Новые точно решаемые квантовые потенциальные модели в сфероидальных координатах Пучков Андрей Михайлович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Постановка задачи 15

1.1. Введение 15

1.2. Потенциал и его свойства 22

1.3. Разделение переменных и постановка краевых задач 26

1.4. Полный набор коммутирующих операторов 31

Глава 2. Решение краевых задач 32

2.1. Краевая задача для квазирадиального уравнения на всей оси. Обобщенное разложение Яффе 32

2.2. Степенные разложения для сфероидальных собственных функций 41

2.3. Устранимые особые точки. Аналог метода 1/N 44

2.4. Краевая задача для квазиуглового уравнения 49

Глава 3. Асимптотическое поведение решений квантовой обобщеной задачи двух кулоновских центров 51

3.1. Квазиклассическое приближение (метод ВКБ) 52

3.2. Теория возмущений при R 0 58

3.3. Метод эталонного уравнения в случае близких точек поворота при R 60

Глава 4. Результаты численных расчетов u л () л () / \ л (ri) л (ті) / у

4.1. Спектр собственных значении Л = А (р, а) И Л д = KnqyP, о). Собственные функции квазирадиального уравнения 64

4.2. Структура энергетического спектра 68

II Точно решаемые квантовые модели, описывающие физические системы в сфероидальных координатах 87

Глава 5. Общие методические замечания 88

5.1. Введение 88

5.2. Ограничения на потенциалы для квантовых ям конечной глубины и сфероидальной формы 89

Глава 6. Потенциальные модели дважды тяжелых барионов 91

Глава 7. Модели квантовых колец 99

7.1. Описание модели квантового кольца в виде бесконечно глубокой потенциальной ямы 100

7.2. Результаты численных расчетов 103

7.3. Модели квантовых колец в виде потенциальных ям конечной глубины 108

Заключение Литература

• Разделение переменных и постановка краевых задач
• Устранимые особые точки. Аналог метода 1/N
• Метод эталонного уравнения в случае близких точек поворота при R
• Ограничения на потенциалы для квантовых ям конечной глубины и сфероидальной формы

Введение к работе

Актуальность

В математическом описании физических явлений фундаментальную роль играют точно решаемые модели. Они позволяют выделить суть явления и задают направление поиска методов анализа более сложных и более реалистических ситуаций.

Особое место среди них занимают задачи с координатным разделением переменных, как в квантовом, так и в классическом случае. Их известно сравнительно немного: они уникальны.

Одной из таких замечательных задач является квантовая задача двух кулоновских центров - проблема (₁₂), которая состоит в определении волновых функций и термов электрона, движущегося в поле двух неподвижных зарядов ₁ и ₂, находящихся на расстоянии друг от друга. В решении различных вопросов атомной физики, квантовой химии двухатомных молекул и теории столкновений она сыграла столь же фундаментальную роль, как задача об атоме водорода в проблеме электронной структуры сложных атомов. Еще в 30-е годы двадцатого века было показано, что уравнение Шредингера такой системы допускает разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах, а одномерные собственные функции представимы в виде рядов, коэффициенты которых связаны друг с другом трехчленными рекуррентными соотношениями [1]. В дальнейшем были разработаны алгоритмы, позволяющие рассчитывать термы с относительной точностью порядка 10-¹², а волновые функции ~ 10-¹⁰, поэтому стали рассматриваться всевозможные обобщения проблемы (₁₂) [].

Применение задачи двух кулоновских центров в теории рассеяния атомных столкновений основано на том, что из-за большой разницы в массах движение электронов и ядер можно рассматривать независимо. В рассмотрение вводятся ()- потенциальные кривые, или термы квазимолекулы, составленной из сталкивающихся атомов. Они являются аналитическими функциями межъядерного расстояния , поэтому все термы одинаковой симметрии есть различные значения одной многозначной функции. Для того, чтобы перейти от одного значения этой функции к другому, достаточно обойти соответствующую точку ветвления на комплексной плоскости . При медленных столкновениях ( <С 1 ..) основную роль играют такие точки ветвления вблизи вещественной оси. Сравнительно недавно, в восьмидесятые годы двадцатого века, в связи с потребностями физики термоядерного синтеза возникла необходимость исследования положения особых точек термов задачи двух кулоновских центров в более широкой комплексной плоскости межцентрового (межъядерного) расстояния . Эта работа была начата Е. А. Соловьевым [] и затем продолжена с соавторами. Основной результат этой деятельности состоит в том, что были обнаружены различные типы «скрытых» квазипересечений термов и получены приближенные аналитические выражения, связывающие параметры квазипересечения с характеристиками квазимолекулы и её квантовыми числами. Эти приближенные выражения могут быть использованы при анализе очень сложных ситуаций в расчетах неупругих процессов.

