину Ьп его амплитудных флуктуаций. Запишем выражение для средней интенсивности: =вет IJm{u)du —оо Подставляя (102) в (103), получим интенсивность на входе в среду в виде двух слагаемых: (/„( )) = 1п= (а2п + Ъ2п). (104)
Форма КПН-резонанса по суммарной интенсивности излучения / = h + h, нормированной на интенсивность на входе (a), и по средней населённости возбуждённого уровня (b) для различных ширин спектра лазерного излучения Г . С изменением ширины спектра интегральная интенсивность излучения остается постоянной. Интенсивности на входе в ячейку /ДО) = /2(0) = 2 мкВт/см2, температура Т = 55С, концентрация рабочих атомов па = 1.15 -10й см"3, концентрация буферного газа щи] = Ю18 см 3, длина ячейки L=1 см, скорость спонтанного распада возбуждённого уровня 7 = 107 c"1.
Первое слагаемое соответствует интенсивности поля без флуктуаций, а второе представляет собой среднюю интенсивность флуктуаций. Как было сказано выше, обычно имеет место неравенство Ьп С ап. Это даёт возможность считать форму спектра на входе лоренцевой и вместо выражения (102) приближённо записать энергетический спектр полей на входе в среду в следующем виде:
Если /3=1, компоненты ш\ и бо 2 полностью скоррелированы, а если /3 = 0, то корреляция между ними полностью отсутствует. Далее зададим полную Рис. 11: Поглощение энергетического спектра частотной компоненты ш1 при прохождении излучения через среду в случае узкого (а) и широкого (b) спектров вне КПН резонанса (двухфотонная отстройка 5 = 1140 Гц). С изменением ширины спектра интегральная интенсивность излучения остается постоянной. Параметры те же, что на Рис.10. корреляцию между двумя компонентами излучения на входе в среду то есть J12(a;,0) = V/0)SM. Это соответствует случаю, когда две частотные компоненты получены из одной путем амплитудной модуляции на частоте микроволнового перехода.
На Рис.10(а) представлена зависимость нормированной интенсивности излучения на выходе газовой ячейки, усреднённой по флуктуациям полей и биениям на разностной частоте, от двухфотонной отстройки 5 = 1 - 2 [72,80]. Эта зависимость представляет собой форму КПН-резонанса по сигналу прошедшего вперёд излучения. На Рис.10(b) представлен КПН-резонанс, построенный по населённости возбуждённого уровня У = L 1 J0L(p33(z))dz, усреднённой по длине ячейки. При этом по оси ординат откладывалась величина, называемая контрастом резонанса, вычисляемая по формуле Contrast ») = ( 3 ( )- "33 №, где 5С - двухфотонная отстройка "вдали" от резонанса. Однофотонная отстройка полагалась равной нулю = 1 + 2 = 0. Кривые на Рис.10 приведены для различных ширин спектра излучения, но для одинаковой интегральной интенсивности на входе в ячейку. При 6 = 0 прошедшая интенсивность максимальна, поскольку, благодаря наличию низкочастотной когерентности {р12), рабочие Рис. 12: Форма КПН-резонанса по суммарной интенсивности излучения, нормированной на интенсивность на входе (a), и по средней населённости возбуждённого уровня (b) для различных ширин спектра лазерного излучения Г . С изменением ширины спектра интегральная интенсивность излучения остается постоянной. Интенсивности на входе в ячейку /i(0) = 8 мкВт/см2, /2(0) = 2 мкВт/см2, остальные параметры те же, что на атомы находятся в непоглощающем состоянии КПН и среда просветляется [1]. "Вдалеке" от двухфотонного резонанса наблюдается поглощение света средой, поскольку низкочастотная когерентность разрушается. Введём безразмерный параметр - отношение ширины спектра излучения к ширине линии поглощения газа. Последняя складывается из допплеровского уширения kvt, естественной ширины возбуждённого уровня 7/2 и столкновительного уширения v. При температуре 50С допплеровское и столкновительное уширения сравнимы друг с другом и на два порядка превышают однородное. В случае, когда ширина спектра излучения много меньше ширины линии поглощения газа (А С 1, сплошные кривые на Рис.10), резонанс имеет максимальную амплитуду как по прошедшей интенсивности, так и по средней населённости возбуждённого уровня. Спектр излучения поглощается, не искажаясь (Рис.11(a)). При уширении спектра излучения (А « 1) его края начинают выходить за линию поглощения газа, и интенсивность излучения поглощается слабее вне области двухфотонного резонанса, что видно, как уменьшение амплитуды резонанса на Рис.10(a). При этом на Рис.11(b) видны искажения спектра в виде появления в нём провала ввиду селективности поглощения спектральных компонент.
