Непертурбативные эффекты в интенсивных электромагнитных и гравитационных полях Казинский Петр Олегович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Введение 14

1.2 Динамика электронов в интенсивном электромагнитном поле 16

1.3 Стохастическая деформация 20

1.4 Однопетлевой омега-потенциал 23

1.5 Гравитационный сдвиг масс частиц 27

1.6 Квантовая гравитационная аномалия 31

Глава 2 Динамика и излучение электронов в интенсивном электромагнитном моле 39

2.2 Асимптотики физических решений 41

2.2.2 Уравнение второго порядка 43

2.2.3 Асимптотики 45

2.2.4 Постоянное однородное поле 49

2.2.5 Решения уравнения Ландау-Лифшица 51

2.2.6 Другие решения уравнения Ландау-Лифшица 52

2.2.7 Плоская электромагнитная волна

2.3 Мощность излучения 59

2.4 Спектральная плотность излучения

2.4.1 Постоянное однородное скрещенное поле 64

2.4.2 Плоская электромагнитная волна 70

2.5 Возможная экспериментальная проверка 75

Глава 3 Флуктуации как стохастическая деформация 85

3.1 Правила стохастической деформации 85

3.2 Стохастическая деформация и уравнение Ланжевена 90

3.3.1 Нерелятивистская частица з

3.3.2 Релятивистская частица 99

3.3.3 Термодинамика 106

3.3.4 Флуктуации термодинамических величин ПО

3.4 Выводы 115

Глава 4 Термодинамика частиц с законом дисперсии с сллипссидальной поверхностью поотоянной энергии 118

4.1 Однопетлевой омега-потенциал 118

4.1.1 Разложение осциллирующего вклада 119

4.1.2 Условия эффективности разложения 125

4.1.3 Пересуммирования 128

4.1.4 Квазиклассический вклад

4.2.1 Безмассовые частицы 137

4.2.2 Электроны в тонкой металлической пленке 147

Глава 5 Гравитационный сдвиг масс частиц 157

5.1 Однопетлевая поправка к эффективному действию 157

5.2 Эффективный потенциал 160

5.3 Нестационарный случай 168

5.4 Выводы 176

Глава 6 Квантовая гравитационная аномалия 178

6.1 Высокотемпературное разложение 178

6.1.2 Высокотемпературное разложение 182

6.2 Формулы спуска 186

6.3 Непертурбативные вклады от скалярного поля

6.3.1 Теория возмущений 190

6.3.2 Непертурбативные поправки

6.4 Квантовая гравитационная аномалия 214

6.5 Формализм Тауба-Фока 217

6.5.2 Гамильтониан 220

6.6 Квантование гидродинамики 222

6.6.1 Классический потенциал 223

6.6.2 Политропное уравнение состояния 225

6.6.3 Градиентные поправки 229

6.6.4 Линеаризованные уравнения движения 231

6.6.5 Критерии стабильности

6.7 Нелинейные поправки 238

6.8 Конкретный вид классического потенциала 242

6.9 Некоторые квантовые эффекты 244

6.10 Выводы 247

Заключение 249

Приложение А Теория возмущений

• Однопетлевой омега-потенциал
• Постоянное однородное поле
• Нерелятивистская частица
• Условия эффективности разложения

Введение к работе

Актуальность темы

Современное развитие экспериментальной техники впервые дает возможность проверить предсказания квантовой теории поля вне рамок стандартной теории возмущений. Обычно, непертурбативные эффекты очень малы в физике высоких энергий и проявляются только в полях высокой интенсивности, либо требуют высокопрецизионных экспериментов. В решении этих задач современная экспериментальная физика добилась значительного прогресса. Диссертация посвящена теоретическому исследованию ряда непертурбативных эффектов в интенсивных электромагнитных и гравитационных полях. Выбор этих полей не случаен, поскольку именно сейчас создаются новые экспериментальные установки для исследования непертурбативных эффектов в таких полях. Что касается электромагнитных полей, то здесь стоит отметить два крупных проекта: европейский проект Extreme Light Infrastructure (ELI) и российский Exawatt Center for Extreme Light Studies (XCELS). На этих экспериментальных установках планируется создать оптические лазерные поля интенсивностью I > 10²⁴ Вт/см² и выше. Для сравнения, электромагнитная волна со швингеровской напряженностью поля обладает интенсивностью I ~ 10³⁰ Вт/см². Для гравитационных полей, казалось бы, непертурбативные эффекты вообще нельзя наблюдать в силу слабости гравитационного взаимодействия и малости гравитационной постоянной. Однако это не так. Различные формулировки квантовой гравитации предсказывают небольшие отклонения от законов классической общей теории относительности (ОТО). В связи с этим существует множество экспериментальных проектов как наземных, основанных на атомной интерферометрии (например, в ZARM в Бремене), так и космических (проект NASA/ESA «STEP», проект NASA «SR-POEM», проект CNES «MICROSCOPE», проект ESA «STE-QUEST»), направленных на поиски возможных отклонений от предсказаний классической ОТО. С точки зрения эффективной теории поля, являющейся квантованием классической ОТО, эти эффекты являются существенно непертурбативными. Наличие таких непертурбативных эффектов как в квантовой электродинамике, так и в квантовой гравитации, не вызывает сомнений, поскольку продиктовано самосогласованностью теории. Более того, схожие эффекты наблюдаются в физике конденсированного состояния, где масштабы энергий намного меньше и наблюдение таких эффектов, обычно, не составляет проблем.