В работах [] и [] рассмотрение проводилось в вытянутых сфероидальных координатах, поскольку методика расчетов была основана на использовании стандартных алгоритмов и аналитического продолжения с вещественной положительной полуоси R.

Вообще говоря, сфероидальные координаты бывают двух типов: вытянутые и сплюснутые. Хорошо известно, что уравнение Шредингера, в принципе, допускает разделение переменных и в том, и в другом случае. Однако до сих пор при изучении квантовых интегрируемых систем предпочтение отдается вытянутым координатам. Вплоть до недавнего времени единственной работой, в которой использовалось разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах была известная статья Rainwater [], где магнитные моменты ядер объяснялись поведением неспаренного нуклона.

Первой точно решаемой потенциальной моделью, рассмотренной в настоящей диссертационной работе является квантовая обобщенная задача двух кулоновских центров. По-существу, это квантовая задача двух кулоновских центров в случае мнимого параметра межцентрового расстояния - iR и комплексно-сопряженных зарядов q\ Л-Щ2-, Ях —Щ2, где R)Q\ и #2 - вещественные числа. Термин обобщённая в названии позаимствован из небесной механики и не имеет ничего общего с упоминаемыми выше обобщениями. Благодаря высокой симметрии потенциала соответствующее уравнение Шредингера допускает разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах. Из-за того, что особенности потенциала сосредоточены на окружности, а не в точках как в проблеме (Zie^), появляется большое разнообразие в выборе граничных условий и в постановке краевых задач.

Кроме мезоатомной физики и квантовой механики низких энергий, интерес к точно решаемым задачам с координатным разделением переменных традиционно испытывает и физика элементарных частиц, и физика высоких энергий. До сих пор рассматриваются потенциальные модели мезонов и барионов, в рамках которых вычисляются спектры масс и магнитные моменты. Особое место среди них занимают потенциальные модели барионов, содержащих два тяжелых кварка, поскольку их массы mq определяют новую энергетическую шкалу, превышающую масштаб сильных взаимодействий Aqcd (в системе единиц fi = c=l):

Mg^m^, Гдд/Лдс)<СІ, Лдс_о <С Mg,

где m_q—масса легкого кварка, а Гдд'—расстояние между тяжелыми кварками. Таким образом, в теории появляется малый параметр, который можно использовать для применения теории возмущений []. Обычно, потенциальные модели дважды тяжелых барионов формулируются в декартовых, сферических [, ] или гиперсферических [] координатах. В работах [, 10] рассматривалась модель с потенциалом двух кулоновских центров и сферически симметричным квадратичным потенциалом конфайнмента. Известно, что соответствующее уравнение Шредингера допускает разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах. В работе [] Д. У Матрасулову удалось получить асимптотическую формулу для терма E_q{R)₎ которая справедлива в пределе R —> оо. Для ее вывода был применен метод эталонного уравнения. Потом эта асимптотическая формула использо-

валасьвработе [10] для вычисления термов легкого кварка () и расчета спектра масс дважды тяжелых барионов. Однако, несмотря на то, что результаты работы [10] удовлетворительно согласуются с другими расчетами, имеется целый ряд замечаний по поводу обоснованности применения данной модели. Во-первых, потенциал конфайнмента на больших расстояниях должен расти линейно,анеквадратично. Во-вторых, такие увеличенные в размерах (разбухшие) сферически-симметричные барионы никогда экспериментально не наблюдались. Скорее наоборот,впротон-протонных, протон-ядерных иядро-ядерных столкновениях при высоких энергиях наблюдаются протяженные объекты - цветные струны []. Таким образом возникает задача: найти новую потенциальную модель для дважды тяжелых барионов с правильным асимптотическим поведением потенциала конфайнмента и допускающую разделение переменных в уравнении Шредингера в вытянутых сфероидальных координатах. В настоящей диссертационной работе такая модель будет рассмотрена.

Следующий тип потенциальных моделей, рассмотренных в диссертации, связан с квантовыми кольцамии квантовыми точками. Cоздание этих нанообъектов,атакже фор-мированиеизних сложных структур, стало однимизсамых перспективных направлений прикладных исследований в области наноэлектроники.

