Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Одномерная модель спинового стекла 16
1.Описание модели 16
2.Окрестность точки перехода 20
3. Область умеренно низких температур 24
4. Очень низкие температуры 33
5.Обсуждение результатов 41
Глава 2 Спиновое стекло с осциллирующим дальнодействием 45
Глава 3 Векторное спиновое стекло с осциллирующим дальнодействием 61
1.Описание модели 61
2. Обоснование модели 66
3. Вывод длинноволнового эффективного гамильтониана 75
4.Разрушение спирального дальнего порядка 81
5. Влияние анизотропии взаимодействия 87
6.Магнитные свойства. 92
7. Обсуждение результатов 100
Глава 4. Иерархическая структура модели Эдвардса-Андерсона
1.Обоснованием модели 106
2. Вывод эффективного взаимодействия медленных степеней свободы 108
3.Выделение критических переменных 117
4. Наблюдаемые величины 129
5.Обсуждение результатов 133
Заключение. 136-
Приложение к главе44
Литература
- Область умеренно низких температур
- Вывод длинноволнового эффективного гамильтониана
- Влияние анизотропии взаимодействия
- Вывод эффективного взаимодействия медленных степеней свободы
Введение к работе
Классическим примером спинового стекла является сплав Си,. Мпх с малыми (х& 1%) концентрациями /%• Системы такого типа известны очень давно, однако, интерес к ним возник лишь в начале 70-ых годов после того как, с одной стороны, были экспериментально обнаружены [ij их удивительные свойства и с другой стороны, появилась теоретическая работа Эдвардса и Андерсона [zj . С тех пор было накоплено много красивейших экспериментальных фактов о системах подобного типа, выполнена масса теоретических работ, но основные утверждения, сделанные в работе [2J , так и остаются гипотезами..•
В работе [і] изучалась восприимчивость X разбавленных сплавов Си--ЪЛ%Мг)\ j-0.5% Мп9Аи-о.ъ% Мп ,Аи-#.2$ Сг 9Ас -1%Мп в зависимости от температуры. Авторы обнаружили, что восприимчивость (измеренная на частоте 100 гц) при высоких температурах следует закону Кюри-Вейса, а при Т- If имеет резкий излом и при дальнейшем понижении температуры ллаїшо убывает. (Для вышеприведенных сплавов То -Ъ К). Последующие эксперименты [3J показали отсутствие при Т Брегговских рефлексов, свидетельствующих о возникновении магнитного дальнего порядка. В работе [2] было предложено, что в этих системах (т.е. спиновых стеклах), происходит при 7 7f фазовый переход в низко температурную фазу, не обладающую никаким дальним порядком, но обладающую параметром порядка CJEA - Se. ї о (означают усреднение по ансамблю, а черта - усреднение по реализациям, с - спин I -ого магнитного атома). Вопрос о существовании равновесной фазы, обладающей только таким параметром порядка, до сих пор остается спорным.
Обсудим вкратце известные на сегодняшний день основные экспериментальные свойства спиновых стекол.
"Классические" спиновые стекла - это разбавленные замороженные растворы магнитных атомов в матрице немагнитного металла как то: / , AuFeJ =пМп} Аи.Сг9 Аи.Нп, А$ Мг 3 ИоГеь fih Мп . 0 . Многие вещества совсем иной природы также проявляют все характерные свойства "классических" спиновых стекол. Их можно разить на несколько классов. Во-первых, это непроводящие спиновые стекла типа (Еи ьЪ,. ) S [4} , большинство из которых основано на редкоземельных атомах (в данном примере Ей ), имеющих локализованный магнитный момент и взаимодействующие ферромагнитным образом с ближайшими и антиферромагнитно с почти ближайшими соседями. Во-вторых, это вещества типа хромовой шпинели nh iC(ixCiz е \5J , в которой знак взаимодействия локализованных на атомах Съ магнитных моментов зависит от атома ( Zo или С J ), находящегося между ними. Вещества этих двух классов образуют спиновое стекло при х- 0.5. В-третьих, это редкоземельные сплавы типа % , магнитные моменты в которых локализованы на атомах Еъ , взаимодействие между ними осуществляется, по-видимому, путем обмена виртуальным геликоном. При больших концентрациях / эти сплавы образуют геликоидный антиферромагнетик, а при малых концентрациях - спиновое стекло. Многие металлические стекла, содержащие малые концентрации магнитных примесей (например, Pclso_ Fex Ло: - g0-» ч $€ ), тоже с точки зрения магнитных свойств, являются спиновыми стеклами [в] . В последнее время (V] были обнаружены электрические аналоги спиновых стекол (их иногда называют дипольными, а иногда ориентационными стеклами). Характерным примером ( является, хаотически расположенные С Л/ группы в котором несут дипольные моменты, Все вышеперечисленные классы соединений имеют, в общем, те же свойства, что и "классические" спиновые стекла.