Далее рассмотрим важный в практическом отношении случай, когда на оптических переходах действуют поля с различными частотами Раби. В атоме 87Rb матричные элементы дипольного момента переходов для разных сверхтонких подуровней основного состояния различны. Поэтому при одинаковых интенсивностях накачивающих полей их частоты Раби будут различны. В математической модели мы полагаем матричные элементы дипольного момента d:n и d:i2 одинаковыми, поэтому смоделируем данную ситуацию, задав разные интенсивности /i(0) и /2(0). На Рис.12 представлены формы КПН резонанса при интенсивностях /i(0) /2(0). На графиках видно, что резонанс уширился по сравнению со случаем одинаковых интенсивностей.
Оптимизация интенсивности излучения
Кратковременная нестабильность за время накопления { = 1 с в зависимости от суммарной интенсивности / на входе (a) и отношения интен-сивностей hi 12 на входе при постоянной / (b) для двух схем поляризации. Параметры те же, что на Рис.21. Площадь луча S = 0.28 см2. ляризационных конфигураций. Для поляризационной схемы lin lin наименьшая нестабильность достигается при интенсивности около 0.6 мВт/см2, а для lin _L lin - при интенсивности 0.4 мВт/см2 (Рис.22(a)). Эта разница в первую очередь обусловлена тем, что матричные элементы переходов, формирующих низкочастотную когерентность, для этих поляризаций различны. Этот аспект не зависит от оптической толщины ячейки. Во-вторых, при настройках на возбуждённый уровень \Fe = 1) и \Fe = 2) будет иметь место разный коэффициент поглощения в оптически плотной среде. Из-за этого в ячейке установятся разные распределения интенсивности с координатой z, имеющие разную оптимальную входную интенсивность.
На Рис.22(b) показана зависимость кратковременной нестабильности от отношения І\/І2 интенсивностей частотных компонент на входе при постоянной сумме h+I2. Вообще говоря, в модельной трёхуровневой -схеме (см. Рис.9) с равными матричными элементами дипольного момента на обоих оптических переходах наибольший контраст КПН-резонанса достигается при отношении І\/І2 = 1. Когда это отношение отлично от единицы, амплитуда резонанса падает. В реальном атоме матричные элементы дипольного момента могут отличаться на переходах, образующих -схемы. Например, при поляризации lin lin КПН-резонанс возбуждается на -переходе 5-10-3 (см. Рис.15), отношение дипольных моментов для которого І5,іо/ з,ю = л/3. Поэтому отношение интен-сивностей для сохранения равных часот Раби в оптически тонкой среде должно быть І\/12 = 3. Однако в оптически плотной среде это отношение может изменяться при прохождении среды. Из уравнений переноса спектра (36)-(39) видно, что коэффициент поглощения на переходе a-b в отсутствие атомных когерент-ностей пропорционален 4ь2. Для атома 87Rb отношение 1 В!г) = 1/5, Kg—2аге—1) поэтому интенсивность 1\ поглощается слабее, чем І2, и отношение интенсивно-стей І\/І2 растёт внутри среды. При задании на входе отношения I\/ h = 1, далее оно стремится к 3, что обеспечивает повышение амплитуды КПН-резонанса в конфигурации lin lin, поэтому опимальное отношение для этой конфигурации близко к 1 (Рис.22(b), сплошная кривая).
В конфигурации lin _L lin КПН-резонанс возбуждается на -переходах 2-13-6 и 2-15-6 (см. Рис.15), отношение матричных элементов для которых имеет значения йгдз/ бдз = 1 и d2,i5/d6,i5 = -1, то есть в оптически тонкой среде оптимальное отношение интенсивностей равно единице. Смещение минимума пунктирной кривой на Рис.22(b) влево от единицы связано только с эффектом поглощения в плотной среде. При задании на входе І\/І2 1 это отношение стремится к 1 вутри среды и увеличивает контраст КПН-резонанса.