Однако, несмотря на явный прогресс в создании квантовых колец, в области их теоретического описания, даже в случае одночастичных состояний, исследователи сталкиваются с альтернативой: либо ограничиваться чрезмерно упрощенными одномерными моделями [], либо прибегать к весьма ресурсоемким вычислительным методам для учета их трехмерной структуры []. Очевидно, что необходимо найти альтернативный подход,вкотором, с одной стороны, будут рассматриваться модели, учитывающие (3)-структуру квантовых колец, а с другой стороны – вычислительная сложность соответствующих моделей должна минимизироватьсязасчёт полного разделения переменных.Вработе [] изучалась модель квантового кольца в виде бесконечно глубокой потенциальной ямы, ограниченной параболоидами вращения. Существенный недостаток этой модели состоит в том, что при фиксированном объемеирадиусе кольца, онанедопускает варьирование других параметров, определяющих форму ямы и тем самым не позволяет проследить влияние формы квантового кольца на структуру его спектра. В диссертации будут рассмотрены потенциальные модели квантовых колец, допускающие разделение переменныхвуравнении Шредингера в сплюснутых сфероидальных координатах и лишенные всех указанных недостатков.

Целиизадачи работы

Основная цель диссертации заключается в изучении новых квантовых моделей, допускающих разделение переменныхвуравнении Шредингеравсфероидальных координатах. Основные задачи диссертационной работы:

1. Рассмотреть квантовый аналог обобщенной задачи двух неподвижных центров. Разделить переменныев соответствующем уравнении Шредингеравсплюснутых сфероидальных координатах. Провести подробную классификацию краевых задач и выяснить их специфику.

2. Построить численно устойчивые алгоритмы решения краевых задач. Выполнить численные расчеты и выяснить структуру энергетического спектра квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.

3. Рассмотреть новую потенциальную модель для дважды тяжелых барионовсправиль-ным асимптотическим поведением потенциала конфайнмента, допускающую разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах. Провести численные расчеты для спектра масс некоторых частиц. Сравнить эти результатыспредсказаниями других моделейисрешеточными КХД расчетами.

4. Рассмотреть модель квантового кольцаввиде потенциальной ямы сфероидальной формы и бесконечной глубины. Провести численные расчеты и выяснить структуру энергетического спектра этой модели.

Научная новизна и практическая значимость.

5. Впервые квантовая задача двух кулоновских центров рассматривается на расширенном пространстве (аналог римановой поверхности).

6. Впервые краевая задача для квазирадиального уравнениявсплюснутых сфероидальных координатах при дополнительном условии квадратичной интегрируемости ставится на всей числовой оси.

7. Предложены и теоретически обоснованы новые типы разложения в ряды для квадратично интегрируемых кулоновских сфероидальных функций на мнимой оси.

8. Впервые установлена структура энергетического спектра квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.

9. Впервые предложена точно решаемая модель для дважды тяжелых барионовсправиль-ным асимптотическим поведением потенциала конфайнмента, в рамках которой были сделаны предсказания для масс некоторых дважды тяжелых барионов.

10. Впервые рассмотрена модель квантового кольца в виде потенциальной ямы сфероидальной формы и бесконечной глубины, с помощью которой удалось изучить влияние формы кольца на структуру его энергетического спектра.

Практическая значимость работы заключается в том, что ее результатами можно воспользоваться:

11. для получения простых асимптотических формул, описывающих спектр масс дважды тяжелых барионов, которые потом можно будет применитьвразличных монте-карловских генераторах моделирующих процессы множественного рождения частиц при сверхвысоких энергияхнаколлайдерах LHC иRHIC.

12. для моделирования одночастичных состояний в квантовых кольцах различной формы, что необходимо при разработке новых нанотехнологий производства квантовых колец.

Достоверность полученных результатов обеспечивается согласованием численных и аналитических расчетов, совпадением предельных случаев с результатами других авторов, количественным и качественным соответствием с альтернативными подходами в широкой области изменения параметров.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуж-далисьнанаучных семинарах кафедры квантовой механикиикафедры вычислительной физики, а также лаборатории физики сверхвысоких энергий физического факультета СПбГУ инамеждународных конференциях:

– DaysonDiffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg, June 28–July1(2005)

– DaysonDiffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg, May 27–31 (2013) dd/download/DD13 program.pdf

– XIth International ConferenceonQuark Confinement and the Hadron Spectrum, Saint Petersburg, September 8–12 (2014)

– DaysonDiffraction, Annual International Conference, Saint Petersburg, May 25–29 (2015) dd/download/DD15 program.pdf

– XIIth International Conference Quark Confinement and the Hadron Spectrum, Thessaloniki, Greece, August29–September 3(2016)

Публикации. Потеме диссертации опубликовано7научных работ [A1–A7].Изних 3 опубликованов изданиях, индексируемых базами данных WebofScience и/или Scopus, еще 4 – в журнале Вестник Санкт-Петербургского университета, индексируемом РИНЦ и входящемв перечень изданий, рекомендованных ВАК.