Первое из этих свойств - это уже упоминавшийся выше излом магнитной восприимчивости при 71- Ц . Ниже Ц восприимчивость, измеренная на конечной частоте & , слабо ( S"X 6 CJ ) зависит от частоты, вплоть до самых малых частот (о5" I часа), причем с уменьшением частоты восприимчивость растет, а температура перехода, определенная как точка максимума восприимчивости, падает. Зависимость Т (со) напоминает в широком интервале частот [э] хорошо известный для стекол закон Вогеля-Фулчера: j= GJD -е/хе (- A/C Tf - %)) . На совсем малых частотах ( со час"1) зависимость T (cJ) прекращается [IOJ , что свидетельствует в пользу существования равновесного фазового перехода.
Очень важным и характерным для всех спиновых стекол свойством является отличие восприимчивости измеренной на любой конечной частоте и восприимчивости (Хос), полученной методом "охлаждения в поле". Как говорит само название, метод состоит в охлаждении образца в малом конечном поле Ь , измерения его магнитного момента М и определения %ос = А//А . Температура Тр(Ц ниже которой Хлс отличается от X ( "Xfc всегда больше X )» близка кТ при А- 0 . Зависимость -(Т (к)-Т )/Т от U хорошо описывается формулой д Алмейда-Таулеса: А 3 . Отличие Хре, от X свидетельствует о присутствии в системе каких-то очень (быть может бесконечно) медленных процессов релаксации, поэтому именно 7}(h) принимают иногда за температуру истинного фазового перехода.
Существует и равновесная величина, которая испытывает особенность в точке Тр - это нелинейная восприимчивость л. --Ъ Х /ЭК2" # Автору неизвестны эксперименты, устанавливающие отличие Ту , измеренной таким способом от Tji (о) . в работе [ilj была измерена нелинейная восприимчивость в малой ( г- 0.1) окрестности точки фазового перехода. В этой области X выросло более чем в ІСг раз, зависимость X от 2Г описывалась скейлинговой формулой Х 4- 2Г
Теплоемкость ( С ) не имеет заметной особенности в точке перехода, но имеет широкий максимум выше. При низких температурах теплоемкость пропорциональна температуре, что указывает на существование в спиновых стеклах, также как и в обычных стеклах, широкого распределения двухуровневых систем.
Спектр времен релаксации в спиновых стеклах, по-видимому, не имеет верхней границы. Так, в эксперименте [13 J было обнаружено, что спектр времен релаксации ограничен только временем проведения эксперимента ( суток) и временем релаксации образца от момента замораживания до начала проведения измерений.
Матрица к; предполагается случайной 1С = О , 7 = О" если Ц ближайшие соседи и 7L: =0 в противном случае. К сожа-лению, даже про эту модель в настоящее время известно крайне мало. Более успешными оказались попытки построения теории среднего поля. Модель Эдвардса-Андерсона можно видоизменить так, чтобы радиус взаимодействия стал бесконечным [I4-J . В этой модели (она носит имя Шеррингтона и Киркпатрика) r = VN ДДЯ всех пар ( і7 ). ( А/ - полное число спинов в системе). Бесконечный радиус взаимодействия позволяет доказать наличие фазового перехода при Т- 1С и излом магнитной восприимчивости. Решение, полученное в работе fl4J методом реплик в предположении о симметрии между различными репликами, приводило к противоречиям в области низких температур (например, к отрицательной энтропии). Впоследствии было обнаружено [к] , что симметричное в репличном пространстве решение становится неустойчивым ниже определенной температуры 12( h ) { Тс(о) = Тс ), зависимость 72(A) (2ГС к /з) называют линией Д Алмейда-Таулеса. Устойчивое решение при Т гП(к) было получено в работах Паризи l6j в 1979 году, а физический смысл этого решения был понят совсем недавно JJC7-I9J • Сформулируем вкратце основные результаты этих работ.
Начиная с работы Шеррингтона и Киркпатрика [l4J , вину на странные, на первый взгляд, результаты пытались возложить на метод реплик. Однако почти все результаты, полученные этим методом, были впоследствии получены и другими методами. Так, вывод о существовании фазового перехода при 7" = Тс t восприимчивость вблизи 71 is. вблизи = О были получены Таулесом, Андерсоном и Пал-мером ( 20J , а картина с нарушением репличной симметрии подтверждена работами Сомполинского [21-23J , в которых те же результаты были получены, используя динамическую технику.