В предыдущих разделах были проведены расчёты КПН-резонанса только для двух случаев: 1) поляризационная конфигурация lin lin при настройке на уровень Fe = 1) и 2) поляризационная конфигурация lin _L lin при настройке на уровень Fe = 2). В данном разделе будет проведён анализ изменения формы КПН-резонанса при сканировании однофотонной отстройки , отсчитываемой от уровня Рі/2 атома 87Rb в отсутствие сверхтонкого расщепления (см. Рис.15).
На Рис.23 показана зависимость формы КПН-резонанса от однофотонной отстройки , где введены обозначения Fe=i = -0.51 ГГц - настройка на уровень Fe = 1), Fe=2 = 0.31 ГГц - настройка на уровень Fe = 2). В конфигурации lin lin (Рис.23(а)) КПН-резонанс имеет наибольшую амплитуду Рис. 23: Форма КПН-резонанса по интенсивности прошедшего вперёд излучения для конфигурации lin lin и интенсивностях h = I2 = 0.1 мВт/см2 (a) и конфигурации lin _L lin и интенсивностях h = I2 = 0.2 мВт/см2 (b) для различных однофотонных отстроек . Параметры: L = 500 кГц, L=2 см, В = 0.05 G, пЫ1 = 2.9 1017 см"3, Т = 48.5С.
Рис. 24: Кратковременная нестабильность за время накопления t = 1 с в зависимости от однофотонной отстройки для двух схем поляризации. Параметры те же, что на Рис.23. Площадь луча S = 0.28 см2. при однофотонной отстройке, близкой к AFe=h поскольку при этом взаимодействие с уровнем \Fe = 2) слабо из-за значительной отстройки. При этом минимум нестабильности на Рис.24 (сплошная кривая) смещён влево от точной настройки на \Fe = 1), что согласуется с данными эксперимента [89]. На кривой имеется также ещё один локальный минимум нестабильности при однофотонной отстройке, близкой к Afe=2, но значение нестабильности в этом минимуме более чем на порядок превосходит значение в глобальном минимуме, поэтому не представляет интереса. Ширины этих минимумов определяются ширинами линий поглощения газа, в которые даёт вклад допплеровское, ударное и естественное уширение.
В конфигурации lin _L lin (Рис.23(b)) при однофотонной отстройке в окрестности \Fe = 1) дискриминационная кривая состоит из трёх слившихся КПН-резонансов (штрих-пунктирная кривая), Л-схемы переходов которых показаны на Рис.15 жирными линиями. При постепенном переходе однофотонной отстройки к уровню \Fe = 2) остаётся только один КПН-резонанс, поскльку тёмное состояние на уровнях 1,3,5,7 разрушается (см. Рис.15), поэтому прозрачность среды в максимуме пропускания падает (сплошная кривая). Но "пьедестал" резонанса также уменьшается из-за поглощения на переходах 1-12, 5-12, 3-16 и 7-16. В итоге на графике зависимости нестабильности от однофотонной отстройки на Рис.24 (пунктирная кривая) имеется два минимума, причём наименьшая нестабильность достигается при настройке на уровень \Fe = 2). Из графика видно, что нестабильность для поляризации lin _L lin гораздо менее чувствительна к однофотонной отстройке, чем для lin lin.
Пространственные осцилляции интенсивности и показателя преломления в оптически плотной среде
Квазипериодическая зависимость распределения интенсивности каждой из оптических мод в среде происходит именно из-за обмена энергией между этими модами, поскольку суммарная их интенсивность I(z) = (Q1(z)2 + ft2( )2)/( 1(0)2 + 2(0)2), усреднённая по биениям с радиочастотой, имеет всегда монотонный характер спада (Рис.35). В случае Ф0 = 7г/2 энергия каждой из оптических мод на определенной координате z перекачивается в другую полностью, после чего с ростом z начинается обратная перекачка энергии, подобно биениям двух слабо связанных осцилляторов. На эти осцилляции накладывается процесс резонансного поглощения, несущий монотонный характер.