Другой аспект, которого касается диссертация, связан с тем, что на сегодняшний день не выяснена природа темной материи, образующей согласно стандартной космологической модели (CDM) около 20 процентов энергетического состава Вселенной. Существует множество гипотез, делающих попытку объяснить феномен темной материи. В данной диссертационной работе, при исследовании непертурбативных эффектов в квантовой гравитации, также возникает естественный кандидат на роль холодной темной материи - дополнительное векторное поле. Причем введение этого векторного поля не только дает (возможное) решение проблемы темной материи,

но также решает так называемую «проблему времени» квантовой гравитации. Существование «проблемы времени», т.е. проблемы выбора единственного представления алгебры наблюдаемых, является прямым следствием основных постулатов квантовой теории поля и ОТО, и эта проблема должна быть разрешена, существуют ли неизвестные частицы темной материи или нет.

Цели диссертационной работы

Ключевые цели работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Исследовать непертурбативную динамику заряженных частиц при больших временах в электромагнитных полях высокой интенсивности. Разработать общий формализм учета влияния стохастических сил на динамику заряженных частиц.

2. Исследовать непертурбативные поправки к эффективному действию квантовой гравитации. Проверить для них выполнение тождеств Уорда, генерируемых общекоординатными преобразованиями. В случае нарушения тождеств Уорда из-за «проблемы времени» квантовой гравитации разработать механизм сокращения возникающей квантовой гравитационной аномалии.

3. Исследовать феноменологические следствия непертурбативных поправок к эффективному действию квантовой гравитации.

Степень разработанности темы исследования

Динамика заряженных частиц в интенсивном электромагнитом поле является классической темой исследований как на классическом уровне, так и квантовом. Можно сказать, что к середине 70-х годов прошлого века все основные уравнения этой теории были сформулированы. Однако за последние 5 лет изучение динамики заряженных частиц в сильных полях приобрело новый импульс в связи с запуском и разработками новых экспериментальных установок, позволяющих наблюдать малые непертурбативные эффекты. Основной акцент в современных работах делается на анализе уже известных уравнений - построении точных решений или численном моделировании -и поиске новых физических эффектов, следующих из этих уравнений.

Построению квантовой теории гравитации посвящена обширная литература. В данной диссертационной работе под квантовой гравитацией понимается эффективная неперенормируемая теория поля, следующая из канонического квантования ОТО. Известно, что в такой квантовой теории существует проблема выбора единственного представления алгебры наблюдаемых. Однако не было ясно, можно ли избавиться от этой зависимости в наблюдаемых с помощью локальных контрчленов, добавленных в исходное классическое действие теории. Если это невозможно сделать, то возникает так называемая квантовая гравитационная аномалия, т.е. нарушение тождеств Уорда, выражающих общековариантность теории. Как подробно обсуждается в диссертации, данная гравитационная аномалия является существенно непертурбативной.

В литературе известна другая пертурбативная гравитационная аномалия, индуцированная киральными фермионами в пространстве-времени размерности D = 4fc + 2, к = О,1, 2,...

Методология и методы исследования

Получение непертурбативных результатов всегда нетривиально и требует развития новых методов, либо значительного усовершенствования старых. При анализе непертурбативных эффектов в динамике заряженных частиц в интенсивных электромагнитных полях существенно используются несколько методов: i) метод фонового поля («картина Фарри») для описания квантовой динамики частиц во внешнем поле; ii) метод построения локализованных решений релятивистских квантовых уравнений; iii) асимптотики физических решений уравнения Лоренца-Дирака (ЛД) и точные решения уравнения Ландау-Лифшица (ЛЛ). При построении алгебраической процедуры описания случайных сил используются методы деформационного и БРСТ квантований. Для анализа непертурбативных поправок к эффективному действию квантовой гравитации используется метод фонового поля, а также разработанные автором новые методы вычисления однопетлевых поправок на стационарном гравитационном фоне общего вида. Эти методы во многом основаны на известной процедуре разложения теплового ядра и понятии (^-функции от оператора лапласовского типа.

Положения, выносимые на защиту

4. Описание непертурбативной динамики электронов при больших временах во внешних электромагнитных полях простых конфигураций: постоянное однородное поле, плоская электромагнитная волна. Новые асимптотики физических решений уравнения ЛД в этих полях. Новые точные решения уравнения ЛЛ для класса внешних электромагнитных полей, допускающих двупараметрическую группу симметрии. Доказательство того, что для постоянного однородного внешнего электромагнитного поля полная мощность излучения заряда является монотонно убывающей функцией времени, а в случае плоской волны - ограниченной сверху монотонно убывающей функцией. Доказательство того, что в асимптотическом режиме для плоской волны круговой поляризации и постоянных скрещенных полей полная мощность излучения, выраженная в терминах собственного времени, не зависит от заряда частицы или напряженности внешнего поля и равна половине энергии покоя частицы, деленной на собственное время частицы, проведенное в электромагнитном поле.

5. Описание свойств ультрарелятивистских электронов, рассеянных на интенсивном лазерном пучке линейной поляризации (интенсивность / > 10²⁴ Вт/см² и энергия фотонов О ~ 1 эВ). Предполагается, что волновой пакет электрона много меньше длины волны электромагнитной волны. В этом случае импульсы электронов, прошед-

¹ Alvarez-Gaum L., Witten E. Gravitational anomalies // Nucl. Phys. B. 1984. V. 234. P. 269. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А.Ю. Методы математической физики: Асимптотические методы в релятивистской механике. Томск: Изд-во ТПУ, 2006.

ших лазерный пучок, слабо зависят от начального импульса и определяются только параметрами лазерного пучка и фазой электромагнитной волны в точке входа. Большая часть прошедших электронов рассеивается на малые углы к направлению распространения электромагнитной волны. Максимальный Лоренц-фактор прошедших электронов пропорционален работе, совершенной электромагнитным полем, и не зависит от начального импульса. Прошедшие электроны обладают одинаковыми проекциями импульса на ось, параллельную вектору электрического поля электромагнитной волны. Эта проекция определяется только диаметром лазерного пучка, измеренным в классических радиусах электрона. Для электронов, отраженных от лазерного пучка, существует закон отражения, связывающий углы падения и отражения. Этот закон универсален, т.е. не зависит ни от каких параметров заряженной частицы и лазерного пучка. Глубина проникновения заряженной частицы в лазерный пучок много меньше длины волны электромагнитной волны.