С помощью метода Є -разложения Харрис, Любенский и Чен [24] вычислили критические индексы в пространстве размерности -, но заранее ясно, что принимать их результаты всерьез для трехмерного пространствн нельзя. Более того, анализ высокотемпературных рядов [25,26J показывает, что фазовый переход исчезает (или сильно изменяется) при d =4. Неустойчивость решения полученного из теории среднего поля при d - 4 в области низких температур была также получена аналитически в работах [27,28І.
Совсем другой подход к этой проблеме был предложен Тулу-зом [29] и развивался в работах [30-32J . В этих работах изучается низкотемпературное состояние несколько видоизмененной модели Эдвардса-Андерсона, в которой %j ±2i с вероятностью /о, 1-р соответственно ( ZJ ближайшие соседи). Энергия данного состояния системы не изменится, если одновременно поменять знак у G} и у jly для всех J • Это преобразование эквивалентно калибровочным преобразованиям теории поля, роль напряженности поля, инвариантной относительно калибровочных преобразований, играет величина lj 7;к 7И 7€-. Можно попытаться угадать гамильтониан, описывающий крупномасштабное поведение системы [30J » этот гамильтониан должен быть инвариантным [31,32J относительно калибровочной группы. Таким методом можно описать явления, связанные с распространением спиновых волн в низкотемпературной фазе, но самые интересные свойства низкотемпературных фаз спиновых стекол остаются вне рамок этого метода, этот метод также не может ничего сказать о существовании равновесной низкотемпературной фазы,
В заключение этого краткого и неполного обзора теоретических работ перечислим основные нерешенные вопросы;,стоящие перед теорией спиновых стекол: есть ли равновесный фазовый переход, если да, то что является параметром порядка низкотемпературной фазы? Почему критический индекс нелинейной восприимчивости ( v ъ 3.3) столь сильно отличается от значения, получениего в теории среднего поля, в то время как линия Т А) возникновения метастабильности прекрасно описывается формулой Д Алмей-да-Таулеса, полученной в приближении среднего поля? Каков спектр времен релаксации низкотемпературной фазы? Нет ли в реальных спиновых стеклах дополнительных скрытых параметров порядка и т.д.
Перейдем к изложению содержания диссертации, В первой главе рассматривается одномерная модель спинового стекла с осциллирующим дальнодействием. Эта модель с одной стороны допускает решение, а с другой стороны обладает многими свойствами,характер-ными для реальных спиновых стекол. В приближении среднего поля восприимчивость имеет излом в точке перехода. В одномерной задаче не может быть настоящего фазового перехода, однако, при большом радиусе взаимодействия времена (или расстояния), за которые разрушается параметр порядка, экспоненциально велики: 4 z?0 e/Xf (/r/ V )( -зе/с , ге -обратный радиус взаимодействия, с - концентрация спинов, Г- приведенная температура). Если ограничить релаксацию временами zf« t и не рассматривать узкую область размытия фазового перехода Г ъ , то можно сказать, что в системе происходит переход в низкотемпературную фазу.
На коротких временах j воспроизводятся результаты теории среднего поля, в то время как при »г восприимчивость парамагнитная, однако, сохраняется большая величина отклика на осциллирующее в пространстве поле. При понижении температуры в область уТ1« Т ? % энергетические барьеры между состояниями распределены в широком интервале энергий: от зультаты теории среднего поля воспроизводятся при полном запрете на переходы между состояниями: теплоемкость при этом линейна с і , восприимчивость не зависит от Т . С увеличением времени измерения восприимчивость медленно (логарифмически) растет вплоть до своего парамагнитного значения. В области совсем низких температур T j распределение молекулярных полей n , действующих на данный спин, приобретает щель вблизи h =0, поэтому X в этой области становится экспоненциально малой, а восприимчивость, измеренная в режиме охлаждения в поле по-прежнему не зависит от температуры. В этой области температур появляется также, характерная для реальных спиновых стекол, зависимость физических величин не только от времени измерения, но и от времени приготовления образца. Таким образом, несмотря на простоту, рассмотренная одномерная модель спинового стекла обладает богатым набором свойств, похожих на свойства реального спинового стекла.
