Содержание к диссертации
Введение
1 Модели инфляционной космологии 13
1.1 Инфляционные модели 13
1.2 Точные решения в моделях космологической инфляции 14
1.3 Космологические параметры в точнорешаемых моделях инфляции 18
1.3.1 Метод вычисления космологических параметров 18
1.3.2 Космологические параметры для точных решений 21
1.4 Фантомные поля в космологии 23
1.5 Киральная космологическая модель 24
1.6 Развитие модели «появляющейся» вселенной 29
2 Выбор специальных анзацев в двухкомпонентной киральной космологической модели 33
2.1 Двухкомпонентная киральная космологическая модель 33
2.2 Выбор специальных анзацев для отыскания точных решений 35
2.2.1 Специфика вычислений 37
2.2.2 Открытая или замкнутая Вселенная (є = ±1) 39
2.2.3 Пространственно-плоская Вселенная (є = 0) 2.3 Решение для степенного масштабного фактора и вселенной Де Ситтера 58
2.3.1 Масштабный фактор a(t) = Atn 58
2.3.2 Масштабный фактор a(t) = Ash(at) 59
2.3.3 Масштабный фактор a(t) = Ach(at) 61
2.4 Выводы по второй главе 62
Модель обобщенного режима ранней инфляции и «появляю щаяся» вселенная 65
3.1 Искривление пространственно-плоской Вселенной 65
3.2 Эволюция компонент полей К и V на заданном масштабном факторе 68
3.3 Точные решения, основанные на специфических разбиениях 76
3.3.1 Точное решение для пространственно-плоской Вселенной для одинарного фантомного скалярного поля 77
3.3.2 Точные решения для двухкомпонентной киральной космологической модели 82
3.4 Космологические параметры для «появляющейся» вселенной и обобщенного режима ранней инфляции 94
3.5 Выводы по третьей главе 96
«Появляющаяся» вселенная для модифицированной теории гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне 98
4.1 Двухкомпонентная киральная космологическая модель для гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне 98
4.2 Гравитация ЭГБ для пространственно-плоского случая 100
4.3 Гравитация ЭГБ для открытого и замкнутого случая 103
4.4 Выводы по четвертой главе 105
Заключение
Благодарности 109
Список литературы
- Космологические параметры в точнорешаемых моделях инфляции
- Выбор специальных анзацев для отыскания точных решений
- Точные решения, основанные на специфических разбиениях
- Гравитация ЭГБ для пространственно-плоского случая
Введение к работе
Актуальность работы
За последние десятилетия наблюдательная космология сделала большой шаг вперед. В конце 90-х в результате наблюдений за сверхновыми типа 1а ([1], [2]) было установлено, что вселенная расширяется с ускорением, а не с замедлением, как считалось ранее. Миссии СОВЕ [3], WMAP [4], [5], Planck [6], позволили получить довольно точную спектральную карту реликтового излучения, что дает представление о первоначальном распределении неоднородностей первичного вещества, повлиявших на формирование крупномасштабной структуры Вселенной, и уточнить ряд параметров (величина параметра Хаббла, состав вещества во вселенной, плотность барионного вещества, возраст вселенной и д.р.).
В расчетах, основанных на измерениях миссии Planck, принимается во внимание только одно скалярное поле. Однако существуют модели, объединяющие в себе несколько полей. Яркий пример - нелинейная сигма модель (НСМ). Г.Г. Иванов независимо от Де'Альфаро и д.р. предложил самогравитирующую нелинейную сигма модель (НСМ) как обобщение теории с несколькими скалярными полями [7]. В этой работе были получены базовые уравнения НСМ и предложены методы их решения. Было показано, что полученные методы могут быть применимы для сферически-симметричного, плоского пространства-времени и для космологической метрики. Были получены примеры точных решений. В работах [8], [9], [10] Червоном СВ. получены точные решения для плоско-симметричных и космологических пространств.
Приложение НСМ с потенциалом самодействия для космологической инфляции были предложены в работах [11], [12], [13]. Так же в этих работах приведены примеры точных решений. В монографии [14] представлены точные решения в космологии и для плоскосимметричных пространств.