3. Явные выражения для спектральной мощности излучения, сформировавшегося на асимптотике в полях указанных конфигураций, и их свойства. Для однородных скрещенных полей максимум плотности мощности излучения при фиксированной энергии фотона не находится в плоскости орбиты электрона, как можно было бы ожидать для ультрарелятивистской частицы, а направлен под определенным углом к этой плоскости. В плоской электромагнитной волне постоянной амплитуды плотность мощности излучения, после проектирования на плоскость, ортогональную направлению распространения волны, представляет собой систему колец максимумов и минимумов. Положение этих колец зависит от энергии излученного фотона, а излучение на указанной плоскости выглядит как круговая радуга.

4. Понятие стохастической деформации и соответствующая общая алгебраическая деформационная процедура как для лагранжевых, так и нелагранжевых систем. Стохастические деформации: модели нерелятивистской частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем на искривленном фоне; классических моделей, приводящих к нерелятивистским и релятивистским уравнениям Клейна-Крамерса; классической модели, соответствующей стохастическому уравнению ЛД; моделей свободного скалярного и электромагнитного полей; гамильтоновой динамической системы, отвечающей нелинейной неравновесной термодинамике.

5. Общая процедура вывода, явные формулы и свойства быстросходящихся разложений однопетлевого -потенциала квантовых полей с законом дисперсии, обладающим эллипсоидальной поверхностью постоянной энергии. Разложение однопетлевого -потенциала на три слагаемых: квазиклассический вклад, вклад от разреза закона дисперсии и осциллирующий вклад. В квазиклассическом вкладе полностью прене-брегается дискретностью квантовых чисел. Другие два вклада являются существенно квантовыми. Низко- и высокотемпературные разложения квазиклассического вклада, обобщающие известные разложения на случай законов дисперсии указанного вида. Соотношения между вкладом от разреза, казимировским вкладом и вакуумной энергией. Доказательство того, что казимировский вклад в вакуумную энергию возникает

только для законов дисперсии, обладающих точкой ветвления, как, например, релятивистский закон дисперсии. Доказательство того, что в высокотемпературном пределе казимировский член, входящий в термальную часть -потенциала, в точности сокращается аналогичным вакуумным вкладом.

6. Доказательство существования и общие свойства эффекта гравитационного сдвига масс массивных частиц за счет механизма Хиггса. Данный эффект приводит, в частности, к малым отклонениям от стандартного закона красного смещения ОТО. Ведущий вклад в смещение масс дают слагаемые эффективного потенциала поля Хиггса, зависящие от векторного поля ^, которое определяет гамильтониан системы и представление алгебры наблюдаемых в гильбертовом пространстве состояний. В сильном гравитационном поле, где ² мало, возможны два сценария: массы всех массивных частиц растут до бесконечности, с уменьшением ² до нуля; или массы всех массивных частиц уменьшаются с уменьшением ², калибровочная симметрия восстанавливается на конечном расстоянии от горизонта, после чего, все частицы становятся безмассовыми. Показано, что гравитационный сдвиг масс больше для стабильной звезды, чем для черной дыры, на одинаковом расстоянии от гравитирующего объекта. В частности, для черной дыры очень малые значения не реализуются, и1/2<<1во всем пространстве-времени вне горизонта событий.

7. Доказательство существования квантовой гравитационной аномалии в однопетле-вом эффективном действии квантовой гравитации, индуцированном массивным скалярным полем массы т на стационарном медленно меняющимся в пространстве гравитационном фоне. Аномальные вклады в эффективное действие имеют существенно особую точку при т? —У оо, неаналитичны по гравитационной постоянной и импульсам. Аномалия не может быть воспроизведена в любом конечном порядке теории возмущений над плоским фоном и носит существенно непертурбативный характер. Аномалия не может быть сокращена контрчленами, полиномиальными по импульсам. Данная гравитационная аномалия возникает благодаря зависимости квантовых средних от выбора гамильтониана теории, вакуумного состояния и представления алгебры наблюдаемых.

8. Механизм сокращения квантовой гравитационной аномалии, приводящий к возникновению в теории нового динамического векторного поля ^. Уравнения движения этого векторного поля в виде уравнений идеальной релятивистской гидродинамики с градиентными поправками. Самосогласованная неперенормируемая модель квантовой гравитации. Естественные условия нормировки для эффективного действия квантовой гравитации и класс уравнений состояния релятивистской жидкости, описываемой полем ^. В пределе слабого гравитационного поля уравнение состояния жидкости имеет вид политропы и определяется двумя универсальными постоянными - полит-ропной постоянной и натуральным показателем политропы. Доказательство того, что жидкость, описываемая полем ^, может быть ответственна за большую часть холодной темной материи. Оценки для политропной постоянной, характеризующей уравнение состояния данной жидкости. Закон эволюции этой жидкости на космологических

масштабах, согласующийся с ее интерпретацией как холодной темной материи.

9. Квантование релятивистской гидродинамики в формализме Тауба-Фока. Тожде
ства Уорда, связанные с сохранением энтропии и завихренности идеальной жидкости.
Ведущие градиентные поправки к давлению идеальной жидкости и ограничения на их
вид, гарантирующие отсутствие гостов в модели. Анализ нелинейных поправок вто
рого порядка к уравнениям движения идеальной жидкости и явные выражения для
поперечных и продольных возмущений, индуцированных сильной звуковой волной.