Во второй главе исследована трехмерная модель изинговского спинового стекла с осциллирующим взаимодействием большого радиуса. Доказано существование маргинально стабильной низкотемпературной фазы. Эта фаза не имеет ничего общего с фазой Эдвард - 12 са-Андерсона, в частности параметр порядка QEA в ней равен нулю, ее можно себе представить как сильно испорченную дефектами осциллирующую в пространстве спиновую волну. Параметром порядка служит волновой вектор волны. Равновесная восприимчивость в этой фазе чисто парамагнитна при всех температурах. Обсуждается вопрос о возможности реализации такой фазы в некоторых реальных веществах.
В реальной физической системе всегда присутствуют различного вида анизотропии и диполь-дипольное взаимодействие. Все эти эффекты приводят к появлению ненулввого среднего спина на данном узле и отличию усредненной по всем направлениям восприимчивости от парамагнитной. В зависимости от величины анизотропии возможны три характерных режима поведения восприимчивости как функции температуры. Перечислим их в порядке возрастания величины анизотропии: рост восприимчивости при высоких температурах по закону ЧТ сменяется на плавный максимум при Т =0; плавный максимум восприимчивости при Т U резкий симметричный излом восприимчивости при T 7J# в последнем случае нелинейная восприимчивость имеет резкий максимум, этот максимум, однако, конечен и не имеет отношения к настоящему фазовому переходу, а происходит в низкотемпературной фазе, малые магнитные поля изменяют качественную картину. Дело в том, что магнитное поле действует на спираль так же как случайное магнитное поле на ферромагнетик, т.е.
- 14 приводит к существенному увеличению силы случайного поля, действующего на фазовую переменную. Восприимчивость,измеренная в слабых магнитных полях, уже не имеет излома, а плавно растет с понижением температуры вплоть до максимума при Т =0.
В четвертой главе исследована модель Эдвардса-Андерсона с большим (но конечным!) радиусом взаимодействия. Показано,что ниже критической размерности clc =4 фазового переход в низкотемпературную фазу кардинально изменяется, однако остается существовать. При с/ GIC произведено в явном виде выделение медленных (в смысле ренормгруппы Вильсона) переменных в критической области и показано, что эти переменные взаимодействуют между собой подобно спинам первоначальной модели с ренормированными параметрами - эффективной температурой и числом ближайших соседей Н . Таким образом, аналитически построено преобразование ренормгруппы в действительном пространстве. Важной особенностью этого преобразования является то, что масштаб его де произволен, а определяется параметрами изначального гамильтониана, а потому гипотеза о скейлинге в ее обычной формулировке не применима к фазовому переходу такого рода. Показано существование такой температуры Тф , при которой эффективная температура не меняется после преобразования ренормгруппы, Т - является точкой фа-зовогв перехода.
Теория среднего поля дает правильную величину свободной энергии: f = () э Т- (Т-Тс)/ Тс , 7 - температура перехода в приближении среднего поля) во всей температурной области \т\ « ± за исключением близкой окрестности точки перехода
([8Т\ Ъ ). Точка истинного фазового перехода с -,- /з лежит ниже и вне этой области - V» 4z . Это означает, что с помощью высокотемпературного ряда очень трудно узнать о наличии истинного фазового перехода при - Zf .
Отсутствие масштабной инвариантности в обычном смысле приводит к тому, что нелинейная восприимчивость обращается в бесконечность в точке фазового перехода не по степенному закону, а испытывает многократные осцилляции между двумя степенными огибающими. Однако для того, чтобы получить эту картину в результате численного моделирования, необходимо иметь систему достаточно больших размеров - больше, чем до сих пор исследованные.
Область умеренно низких температур
В третьей главе рассмотрена трехмерная модель векторного (гейзенберговского или планарного) спинового стекла с осциллирующим взаимодействием большого радиуса. Исследован вопрос о применимости модели к описанию реальных спиновых стекол, в частности, показано, что система магнитных атомов, взаимодействующих между собой по закону /?ККХ, эквивалентна при высокой концентрации примерных атомов модели с осциллирующим дальнодействием, а при низкой модели Эдвардса-Андерсона. Как гейзенберговские, так и планарные спиновые системы образуют низкотемпературную фазу типа испорченной спирали. В обоих случаях единственной существенной медленной переменной является фаза спирали: 5" = 61 (Cog (р0г + (рЛ+Ч ))» Направление п плоскости вращения гейзенберговских спинов в изотопическом пространстве тоже является голд-стоуновской переменной, однако, после учета тепловых флуктуации эта переменная приобретает жесткость, т.е. в энергии появляется изотропный член вида A/ . ps, (Vft J При наличии ненулевой жесткости р влиянием слабого беспорядка, связанного с флуктуациями концентрации атомов примесей, на направление п, можно пренебречь. Совершенно иначе обстоит дело с влиянием беспорядка на фазовую переменную кр. Длинноволновые флуктуации фазы описываются тем же гамильтонианом, что и флуктуации фазы в модели изинговского спинового стекла с осциллирующим дальнодействием, с той (весьма существенной) разницей, что случайное поле, входящее в эффективный гамильтониан, в этом случае значительно меньше. Из результатов главы 2 следует, что v = о , а усредненная по всем направлениям восприимчивость чисто парамагнитна Х- с/зТ7, однако, в случае гейзенберговских спинов восприимчивость в плоскости вращения спинов и поперек ее резко отличаются друг от друга: при понижении температуры восприимчивость поперек плоскости выходит на постоянное значение, а восприимчивость вдоль плоскости продолжает расти по закону с/гт. Эта анизотропия макроскопических магнитных свойств дает экспериментальный критерий обнаружения низкотемпературной фазы такого рода.
