Содержание к диссертации
Введение
Описание мезонов в модели составной суперконформной струны 13
1.1 Введение 13
1.2 Формулировка модели
1.2.1 Классические Л -реджеонные вершины 15
1.2.2 Новый класс iV-реджеонных вершин и модель составной струны 19
1.2.3 Переход к вершинам испускания основного состояния 22
1.2.4 Анализ спектра состояний для і-ого сечения амплитуды АN 26
1.3 Амплитуды и траектории 31
1.3.1 Мезонная вершина для и и d кварковых флейворов . 31
1.3.2 Выражение для амплитуды 34
1.3.3 Амплитуда 7Г + 7Г — 7Г + 7Г 35
1.3.4 Мезонная вершина для и: d и s кварковых флейворов. 38
1.3.5 Амплитуда 7Г + К — 7Г + К 41
1.3.6 Амплитуда К + К - К + К 42
1.3.7 Обобщение на случай барионов 44
1.3.8 Заключение з
2 Экзотические мезоны со скрытым чармом как дикварк антидикварковые состояния 47
2.1 Введение 47
2.2 Классификация дикварк - антидикварковых состояний
2.2.1 Волновые функции низколежащих дикварк - антидикварковых систем 51
2.2.2 Массы дикварковых систем 51
2.2.3 Классификация (cs) (с8)-состояний 53
2.3 Амплитуда перехода дикварк - антидикварковых состояний в мезон - мезонные состояния 55
2.3.1 Однополюсная амплитуда для 2++ - состояния 56
2.3.2 Однополюсная амплитуда для состояния 1++
2.3.3 Двухполюсная амплитуда состояния I"1 61
2.3.4 Двухполюсная амплитуда 0++ - состояний 65
2.3.5 Мезон - мезонные компоненты и смещение масс резо нансов 66
2.4 Сравнение результатов с экспериментальными данными 67
2.5 Экзотические мезоны со скрытой странностью как члены но-нетной классификации 69
Литература
- Новый класс iV-реджеонных вершин и модель составной струны
- Мезонная вершина для и и d кварковых флейворов
- Волновые функции низколежащих дикварк - антидикварковых систем
- Экзотические мезоны со скрытой странностью как члены но-нетной классификации
Введение к работе
Актуальность темы.
Определение спектра и свойств адронов по-прежнему является одной из самых актуальных и масштабных задач физики элементарных частиц. Поэтому построение последовательной количественной теории сильного взаимодействия при низких и промежуточных энергиях на основе релятивистского квантового подхода является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений теоретических исследований.
Большинство исследователей струнных моделей сосредоточили свои усилия на суперструнах планковского масштаба, которые приводят к су-псрсиммстричным теориям, уже вошедшим в противоречие с экспериментами на Большом адронном коллайдере. Фактически, подход суперконформных составных струн с единым струнным параметром (наклоном для всех адронных реджевских траекторий) и формулируемый в 4-мерном пространстве без 4-мерной суперсимметрии в нём не имеет пока альтернативных конкурентов.
Подход, основанный на квантовой хромодинамике, не может привести к значительным успехам без решения проблемы конфайнмента. Киральный подход, вообще говоря, не позволяет строить последовательное теоретическое описание для энергий и импульсов много больших массы 7г-мезона.
Первоначально струнные модели предназначались для описания адронов и их взаимодействия. Однако, в 1974 году произошёл отказ от построения реалистической струнной модели для адронов, поскольку в спектре замкнутых струн было обнаружено безмассовое тензорное состояние, которое можно было отождествить с гравитоном. В совокупности с уже полученным безмассовым векторным бозоном для случая пересечения ведущей мезонной траектории «о = 1, струну сочли подходящей для описания только фундаментальных взаимодействий (безмассовых гравитонов со спином J = 2 и безмассовых глюонов со спином J = 1). И таким образом решили отказаться от струны как модели для адронных взаимодействий. Именно это привело к ограничению струнных исследований пятью классическими суперструнными моделями и связанным с ними неисчерпаемым миром бран и супербран.
Работа посвящена наиболее трудному аспекту адронных взаимодействий, а именно так называемым мягким взаимодействиям в области низких и промежуточных энергий.
Вершины составной суперконформной модели дают новую геометрическую картину для струнного взаимодействия. Этот новый струнный подход даёт возможность адекватного описания адронных взаимодействий в области низких и промежуточных энергий, которое является наиболее востребованным с точки зрения ядерной физики.
