Содержание к диссертации
Введение
1 Основные положения квантовой информатики с неклассическими состояниями света. Обзор литературы. 28
1.1 Введение в предмет 29
1.2 Понятие квантового кубита 35
1.3 Квантовая запутанность 43
1.4 Когерентное состояние 46
1.5 Когерентный кубит 47
1.6 Запутанные когерентные состояния 55
1.7 Заключение
2 Одно-кубитовые преобразования неклассических состояний света . 59
2.1 Одно-кубитовые преобразования базисных состояний 60
2.2 Разложение волновых функций по перемещенным состояниям квантового осциллятора 62
2.3 Реализация одно-кубитовых вращений посредством извлечения фотонов из начальных базисных состояний 87
2.4 Одно-кубитовые преобразования, основанные на последовательности операторов рождения и перемещения 116
2.5 Обсуждение результатов и возможные перспективы дальнейшего развития 124
2.6 Выводы к главе
3 Квантовые протоколы с неклассическими состояниями света . 129
3.1 Неклассический свет 130
3.2 Преобразование Гауссовых состояний света в не Гауссовые с помощью извлечения фотонов 146
3.3 Разложение двух-фотонного сжатого вакуумного состояния и суперпозиции вакуума и единичного фотона по перемещенным фотонным состояниями, метод извлечения перемещенных фотонных состояний как способ генерировать новые состояния и использование данного метода для реализации элементарных квантовых гейтов 168
3.4 Разнообразные квантовые протоколы с модовыми состояниями 199
3.5 Выводы к главе
4 Трех-модовое запутанное неклассическое состояние света . 208
4.1 Обзор литературы по спонтанному параметрическому рассеянию 209
4.2 Математические основы квантовой теории СПР с учетом истощения волны накачки 216
4.3 Обусловленная генерация четырех-модового максимально запутанного состояния с помощью регистрации фотона накачки 222
4.4 Обзор работ по генерации макроскопических максимально запутанных состояний 224
4.5 Выводы к главе
5 Протокол плотного кодирования с перемещенными квантовыми кубитами . 227
5.1 Плотное кодирование информации. Обзор литературы 228
5.2 Реализация протокола плотного кодирования с перемещенными фотонными состояниями 236
5.3 Выводы к главе 5
2 6 Протокол квантовой криптографии с перемещенными вакуумным и одно-фотонным состояниями в качестве носителей информации. 259
6.1 Протоколы квантовой криптографии. Обзор литературы 260
6.2 Реализация протокола квантовой криптографии с помощью перемещенных состояний света 264
6.3 Устойчивость протокола квантовой криптографии к прослушиванию. 273
6.4 Обсуждение и перспективы развития протокола квантовой криптографии с перемещенными состояниями 278
6.5 Выводы к главе 6 2
Заключение
Литература 288
- Понятие квантового кубита
- Реализация одно-кубитовых вращений посредством извлечения фотонов из начальных базисных состояний
- Разложение двух-фотонного сжатого вакуумного состояния и суперпозиции вакуума и единичного фотона по перемещенным фотонным состояниями, метод извлечения перемещенных фотонных состояний как способ генерировать новые состояния и использование данного метода для реализации элементарных квантовых гейтов
- Обусловленная генерация четырех-модового максимально запутанного состояния с помощью регистрации фотона накачки
Понятие квантового кубита
Рассмотрено соответствующее распределение неклассических перемещенных фотонных состояний в соседних модах двух-модового сжатого вакуума для различных значений амплитуды перемещения. Проекционное измерение на перемещенное фотонное состояние позволяет сгенерировать в соседней коррелированной моде новое состояние. Данное сгенерированное состояние является результатом действия оператора рождения перемещенного фотонного состояния с некоторой амплитудой , возведенного в степень и действующего на вакуумное состояние. Показана возможность генерации гибридного состояния, составленного из когерентных состояний и состояний вакуума и единичного фотона. Гибридное состояние является запутанным и формируется из базисных элементов отличных друг от друга двухмерных Гильбертовых пространств. Когерентные состояния с большими амплитудами перемещения одного из двух Гильбертовых пространств можно считать макроскопическими. Базисные элементы (вакуум и единичный фотон) другого Гильбертова пространства можно рассматривать как микроскопические. Предложена оптическая схема, которая приспособлена для генерации гибридного состояния посредством извлечения перемещенного единичного фотона из вспомогательного двух-модового сжатого вакуума. Приведено объяснение физического механизма, положенного в основу генерации гибридного состояния. Предложено использовать