10. Понятие и явное однопетлевое выражение для аномалии энергия-время. Эта аномалия характеризует вариацию эффективного действия теории под действием глобального растяжения векторного поля ^, определяющего гамильтониан системы. Доказательство того, что невозможно перенормировать эффективное действие модели классически конформно инвариантного поля так, чтобы конформная аномалия и аномалия энергия-время одновременно обращались в нуль.

11. Теория (^-функции волновых операторов на стационарном фоне общего вида, в частности, для нестатических метрик, и новая процедура вычисления однопетлевых поправок к эффективному действию как при нулевых, так и конечных температурах и плотностях. Общая формула для высокотемпературного разложения однопетлевого -потенциала в пренебрежении экспоненциально подавленными, при обратной температуре /3 —? 0, поправками.

Научная новизна

Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Особо отметим следующие:

1. Впервые описаны свойства ультрарелятивистских электронов, рассеянных на интенсивном лазерном пучке линейной поляризации с интенсивностью / > 10²⁴ Вт/см² и энергией фотонов ~ 1 эВ. Показано, что большая часть прошедших электронов рассеивается на малые углы к направлению распространения электромагнитной волны, причем прошедшие электроны обладают одинаковыми проекциями импульса на ось, параллельную вектору электрического поля электромагнитной волны. Для электронов, отраженных от лазерного пучка, впервые найден универсальный закон отражения, связывающий углы падения и отражения.

2. Впервые введено понятие стохастической деформации и построена соответствующая общая алгебраическая деформационная процедура как для лагранжевых, так и нелагранжевых систем.

3. Впервые разработана общая процедура вывода и получены явные формулы для быстросходящихся разложений однопетлевого -потенциала квантовых полей с законом дисперсии, обладающим эллипсоидальной поверхностью постоянной энергии. Доказано, что в высокотемпературном пределе казимировский член, входящий в термальную часть -потенциала, сокращается аналогичным вакуумным вкладом.

4. Предсказан эффект гравитационного сдвига масс массивных частиц за счет механизма Хиггса. Данный эффект приводит, в частности, к малым отклонениям от стандартного закона красного смещения ОТО.

5. Впервые доказано существование непертурбативной квантовой гравитационной аномалии в однопетлевом эффективном действии квантовой гравитации, индуцированном массивным скалярным полем массы т на стационарном медленно меняющимся в пространстве гравитационном фоне. Разработан механизм сокращения квантовой гравитационной аномалии, приводящий к возникновению в теории нового динамического векторного поля ^. Показано, что векторное поле может быть ответственно за большую часть холодной темной материи.

6. Впервые введено понятие и получено явное однопетлевое выражение для аномалии энергия-время. Эта аномалия характеризует вариацию эффективного действия теории под действием глобального растяжения векторного поля ^, определяющего гамильтониан системы.

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты диссертации представляют интерес для дальнейшего развития метода фонового поля в квантовой теории поля и анализа непертурбативных поправок в эффективное действие. Найденные новые эффекты можно будет наблюдать на экспериментальных установках, строящихся в данный момент. Также эти эффекты интересны в физике ускорителей, физике плазмы и в астрофизике. Построенные в диссертации самосогласованная модель квантовой гравитации и процедура квантования релятивистской жидкости открывают новые перспективы для исследования существенно непертурбативных эффектов в квантовой гравитации. Развитые в диссертации методы вычисления непертурбативных поправок в эффективное действие могут быть применены к другим фоновым полевым конфигурациям, нежели тем, которые рассмотрены в диссертационной работе. Часть результатов диссертации вошла в учебные программы и пособия для студентов и аспирантов.

Степень достоверности и апробация результатов работы

Достоверность результатов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с результатами других авторов. Результаты получены на основе строгих методов квантовой теории поля.

Основные результаты диссертации докладывались на Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (Петровские чтения, г. Казань, 2001-08 гг.); Международной школе-семинаре «Quantum Fields and Strings» (п. Домбай, 2003 г.); VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (г. Томск, 2003 г.); XLII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2004 г.); Международной конференции «Quantum Field Theory

and Gravity» (г. Томск, 2007, 2010, 2014 гг.); Международной конференции «Probing Strong Gravity near Black Holes» (г. Прага, Чехия, 2010 г.); Международной конференции «Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики» (г. Москва, 2010 г.); Российской летней школе-семинаре «Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии» (г. Казань, 2010 г.); Международной конференции «Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation» (г. Казань, 2010 г.); Международной конференции «Progress in Electromagnetics Research Symposium» (г. Сучжоу, Китай, 2011 г.); Международной конференции «20th International Conference on General Relativity» (г. Варшава, Польша, 2013 г.); 15-ой Российской гравитационной конференции - «Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике» (г. Казань, 2014 г.); Международной конференции «Xllth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology» (г. Москва, 2015 г.); Международной конференции «Fourteenth Marcel Grossmann Meeting» (г. Рим, Италия, 2015 г.), а также на школе-семинаре «Tomsk School and Workshop on Mathematical Physics» (г. Томск, 2015 г.), Межвузовском научном семинаре по проблемам космологии и гравитации (г. Санкт-Петербург, 2015 г.), научных семинарах кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета, кафедры высшей математики и математической физики Томского политехнического университета, и на лекции в Virtual Institute of Astroparticle Physics (г. Париж, Франция, 2015 г.).

Публикации. Личный вклад автора

Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах [-], в том числе: статьи в реферируемых журналах - 17, сборники трудов международных конференций - 3, электронные препринты - 3.

Все основные результаты получены лично автором. При выполнении всех работ автор принимал определяющее участие как в постановке, так и в решении задач.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, двух приложений и библиографии из 514 наименований. Материал изложен на 310 страницах, включает 14 рисунков и 1 таблицу.