Вклад автора. Все основные результаты диссертации получены автором лично. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад авторавопубликованные работы. Идея исследования квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров принадлежит Ю.Н. Демкому, что нашло отражение в названии работы [A5]. В статьях [A1, A2] постановка задачи и обсуждение результатов осуществлялась при его непосредственном участии. В статьях [A1, A2, A3, A4, A5] автором были произведены расчеты волновых функций и термов, а также анализ результатов. Вклад автора в статьи [A6], [A7] составляют идея постановки задачи и формулировка моделей.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, списка литературы изаключения. Главы собраныв две части по общности тематики. Первая часть содержит четыре главы, посвященных рассмотрению квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров. Вторая часть содержит три главы, посвященных точно решаемым квантовым моделям, описывающим физические системы в сфероидальных координатах. Полный объем диссертации составляет 122 страницы, включая 35 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 129 наименований.

Разделение переменных и постановка краевых задач

Метод разделения переменных непосредственно связан с отысканием полных наборов интегралов движения, точнее, полных наборов операторов симметрии, являющихся интегралами движения. Вместе с тем, известно [76], что если уравнение Шредингера или его классический аналог - уравнение Гамильтона-Якоби допускает полное разделение переменных в некоторой системе координат, то соответствующая группа симметрии имеет вид прямого произведения двумерных групп вращения: SO2 0 02 SO2, по одной группе SO2 на каждую степень свободы. Следует подчеркнуть, что такая симметрия не сводится к чисто геометрической, так как SO2 описывает вращения не в конфигурационном, а в фазовом пространстве.

Связь высокой симметрии гамильтониана с разделением переменных для задачи {Z\eZ i) впервые была установлена в работе [77]. Тогда же был построен полный набор попарно коммутирующих операторов, которые являются генераторами группы симметрии. Очевидно, что в квантовой обобщенной задаче двух кулоновских центров существует аналогичный набор. Он включает в себя, помимо гамильтониана Ни оператора проекции момента импульса на ось z — L z = —ijr, оператор константы разделения Л. Явный вид Л находим по следующему рецепту: уравнение (1.23) умножим справа на (1 — rj2)Ymq(rj; і?), а уравнение (1.24) - на (2 + 1)Хт&(; і?), затем полученные выражения складываем и разрешаем относительно Л. Для того чтобы избавиться от слагаемого с т2, воспользуемся заменой т ітг и вспомним, что гамильтониан содержит слагаемое со второй производной по ср. В итоге получимВ заключении этой главы добавим, что разделение переменных в квантовой обобщенной задаче будет даже в том случае, если в качестве непроницаемой перегородки выбрать любую координатную поверхность = const или TJ = const . Такая постановка задачи, а также случаи с полунепроницаемой перегородкой в настоящей работе не рассматриваются.

Основные результаты этой главы изложены в работах [75, 78, 79]. Прежде всего одно общее замечание. Если ввести комплексную независимую переменную z, таким образом: z = 77 + г, то есть Rez = rj,Imz = , то становится очевидно, что вместо двух различных уравнений (1.23) и (1.24) мы имеем дело с одним кулоновским сфероидальным уравнением, которое рассматривается на разных интервалах. Краевая задача для квазиуглового уравнения ставится на вещественной оси для z Є [0,1] или z Є [—1, +1]. Краевая задача для квазирадиального уравнения ставится на мнимой оси или положительной мнимой полуоси. Рис. 4 Конфигурация области измене-В этом случае особые точки z\ = =Ы на- ния

ходятся «сбоку» от интервала на котором переменной и особых точек для

уравнений (2.1) и (2.7) будут разыскиваться собственные функ ции. На Рис. 4 проиллюстрирована возникшая ситуация: штриховкой обозначены области определения собственных функций в нашей задаче и для сравнения в аналогичной для проблемы {Z\eZ i). Краевые задачи с такой конфигурацией особых точек при дополнительном условии квадратичной интегрируемости собственной функции ранее никогда не рассматривались (см. [67], [68], [70] или сравнительно недавно вышедшую [73]), поэтому начнем именно с этого случая.