Мы рассматриваем модель с двумя скалярными полями с кинетическим взаимодействием между ними - киральную космологическую модель (ККМ) [11].
Точные решения для 2-х компонентной ККМ при исследовании полей темного сектора на фоне космологической инфляции рассматривались в работе [15].
Точные решения использовались при рассмотрении ККМ с темной энергией и темной материей в работе [16].
Обзор точных решений и приложение ККМ для вычисления космологических возмущений представлен в [17].
Стандартный алгоритм современных исследований в космологии подразумевает прохождение следующих этапов: отыскание точных решений классических уравнений гравитации и полей, расчет космологических возмущений для полученных решений, вычисление спектральных параметров (может быть выполнено по точным решениям), сравнение теоретических вычислений с наблюдательными данными.
В диссертационной работе главным образом получены результаты по точным решениям для космологических моделей плоской, замкнутой и открытой вселенной.
Цель диссертационной работы
Целью работы является исследование кинетически и потенциально взаимодействующих скалярных (канонических и фантомных) полей, динамика которых развивается в замкнутой, открытой и пространственно-плоской вселенной. Отыскание специальных режимов, при которых упрощаются вычисления космологических параметров. Исследование уравнений состояния рассматриваемого скалярного конденсата, определения влияния фантомного поля.
Для достижения поставленной цели задаются новые специальные анзацы для решения уравнений киральной космологической модели (ККМ) с двумя полями, геометрическое взаимодействие между которыми описывается посредством диагональной метрики пространства-целей (без учета перекрестного взаимодействия).
В качестве тестовой модели исследования рассматривается обобщенный режим ранней инфляции, основанный на анализе масштабного фактора «появляющейся» вселенной без обращения к отрицательному времени.
Научная новизна
Впервые получены следующие результаты:
-
Специальные анзацы, позволяющие находить точные решения уравнений ККМ с двумя полями и диагональной метрикой кирального пространства для 4-х мерного пространства-времени Фридмана-Робертсона-Уокера (ФРУ).
-
Новые точные решения в двух компонентной ККМ с фантомным полем в рамках модели обобщенного режима ранней инфляции, для случая степенной зависимости масштабного фактора, и для режимов Де Ситтера.
-
Определена эволюция кинетической и потенциальной энергии «появляющейся» вселенной в 4-х мерном пространстве-времени ФРУ.
-
Получено новое точное решение с фантомным полем в плоской Вселенной для модели обобщенного режима ранней инфляции для ККМ 5-ти мерной гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне (ЭГБ), используя подход разделения полей по геометрическому признаку, аналогично случаю ККМ с 4-х мерным пространством-временем ФРУ. Отдельно получено решение для третьего кирального поля, отвечающего за дополнение плоского сценария до открытого или замкнутого, в приближении /3 ~ 0.
Теоретическая и практическая значимость
Полученные результаты для космологии взаимодействующих скалярных (канонических и фантомных) полей могут внести изменения в процедуру сопоставления теоретических предсказаний с наблюдениями, ввиду отличия модели от теории с одинарным скалярным полем с потенциалом самодействия.
Практическая значимость работы заключается в том, что полученные анзацы, позволяющие находить точные решения ККМ в 4-мерном пространстве-времени ФРУ справедливы для различных зависимостей a(t), что дает возможность рассматривать различные космологические сценарии и исследовать поведение кинетической и потенциальной энергии полей. Такая возможность продемонстрирована на анализе обобщенного режима ранней инфляции с масштабным фактором, соответствующем «появляющейся» вселенной.
Доказана возможность получения подобных анзацев, позволяющих находить точные решения, для модифицированных теорий гравитации. В частности, подход, используемый для 4-мерного пространства-времени ФРУ, позволил найти подобный анзац для 5-ти мерного пространства-времени ФРУ в гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне, что в свою очередь показывает применимость данного подхода для большого круга космологических моделей.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
-
Специальные анзацы, позволяющие получать точные решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна и киральных полей.
-
Пять классов точных решений с фантомным и каноническим полем в 2-х компонентной ККМ с диагональной метрикой пространства-целей для 4-х мерного пространства-времени ФРУ для модели обобщенного режима ранней инфляции, полученные благодаря специальным анзацам.