Однопетлевой омега-потенциал

Строящиеся на данный момент экспериментальные установки позволят явно наблюдать влияние реакции излучения на квантовую динамику электронов [84-86]. Хотя существование радиационного трения было экспериментально доказано еще в 1946 г. [87] по уменьшению орбиты электрона в бетатроне, теоретические и экспериментальные исследования других проявлений реакции излучения являются актуальными и по сегодняшний день, особенно в сильных полях, где этот эффект становится значительным и даже при определенных обстоятельствах определяет динамику электронов. Одним из следствий наличия радиационного трения является быстрое высвечивание заряженных частиц в состояние с минимальным излучением. Для постоянного однородного магнитного поля такое состояние хорошо известно (см., например, [88]) и соответствует движению заряженных частиц вдоль линий магнитного поля. В данной диссертационной работе найдены соответствующие состояния (асимптотические режимы) для других простых полевых конфигураций - общий случай однородного электромагнитного поля, поле бесконечной в пространстве плоской волны и поле линейно поляризованного лазерного луча. Частично эти асимптотики были проанализированы в [89] для случаев однородного электромагнитного поля и бесконечной электромагнитной волны. Полный анализ асимптотического поведения электронов в полях указанных конфигураций проведен впервые в этой диссертации и опубликован в работах [25, 30, 33] (ср. [90, 91]), где найдена также спектральная плотность излучения, сформировавшегося на асимптотике. Общая процедура получения эффективных уравнений движения локализованных заряженных объектов разработана в [12-15, 17, 18, 92]. Эти уравнения являются отправной точкой для непертурба-тивного описания динамики таких объектов.

Ввиду наибольшего интереса с экспериментальной точки зрения, динамика электронов в поле линейно поляризованного лазерного пучка рассматривается в диссертации наиболее детально. Рассеяние электронов электромагнитной волной изложено во многих учебниках как в классической, так и квантовой постановке задачи. Даже для сильных электромагнитных волн вероятность перехода известна и вычислена в [55, 93] в одновершинном приближении с использованием точных решений уравнения Дирака в плоской волне. Однако для лазерной волны большой интенсивности (порядка I 1024 Вт/см2 для оптического лазера) процесс излучения мягких фотонов становится существенным, и его влияние на динамику электронов доминирует при больших временах. Чтобы учесть этот эффект, необходимо просуммировать бесконечное число диаграмм теории возмущений. Более того, в полях такой интенсивности амплитуда рассеяния нелинейно зависит от напряженности поля в электромагнитной волне [55], и потому конечный результат сильно зависит от формы лазерного пучка. В результате исследования выяснилось, что распределение по импульсам рассеянных электронов обладает неожиданными особенностями, которые позволяют управлять характеристиками электронных пучков, в дополнение к стандартным средствам (стандартные способы контроля параметров электронных пучков изложены, например, в [94]).

Непосредственное суммирование бесконечного числа диаграмм с мягкими фотонами и фоновыми фермионными пропагаторами является довольно громоздкой процедурой (см., например, [45]). Поэтому, как уже отмечалось, данная проблема решается в квазиклассическом приближении, в пренебрежении излучением жестких фотонов с энергиями, сравнимыми с энергией электрона, эффектами поляризации вакуума и рождением электрон-позитронных пар. Это приближение является довольно разумным в асимптотическом режиме, если напряженность внешнего электромагнитного поля меньше критического (швингеровского) пОЛя, соответствующего интенсивности I 1030 Вт/см2. Например, в экспериментальной работе [95] 5 х 109 электронов с Лоренц-фактором 7 « Ю5 породили всего лишь 106 электрон-позитронных пар за 22000 лазерных импульсов с интенсивностью I 1018 Вт/см2. Кроме того, мы полностью пренебрегаем взаимодействием электронов в пучке (но не в волновом пакете) и предполагаем, что размер волнового пакета электрона в мгновенно сопутствующей системе координат порядка нескольких десятков комптоновской длины волны. Это, конечно, не означает, что пучок электронов должен быть такого размера, но одночастичные волновые функции электронов, описывающие его состояние, должны быть локализованы. При выполнении этих предположений можно показать [11, 43, 44, 96-102], что центр волнового пакета электрона движется вдоль траектории, подчиняющейся классическим уравнениям движения (уравнения Лоренца) с электромагнитным полем, являющимся суперпозицией внешнего поля и поля, созданного волновым пакетом электрона. Поскольку волновой пакет предполагается локализованным, стандартный прием (см., например, [12, 15, 50, 51, 103-108]) позволяет свести данное уравнение Лоренца к уравнению Лоренца-Дирака (ЛД) в ведущем нетривиальном порядке по размерам волнового пакета. Пертурбативно по внешнему полю эта процедура реализована в [99] для гауссова волнового пакета. Уравнение ЛД также возникает в ведущем порядке при описании поведения средней координаты электрона в рамках in-in формализма (см., например, [100-102]).

В пользу использования уравнения ЛД для описания асимптотического поведения электронов при больших временах говорят и следующие факты. Во-первых, как было показано в работе Дирака [51], а затем более развернуто в [109-115], уравнение ЛД является следствием закона сохранения энергии-импульса при условии, что волновой пакет заряженной частицы достаточно мал, и мультиполи распределения заряда пренебрежимо малы в мгновенно сопутствующей системе отсчета. Во-вторых, при указанных предположениях уравнение ЛД является минимальным эволюционным дифференциальным уравнением, описывающим реакцию излучения и согласованным с симметриями модели: Пуанкаре и репарамет-ризационная инвариантность.