В реальной физической системе всегда присутствуют различного вида анизотропии и диполь-дипольное взаимодействие. Все эти эффекты приводят к появлению ненулввого среднего спина на данном узле и отличию усредненной по всем направлениям восприимчивости от парамагнитной. В зависимости от величины анизотропии возможны три характерных режима поведения восприимчивости как функции температуры. Перечислим их в порядке возрастания величины анизотропии: рост восприимчивости при высоких температурах по закону ЧТ сменяется на плавный максимум при Т =0; плавный максимум восприимчивости при Т U резкий симметричный излом восприимчивости при T 7J# в последнем случае нелинейная восприимчивость имеет резкий максимум, этот максимум, однако, конечен и не имеет отношения к настоящему фазовому переходу, а происходит в низкотемпературной фазе, малые магнитные поля изменяют качественную картину. Дело в том, что магнитное поле действует на спираль так же как случайное магнитное поле на ферромагнетик, т.е. приводит к существенному увеличению силы случайного поля, действующего на фазовую переменную. Восприимчивость,измеренная в слабых магнитных полях, уже не имеет излома, а плавно растет с понижением температуры вплоть до максимума при Т =0.
В четвертой главе исследована модель Эдвардса-Андерсона с большим (но конечным!) радиусом взаимодействия. Показано,что ниже критической размерности clc =4 фазового переход в низкотемпературную фазу кардинально изменяется, однако остается существовать. При с/ GIC произведено в явном виде выделение медленных (в смысле ренормгруппы Вильсона) переменных в критической области и показано, что эти переменные взаимодействуют между собой подобно спинам первоначальной модели с ренормированными параметрами - эффективной температурой и числом ближайших соседей Н . Таким образом, аналитически построено преобразование ренормгруппы в действительном пространстве. Важной особенностью этого преобразования является то, что масштаб его де произволен, а определяется параметрами изначального гамильтониана, а потому гипотеза о скейлинге в ее обычной формулировке не применима к фазовому переходу такого рода. Показано существование такой температуры Тф , при которой эффективная температура не меняется после преобразования ренормгруппы, Т - является точкой фа-зовогв перехода.
Теория среднего поля дает правильную величину свободной энергии: температура перехода в приближении среднего поля) во всей температурной области \т\ « ± за исключением близкой окрестности точки перехода. Точка истинного фазового перехода с лежит ниже и вне этой области - V» 4z . Это означает, что с помощью высокотемпературного ряда очень трудно узнать о наличии истинного фазового перехода.
Отсутствие масштабной инвариантности в обычном смысле приводит к тому, что нелинейная восприимчивость обращается в бесконечность в точке фазового перехода не по степенному закону, а испытывает многократные осцилляции между двумя степенными огибающими. Однако для того, чтобы получить эту картину в результате численного моделирования, необходимо иметь систему достаточно больших размеров - больше, чем до сих пор исследованные.
Вывод длинноволнового эффективного гамильтониана
Равновесная восприимчивость (времена наблюдения дается формулой (44), как и при Т1» Вычислим в заключение неоднородную восприимчивость в равновесном режиме Х 2 . Эта величина дается, как и раньше, суммой (45), в которую основной вклад вносит область / - / - Длина корреляции фазы L выражается через j3 с помощью формул (30), (31). Подставляя .в из (53), получаем
Обсуждение результатов В этой главе была сформулирована модель спинового стекла со взаимодействием большого радиуса, отличная от модели Шеррингтона-Киркпатрика и подробно изучен ее одномерный вариант с изинговски ми спинами.