В настоящее время, по данным экспериментальных коллабораций (Belle, CDF, CMS, DO), имеются несколько кандидатов на роль экзотических четырёхкварковых мезонов со скрытой странностью и скрытым чар-мом в области масс чармония се и боттомония ЬЬ. Статус экзотических многокварковых мезонных состояний широко обсуждается.
В диссертационной работе представлена схема, в которой экзотические четырёхкварковые мезонные состояния формируют дикварк - антидиквар-ковая систему, которая переходит в мезон - мезонную систему через рекомбинацию кварков. В представленной модели рассматриваются дикварк - антидикварковые системы, в которых дикварки построены из лёгких (s) и тяжёлых (с) кварков.
Наличие сформировавшихся дикварк - антидикварковых составных состояний должно проявлять себя в распадах, происходящих в результате рекомбинационных процессов.
Цель и задачи работы.
Целью первой части диссертационной работы является описание спектра мезонов и построение амплитуд взаимодействия при низких и промежуточных энергиях. Для этого используется новый тип струнной модели, подходящий для описания адронных взаимодействий. Формулируются вершины испускания основного состояния, удовлетворяющие симметриям модели. Проводится построение древесных четырёхточечных мезонных амплитуд.
Целью второй части работы является рассмотрение экзотических четырёхкварковых состояний как системы дикварк-антидикварк и учёт их последующей рекомбинации в мезон-мезонные состояния. Для учёта различных полюсов и каналов рекомбинации используется подхода-матрицы.
В соответствии с целью исследования для каждой из двух глав были поставлены следующие основные задачи:
-
Развить модель составной суперконформной струны для описания мезонов, содержащих кварки s, с, Ь флейворов. Построить амплитуды взаимодействия 7Г и К мезонов. Сделать обобщение модели на случай описания барионов: сформулировать вершинный оператор испускания нуклона.
-
Построить классификацию экзотических мезонов в терминах системы дикварк - антидикварк. Получить соответствующие этой классификации каналы рекомбинации в мезон - мезонные состояния и их вероятности. Оценить массы экзотических состояний с учётом перерассеяния в мезон-мезонные состояния.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту 1. Для модели составной суперконформной струны построен оператор испускания іС-мезона. Он удовлетворяет симметриям модели и не приводит к появлению реджевских траекторий, лежащих выше ведущей р-мезонной
траектории.
2. В модели составной суперконформной струны впервые получено
ограничение снизу на массу К-мезоиа. Сведение массы странного квар
ка к нулю невозможно, так как это привело бы к появлению состояний с
отрицательной нормой в спектре физических состояний.
-
Полученное описание мезонов в модели составной суперконформной струны, содержащих s-кварк, подходит и для описания мезонов, содержащих с, Ь кварки, при соответствующей замене параметров.
-
Модель составной суперконформной струны описывает барионы в терминах тех же самых двумерных полей, которые использует для описания мезонов.
-
При рассмотрении экзотических мезонных состояний построена их классификация как дикварк-антидикварковых систем. Амплитуды перехода дикварк-антидикваркового состояния в мезон-мезонные состояния в терминах D-матрицы дают возможность отождествить состояния из этой классификации с экспериментально обнаруженными состояниями.
Научная новизна и практическая значимость.
Результаты описания мезонов в модели составной суперконформной струны, изложенные в диссертации, могут быть использованы для расчёта длин рассеяния и других параметров мезонных взаимодействий в ядерной физике.
-
Струнная модель, способная описывать адроны, применена к описанию мезонного сектора. Сделано обобщение этой модели для описания барионов. Причём мезоны и барионы описываются в терминах одних и тех же наборов двумерных полей.
-
Из сформулированных вершин испускания основного состояния могут быть построены амплитуды взаимодействия 7Г, К мезонов и нуклонов. Далее эти амплитуды можно использовать для получения длин рассеяния.
-
По аналогиии с вершинным оператором испускания К мезона могут быть построены вершины испускания мезонов, содержащих кварки с, 6, t флейворов.
-
Впервые получено ограничение снизу на массу К мезона.
Результаты исследования четырёхкварковых мезонных состояний могут быть применены к описанию экзотических состояний с различным кварковым составом.