Уравнение ЛД содержит высшие производные и потому обладает нефизическими, «взрывающимися» решениями. Отметим, что и известные обобщения этого уравнения, учитывающие спин частицы и высшие мультиполи [18, 116-118], взаимодействие с неабалевыми калибровочными полями [119, 120] и гравитацией [121-123], обобщение на пространства высших измерений [12, 106, 107], дионы [124, 125] и безмассовые частицы [13] содержат высшие производные и обладают нефизическими решениями. Несмотря на это, уравнение ЛД и его обобщения можно использовать для получения надежных предсказаний о динамике заряженных частиц, если учитывать только физические решения этих уравнений. Понятие физического решения уравнения ЛД было введено в [126] и затем разрабатывалось многими авторами (см., например, [25, 103-105, 108, 127-134]). Кратко, физическое решение уравнения ЛД - это такое его решение, которое аналитично по константе связи (заряд частицы). Это условие полностью исключает «взрывающиеся» решения уравнения ЛД и может быть обосновано, если вспомнить, что уравнение ЛД является лишь приближением к интегродифференциальному уравнению, описывающему самодействие волнового пакета [25].

Постоянное однородное поле

Рассмотрим монохроматический линейно поляризованный лазерный пучок с энергией фотонов Q, распространяющийся вдоль оси у. Такой лазерный пучок можно описать плоской электромагнитной волной (2.83). Предположим, что электромагнитное поле обращается в нуль вне полосы х Є [0, d], где d - диаметр лазерного пучка. Конечно, это является определенным приближение к реальной ситуации (описание реальных лазерных пучков см., например, в [94]). Фотоны в волновом пакете ширины d должны обладать поперечным импульсом порядка 2ir/d. Если d 5А7, где Л7 = 2TT/Q длина волны фотона, то относительная поправка к энергии фотона от поперечных компонент импульса порядка к2±/(2Q2) 1/50. Поэтому выражение (2.83) является хорошим приближением для реального волнового пакета ширины d. Будем предполагать, что d порядка 5АГ Однако, как показано ниже, все результаты зависят слабо (как d1 ) от диаметра лазерного пучка.

Что касается электронов, будем считать, что они двигаются в плоскости z = 0 в направлении оси х и попадают в лазерный пучок под углом tp, отсчитываемым от оси у. Точные решения уравнения ЛД не могут быть найдены в этом случае, но d=5Ay,Wm=l 0,r(0)=104

Динамика электронов, рассеивающихся на сильной плоской электромагнитной волне. Синусоидальная кривая показвівает вектор электрического поля в волне. Траектория электрона, пересекающего лазернвш пучок (пунктирная кривая), хорошо описвівается (2.174) без слагаемвгх, зависящих от начального импульса. Для отраженнвгх электронов (сплошная кривая) модуль тангенса угла ввшета равен удвоенному тангенсу угла падения (2.186). Глубина проникновения изображена схематически. Левая вставка: Глубина проникновения в лазернвш пучок в единицах его диаметра. Асимптотики при больших 7 находятся в хорошем согласии с (2.185). Правая вставка: Значение фазві электромагнитной волны, которую электрон проводит в лазерном пучке, в зависимости от начальной фазы, характеризующей точку попадания электрона в электромагнитную волну. Грубая оценка (rough) приведена в (2.178). Более точная оценка (fine) получается из приближенного ввгражения для x(x-), где нужно отбросить все слагаемвіе, зависящие от начального импульса (случай (іі) в (2.177)). уравнение ЛЛ интегрируемо (2.93). Если Qx- мало, для решения (2.93) получаем

Что касается г(ж_) в (2.93), интеграл по ж_ легко берется, но выражение довольно громоздкое и здесь не приводится. Все компоненты 4-импульса могут быть выражены через V- и г с помощью условия массовой оболочки: где 7 1 и ( 7"1- Для решений (2.93) или (2.173) отсутствует эффект запирания реакций излучения [148, 149]. Секулярный член (предпоследнее слагаемое в выражении для г) [89, 362] доминирует при больших x- и, в результате, электрон вылетает из лазерного пучка. Схожее слагаемое имеется и в решении для циркулярно поляризованной волны (2.90). Свойства рассеянных электронов. Ясно, что возможны два случая: a) электроны проходят сквозь лазерный пучок и вылетают с его противоположной стороны; b) электроны отражаются от электромагнитной волны. Рассмотрим, сначала, случай (a).

Чтобы определит импульс вылетевшего электрона, необходимо найти минимальный положительный корень xf уравнения x(x—) = d, подставить его в выражения (2.93) или (2.173) и затем использовать формулы (2.175). В общем случае этот импульс зависит от начальных данных 7 и (р. Однако, как видно из (2.93), (2.173), если напряженность поля электромагнитной волны достаточно высокая, Y 1 и (/} y \ зависимость от начальных данных 7 и ip становится пренебрежимо малой. Основной вклад в конечный импульс идет от слагаемых, пропорциональных Л, т.е. от слагаемых, возникающих за счет реакции излучения. Зависимость от и—(0) и г(0) пренебрежимо мала, если

Простые аналитические формулы для импульсов вылетающих электронов могут быть получены только в случае (i). Именно этот случай реализуется в сильных полях и при больших 7, поскольку тогда заряженная частица пересекает лазерный пучок за небольшую долю периода электромагнитной волны (см. рис. 2.2). Это, в частности, означает, что предположение монохроматичности лазерной волны несущественно в случае (i). Из (2.174) в случае (i) имеем