-
Поведение и свойства новых потенциалов скалярных и фантомных полей для полученных точных решений. Определение динамики кинетической и потенциальной энергии в модели обобщенного режима ранней инфляции и «появляющейся» вселенной в 4-х мерном пространстве-времени ФРУ.
-
Доказательство существования модели «появляющейся» вселенной в 5-й мерной гравитации ЭГБ для 2-х компонентной ККМ посредством точного решения уравнений ЭГБ и динамики полей для пространственно-плоской вселенной б = 0.
Апробация работы
Основные результаты были представлены на:
II Российской школе-семинаре GRACOS-2009 «Современные проблемы теории гравитации и космологии» (Казань-Яльчик, 2009).
Международной конференции RUDN-10: Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики (Москва, 2010).
14-ой Российской гравитационной конференция - Международной научной конференции по гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-14 (Ульяновск, 2011).
Российской летней школе-семинаре GRACOS-2012 «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» (Казань-Яльчик, 2012).
Международном семинаре «Нелинейные поля в теории гравитации и космологии» (Казань, 2013).
15-ой Российской гравитационной конференции - Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-15 (Казань, 2014).
Публикации
По теме диссертационной работы опубликовано 14 работ, из которых 3 - статьи в научных журналах, рекомендованных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора
Основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично автором. В исследованиях, выполненных совместно с научным руководителем, доктором физико-математических наук, профессору СВ. Червону принадлежат постановка задачи, контроль расчетов и обсуждение результатов.
Структура и объем диссертации
Космологические параметры в точнорешаемых моделях инфляции
Идея инфляционного сценария эволюции Вселенной - сверх быстрого расширения была выдвинута в начале 80-х годов прошлого века. Эта парадигма позволила объяснить ряд закономерностей в наблюдательной и теоретической космологии, и в настоящее время мало у кого вызывает сомнения в необходимости включения данного этапа в общий сценарий развития Вселенной - теории Большого Взрыва. За время, прошедшее от первых инфляционных сценариев Алексея Старобинского [19], Алана Гуса [21], Андрея Линде [22], [23], Андреаса Альбрехта и Пауля Стейнхардта [24], было разработано большое разнообразие инфляционных моделей и их число продолжает увеличиваться. Рассмотрим основные классы моделей ранней инфляции, с которыми связывается прогресс в наблюдательной космологии. Наиболее простой способ описания космологической инфляции заключается в следующем. Предполагается существование некоторого скалярного поля (инфлатона), которое эволюционирует совместно с гравитационным полем, им порождаемым. Проследим основные положения данной модели. Действие системы, состоящий из скалярного поля и гравитации имеет вид
Таким образом, система уравнений (1.6)-(1.8) описывает самогравитиру-ющее скалярное поле ср с потенциалом самодействия V(cp). Следует отметить, что система уравнений (1.6)-(1.8) переопределена: любое из трех уравнений может быть получено как (дифференциальное) следствие двух оставшихся [15]. Существует несколько вариантов постановки задачи (исследования) и подходов к решению системы уравнений (1.6)-(1.8), описывающих инфляционную стадию ранней эволюции Вселенной [20].
В моделях «старой» [21] и «новой» [22], [23], [24] рассматривается фазовый переход, который характеризуется заданной формой потенциала V(ср). В этом подходе система (1.6)-(1.8) решается относительно неизвестных функций a(t) и p(t). На этом пути первоначально проводились исследования в рамках двух основных приближений: быстрых осцилляции (ЗНф = 0) и медленного скатывания (ф = 0, ф2 = 0). Эти приближения позволяли получать результаты, которые можно сопоставить наблюдательным данным. В частности, используя параметры медленного скатывания = (- ),77= можно находить спектральные параметры скалярных и тензорных возмущений ns, пт Поиски точных решений системы уравнений (1.6)-(1.8) в рамках космологической инфляции были предприняты, начиная с работ [25], [35], где рас сматривался экспоненциальный тип потенциала V(ip) ос е-"4 , который соответствует степенной инфляции a(t) ос t , A = const.