Параметром большого радиуса является отношение & /с -)r L , где & -обратный радиус взаимодействия, а С - концентрация спинов. Одно из основных свойств модели - это то, что конфигурация Изннговских спинов описывается в терминах медленных переменных типа модуля Р и фазы V3: Корреляционная длина поля р и стремится к бесконечности в пределе теории среднего поля %-- - О. В модели имеются четыре характерных температурных области (ниже %): Ї. Флуктуационная область вблизи точки перехода 1г1 у 3 , в одномерной задаче - это область размытия фазового перехода. Уъ 2. Область применимости теории среднего поля fr zr« ± . Здесь возможны два типа статистического усреднения: квазиравнове сное (за времена « ( J 3) )) и равновесное (за времена 6 » ± ). Еще раз отметим, что мы не рассматриваем времен сравнимых со специфическими для одномерной задачи време нами релаксации амплитуда: В квази равновесном режиме поведение системы мало отличается от поведе ния модели Маттиса [37j : имеется скачок теплоемкости (10), сим метричный излом восприимчивости (II), но, в отличие от модели Маттиса, фазовое пространство системы состоит из большого числа метастабильных состояний, переходы между которыми не происходят. В равновесном режиме »г нужно учесть переходы между всеми метастабилышми состояниями, в результате фазовая переменная Р(х.) становится бесщелевой (см.(16)), а средний спин на узле равен нулю, излом восприимчивости исчезает. Существование в аномально большой реакции Х$ на осциллирующее в пространстве магнитное поле, В условиях равновесия и квазиравновесия эта величина дается формулами (17) и (19) соответственно. Подчеркнем, что формулы для теплоемкости и восприимчивости в квазиравновесном режиме совпадают с формулами теории среднего поля, в то время как результаты для режима полного равновесия не описываются теорией среднего поля.
Умеренно низкие температуры уТс«Т«ТСі . в этой области появляется широкое распределение энергетических барьеров между штастабилъными состояниями (от Ех«-% (ТІЧі) до в то время как квазиравновесие X ,при котором можно полностью пренебречь переходами между различными штастабильными состояниями соответствует малым временам среднего поля соответствует квазиравновесию X , теплоемкость при этом линейна с Т , а восприимчивость не зависит от температуры. При увеличении времени измерения восприимчивость медленно (логарифмически) растет и только при веременах измерения 6 » izz выходит на свое парамагнитное значение.
Очень низкие температуры. В этой области в распределении молекулярных полей h , действующих на спин, появляется щель вблизи h =0» поэтому восприимчивость и теплоемкость измеренные в режиме квазиравновесия становятся экспоненциально малыми. Эта температурная область исчезает в пределе %+- О и потому никакие эффекты в ней не описываются теорией среднего поля. Магнитная восприимчивость, измеренная в режиме "охлаждения в поле" кардинально отличается от измеренной в режиме квазиравновесия: она остается равной квазиравновесной восприимчивости в области умеренно низКих температур (0 = Ух- W 2. ) Квази-равновесная восприимчивость в этой температурной области обладает еще одним любопытным свойством: она долго зависит от времени прошедшего после приготовления образца (охлаждения) и до начала проведения измерений (см. (60-63)).
В заключение упомянем о недавнем эксперименте \j±lj по рассеянию нейтронов на 6Л. наблюдались структуры, похожие на исследованные в данной главе.