Дополнительно потребуем выполнения условия Xmk R) Є С.2 (Щ Здесь для упрощения обозначений опущена черта над собственной функцией. Об судим специфику этой задачи. Легко видеть, что (2.1), по существу, это куло-новское сфероидальное уравнение на мнимой оси z : = Im z. Оно имеет три особые точки: i = +г, 2 = — и з = ? причем и (2 - регулярные, а з - иррегулярная. Очевидно, что ни i, ни 2 не совпадают с границей области определения Хт ( ; і?), а находятся «сбоку» от нее. В проблеме {Z\eZ i) рассматривалась аналогичная краевая задача для квазирадиального уравнения (см., например [2, 46]). Тогда кулоновское сфероидальное уравнение решалось на луче z Є [+1; оо), и для разложения собственной функции использовалось стандартное преобразование Яффе. В краевой задаче (2.1), (2.2) конфигурация особых точек и области определения собственной функции создает проблему круга сходимости и потому использование преобразования Яффе для поиска разложения Xm ( ; R) невозможно.

Нужно искать обобщенное преобразование, включающее в себя стандартное как частный случай. Прежде всего, приведем уравнение (2.1) к нормальной форме, чтобы сделать некоторые утверждения более наглядными. Для этого воспользуемся подстановкой Тогда краевая задача (2.1)–(2.2) примет вид: (і2 Г о (а— ) (т2 — 1)1 , ч Xmk(q] R) + — р + 77о "I" 77 - mkis i Щ = О 5 (2.3) ас,2 [с, + 1) [с,2 + 1)2 Xm ( ; і?) I 0, Є (—оо, оо). (2.4) Теперь (2.3) можно интерпретировать как одномерное уравнение Шредин-гера. Отсюда следует, что собственные функции Xm ( ;i?) в подбарьерной области, в частности при —) ±оо, должны не просто стремиться к нулю, а экспоненциально затухать. Учтем это поведение с помощью множителя Xmk(] R) = е рv + Fmk{ - Щ (2.5) Для функции Fm ( ; і?) получаем уравнение 2 п л п\ л /То її А п VS + l) 7 mife(sj V — 2 4 V S + 1 7 mife(sj )+ Г / 9 l (2.6) 2 Р V771 — 1) / п + — V + а ъ + Т7о Fmk{ ] it) = 0 . V2 +1 ( + !) Конечно, асимптотическое поведение Xm ( ; R) при —) ±оо определяется не только экспоненциальным множителем, так как квазипотенциал содержит линейное по слагаемое - а, которое нарушает симметрию уравнения (2.6) относительно = 0. Как показали детальные исследования, наличие этого слагаемого приводит к тому, что асимптотика Fm ( ; R) устроена следующим образом: Fmk{ - Щ ( + v 2 + -0 Р при + 5 Fmk(i] Щ ( — Vs + 1) Р при — Обратим внимание также на то, что выделение экспоненты испортило характер особых точек i и 2. Если в уравнениях (2.1) и (2.3) они были регулярными, то уже в (2.6) стали ветвящимися. Обращаться с такими точками трудно и неприятно. Выход из затруднения состоит в следующем: совершим последовательно преобразования \— х \— , где = shx, = th (х/2). Тогда все наши «старые» особые точки перейдут на единичную окружность —г \-л — г, -\-г \— -\-г, —оо і— —1, +оо \— +1, и кроме того появится «новая» на бесконечности (см. Рис. 5). Иными словами, расплатой за сохранение регулярности станет увеличение количества особых точек с трех до пяти (раньше —оо и +оо воспринималась как одна точка).

Устранимые особые точки. Аналог метода 1/N

Достаточное условие сходимости цепной дроби (2.37) выполняется, поскольку имеет место предельный переход: 2р — . (2.38) s Ps-lSi XsiXs s oo 5

В практических вычислениях бесконечная цепная дробь F (p,b,X) заменяется конечной і у__і(р, Ь, А), то есть обрывается на N—ом шаге. Условие (2.38) начинает выполняться с s 2р и это следует учесть при выборе N. Следующий практический шаг связан с тем, что подходящую цепную дробь можно представить в виде частного от двух полиномов степени N + 1 („) Qw+Up, 6, Л) лг-и U9? А) = Ті іГ (2.39) Рдг+і(р,6, Л) Тогда из проверки (2.37) легко исключаются сингулярности, связанные с нулями P/v+i(p, 6, Л), а искомая зависимость Amg = Xmq(p, b) находится как соответствующий корень уравнения QA +I(P? b, А) = 0. Поскольку весь спектр собственных значений Xmq(Pjb) монотонный и невырожденный, то такой практический подход обоснован. Из (2.38) и (2.39) следуют рекуррентные соотношения для Qk(p, b, А) :

«Подчеркнутые» коэффициенты: р7, xJT, Js, отличаются от «неподчеркнутых» (2.35) только множителем 1/у 1 + х . Этот множитель не меняет рекуррентных соотношений (2.34), но зато позволяет избежать в промежуточных вычислениях накопления больших чисел. Действительно, если не осуществить указанную перенормировку, то старшие коэффициенты полиномов Q будут вести себя как к при к

В заключении заметим, что трехчленные рекуррентные соотношения (2.34) не являются соотношениями типа Пуанкаре-Перрона. С этим обстоятельством, в частности, связана проблема суммирования рядов (2.32) и (2.33) при р 1. В этой области для контроля вычислений следует пользоваться асимптотическими формулами для ХІЩ и Ymq{rj]R).