-
Полученная в терминах системы дикварк - антидикварк классификация состояний может быть применена к описанию четырёхкварковых состояний, содержащих кварки любых флейворов.
-
Описание тетракварковых состояний как системы дикварк - антидикварк, в отличие от описания в рамках молекулярной модели, подходит не только для состояний, близких к порогу, но так же и для описания состо-
яний с массой, значительно превышающей пороговое значение.
-
Так же дикварк - дикварковая классификация может быть применена к описанию пентакварковых состояний.
-
В рамках рассматриваемой модели предлагаются области масс для новых четырёхкварковых состояний.
Апробация работы.
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях и школах: Международная конференция «Hadron Structure and QCD» HSQCD — 2012 (Гатчина, Россия, 2012 г.); 51 International School of subnuclear Phusics (Erice, Italy, 2013); 52 International School of subnuclear Phusics (Erice, Italy, 2014); Международная конференция «Hadron Structure and QCD» HSQCD — 2014 (Гатчина, Россия, 2014 г.); Международная конференция «In search of Fundamental Symmetries», посвященная 90-лстию Ю.В. Новожилова (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.); 53 International School of subnuclear Physics (Erice, Italy, 2015); Международная конференция «Models in quantum field theory» MQFT — 2015, посвященная A.H. Васильеву (Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.).
и на российских школах: XLVI Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Рощино, Россия 2012 г.); XLVII Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Рощино, Россия 2013 г.); XLVIII Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Рощино, Россия 2014 г.); XLIX Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Рощино, Россия 2015 г.).
Публикации
Основные результаты диссертации изложены в 3 статьях, опубликованных в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных Web of Science или Scopus. Список публикаций приведён в конце автореферата.
Личный вклад автора
Диссертация является самостоятельной законченной научно-исследовательской работой. Все представленные к защите результаты были получены диссертантом лично или при совместной работе в неразделимом соавторстве.
Структура и объем диссертации.
Новый класс iV-реджеонных вершин и модель составной струны
Бесконечномернвіе матрицві Dnm для конформного спина j являются п-ными коэффициентами степенного ряда по z от разложения т-той степени преобразования Мёбиуса: Вершинві V s (1.11) обладают циклической симметрией и инвариантностью по отношению к преобразованиям Мёбиуса над Z{: и имеют свойства дуальности, то есть равенство сумм по промежуточным состояниям в случае факторизации по прямому и по перекрестному каналам.
Для того, чтобы вернуться к описанию амплитуды Венециано в терминах вершин испускания основного состояния (1.1) от многострунной вершины, нужно в форме (1.11) оставить только нулевые компоненты п = О
операторов ап , которые совпадают со значениями импульсов а0 = Pi. Тогда выражение (1.11) существенно упростится и сведется к амплитуде Венециано в форме Коба-Нильсена: где Z{ точки на вещественной оси комплексной плоскости, отвечающие испусканию основных состояний, pi - импульсы этих состояний, Ф - Мёбиус 19 инвариантный фазовый объем:
Удовлетворение условиям кроссинга, дуальности, Мёбиус - инвариантности и факторизации для ./V-реджеонных вершин достигается за счет свойств оператора V/v, как экспоненты от бесконечномерных матриц (Uj)nm и (V} )пт- Такая форма позволяет получить после факторизации произведение экспонент от тех же бесконечномерных матриц. Это делает возможным поиск новых форм вершинных ./V-реджеонных операторов, содержащих матрицы (Щ )пт и (V )пт. Аналогичным свойством будут обладать следоподобные операторы WN, так как они при факторизации разбиваются на произведение таких же следоподобных операторов.
Действительно, можно предложить циклическое произведение этих бесконечномерных матриц и соответствующих компонент двумерных полей в качестве множителя для старых мультиструнных вершин (1.11). Новая конструкция сохраняет свойства факторизации, кроссинга, дуальности и Мёбиус-инвариантности предыдущих вершинных операторов и приводит к новому классу дуальных (струнных) моделей.
Это обобщение классических мультиреджеонных (мультиструнных) вершин было предложено В.А. Кудрявцевым в 1993 году [10].