данный механизм для реализации элементарных одно-кубитовых и двух-кубитовых гейтов ключевых блоков квантового компьютера. Показана возможность реализации двух-кубитовой операции controlled-Z гейта, где когерентные (макроскопические) состояния применяются в качестве управляющего кубита, а суперпозиции вакуума и единичного фотона используются в качестве управляемого кубита. Показано, что изначально микроскопический кубит находится в вспомогательном двух-модовом сжатом вакууме и извлечение перемещенного единичного фотона из данного состояния является движущей силой, которая генерирует выходное состояние controlled-Z гейта для используемых кубитов. , (010) где --- проекционный оператор на состояние единичного фотона. Показано, что ключевым моментом успешной реализации controlled-Z гейта является тот факт, что вероятность зарегистрировать перемещенное фотонное состояние в двух-модовом сжатом состоянии не зависит от знака амплитуды перемещения. Предложено использовать гибридные состояния для реализации прямого действия матрицы Адамара из одного двухмерного Гильбертова пространства когерентных состояний в другое двухмерное Гильбертово пространство гибридных состояний. Выполнение прямого действия матрицы Адамара базируется на извлечении перемещенного единичного фотона из вспомогательного состояния двух-модового сжатого вакуума. Для выполнения обратного действия матрицы Адамара используется представление суперпозиции вакуума и единичного фотона. Получено представление суперпозиции вакуума и единичного фотона. Рассмотрены основные свойства распределения перемещенных фотонных состояний в суперпозициях вакуума и единичного фотона. Показано, что извлечение перемещенного единичного фотона из суперпозиционного состояния вакуума и единичного фотона позволяет сгенерировать состояние, соответствующего выходному состоянию обратного действия матрицы Адамара в выбранном базисе. Предложен другой подход для реализации матрицы Адамара с отличными друг от друга двухмерными Гильбертовыми пространствами. Входное Гильбертово пространство --- это макроскопическое двухмерное пространство когерентных состояний с большими по модулю, но отличными по знаку, амплитудами. Выходное пространство --- это микроскопическое двухмерное Гильбертово состояние, в котором вакуум и единичный фотон являются базисными элементами. Показано, что реализация такого преобразования возможна в случае извлечения перемещенного фотонного состояния из вспомогательного и дополнительного измерения, определяющего четность числа фотонов. Обратное действие выполняется с помощью операторов сжатия. Рассмотрена реализация данных протокола в реальной экспериментальной ситуации с учетом не совершенства измерительных детекторов. Показано как предложенная оптическая схема может работать с обычными лавинными фотодетекторами, а не со специальными счетчиками фотонов, которые могут распознавать число падающих на них фотонов. В настоящее время такие фотон-разрешающие детекторы света не производятся. Показано, что выбор соответствующего значения амплитуды перемещения двух-модового сжатого состояния позволяет использовать стандартные лавинные фотодетекторы. Точность генерируемых состояний приближается к идеальной единичной за счет того, что вероятность некоторых состояний преобладает в распределении двух-модового сжатого вакуума. В разделе 3.4 рассмотрены и проанализированы некоторые протоколы квантовой информатики, базирующиеся на использовании неклассических состояний света. В частности, рассмотрены протокол квантовой телепортации перемещенных (макроскопических) фотонных состояний света с произвольной амплитудой перемещения и протокол квантовой литографии с запутанными фотонными состояниями света.
Глава 4 состоит из четырех разделов и содержит результаты развиваемой точной теории параметрического взаимодействия света с кристаллом с квадратичной нелинейностью. Ранее данный параметрический процесс рассматривается в приближении не истощаемой волны накачки. Данное допущение предполагает, что не значительная часть энергии волны накачки расходуется на генерацию новых фотонов в сигнальной и холостой модах. Это равносильно предположению, что энергия волны накачки остается неизменной в процессе рассеяния. Данное допущение позволяет иметь дело с двух-модовым (одно-модовым) сжатым вакуумным состоянием. В данном приближении принимается в рассмотрение только превращение фотона накачки в два фотона с меньшей энергией. Обратный процесс преобразования фотонов в сигнальной и холостой модах в один фотон накачки не учитывается.