Влияние анизотропии взаимодействия
Третья часть главы посвящена выводу эффективного гамильтониана спиральной структуры в случае гейзенберговских спинов. Мы покажем, что эта структура характеризуется (локально) двумя векторами: волновым вектором спирали 0. ФФ и вектором Ґ? (В спиновом пространстве) определяющим направление нормали к плоскости вращения спинов в спирали. В отсутствии спин-орбитальных взаимодействий вектора Q и О принадлежат к разным пространствам и потому независимы. При медленном изменении направления возникает "упругая" энергия вида причем константа Cf имеет чисто флуктуационное происхождение (в приближении среднего поля 3=0). Деформация поля Ср описывается эффективным гамильтонианом Формулы (2), (3) написаны в пренебрежении флуктуациями плотности расположения магнитных атомов. Учет этих флуктуации приводит к добавлению к (2) и (3) членов // [л] и НО?) соответственно: где Sj1 1 LH 00) " слУчаиные гауссовы поля с малым радиусом корреляции. Анализ размерностей показывает, что флуктуации (как тепловые, так и связанные с беспорядком) поля Ґ) остаются конечными на больших пространственных масштабах, в то время как флуктуации поля сильно расходятся. Это означает, что для ис следования устойчивости нашей спиральной фазы (в пренебрежении спин-орбитальными взаимодействиями) достаточно рассмотреть га мильтониан , определенный формула ми (1.3), (1.3). Гамильтониан Н(Ф) совпадает с точностью до численных коэффициентов с гамильтонианом, описывающим спираль ную фазу планарного У У -магнетика. В ІУ части главы изучаются свойства искаженной спиральной фазы векторных магнетиков. В отсутствии анизотропных взаимодей ствий образуется низкотемпературная фаза с сильными тепловыми флуктуациями поля , поэтому сред нее значение спина Ші і = Cos О -дУ -О , а магнитная восприимчивость X следует закону Кюри Х - 1/Т при всех Т1 Тем не менее эта низкотемпературная фаза отличается от парамагнитной, что видно из поведения коррелятора волновых векторов структуры &(зс) : (ситуация, напоминающая двумерный ХУ ферромагнетик [56J . В У части главы изучается влияние диполь-дипольного взаимодействия и анизотропии. Наличие сколь угодно малого диполь-дипольного взаимодействия качественно меняет свойства системы. Дело в том, что дипольная энергия минимальна при параллельной ориентации Q. и П І что при фиксированном /7 (например, за счет спиновой анизотропии типа "легкая плоскость") означает снятие вырождения по направлениям & и обрезание длинноволновых флуктуации. К такому же эффекту и в отсутствии всякой спиновой анизотропии приводит малая анизотропия исходного взаимодействия в координатном пространстве. В результате спины приобретают локальные средние значения (У1УФ О (при этом, разумеется, средний по системе магнитный момент Г, -О ), магнитная восприимчивость при низких температурах выходит на константу, В УІ части главы мы подробно изучим магнитные свойства сис темы, В предположении об относительно сильной спиновой анизо тропии (фиксация Ґ) ) температурное поведение восприимчивости за висит от относительной величины анизотропных взаимодействий, причем можно выделить три характерных режима, которые мы рас смотрим в порядке увеличения интенсивности анизотропных сил: I) - монотонный рост Xf TV при понижении температуры; 2) плав ный максимум X V в области " Т « І. с после дующим убыванием до ХС Т-О) з) резкий излом при Т7— 7. Для 2-го режима подробно исследовано поведение нелинейной вос приимчивости Х=-е "Х/Ъи и дифференциальной воспри имчивости X(Tj к) в конечных полях. Функция "R (Т7) имеет резкий максимум при Z 2Г , который не связан с истин ной сингулярностью, а происходит из-за быстрого перехода (c-sossove ) между областями "сильных" (?Z »J. и "сла бых" ((/ г « і. флуктуации фазовой переменной 4 (сс) , в любом из вышеупомянутых трех режимов поведения продольной и попереч ной (по отношению к плоскости вращения спинов Сильно различны. Например, в режиме сильно развитых флуктуации поперечная ( Xj. ) восприимчивость мало меняется при понижении температуры, в то время как продольная ( Хц ) восприимчивость растет по закону Кюри до не слишком низких температур, но с добавочным коэффици ентом 3/2, так что усредненная по всем направлениям восприимчи вость X является чисто парамагнитной, или другими словами про дольная восприимчивость совпадает в этом случае с парамагнитной восприимчивостью планарного магнетика. Поведение поперечной восприимчивости мало меняется с изменением величины анизотропных взаимодействий, в то время как продольная %„ сильно зависит от них и характеризует состояние системы, поэтому в основном мы будем изучать именно ее. Величина КцС , Ю быстро меняется при включении внешнего магнитного поля. В области максимума линейной восприимчивости У-С?) величина "Х(Т1 п) определяется величинами %(Т), XQV) и убывает с полем, однако при более низких температурах первоначальное убывание X TJ h) уже в слабых полях h kb (где п0 определяется интенсивностью дипольных сил (в случаеХУспинов) или величиной пространственной анизотропии исходного взаимодействия) сменяется ростом с выходом на закон Кюри. Иначе говоря, восприимчивость, измеренная в поле А Ао , не имеет температурного максимума и монотонно растет с понижением температуры. Этот нелинейный эффект связан с конкуренцией дипольных сил, подавляющих флуктуации, и магнитного поля, усиливающего их (действие однородного магнитного поля на случайно искаженный геликоид аналогично действию случайного магнитного поля на ферромагнетик).
Вывод эффективного взаимодействия медленных степеней свободы
Физически первый член 6ь.(ас) соответствует усредненному неприводимому коррелятору характеризующе му термодинамические свойства системы; второй член описывает вызванную неупорядоченностью деформацию "затравочной" структуры с 9&У-р0ос . при д О теория (4.6) является логарифмически перенормируемой [53J , в результате перенормировки изменяются параметры.