х!_ щ -йГ1 (у) L 3(1 + ,"Г1/:\ є = (yY 3tg$b (2.178) Приближенное равенство обосновано в случае, когда є 1 и Xco/d 1. Последнее неравенство верно при d 5Л7 и разумных ит. Вообще, последним слагаемым в (2.173), (2.174) можно пренебречь по сравнению с предпоследним членом в этих выражения. В дальнейшем эти члены отбрасываются. Формула (2.178) верна только для таких начальных фаз, что cos o 0, т.е. электрон влетает в электромагнитную волну в области, где Ех отрицательно (до переопределения (2.4)). В этом случае поле «помогает» электрону пересечь лазерный пучок, см. рис. 2.2. Отметим, что є 1 для напряженностей сит 103/2w0 при d 5АГ Кроме того, значение фо должно быть достаточно удалено от точек 7г/2 + тгп, п Є Z. Используя (2.178) и (2.173), приходим к приближенным выражениям

Нерелятивистская частица

Учитывая граничные условия (4.8), интеграл Iqd переписывается как сумма вкладов от вычетов и разреза. В результате, приходим к разложению где pk := s]!2 и ш+(s) := ш(m2 + ie - s). Суммирование производится по всем вычетам (4.12) функции f(s). Вследствие выбранного определения корня, мнимая часть решений (4.12) неотрицательна: Imрк 0. Следовательно, вклады от полюсов и разреза в -потенциал экспоненциально подавлены. В последнем выражении для ГІ переменная d предполагается вещественной. В этом выражении явно выделен казимировский вклад от разреза в логарифм статистической суммы (первое слагаемое в квадратных скобках), а второе слагаемое проинтегрировано по частям в предположении, что разрыв подынтегрального выражения стремится к нулю в точке ветвления. Бозевский вариант (4.21) получается подстановкой [і -л /І - т и сменой общего знака.

Сделаем несколько комментариев о выражении (4.21). Если значения функции ui(s), взятой на противоположных берегах разреза, отличаются только знаком, как, например, для релятивистского закона дисперсии, то мнимая часть второго слагаемого в квадратных скобках в разложении (4.21) является нечетной функцией безразмерного химического потенциала /І. Поэтому, если в модели присутствуют античастицы, и их вклад включен в -потенциал, эти слагаемые сокращаются, и вклад от разреза дается только казимировским членом. Для определенных законов дисперсии и значений химического потенциала может возникнуть ситуация, когда некоторые полюсы в s-плоскости появляются точно на разрезе функции ui(s + т2). В этом случае интегралы в (4.21) понимаются в смысле главного значения, а вклад от этих полюсов входит в разложение (4.21) со множителем 1/2.

Отметим, что для того чтобы получить вклад от полюсов в сумму (4.3), можно было бы использовать известное представление (-функции Эпштейна в виде ряда по функциям Макдональда [258-265, 267-269]. При этом мы бы сразу пришли к разложению (4.21) без вклада от разреза. Также, если u(s) не имело бы точек ветвления, можно было бы использовать общую формулу [396] для интегралов типа (4.5) и таким образом получить разложение (4.21).

Казимировский вклад в точности сокращается аналогичным слагаемым, идущим от вакуумных флуктуаций. Это легко понять из следующего общего наблюдения. Выражение для однопетлевой вакуумной энергии может быть получено из высокотемпературного разложения для фермионов при нулевом химическом потенциале, поскольку где Еп - энергия моды п, индекс / обозначает статистику. При таком способе получения вакуумной энергии распределение Ферми-Дирака играет роль регулятора, приводящего к обрезанию по энергии. Пусть вклад в среднюю энергию при нулевой степени обратной температуры /3 имеет вид где точки означают слагаемые при других степенях ln/З и /3 Величины a (/i) и зависят от параметров спектра. Расходимости вакуумной энергии, возникающие при /3 стремящемся к нулю, должны быть сокращены подходящими контрчленами в исходном действии модели. Такая процедура перенормировки сводится, по существу, к замене расходящихся в пределе /3 0 коэффициентов при структурах а (0) 1пn/ (0) с n l и k 0 некоторыми конечными постоянными. Эти константы фиксируются определенными дополнительными условиями нормировки. Из (4.22) видно, что полная перенормированная средняя энергия системы фермионов с их вакуумом при конечной температуре не содержит члена а[!(0) в том смысле, что где с - некоторая константа. Данное свойство верно и для бозонов, поскольку вакуумная энергия может быть получена из высокотемпературного предела выражения Eb(/3,0) - 2Eb(2/3,0) = Ef(в,0). Однако это не означает, что величина ag(0) не может быть наблюдена при нулевом химическом потенциале. При низких температурах термальный вклад в среднюю энергию стремится экспоненциально к нулю, в то время как вакуумная энергия не зависит от температуры и имеет вид (4.23) с /І = 0 и перенормированными (не обязательно на нуль) расходимостями. Квазиклассический вклад в сумму (4.3) при q = 0 также может быть представлен в виде, аналогичном (4.21). С этой целью положим q = 0 в интеграле (4.15) и получим где мы проинтегрировали по частям, как в (4.21). Если абсолютные значения pk(fi) стремятся к бесконечности, при /І стремящемся к минус бесконечности, то последнее слагаемое в квадратных скобках на первой строке зануляется. Это имеет место, например, когда закон дисперсии ш(s) имеет степенную асимптотику при s то. Так же, как для вклада от разреза в существенно квантовую часть -потенциала, 29, второе слагаемое в квадратных скобках исчезает, когда значения ui(s), взятые на противоположных берегах разреза, отличаются только знаком, и учитывается вклад от античастиц в -потенциал.

Условия эффективности разложения

В предыдущих двух подразделах мы рассмотрели стандартную модель на стационарном гравитационном фоне со стандартным вакуумом квантовых полей для стационарного фона. Операторы рождения-уничтожения, отвечающие данному вакууму и определяющие его, соответствуют модовым функциям, являющимися собственными функциями производной Ли вдоль векторного поля Киллинга . В конечном итоге квадрат этого вектора Киллинга вошел в эффективный потенциал поля Хиггса. Возникает естественный вопрос, как обобщить изложенные выше результаты на случай нестационарного фона. Оказывается, такое обобщение единственно при некоторых разумных предположениях.