Отметим, что широкий класс решений для различного рода нелинейно-стей для космологического скалярного поля был получен в работах Иванова Г.Г. [36], [37], [38]. В частности, были получены точные решения для:
Подход Г. Иванова нахождения точных космологических решений получил дальнейшее развитие в работе [39]. Там, кроме обобщенного экспоненциального потенциала, был предложен новый тип потенциала У{ р) = (1 — 2"),/3 0, приводящий к точному решению в элементарных функциях для cp(t) и a(t). На основе представления системы уравнений (1.6)-(1.8) в форме типа Гамильтона-Якоби в работе [39] найдено новое точное решение с эволюцией масштабного фактора a(t) = sinh1 3 ( V3\(t — )), = const. Другие примеры точных решений при заданном потенциале V(cp) были получены в работе [25].
Отметим, что в этой работе было задано уравнение состояния с параметром для идеальной жидкости, что эквивалентно выбору формы потенциала V{if) в представлении р = \ф2 + У, р = \ф2 — V.
Другие подходы к решению системы уравнений (1.6)-(1.8) можно определить, как методы конструирования точных решений по заданному масштабному фактору a(t) [26], [27], [28], [29], [30] или по заданной эволюции скалярного поля (p(t) [31], [32], [33]. Здесь можно выделить также подход, основанный на генерировании зависимости потенциала V(cp) при заданном параметре Хаббла, как функции от скалярного поля Н(ср) на основе представления типа Гамильтона-Якоби [34].
Исследования, проведенные в диссертационной работе, имеют прямое отношение к точным решениям с взаимодействующими скалярными полями двух типов: каноническими и фантомными.
Важным понятием, характеризующим инфляцию, является число е-фолдов (e-folds), N, определяемое как
Достоверность той или иной модели ранней космологической инфляции проверяется сопоставлением ее параметров с наблюдательным данным. Ключевыми зависимостями, позволяющими проводить подобные сопоставления, являются: спектр мощности возмущений плотности, отношение тензорных и скалярных мод по квадрату амплитуд, спектральные индексы скалярного и тензорного возмущений и их отношение. В работе [40] были представлены основные теоретические выкладки в случае приближения медленного скатывания. Позже, в работе [41], обходя приближение медленного скатывания, наряду с другими величинами, были записаны спектр мощности и спектральный индекс скалярных возмущений в зависимости от суперпотенциала. В той же работе на точных решениях был получен спектральный индекс скалярных возмущений для модели степенной инфляции a(t) = Atn. Далее, в совместной работе СВ. Червона и И.В. Фомина [42], опираясь на результаты работы [41], удалось выразить ключевые космологические параметры в зависимости от параметра Хаббла, при выходе возмущений за горизонт.
Выбор специальных анзацев для отыскания точных решений
Делаем следующее предположение, что ф{Ь) = \/ t + фо: тогда из соотношения Ь/22пф 1 = — Л" получаем Ь/22 = \- Теперь, если подставить все в гь (Л (Л уравнение (2.64), получим тождественный ноль. В результате, зная зависимости h22{t) и V2(t): при известном поведении a(t): можно найти /122( ) и V VO? воспользовавшись переходом t — ф.
Таким образом, анзац [±3а] с разбиением потенциала V (2.17) и характерными зависимостями ip{t) = J t + ф0, h22 = , V2 = f jr, hncf)2 = H, V\ = I (H2 + HV при известном поведении масштабного фактора a(t), позволяет найти эволюцию полей (f)(t), ift(t), а также / (VO? У{Ф,Ф) Анзац [±36]
Для анзаца [±36] процедура отыскания решения практически полностью повторяет процедуру анзаца [±3а], но отличается тем, что делается иное предположение на зависимости ф(ї) = J \ amdt и Ї122 = а21+2 Поведение V ( ) имеет тот же характер, что и для анзаца [±3а]. Уравнение (2.64) справедливо и для анзаца [±36]. Если подставить в него значения для ф и /і22, то получается выражение Следовательно, величины ф{Ь) и У\{ф) определяются как и для анзаца [±1а], а У2(ф) и ЇІ22ІФ) при переходе t — ф.