Струнные амплитуды, построенные из вершинных операторов нового типа, были использованы для описания взаимодействия большого числа 7Г-МЄЗОНОВ [10]. Новые струнные вершины дают новую геометрическую картину для взаимодействия струн как составных объектов. Открытая свободная струна теперь имеет три двумерные поверхности вместо одной, как это было в случае классических струн. См.(1.2). рождающий оператор, Ф - уничтожающий. И- дг является циклически симметричным следоподобным оператором, построенным посредством Фурье компонент двумерных антикоммутирующих полей Ф ). Эти новые поля подобны полям Невё-Шварца Н г и имеют конформный спин
Операторы V$s и WN имеют различную структуру. Матрицы U и V в Vjy связывают все возможные поля XW(a4 ) друг с другом, то есть ПОЛЯ из произвольных струнных "хвостов". В операторе Wfq матрицы U \ V связывают только соседние поля Ф и Ф(- +1-), то есть соседние струнные "хвосты" (см. Рис. 1.3). Поэтому оператор Vff WN ведет нас к топологии взаимодействия составных объектов, то есть составных струн. Линейная реализация суперконформной симметрии требует использовать другие, нежели (1.15) операторы. Теперь в циклическом операторе необходимо использовать не только поля с конформным спином j = 2, но и поля с конформным спином j = 1. Обозначим их р1 и Y соответственно. Тогда имеем:
При рассмотрении составной струнной модели мы должны использовать оператор VcNomp = V$SWN с WN типа (1.19).
Мы имеем здесь симметричное описание двумерных полей одинаковых типов на основной поверхности (дХ, Н) и на окаймляющих поверхностях (У, /). Это обеспечивает некоторую дополнительную симметрию амплитуд составной струны.
Мезонная вершина для и и d кварковых флейворов
В настоящее время, по данным экспериментальных коллабораций (Belle, CDF, CMS, DO), имеются несколько кандидатов на роль экзотических чстырсхкварковых мезонов со скрытой странностью в области масс чармония се и боттомония bb, см сборник PDG [19]. В диссертационной работе представлена схема, в которой экзотические четырехкварковые мезон-ные состояния формируют дикварк-антидикварковая систему, которая переходит в мезон-мезонную систему через рекомбинацию кварков. Наличие сформировавшихся дикварк-антидикварковых составных состояний должно проявлять себя в распадах, происходящих в результате рекомбинацион-ных процессов, см. Рис. 2.1.
Построение двухкваркового (qq) мезонного состояния является пред 48 метом многочисленных работ, таких как [20-23]. Статус экзотических мно-гокварковых мезонных состояний широко обсуждается, например в таких работах как [4,24,25], а также в приведенных в них ссылках. Использование понятия дикварка при рассмотрении мезонных состояний позволяет рассмотреть экзотические состояния как дикварк - антидикварковую систему. Понятие дикварка было введено Гелл-Манном [26] и активно обсуждается в рамках изучения барионных состояний как кварк-дикварковых систем [27-35]. Систематизация барионов в терминах кварк-дикварковых состояний представлена в работах [36,37]. Дикварки, состоящие из лёгкого и тяжёлого кварков обсуждаются в [38-40].
В представленной модели рассматриваются дикварк-антидикварковые системы, в которых дикварки построены из странных (s) и тяжелых (Q) кварков. Волновая функция такой системы в пространстве цвета будет иметь вид: индексы a, с/, /3, (3 , 7 отвечают за цвет кварков и дикварков. Дикварки рассматриваются как эффективные частицы, составленные из конститу-ентных кварков, взаимодействующих в б -волне, что позволяет построить два типа дикварков - скалярный (Jp = 0+) и аксиально-векторный (Jp = 1+): Дикварк-антидикварковые состояния могут рекомбинировать в два мезона. Волновая функция дикварк-антидикваркового состояния и волно 49 вые функции мезон-мезонных состояний связаны следующим образом:
Вследствие рекомбинации, экзотические четырехкварковые состояния рассматриваться как двухкомпонентные системы с дикварк-антидикварковой компонентой и мезон-мезонной компонентой. Доминирование мезон-мезон-ной компоненты означало бы, что мы имеем дело с молекулоподобной или дейтроноподобной системой [41-43].
В этой модели рассматриваются четырехкварковые состояния со скрытым чармом и скрытой странностью, а также изучается взаимодействие дикварк-антидикварковой и мезон - мезонной компонент в терминах техники D-функции, основанной на дисперсионных соотношениях. Представлена классификация экзотических мезонных состояний, а также даны коэффициенты для мод распада, отвечающие за переход дикварк-антидикварковой системы в мезон-мезонную систему. Обсуждается сравнение рассматриваемой модели с экспериментальными данными различных коллабораций, а также даны предсказания для новых экзотических состояний в рамках рассматриваемой модели.