Чтобы исследовать динамику квантовых полей на нестационарном фоне, необходимо использовать in-in формализм (формализм замкнутого временного контура, или формализм Швингера-Келдыша) и in-in эффективное действие (см. [37, 39, 40, 171, 172, 433, 434]). В этом подходе число квантовых и фоновых полей удваивается (д Ф) ( г/,Ф±), где Ф = (Ф,с,Р). Далее, необходимо предписать точное значение операторам, входящим в уравнения Гейзенберга, в частности, гамильтониану, и ввести некоторую регуляризацию, сохраняющую унитарность теории. Для корректного определения операторов в фоковском пространстве необходимо определить нормальное упорядочение [299, 300, 330]. Различные предписания для нормального упорядочения приводят к неэквивалентным квантовым теориям на кривом фоне (см., например, [35, 297, 298, 301]). Формальные манипуляции с расходящимися операторами могут приводить к неправильным результатам, как, например, отсутствие аномалий в законах сохранения в то время, как эти аномалии существуют и приводят к наблюдаемым эффектам. На стационарном фоне существует выделенный набор операторов рождения-уничтожения (см. выше), связанный с векторным полем Киллинга , и, следовательно, выделенное предписание для нормального упорядочения. В нестационарном случае необходимо [35, 297, 298] также ввести некоторое векторное поле , задающее гамильтониан системы, вакуумное состояние, операторы рождения-уничтожения и физическую регуляризацию, т.е., фактически, задающее представление алгебры наблюдаемых в гильбертовом пространстве состояний. Разумно требовать, чтобы это векторное поле совпадало (или почти совпадало) с вектором Киллинга в случае стационарного фона. Для плоского пространства-времени будем считать, что Є = 1. В результате, регуляризованное in-in эффективное действие становится функционалом вида где приближенные равенства означают, что учтены уравнения движения полей Ф. Также мы отождествили «плюс» и «минус» поля после вариации. Как видно, ковариантная бездивергентность тензора энергии-импульса (среднего от оператора тензора энергии-импульса) нарушена [297, 321] слагаемыми, зависящими от векторного поля . Подробное исследование этого факта и явный вид слагаемых будут приведены в следующей главе, где, в частности, будет доказано, что эти члены не могут быть сокращены с помощью добавления контрчленов в исходное действие теории. В стационарном случае эти слагаемые исчезают из уравнения (5.31), поскольку - вектор Киллинга [316, 326]. В этом случае среднее от оператора тензора энергии-импульса ковариантно бездивергентно. Отметим, что сам оператор тензора энергии-импульса не является, вообще говоря, ковариантно бездивергентным, т.е. высшие тождества Уорда нарушены и в стационарном случае. В нестационарном случае потребуем, чтобы среднее от оператора тензора энергии-импульса было ковариантно бездивергентным, что приводит к уравнениям на векторное поле . Это условие является следствием уравнений Эйнштейна, и его выполнение необходимо для самосогласованности квантовой гравитации. Получающиеся уравнения на векторное поле могут быть приведены к гидродинамическому виду V w) = 0, V T /w) = C Yjw) = 0, (5.32) где w := рГр. Из первого уравнения следует, что система обладает сохраняющимся зарядом. Сопоставляя уравнения (5.32) с уравнениями движения реля 170 тивистской жидкости (см., например, [376]), приходим к выводу, что этот заряд - энтропия системы. Второе уравнение влечет, в частности, что если 1-форма и —1ГМ была изначально точной, то она остается точной вдоль интегральных кривых векторного поля м. В таком случае пространство-время расслаивается на гиперповерхности, ассоциированные с этой интегрируемой 1-формой.

В качестве примера рассмотрим шварцшильдовскую черную дыру. Несмотря на то, что она описывается статической метрикой, за исключением небольшой области пространства около горизонта, где накапливается материя, такую черную дыру можно представлять себе как бесконечно длящийся коллапс, т.е. как нестационарную систему. Ниже это наблюдение будет использовано при анализе решений уравнения (5.32).

Чтобы решить уравнения движения векторного поля м, необходимо сделать определенные приближения. Во-первых, предположим, что система находится в вакуумном состоянии, т.е. частицы материи отсутствуют или их влиянием на метрику можно пренебречь. Также считаем, что производство частиц [435] за счет нестационарности метрики в окрестности горизонта слабо влияет на средние квантовых полей. Тогда in-in эффективное действие, входящее в (5.32), может быть аппроксимировано in-out эффективным действием для вакуума где С к - контур Келдыша, поля, взятые на нижнем берегу этого контура, отождествляются с «плюс» полями, а на верхнем берегу -- с «минус» полями. Во-вторых, считаем, что те предположения, которые были сделаны при выводе эффективного потенциала в предыдущем подразделе, также выполнены. Другими словами, мы заменяем эффективное действие, входящее в (5.32), эффективным действием, построенным по эффективному потенциалу (5.19) поля Хиггса. Тогда, с учетом квантовых уравнений движения остальных полей из набора Ф, имеем dvgW) 2 9F(eW) ,, где г] берется в минимуме эффективного потенциала. Последнее соотношение в (5.34) верно в общем случае, когда векторное поле входит в in-in эффективное действие только как 2. Комбинация /f является 1-формой толмановской температуры, когда - вектор Киллинга. Она замкнута, когда метрика статична и, следовательно, точна, если фундаментальная группа пространства-времени тривиальна. В частности, если система начинает свою эволюцию из состояния со статичной метрикой, то 1-форма ИІ_1ГМ будет точной во всем пространстве времени. Эффекты, возникающие за счет образования разрывов в решениях (тангенциальный разрывов или ударных волн) и турбулентности, в этом утверждении не учитываются.