Введение к работе
Актуальность темы.
Одной из, важнейших задач современной теоретической физики является отыскание точных решений Моделей квантовых, систем. Основной подход к данной проблеме состоит в сведении квантово-механических уравнений модели к системе одномерных задач. Общеизвестным примером такого подхода может служить класс ическин Метод разделения переменных, в основе которого лежит понятие пол-нога набора наблюдаемых (операторов симметрии уравнения). Метод имеет два существенных ограничения: порядки операторов полного набора не должны превышать порядок уравнения, переход к разделяющимся переменным осуществляется преобразованием независимых переменных видаV = i'(x), что соответствует чисто "координатному'' преобразования переменных фазового Пространства соответству-ющсф классической системы.
Для доказательства 'интегрируемости классической гамнльтоновой системы можно использовать некоммутативные наборы интегралов, удовлетворяющих -определенным условиям. АС. Мищенко и А,Т. Фоменко доказана соответствующая теорема, а также сформулирована гипотеза эквивалентности коммутативной (по Лиувиллю) и -некоммутативной интегрируемости. Интегрируемость в классическом и свантовом случаях существенно отличается. Так, для доказательства іекоммутатйвной интегрируемости в классическом случае йспользу-отся функции Казимира алгебры интегралов, которые в квантовом :лучаё становятся операторами сложной структуры (в общем слу-іае интегро- дифференциальными) и для них не известно методов
решения задачи на собственные значення.
Данная проблема может быть решена в рамках метода некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений, предложенного А.В. Шаповаловым и И.В. Широковым. В методе построена конструкция, которая позволяет находить базис решений исходного квантовомеханнческого уравнения, собственный для операторов Казимира алгебры симметрии. Посредством решения соответствующей характеристической системы на волновые функции. Этот метод расширяет класс точно интегрируемых квантовых систем и, кроме того, позволяет найти в явном виде новые базисы точных решения для уже известных и изученных методом разделения переменных уравнений.
В классической интегрируемой гамнльтоновой системе переход к переменным типа действие- угол осуществляется с помощью канонического (в общем случае координатно- импулымого) преобразования переменных исходного фазового пространства. Метод разделения переменных обычно использует лишь координатные преобразования. Применение некоординатных канонических преобразований К Проблеме разделения переменных -известно в ограниченном числе случаев.
В последние два десятилетия активно развивается подход к проблеме интегрируемости классических И квантовых систем в рамках так называемого г- матричного формализма. Разработан алгоритм генерации новых классов интегрируемых систем, использующий конструкцию матрицы Лакса, удовлетворяющей определенным алгебраическим соотношениям с г- матрицей. Показано, что интегрируемые в рамках г- матричного формализма классические и квантовые системы могут быть приведены к разделению переменных. Связь с
разделением переменных Сыла сформулирована Е.К. Скляннным в виде функционального Бете аніаіііі. Переход к разделяющимся переменным в таком подходе оказывается в общем случае координатно-импульсным.
Qtmpthm, что построение всех составляющих г- матричного формализма для заданной квантовой системы затруднительно. Исследования, как правило, проводят в направлении "от г- матрицы к квантовой системе", в которой можно разделить переменные. Исследования "координатно- импульсных11 преобразований заданной квантовой системы, приводящих к разделению переменных, является актуальной Проблемой интегрируемости квантовых систем, решение которой значительно расширит класс точно интегрируемых квантовых систем.
Целью настоящей работы является:
J. Исследовать связь функционального Бете анзаца и классического
метода разделения переменных...
\
-
Построить интегральные преобразования, приводящие к разделению переменных в квантовых системах.
-
Проклассифицировать все подалгебры алгебры симметрии операторов первого порядка уравнения Даламбера, удовлетворяющие условию некоммутативного интегрирования.
-
Построить базисы точных решений уравнения Даламбера в рамках метода некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений, которые невозможно построить в явном виде классическим методом разделения переменных.
-
Провести редукцию квантового волчка Горячева- Чаплыгина и волчка Ковалевской на орбиты коприсоединенного представления алгебр Ли.