Спектр квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров получается после численного решения краевых задач с помощью методов, описанных в предыдущей главе. Процесс вычисления необходимо контролировать. В тех областях, где появляются малые или большие параметры для этой цели будут использованы различные асимптотические методы: теория возмущений и метод эталонного уравнения. Особое место в настоящей главе будет уделено методу Вентцеля-Крамера-Бриллюэна (ВКБ) или квазиклассическому приближению, поскольку это один из основных и наиболее универсальных асимптотических методов решения спектральных задач. Вообще говоря, это приближение, в отличии от теории возмущений, не связано с малостью взаимодействия и поэтому имеет более широкую область применимости, позволяя исследовать качественные закономерности в решении задачи.

Остановимся кратко на истории использования асимптотических методов в решении проблемы {Z\eZ L). Как уже упоминалось выше, первой работой по квантовой задаче двух кулоновских центров была докторская диссертация Вольфганга Паули [41], где рассмотрение проводилось на основе старой бо-ровской теории. По-существу, эта работа представляла собой простейший вариант квазиклассического приближения в проблеме {Z\eZ i). Любопытно отметить, что истоки метода ВКБ были обнаружены в ранних работах Ж. Ли-увилля (J. Liouville) и Дж. Грина (1837), а сам метод получил свое название в честь Г. Вентцеля (G. Wentzel), Х. А. Крамерса (H. A. Kramers) и Л. Брил-люэна (L. Brillouin), которые его сформулировали и развили в 1926 году независимо друг от друга. Позднее, в 1937 году Р. Е. Лангер (R. E. Langer) сделал метод ВКБ более эффективным, основываясь на равномерных по независимой переменной приближениях функции Эйри («phase-integral» метод). Метод ВКБ без приближений с функциями Эйри («lateral connection» метод) был предложен А. Цвааном (A. Zwaan), Е. Кемблом (E. Kemble) и подробно исследован в работах М. В. Федорюка (1965) (см. более подробно [89], [90]).

Первые работы [91, 92, 93], посвященные применению метода ВКБ для решения проблемы {Z\eZ i) оказались неудачными, поскольку приводили к неверному выражению для квазиимпульсов, что приводило к логарифмическим расходимостям фазовых интегралов, а при т = 0 даже к неаналитичности собственных функций в особых точках = 1ит7 = ±1. Правильное и последовательное квазиклассическое приближение задачи двух кулоновских центров впервые было получено С. С. Герштейном, Л. И. Пономаревым и Т. П. Пузыниной в 1965 году [94]. Позднее, в работах Л.И.Пономарева [95, 96] была изложена общая идея преобразования квантово-механических уравнений с системах с разделяющимися переменными к квазиклассическому виду.

Разложение энергии Ej(R) при малых межцентровых расстояниях в проблеме {Z\eZ L) по теории возмущений впервые были получены Морсом (Morse) и Штюкельбергом (Stueckelberg) [97]. Бете в 1935 году вывел общую асимптотическую формулу Ej(R) с учетом поправки первого порядка для молекулярного иона водорода Н [98]. Бабер и Хассе [47] обобщили результат Бете для произвольных Z\ и Z i, поместив объединенный атом в центр зарядов. В работе Левиной (Levine) [99] была получена формула для энергии основного состояния Л2 во втором порядке теории возмущений, в которой было слагаемое {Z Rf In (ZR), где Z = Z\ + Z4.

Разложение энергии Ej(R) при R —) 00 в проблеме {Z\eZ L) по теории возмущений впервые были получены Коулсоном (Coulson) и Гилламом (Gillam) в работах [100, 101]. На важность учета экспоненциальных поправок впервые было обращено внимание в работе [102]. Овчинников и Суханов в 1964 году [103] разработали метод построения асимптотики для Н с учетом степенного и экспоненциального разложения энергии и волновых функций. Этот метод был развит в дальнейшем в работах Дамбурга и Пропина [104, 107], что позволило достичь рекордной точности. И. В. Комаров и С. Ю. Славянов применили к построению асимптотики метод эталонного уравнения и провели вычисления как для одинаковых, так и для разных зарядов [108, 110].