В Разделе 2.2 представлена классификация (Qs) (Qs) систем, следуя результатам предыдущих рассмотрений [38-40] и модельных трактовок (QQ)-CMCTeM [44,45]. Дано расщепление спина и орбитального момента уровней. Оценён эффект массивности странного кварка. Рассмотрен эффект рекомбинации дикварк - антидикварковой системы в мезон-мезонную систему с последующим мезон-мезонным перерассеянием, который играет важную роль в формировании сингулярности на энергетической плоскости. Полученная сингулярная структура амплитуды рождения в терминах техники D-функции для мезон - мезонного канала обсуждается в Разделе 2.3. В Разделе 2.4 дано сравнение вычислений с экспериментальными данными в чармованном секторе (Belle [46], CDF [47,48], CMS [49], DO [50]). Определение мезонов из (cs) (сй)-сектора позволяет зафиксировать мезоны в нестранном секторе (cq) (cq) (где q = u,d): и таким образом установить нонетную классификацию для экзотических мезонов (Раздел 2.5).
В Приложении А.1 представлен метод D-функции в терминах техники дисперсионных соотношений для конечного мезон - мезонного перерассеяния. Разложение волновых функций для перехода дикварк - анти-дикварковых состояний в мезон-мезонные состояния даны в А.2.
В данном Разделе представлена классификация (Qs) (( -системы, которая дается в соответствии с исследованиями тяжёлых дикварков [38-40] и модельными вычислениями QQ-СИСТЄМ [44,45]. Полагается, что ди-кварки и кварки имеют схожую цветовую структуру, что позволяет провести аналогичное модельное рассмотрение для дикварк-антидикварковых систем. Соответственно, предполагается, что цветовые силы в дикварк-антидикварковых системах приводят к массовым расщеплениям, аналогичным расщеплениям в кварк-антикварковых системах.
Волновые функции низколежащих дикварк - антидикварковых систем
В этом разделе представлено сравнение результатов описания массового спектра экзотических четырёхкварковых состояний со скрытой странностью и скрытым чармом как дикварк-антидикварковых систем с экспериментальными данными, представленными различными коллаборациями.
В качестве кандидатов на экзотические четырёхкварковые состояния рассматриваются следующие экспериментальные данные
Массовые спектры различных коллабораций описывались одновременно, с помощью представленного выше метода построения амплитуды в терминах D-матрицы. Соответственно массы скалярного и аксиально-векторного дикварков, составляющих затравочные массы дикварк-анти-дикварковых состояний, имеют одинаковое значение при одновременном описании различных экзотических состояний. Эти значения брались в области масс, определенной в разделе 2.2.2.
На рисунках 2.8 и 2.9 демонстрируется массовое распределение в {J/фф) канале реакции В К(ф.]/ф) представленное коллаборацией CDF в работе [47] (пунктирная линия) и коллаборацией DO в работе [50] точки с ошибками). Сплошной линией на рисунках представлено описа ние массового спектра в рамках рассматриваемой модели при значении массы скалярного дикварка MS = 2072 МэВ, массы аксиально-векторного дикварка МA = 2137 МэВ и параметра = 70 МэВ. Такие параметры дают следующие значения масс для дикварк-антидикварковых состояний с положительной (7-четностью: анное описание ставит в соответствие экзотическому состоянию У (4140) дикварк-антидикварковое состояние, составленное из скалярных диквар-ков и имеющее квантовые числа J = 0++. Соответственно мезон У (4274) описывается как второй полюс дикварк-антидикваркового состояния J = 0++, составленного из аксиально-векторных дикварков.
На рисунке 2.10 представлено массовое распределение в (J/фф) канале (пунктирная линия), реакции е (ф.]/ф)7 данное коллабора-цией Belle в работе [46]. Открытое ими состояние X (4350) может быть проинтерпретировано как дикварк-антидикварковое состояние с квантовыми числами Jpc = 1++ и построенное из скалярного и аксиально-векторного дикварков.