Таким образом, анзац [±36] с разбиением потенциала V (2.17) и характерными зависимостями ф(і) = J J amdt, h22 = +2, V2 = , Ііц ф2 = H, V\ = - (Н2 + 3-Й"), при известном поведении масштабного фактора a(t), позволяет найти эволюцию полей (f)(t), ift(t), а также / (VO? У{Ф,Ф) Для модели «появляющейся» вселенной с масштабным фактором a(t) = А {(3 + eat)m анзац [±36] не позволяет вычислить интеграл ifj(t) = J л /2 amdt в таком виде, который обеспечил бы возможность явно выразить t(ifj), что влечет за собой невозможность получения зависимости V2 и /І22 от напрямую, а только посредством зависимости этих величин от t.
Для анзаца [±3с] процедура отыскания решения практически полностью повторяет процедуру анзаца [±3а], но отличается тем, что делается иное предположение на зависимости ф{ї) = J\/ - dt и /122 = а2т 2. Поведение V ) имеет тот же характер, что и для анзаца [±3а]. Уравнение (2.64) справедливо и для анзаца [±3с]. Если подставить в него значения для ф и /і22, то получается выражение
Таким образом, анзац [±3с] с разбиением потенциала V (2.17) и характерными зависимостями ф(ї) = J J - dt, /122 = a2m 2, V2 = 2, Нцф2 = —-H. V\ = - (Н2 + \Н), при известном поведении масштабного фактора позволяет найти эволюцию полей / (), ф(і), а также / (VO? УІФіФ) Для модели «появляющейся» вселенной с масштабным фактором а() = Л {(5 + eat)m анзац [±3с] не позволяет вычислить интеграл ф(ї) = J л/2 - dt в таком виде, который обеспечил бы возможность явно выразить і(ф): что влечет за собой невозможность получения зависимости V2 и /і22 от ф напрямую, а только посредством зависимости этих величин от t.
Анзац [±3 i] обобщает анзацы [±3а]-[±3с], так же как и анзац [±1 і] является обобщением для анзацев [±1а]-[±1с]. Отличие [±3 i] от [±3а] кроется в предположениях, накладываемых на /І22 и , а именно /122( ) = pi, ф = \/- F, где F - произвольная функция времени. Вид зависимости V ) идентичен зависимости для анзаца [±3а]. Как следует из непосредственной проверки вид уравнения (2.64), не зависит от разбиения 22( ( )) и Ф{к)- если только они образуют комбинацию Ь/і іф2 = —\- При подстановке предположений анзаца [±3 і] для этих параметров, в уравнение (2.64), получим тождество
Таким образом, следует еще раз подчеркнуть, что для этого анзаца вид функции ф{Ь) может быть выбран любым, так как F - произвольная функция времени. Нахождение неизвестных величин /i22(V0 {ф) аналогично сценарию для предыдущих анзацев. Рассмотрим два момента. Во-первых, при получении уравнения (2.64) из (2.63) мы воспользовались небольшой хитростью: в формуле (2.63) не было произведено прямое вычитание ІІ22Ф2 — \h22w Вместо этого было записано следующее Ь ф2 = —2\і22фф — 4;:Jr, \ 22ф2 = 2ТГ 1 І?- Подставляя оба этих выражения в (2.63), приводя подобные и осуществляя остальные подстановки, мы и приходим к уравнению (2.64). Но если сначала произвести это вычитание, а после осуществить подстановки Ь ф2 = -Ї122ФФ 2JJr, V2 = Jr, ЗНЬ ф2 = 6 , то получается тождество
Однократно проинтегрировав данное уравнение по времени, можно получить 1п(а2) + \п{ф2) + ln(/i22) + HD) = \n{Da2h22 2) = 0. (2.69) Таким образом, Da2h22y2 = 1? гДе D - константа интегрирования, которую очень легко определить. Т.к. h22w2 = --, то D = у-. Следовательно, анзац [±3 i], являющийся обобщением анзацев [±3а]-[±3с], с разбиением потенциала V (2.17) и характерными зависимостями ф = \/ -F, h22(t) = , 2 = ї , /ІІІ02 = -Я, У\ = f (Я2 + я), при известном поведении масштабного фактора a(t): позволяет найти эволюцию полей / (), (t), а также їі22(ф), У(ф,ф).