Метод эталонного уравнения в случае близких точек поворота при R

Современная электроника широко использует достижения в области нано-технологий. Сам термин «нанотехнология» был придуман японским физиком Норио Танигучи в 1974 году. В настоящее время, понятие «нанотехнология» включает в себя совокупность технологических методов, применяемых для изучения, проектирования и производства материалов, устройств и систем, включая целенаправленный контроль и управление строением, химическим составом и взаимодействием составляющих их отдельных элементов наноди-апазона [124].

Одним из самых перспективных направлений прикладных исследований в области наноэлектроники стало создание квантовых точек и квантовых колец, а также формирование из них сложных структурных квантовых объектов. Так, например, на основе капельной эпитаксии были получены многочисленные концентрические нанокольца, кольца вокруг квантовой точки и другие, более сложные нанообъекты [125] - [127]. Развиваются методы создания регулярных двумерных и трёхмерных кольцевых наноструктур на основе наносферической литографии [17] - [20].

Однако, несмотря на явный прогресс в создании нанообъектов, в области их теоретического описания, даже в случае одночастичных состояний, исследователи сталкиваются с альтернативой: либо ограничиваться чрезмерно упрощёнными одномерными моделями [21] - [23], либо прибегать к весьма ресурсоёмким вычислительным методам для учета их трехмерной структуры [24], [25], [26]. В настоящей главе предлагается подход, в котором, с одной стороны, рассматриваются модели, учитывающие (3D)—структуру нанообъектов кольцевой, сфероидальной формы, а с другой стороны - вычислительная сложность соответствующих моделей минимизируется за счёт полного разделения переменных. Основная цель состояла в том, чтобы продемонстрировать возможность использования сплюснутых сфероидальных координат для описания квантового (31))-кольца на примере простейшей модели в виде потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками. В результате численных расчетов в рамках этой модели будет исследована зависимость энергетического спектра квантового кольца от его формы. В итоге будет показана принципиальная возможность сформулировать критерии для целенаправленного контроля качества квантовых колец, что очень важно при их массовом производстве.

В заключении обсуждаются перспективы использования сплюснутых сфероидальных координат в моделях квантовых колец с потенциальными ямами конечной глубины. 7.1. Описание модели квантового кольца в виде бесконечно глубокой потенциальной ямы

Рассмотрим одночастичное электронное состояние в квантовом кольце, образованном полупроводниковой гетероструктурой. Гамильтониан этой системы выглядит следующим образом:

Зависимость эффективной массы электрона те(г) от координат в (7.1) делает решение спектральной задачи нетривиальным. Однако, если рассматривать квантовое кольцо как потенциальную яму с бесконечно высокими стенками, то эффективную массу можно считать постоянной и поиск уровней энергии сведется к решению уравнения Шредингера в конечном объеме. Перейдем к системе единиц h = 1, те = 1 и выберем в качестве переменных сплюснутые сфероидальные координаты (, г/, ф) (1.14).

Потребуем, чтобы бесконечная яма, представляющая квантовое кольцо, была ограничена в пространстве координатной поверхностью = о вместе с V = Vo- Тогда уравнение (7.2) будет допускать разделение переменных. На Рис. 29, представлен один вариант такого выбора: о = 2 , 770 0,8.

Объединение = 0 и rj = 0 представляет собой горизонтальную подложку, над которой располагается кольцо. Для большей наглядности на Рис. 30 наше квантовое кольцо представлено в изометрической проекции с вырезом. Разумеется, можно рассматривать и более сложные конструкции, образованные пересечением большего числа поверхностей, не вступая в противоречие с требованием разделения переменных, но в данной модели мы ограничимся самым простым случаем. Обратим внимание на то, что область изменения переменных традиционно выбирается двумя альтернативными способами. Нашей модели соответствует способ (1.15):

Поверхности = const, г/ = const сплюснутых сфероидальных координат в проекции на (х, )-плоскость с осью z в качестве оси симметрии. Жирной линией показана граница квантового кольца.

Ограничения на потенциалы для квантовых ям конечной глубины и сфероидальной формы

Заметим, что при 770 — 0? кольцо стремиться стать плоским, и термы начинают вырождаться по квантовому числу q, поскольку одна из степеней свободы начинает исчезать. Кроме того, обратим внимание, что функции Ej = Ej(rjo) не являются монотонными. Некоторые термы при малых, но конечных т/о имеют минимумы. В окрестности такого минимума EJ(JJQ) практически постоянна, то есть малые изменения формы не влияют на энергию определенного состояния. Это обстоятельство надо принимать в расчет, когда организуется массовое производство квантовых колец для изготовления различных наноэлектронных приборов и устройств с высокой стабильностью и малым разбросом рабочих характеристик. При массовом производстве добиться идеальной формы у всех колец невозможно. Однако, при разработке нанотехнологии их производства надо стремиться выбрать такую форму, когда у рабочих термов имеются общие минимумы.