Нонетная классификация мезонов (1 + 8) даёт стандартный и удовлетворительный путь трактовки (qq) состояний (q = u,d,s). Обоснованно предположить, что схожая классификация работает, когда конститу-ентами являются дикварки. Тогда, рассматривая системы из трёх дикварков, ( (ис), (dc), (sc) 1 по аналогии с трёхкварковой системой (и, d, s), имеем 14 12 10 8 6
Данные коллаборации Belle [46] для реакции 77 Ф /Ф (пунктирная линия). Оценка масс состояний в дикварк-антидикварковой модели сплошная линия . шесть нонетов для б -волновых дикварк - антидикварковых систем:
Здесь необходимо использовать шесть дикварк - антидикварковых состояний со скрытой странностью, (cs) (cs), как основу для определения масс частиц других нонетов (массы в единицах МэВ). Богатая резонансная структура в экзотическом чармованным секторе вызывает интерес к изучению соответствующего спектра: резонансы в кроссинг каналах или рассеивания в прямых каналах могут влиять на определение резонансных характеристик, примеры такого влияния могут быть найдены в работах [56,57].
Поиск резонансных состояний в секторе (cq) (cq) был проведён в серии работ [58-75]. Ряд кандидатов для нестранных экзотических состояний обсуждается в [19]. Тем не менее, надежное сравнение выражения (2.34) с данными требует больше экспериментальной информации.
Были рассмотрены экзотические мезоны со скрытом чармом и скрытой странностью в массовой области (4100 - 4800) МэВ, как двух компонентные составные системы с дикварк - антидикварковой компонентой (cs) (cs) и мезон - мезонной компонентой (cs) (sc). Понятие дикварков активно используется в адронной физике как для мезонов [38-40], так и для барионов [36,37]. Следуя этим идеям построена модель, в которой дополнительно принимается во внимание мезон - мезонная компонента.
В предположении, что процесс рекомбинации (cs) (cs) — (cs) (sc) доминирует, вычислены относительные вероятности для распадов в мезон-ных каналах: г[)ф , г]сг] , г]сф , фг) , D D , D Da , Da D , DSDS. Проведено сравнение с экспериментальными данными [46-50], представленное на Рис. 2.8 - 2.10. Представлены предсказания для новых состояний и нонетная структура для (Qq) (Qq)-, (Qs) (Qs)} (Qq) (Qs) -состояний (q = M, i), предложенная в выражении. (2.34).
Экзотические мезоны со скрытой странностью как члены но-нетной классификации
Рекомбинация кварков рассматривается как доминантная мода распада дикварк-антидикваркового состояния (см. Рис. 2.1). Вследствие этого амплитуды резонансного рождения дикварк-антидикваркового состояния строится с учётом мезон-мезонного перерассеяния в конечном состоянии. В качестве метода построения амплитуды используется D-матричный метод, основанный на дисперсионном N/D-методе (см. Приложение А.1 и [23]). Данный метод с одной стороны полностью удовлетворяет условию унитарности и аналитичности на все комплексной s-плоскости, а с другой стороны позволяет факторизовать амплитуду в блоки, отвечающие распаду каждого из полюсов в многополюсном состоянии, а также проконтролировать переход от затравочного полюса к физическому за счет учета перерассеяний.
Петлевые диаграммы возникающие вследствие мезон-мезонных перерассеяний вычисляются в рамках метода дисперсионных соотношений (см. Приложение А.1). Волновые функции дикварк-антидикварковых состояний строятся на основе процесса рекомбинации этих состояний в мезон-мезонные состояния и представлены в Приложении А.2.
Далее рассмотрены амплитуды для однополюсных дикварк-антидикварковых состояний с квантовыми числами Jpc = 2++ и Jpc = 1++, а также амплитуды двухполюсных состояний с J = V и J = 0++. 2.3.1. Однополюсная амплитуда для 2++ - состояния
Дикварк-антидикварковая классификация даёт один уровень для S-волнового состояния 2++, что приводит к однополюсной амплитуде рождения. Такое дикварк-антидикварковое состояние, построенное из двух аксиально-векторных дикварков может рекомбинировать в два мезонных канала, фф и D +D соответственно (см. Приложение А.2).
Амплитуда для этого состояния будет иметь вид: л(2++) 9 (о W) где а отвечает рекомбинационному каналу фф или D +D , а по а суммируются петли перерассеяния по этим каналам, (а , а = фф , D +D ). Вершины дх и да отвечают начальному и конечному состояния соответственно, а величина Ш2++ является затравочной массой рассматриваемого резонанса, значение которой оценено в выражении (2.9): rri2++ — (4580 — 4680) МэВ.