Причиной перенормировок являются сильные тепловые флуктуации, характерные для 33) системы с одномерной периодичностью. Вычисление удобно проводить, представив поле #6) в виде суммы "мед-ленной" части 0о(Ьс) и малой "быстрой" части Q&J и интегрируя по Э(ос). в результате коэффициенты А и В приобретают добавки, пропорциональные
При о ф О первые поправки к А и б также имеют вид (4.10), но наиболее сингулярный вклад возникает от перекрестного произведения первого члена (4.7) на второй:
Интеграл (4.II) квадратично расходится на нижнем пределе, а -обрезающий импульс. Поправки (4.II) вызваны не тепловыми флукту-ациями, а деформацией одномерно-периодичного основного состояния из-за неупорядоченности системы. Суммирование этих сильно расходящихся поправок удобно начать с формального рассмотрения модели типа (4.6) в пространстве размерности (при а интег рал (4.II) расходился бы логарифмически). В главе 3 было пока зано, что при а-&-ё имеется устойчивая фиксированная точка, в которой параметры А и В ведут себя степенным образом: Аф)- V(A&) " э 8(р) р"26/п (индексы даны в первом nor рядке по ) Это означает, что вызванные беспорядком деформации структуры приводят к частичной изотропизации спектра). Разумеется, полученные в первом -приближении индексы нельзя использовать при -2 . В главе 3 приведены аргументы (которые мы не будем здесь повторять) в пользу того, что при о= 3 функция Грина имеет при р«у, = \Г$ /2 вид где коэффициенты /А : и в = , z определяются по порядку величины сшивкой (4.12) с (4.8) при Р. )? э& О Ч? (JU Щ I 8 - масштаб, на котором поправка (4.II) становится порядка единицы). Формула (4.12) дает коррелятор малых флуктуации относительно искаженного беспорядком основного состояния (заметим, что параметр Ф. не перенормируется, так что формула (4.7) с заменой &ь(р) на - остается справедливой). Для самосогласованности проведенных вычислений необходимо выполнение условия %«% (где 9о- ч/ 2 v/irT/pe - импульс обрезки для длинноволнового гамильтониана Н(@)). Подставляя л Sry/y/g и о. из (4.6), получаем что и требовалось. 3. Формула (4.12) для коррелятора фазовых флуктуации показывает, что среднеквадратичные деформации фазы ё(х.) - ё&)/2. -квадратично растут с расстоянием: поэтому спиральный дальний порядок полностью разрушен при л . q 1 Направление волнового вектора спирали Q. = медленно меняется в пространстве (см. формулу (30) главы 3 и обсуждение после нее). Поэтому в среднем по системе выделенного направления & нет, и коррелятор -(р) на самых малых импульсах должен стать полностью изотропным (А-8) .Мы не будем, однако, исследовать эту область предельно больших масштабов, а ограничимся расстояниями в интер -1 /д. вале « ас " Є , где определено локальное направление О. , а коррелятор имеет вид (4.12), Рассмотрим теперь тепловые флуктуации фазы Єв(зс) -&&)- д&1, Они определяются первым членом (4.12) и оказываются сильно расходящимися: где L - масштаб длинноволновой обрезки (в направлении, попереч ном к Q. ). Весьма важно, что несмотря на это флуктуации можно считать гауссовыми; дело в том, что А(р) Ар и потому вершина взаимодействия флуктуации Г , происходящая из члена (70) , содержит высокую степень импульса: Г(р) р х и взаимодействие длинноволновых флуктуации мало. Это означает, что средние типа Йэ55"] можно вычислять по формуле Сь$ ($)у .Расходимость (0)г (при L- ) показывает, что среднее значение "молекулярного поля" равно нулю, а вместе с ним и па раметр Эдвардса-Андерсона QA - лтіб = О . Таким об разом, мы имеем равновесную.низкотемпературную фазу спинового стекла с йЕА -О и, следовательно, "парамагнитной" линей ной восприимчивостью Х = с-/ЗТ. Обнаружить отличие такого спинового стекла от парамагнетика равновесными магнитными измерениями было бы весьма трудно, хотя формально такое отличие обеспечивается существованием медленно убывающего коррелятора (4.15). Эти выводы существенно основаны на отсутствии длинноволнового обрезания флуктуации (/, = « ) в изотропном гамильтониане (3.1-2). Слабая анизотропия, всегда имеющая в реальной системе, приводит, как мы ниже покажем, к появлению конечного масштаба обрезки Li И существенному изменению результатов для физических величин.