Точные решения, основанные на специфических разбиениях
Они получаются при вычитании абсолютного значения кинетической (потенциальной) части дополняющей компоненты из абсолютного значения компоненты пространственно-плоской Вселенной, отбрасывая знаменатель (после приведения к общему знаменателю). Чтобы говорить о преобладании той или иной компоненты знак равно в этих уравнениях нужно заменить на « » или « ». Решением первого уравнения являются три функции: линейная a(t) =t + const (коэффициент перед t выбран равным единице, хотя существуют и -1, ±г, но они не являются физически обоснованными), гиперболический синус a(t) = sh(Ct + to) и гиперболический косинус a(t) = -jjQh.{Ct + to) (где С и to - некоторые постоянные), решением второго - линейная a(t) =t + const (здесь так же есть не физическое решение с коэффициентом -1). Уравнение (3.2) так же имеет решение в наборе эллиптических функций, однако обратную зависимость не удается найти. Таким образом, полученные решения свидетельствуют о том, что если масштабный фактор удовлетворяет, скажем, линейной функции, то в киральной двухкомпонент-ной модели с разбиением (2.17) оба поля эволюционируют с одинаковой интенсивностью.
В работе представлены анзацы, позволяющие получить точные решения при выборе вида масштабного фактора. В частности исследуется сценарий обобщенного режима ранней инфляции с заданным значением a(t). Исследование K(t) и V(t) для «появляющейся» вселенной проводилось в совместной работе [83].
Масштабный фактор обобщенного режима ранней инфляции имеет тот же вид, что и для «появляющейся» вселенной, однако их временной сценарий отличается тем, что «появляющаяся» вселенная определена на интервале (—оо, оо), а для модели обобщенного режима ранней инфляции характерен интервал (0, оо). Сценарий «появляющейся» вселенной имеет некоторые несоответствия, связанные с квантовой нестабильностью, которые обсуждаются в работе [85]. Однако в ней показано, что «появляющаяся» вселенная стабильна по отношению к классическим возмущениям. Принимая во внимание вышеизложенное, для полноты описания рассмотрим сценарий «появляющейся» вселенной, как математически более полный, а обобщенный режим ранней инфляции может быть получен из него, выбирая только положительную полуось времени.
Таким образом, мы будем исследовать уравнения (3.1) и (3.2) для конкретного масштабного фактора, для которого получены точные решения уравнений (2.9)-(2.10) и (2.13)-(2.14). В уравнениях (2.13)-(2.14) левая часть -полевая, правая - характеризует геометрию пространства-времени. Следует отметить, что в этом пункте проводится исследование «геометрической» части уравнений Эйнштейна (правая часть уравнений (2.13)-(2.14)) классического пространства ФРУ для случая «появляющейся» вселенной, совершено не принимая во внимание, какими физическими источниками была вызвана эволюция этой самой геометрии. В принципе, аналогичный способ исследования может быть реализован и для любого другого наперед заданного масштабного фактора, при рассмотрении «геометрической» части уравнений Эйнштейна с метрикой пространства-времени взятой не обязательно в форме ФРУ. Запишем a(t) «появляющейся» вселенной:
Как видно из уравнения (3.3) пространственно-плоская часть кинетиче ской энергии «появляющейся» вселенной является отрицательной, что характерно для фантомных полей.
Но если при переходе /3 — 0 величины К{t) и V(t) преобразуются от общего вида к стандартной модели, то решения, полученные для общей модели, таким свойством не обладают.