-
Провести разделение переменных в задаче квантового двухре-шетчатого магнетика методом некоммутативного интегрирования.
Научная новизна.
Предложено операторное уравнение на, так называемые, вспомогательные операторы и доказаны теоремы о связи этих операторов с разделяющимися переменными метода полного разделения переменных, использующего координатные преобразования, и функционального Бете анзаца, использующего "некоординатные" преобразования к разделяющимся переменным.
Сформулирован подход к разделению переменных с Помощью интегральных преобразований исходной квантовой системы, определяемых вспомогательными операторами. Такой подход реализует обобщенное "координатно- импульсное", преобразование переменных к разделяющимся и тем самым отличается от классических методов.
Проведена классификация подалгебр алгебры симметрии операто
ров первого порядка уравнения Даламбера. Выделены все подалге
бры, генерирующие решения, которые невозможна получить класси
ческим методом разделения переменных. Задача отыскания базиса
решений уравнения Лаламбера с помощью этих подалгебр сведена в
каждом случае к одному обыкновенному дифференциальному уравне
нию. ,-'.'
Научная и практическая ценность.
Найдены объединяющие аспекты полного разделения переменных и функционального Бете анзаца - двух методов, использующих чисто "координатные" преобразования переменных в первом случае и "не-' координатные" во втором. На основании доказанных в работе теорем предложен подход к проблеме разделения переменных с помощью интегральных преобразований, который имеет ряд приложении в квантовой механике и ведет к расширению класса точно интегрируемых систем.
Найдены в явном виде новые базисы точных решений уравнения Даламбера, построенные с помощью некоммутативных подалгебр алгебры симметрии.
Метод некоммутативного интегриіювання применен к ряду квантовых систем на алгебрах Ли, что вносит свой вклад в изучение свойств таких систем.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Найдено операторное уравнение на вспомогательные операто
ры іінТегральНого преобразования, приводящего к разделению
переменных. Доказаны Теоремы о связи решения операторного
уравнения с разделяющимися переменными классического мето-
' да разделения переменных и функционального Бете анзаца.
2. Проведена классификация, всех подалгебр операторов первого по-
' рядка алгебры симметрии уравнения Даламбера, удовлетворяю^
щих условию некоммутативной интегрируемости.
3. Найдены все подалгебры, генерирующие решения, которые не
возможно построить в явном виде классическим методом разде-
7.
ления переменных. Задача отыскания соответствующего базиса решений для каждой подалгебры такого типа сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению.
-
Квантовая задача для двухрешетчатого магнетика редуцирована к системе двух совместных уравнений, в которых разделяются переменные.
-
Система, описывающая квантовый волчок Горячева- Чаплыгина, редуцирована на выделенную интегрируемую орбиту соответствующего коприсоединенного представления. Разделяющиеся " некоордпнатным" способом переменные выражены через переменные орбиты.
Апробация работы.
Материалы диссертации докладывались на 1) V международном семинаре "Гравитационная энергия и гравитационные волны", Дубна, 1992 г., 2) IX коллоквиуме "Современный групповой анализ. Методы и приложения" Н. Новгород, І992 г., 3) VIII Российской гравитационной конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации", Пущино, 1993 г., 4) XI Российском коллоквиуме "Со-временный групповой анализ и задачи математического моделирования", Самара, 1993 г., 5) международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация", Томск, 1995 г., 6) международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теорий дифференциальных уравнений", Орел, 1996 г., 7) второй международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация", Томск,1997 г., 8) семинаре "Групповой анализ" под руководством академіжа РАН
Л.В. Овсянникова, Институт Гидродинамики СО РАН им. М.А. Лаврентьева (г. Новосибирск), 1996,1997 гг.
Публикации.
Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в восьми статьях и трех тезисах докладов.
Объем и структура диссертации.
Диссертация объемом НО страниц состоит из введения, трех глав, включающих, в общей сложности, десять параграфов и четыре под-параграфа, трех приложений и списка литературы из 111 наименований.