Выражение (2.10) представляет собой обобщенное уравнение Брейта - Вигнера, графически оно изображено на Рис. 2.2 как бесконечный набор петлевых мезон - мезонных диаграмм.
Полюсная амплитуда D-функции как бесконечный набор петлевых диаграмм с мезон-мезонным перерассеянием. Для состояния 2++ суммирование проводится по а , а" = фф} D s+D . Квадрат волновой функции дикварк-антидикваркового состояния wt І,тг(2++,Л=0)2 Ґ W/4 4 N , разложенной по всем возможным рекомоинацион ным мезон-мезонным каналам, позволяет определить коэффициенты Са : с которыми входят соответствующие мезонные петли в амплитуду рекомби-национного перехода дикварк-антидикваркового состояния. Для состояния Jpc = 2++ квадрат волновой функции записывается следующим образом для краткости записи здесь и далее для мезона J/ф вводится обозначение
Мнимая (прерывистая линия) и вещественная (непрерывная линия) части петлевых диаграмм L (s), L (s), Lv (s): Lr]cV(s)J LD +D -(s)7 LD a+ D7(s)iLD + D a- (S) LD + D7(S) ПРИ 02 = 1 ГэВ2 как ФУНКЦИИ ЭНерГИИ. ГІО роги являются сингулярными точками. 8-{Мф- Мф) где р отвечает за фазовый объём у/[8 - (Мф + МФУ 16TTS Рфф\8; (s - (Мф + Мф) 2) (2.U) Петлевые диаграммы, которые используются в вычислениях изображены на Рис. 2.3. Вершины дфф, дщ+щ- и дх не зависят от энергии, что позволяет восстановить сходимость интегралов дисперсионных соотноше ний за счет процедуры вычитания. Петлевая диаграмма LD +D -(s) имеет вид:
Вычитание выбрано так, чтобы выполнялось условие LD:+ D:- (S = 4M2T).± ) = 2.16) Аналогичные выражение можно записать для петли отвечающей каналу фф, заменив значения масс в соответствующем канале.
Разделив вещественную и мнимую части петли, L = ffi.L + i L, напишем выражение для плотности рождения частиц в каждом канале как квадрат амплитуды, умноженный на фазовый объём: s-g2 (ЖЬфф + Шт+т-) + g2 (%Ьфф + SsLD +D -) где суммирование проходит по спинам мезона при фиксированной проекции JZ: см. (2.11). Нужно подчеркнуть, что плотности рождения частиц равны нулю ниже соответствующего порога, а именно: при s (Мф + Мф)2 для (фф) - канала и при s 4ML± ДЛЯ (D +D ) - канала. Плотности рождения для состояния 2++ показаны на Рис. 2.4.
В отличии от состояний, рассмотренных в предыдущих разделах, ди-кварк-антидикварковое состояние с квантовыми числами Jpc = V имеет два полюса с различным дикварковым составом. Различие дикваркового состава приводит также к различию в рекомбинационных каналах для этих двух состояний. Система из двух аксиально-векторных дикварков ( 4 4) рскомбинируст в четыре мезонные каналы фг]} г)сф: D +D и D+ D , а система из скалярного и аксиально-векторного дикварков (SA) рекомби-нирует в три канала фц г]сф и D +D . Видно, что у них имеются общие каналы рекомбинации, а именно два канала фц и г]сф. Метод построения амплитуды в терминах D-матрица позволяет одновременно учитывать наличие двух полюсов состояния со своими каналами распада и, что важно, контролировать общие каналы распада. Амплитуда распада двухполюсного состояния в общем виде имеет вид где индексы 1 и 2 отвечают полюсам с дикварковым составом ( 4 4) и (AS) соответственно. Индекс а означает рассматриваемый канал распада. Если канал распада существует для одного полюса і и не существует для другого полюса j, то соответствующая вершина g(j a) будет равна нулю. Функции D{(s) имеют следующий вид: соответствующего полюса состояния J = 1+ . А функция Lij(s) (i,j = 1,2) есть комбинация петлевых функций всех возможных для состояния J = 1+ рекомбинационных каналов, вклады каждого из кото (1+-) рых определяются сверткой соответствующих волновых функций