Решением уравнений (3.1)-(3.2) в общем виде представляет определенное затруднение, так как эти уравнения имеют степенной характер (в частности из-за произвола выбора параметра т): ma2/3A2eat(/3 + eat)2m"2 - с2 = 0, (3.6) ma2A2eat(3meat + /3)(/3 + eat)2m"2 - 2с2 = 0. (3.7) Так же для анализа графиков K{t) и V(t): необходимо исследование поведения их производных на предмет установления минимумов и максимумов искомых функций, что затруднительно при произвольном т. Хотя точные решения для системы уравнений (2.9)-(2.12) получены для масштабного фактора «появляющейся» вселенной с произвольными параметрами а, /3, т, А: для дальнейшей работы необходимо определить некоторые из них. из последней записи видно, что если 2 2 1, то и пространственно-плоская (фантомная) часть меньше искривляющей составляющей, при этом, в случае є = 1, полная кинетическая энергия всегда больше нуля. Если 2 2 г 1, то начиная с момента времени t = -ln(i 2С2_ 2) пространственно-плоская составляющая будет преобладать над искривляющей. Продолжая исследование поведения функции if (), возьмем от нее производную по времени:
Стоит заметить, что эта система является составной частью системы для двухкомпонентной киральной космологической модели, и как показано во второй главе, решение для одного скалярного поля в пространственно-плоской Вселенной является составной частью (вполне самостоятельной) для решения в двухкомпонентной модели для открытой и замкнутой Вселенной. Для «появляющейся» вселенной мы имеем:
Гравитация ЭГБ для пространственно-плоского случая
Приведенные формы космологических параметров, полученные на основе точных решений, поддерживаются точкой динамикой киральных полей. Поэтому при расчете космологических параметров мы можем использовать методику их вычисления для одного скалярного поля. Хотя, возможно, для некоторых режимов преобладания кинетической энергии одного поля над другим могут быть получены и отличные от приведенных параметров результаты. Дальнейшее сопоставление с наблюдательными данными возможно при точных вычислениях времени t пересечения горизонта для выбранных возмущений. Следует так же отметить, что в литературе рассматриваются космологические параметры для двух полей, например, работа Старобинско-го и д.р. [90].
В главе рассматривается модель «появляющейся» вселенной a(t) = А((3 + eat)m для одного скалярного поля и для двух компонентной киральной космологической модели. Исследуется пространственно-временная часть уравнений Эйнштейна, при этом выделяется отдельно пространственно-плоская составляющая и слагаемое, дополняющее пространственно-плоскую Вселенную до открытой или замкнутой. Вводятся соотношения для кинетической и потенциальной энергии, позволяющие находить области временного преобладания пространственно-плоской Вселенной или компонента дополняющего пространственно-плоскую Вселенную до открытой или замкнутой.
Для «появляющейся» вселенной исследуются K{t) и V(t) для открытой, замкнутой и плоской модели. Для открытой и замкнутой Вселенной установлены моменты времени, когда пространственно-плоская часть начинает преобладать над компонентой, дополняющей ее до открытой или замкнутой. -а2а2 Для K(t) при 2 2 i 1 пространственно-плоская часть меньше дополняющей при любом t, в случае 2"2а 1 при t = - In ( к 2С2_ 2 ) пространственно с а \2а а% с / плоская составляющая начинает преобладать над дополняющей. Для V(t) при t+ = In I v I 2 2 ) пространственно-плоская часть начинает преобладать над дополняющей.
Исследуется точное решение для «появляющейся» вселенной в рамках одного скалярного поля. Показано, что потенциал У(ф) растет с возрастанием 0, равно как и V(t) возрастает при увеличении t. Кинетическая энергия К(ф) имеет минимум при 0(0), что соответствует минимуму K(t = 0), при этом К(ф) 0. Плотность скалярного поля растет, выходя на насыщение, при этом давление имея начальное значение p(t — оо) — 0, уменьшается до pmin = — при t — оо. Таким образом, «появляющаяся» вселенная для одного скалярного поля имеет фантомное точное решение без механизма выхода из инфляции. Так же показано, что для случая т = полевое уравнение на точном решении сводится к уравнению типа sin-Гордона.
Были получены решения для анзацев [±1а], [±1 і], [±3а], [±3 i], [01], но они также как и в случае одного скалярного поля не имеют механизма выхода из инфляции. Сложность при получении минимума для потенциала открытой и замкнутой модели «появляющейся» вселенной заключается в том, что решение для одного скалярного поля, входящее в [±1а], [±Ы], [±3а], [±3 i], возрастающее. Наиболее вероятным анзацем, в рамках которого возможно получить минимум для потенциала, является [±lrf] из-за вида зависимости самого потенциала У{ф1ф) = \\(ф) + \/Н22{ф)У2{ф)
Полученные результаты распространяются на модель обобщенного режима ранней инфляции, при выборе положительной полуоси времени и соответствующих интервалов изменения переменных ф и г\). В главе получены космологические параметры для «появляющейся» вселенной и обобщенного режима ранней инфляции.