Любопытно отметить, что ранее такие особенности в спектре квантовых колец никогда не наблюдались.

Очевидно, что потенциальная яма с бесконечно высокими стенками - это очень идеализированная модель для квантового кольца, поэтому на следующем этапе необходимо перейти к рассмотрению потенциальных ям сфероидальной формы и конечной глубины. При этом в качестве начального приближения можно пренебречь зависимостью эффективной массы электрона от координат, то есть предположить, что эффективная масса равна некой усредненной константе. Рассмотрим сначала модель симметричного квантового кольца с прямоугольной ямой сплюснутой сфероидальной формы (5.6). После разделения переменных в уравнении Шредингера в сплюснутых сфероидальных координатах, выбранных способом (1.15) получим две связанные между собой краевые задачи. Одна из них для квазирадиального уравнения, вторая для квазиуглового. Каждая из этих задач состоит из двух частей, соответственно для внутренней и внешней области кольца.

Вся совокупность решений краевой задачи (7.13) - (7.14) представляет собой множество Xm ( ;i?) четных и нечетных собственных функций. Таким образом, для поиска решений можно использовать разложения в ряды (2.18) и (2.19), полученные в первой части. В принципе, поскольку 0 оо, то при а = 0 можно использовать (2.9), то есть обобщенное разложение Яффе для положительной полуоси. Кроме того, для контроля расчетов можно при 108 менить сочетание разложения (2.23) в случае вырожденных особых точек с аналогом метода 1/N—разложеня.

Для решения краевых задач (7.15) - (7.16) можно использовать стандартное разложение Бабера-Хассе [47] или степенные разложения, описанные в монографии [2]. Спектр энергий находится из условия равенства констант разделения mk(p) = mq(p) Обратим внимание на то, что в потенциальной яме конечной глубины может быть конечное число связанных состояний или вообще ни одного, если яма мелкая [74].

В принципе, описанный подход позволяет рассматривать и более сложные конструкции, например систему из двух колец, изображенную на Рис. 34 и Рис. 35. Вообще говоря, прямоугольная яма - это простейший потенциал с резким краем. Для учета влияния краевых эффектов следует перейти к более сложным зависимостям. Например, это может быть потенциал типа Вудса-Саксона:

Поверхности = const, г/ = const сплюснутых сфероидальных координат в проекции на (ж, г)-плоскость с осью z в качестве оси симметрии. Жирной линией показана граница системы, состоящей из двух квантовых колец.

В данной работе получены следующие результаты:

1. Исследована квантовая обобщенная задача двух кулоновских центров. Это новая точно решаемая потенциальная модель, в которой уравнение Шредингера разделяется в сплюснутых сфероидальных координатах.

2. Описана специфика нового класса краевых задач, в которых кулоновское сфероидальное уравнение рассматривается на мнимой оси. Предложены и теоретически обоснованны новые типы разложения в виде рядов для собственных функций – решений этих краевых задач.

3. Исследовано асимптотическое поведение собственных функций и термов квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров при малых и больших значениях межцентрового параметра с помощью квазиклассического приближения и теории возмущений.

4. Установлена структура энергетического спектра квантовой обобщенной задачи двух кулоновских центров.

5. Рассмотрена новая точно решаемая потенциальная модель для дважды тяжелых барионов с линейно растущим потенциалом конфайнмента. В рамках этой модели были вычислены массы некоторых дважды тяжелых барионов и проведено сравнение, как с расчетами других авторов, так и с экспериментальными данными.

6. Рассмотрена новая модель квантового кольца в виде потенциальной ямы сфероидальной формы и бесконечной глубины. С помощью этой модели удалось изучить влияние формы кольца на структуру его спектра.

7. Предложен новый подход для моделирования одночастичных состояний в квантовых кольцах с использованием сфероидальных координат.

Дальнейшее развитие потенциальны моделей, рассмотренных в настоящей работе можно проводить по разным направлениям. Модель дважды тяжелого бариона требует тонкой настройки параметров по современным экспериментальным данным и результатам решеточных КХД расчетов. Кроме того, можно попытаться описывать в ее рамках дважды тяжелые барионы с тяжелыми кварками разных ароматов. Для модели квантового кольца надо использовать потенциальную яму конечной глубины: сначала прямоугольную, а потом со сглаженным краем. Эффективную массу частицы при этом сначала полагаем константой, а потом зависящей от координат.