Зададимся вопросом, как сделать осцилляции энергии между оптическими модами слабо затухающими и близкими к синусоидальным. Необходимым условием состояния ЭИП является равенство нулю фазы замкнутого контура возбуждения Ф(г) = 0. На Рис.34 точечная кривая пересекает ось z как минимум четыре раза перед выходом на тождественный нуль, но среда в этих точках
Зависимость вещественных частей оптических когерентностей на переходах 1) - 3) (a) и 2) ++ 3) (b) от относительной фазы для различных значений частоты Раби Qv Параметры: П2 = 7, U = З.57. не переходит в состояние ЭИП, потому что не равны друг другу частоты Раби оптических полей. В самом деле, при различных частотах Раби оптических полей (асимметрия системы) при условии нулевой фазы показатели преломления на двух оптических переходах не равны нулю и друг другу (Рис.36, сплошные и точечные кривые), что вызывает последующий набег фазы с ростом z и новую пространственную осцилляцию. Напротив, на глубине, где становятся равны частоты Раби Q\ = f , относительная фаза отлична от нуля, что опять ведет к отличию от нуля показателей преломления (Рис.36, пунктирные кривые) и вызывает новый набег фазы. Так продолжается несколько раз и возникают пространственные квазипериодические осцилляции показателя преломления, поглощения, интенсивностей каждой частотной компоненты и относительной фазы.
Из выше сказанного следует вывод: чтобы осцилляции энергии между оптическими модами затухали медленно с глубиной и давали «хорошую» квазипериодическую картину показателя преломления, изменения модуля показателя преломления на одном из оптических переходов (например ІІе(різ)) должны быть сдвинуты относительно осцилляций фазы Ф(г) на 7г/2. Этот сдвиг можно инициировать на входе в среду, задав граничные условия одним из следующих двух способов:
Зависимость вещественных частей оптических когерентностей (a,b) и относительной фазы (c, d) от координаты z при граничных условиях, соответствующих 1-му способу (а, c) и 2-му способу (b, d) возбуждения пространственных осцилляций. Параметры для (а, c): 0 = 0, i(0) = 7, 2(0) = 27, U = 3.57; параметры для (b, d): 0 = тг/4, i(0) = 2(0) = 7, U = 3.57; концентрация па = 2 1011 см"3. 1. і(0)=2(0),0 = 0; На Рис.37 представлены зависимости показателя преломления для двух этих способов [93,95]. Из этих рисунков видна возможность создания пространственной квазипериодической структуры показателя преломления. При первом способе возбуждения осцилляции оптических когерентностей начинаются с максимального значения, а осцилляции относительной фазы - с нулевого (Рис.37(a, c)). При втором способе возбуждения наоборот - осцилляции оптических когерентностей начинаются с нуля, а осцилляции относительной фазы с максимального значения (Рис.37(b, d)). Огибающая осцилляций Re(p13) и Ке(/ 23) спадает экспоненциально.
На Рис.38 изображена зависимость вещественной части оптической когерентности Ие(р13) от координаты для различных частот Раби U микроволнового поля. При приближении частоты Раби микроволнового поля к частотам Раби оптических полей возникает резкий переход среды в состояние ЭИП на определенной координате, а пространственные осцилляции Ие(р13) становятся более мелкомасштабными (Рис.38(b,c,d)). Отметим, что графики приведены только для вещественной части оптической когерентности Re(p13). Для Re(p23) этот эффект аналогичен.
Оценим показатель преломления для каждого из оптических полей. Зная матрицу плотности атомов, мы можем найти восприимчивости \31 и Х32, пользуясь формулами (120). Диэлектрическая проницаемость среды есть еаЬ = 1 + АліХаЬ. Комплексный показатель преломления выражается через диэлектрическую проницаемость: паъ = л/єаь. Для рассматриывемых интенсивностей и концентраций оказывается, что \аЪ Ю-3 С 1, поэтому в выражении для комплексного показателя преломления после разложения в ряд Тейлора можно удержать только линейные по \ слагаемые: паЪ = у7! + 4тгхаь 1 + 27гх аЬ + г2тгхаь, (132) где х аъ и Xab – вещественная и мнимая части восприимчивости. Тогда обычный показатель преломления выражается, как паъ = 1 + 2тгх аъ, и коэффициент экс-тинкции каЬ = 2тгХаЬ. На Рис.39 изображен график зависимости показателей преломления от координаты z в процентном соотношении от нерезонансного значения для двух оптических полей. Зависимость соответствует второму способу возбуждения пространственных осцилляций. Изменение показателя преломления An составляет 0.03% от нерезонансного значения показателя преломления при концентрации па = 1012 см-3. Это согласуется с экспериментальными результатами, полученными для горячих паров рубидия в работах [96,97], в которых было достигнуто увеличение показателя преломления на величину An - 10-4. Согласно (120) и (133), для повышения An необходимо увеличи