Тем не менее, стоит принять во внимание истощение волны накачки в случае увеличения коэффициента параметрического преобразования. Трех-модовая теория взаимодействия с кристаллом с квадратичной нелинейностью с учетом истощения волны накачки развита в Шредингеровском представлении. Развиваемая точная теория учитывает как прямой процесс превращения фотона накачки в сигнальный и холостой фотоны, так и одновременный обратный процесс преобразования генерируемых фотонов в фотон накачки. Результатом данной теории является новое трех-модовое запутанное состояние света. Свойства данного состояния изучены. Найдены интересные применения данного состояния для обусловленной генерации некоторых запутанных состояний. Предложена и проанализирована оптическая схема, в которой измерение фотона накачки, позволяет сгенерировать чистое запутанное двух-модовое состояние света. В разделе 4.1 представлен анализ уже известных результатов по спонтанному параметрическому рассеянию света. Внимание уделено классическому рассмотрению параметрического спонтанного рассеяния. Определен круг задач, которые уже решались, и задачи, точное решение которых может привести к предсказанию новых квантовых эффектов. Представлены основные выводы из уже решенных задач. В разделе 4.2 представлены результаты точной квантовой теории параметрического рассеяния света в среде с квадратичной нелинейностью. Рассмотрена трех-модовая (сигнальная, холостая и накачивающая моды) модель взаимодействия световых волн в кристалле с квадратичной нелинейностью. Анализ данной модели представлен в Шредингеровском представлении. Данная модель учитывает как генерацию фотонов в сигнальной и холостой модах из фотона накачки, так и обратный одновременный процесс генерации фотона накачки из двух рожденных фотонов в других двух модах. В данной модели учитывается также наличие дополнительных начальных фотонов в одной из двух вспомогательных волн. Показано, что используемая модель позволяет перейти к системе линейных дифференциальных уравнений для волновых амплитуд. Система дифференциальных уравнений решена посредством разложения волновых амплитуд трех-модового состояния в ряд по малому значению коэффициента взаимодействия световых волн на квадратичной нелинейности. Показано, что использование асимптотического разложения волновых амплитуд позволяет представить выходное запутанное трех-модовое состояние в компактном виде. Данная форма представляет неограниченную сумму тензорных произведений фотонных состояний в сигнальной и холостой модах и некоторого состояния в накачивающей моде. где волновые функции в накачивающей моде определяются следующими бесконечными суперпозициями фотонных состояний . (012) В выражении для волновых функций присутствуют величины ( и ), которые удовлетворяют набору из линейных дифференциальных уравнений , (013) Использование нулевого приближения асимптотического разложения амплитуды разложения позволяет получить на выходе состояние двух-модового сжатого вакуума с когерентным состоянием в накачивающей моде. Показано, что использование следующих членов амплитуды разложения волновых амплитуд позволяет расширить анализ, чтобы иметь дело с более точными волновыми функциями в накачивающей моде. Рассмотрены отличные начальные условия для данной трех-модовой модели. Рассмотрены различные оптические схемы для генерации модовых состояний в сигнальной и холостой модах. Показана возможность обусловленной генерации макроскопических запутанных состояний.
Реализация одно-кубитовых вращений посредством извлечения фотонов из начальных базисных состояний
квантовых протоколов начинается с рассмотрения унитарных операций на базисных состояниях кубитов. Квантовый компьютер состоит из блоков. Рассмотрим произвольное двухмерное Гильбертово пространство состояний, компьютерный базисный набор которого состоит из двух состояний and . Тогда любой кубит из этого Гильбертова пространства является линейной комбинацией базисных состояний с соответствующими волновыми амплитудами. Согласно основной теоремы квантовой информатики [65], одно-кубитовые вращения совместно с двух-кубитовыми преобразованиями такими как controlled-NOT или controlled-Z являются универсальными блоками для построения всех унитарных операций для произвольного числа кубитов (много-кубитов). Известно, что три эрмитовые матрицы Паули [35] генерируют три унитарные матрицы. которые совместно с единичной матрицей образуют базис для построения произвольной унитарной матрицы размера . Любая унитарная матрица размера преобразует начальный кубит в конечный, что соответствует некоторому повороту вектора, описывающего входной кубит на единичной сфере Блоха, как это показано на рисунке 1.4. Данные унитарные базисные матрицы определяются как экспоненциальные функции от матриц Паули , (2.1.1) и --- углы вращения вокруг соответствующих пространственных осей , и [65]. Можно показать, что следующие матрицы и , которые отвечают за повороты на угол and , соответственно, вокруг оси , и матрица (2.1.3) могут быть использованы, чтобы построить произвольное унитарное преобразование вместо унитарных матриц , , and (2.1.1-2.1.3),. Данный факт следует из следующих тождеств [65]
Существует и другой способ выразить унитарные матрицы (2.1.1-2.1.3) с помощью преобразования Адамара (тоже самое логический элемент гейт Адамара или затвор (вентиль) Адамара (Hadamard gate)), матрицы размера , которая определяется как . (2.1.9)
Из выражений (2.1.12) и (2.1.13) следует, что произвольная унитарная матрица размера может быть построена с помощью преобразования Адамара, матрицы , которая соответствует вращению вокруг оси на произвольный угол , и в частности, матриц и , которые соответствуют поворотам вокруг этой же оси на углы и , соответственно. Существуют и другие возможности определить произвольную унитарную матрицу размера , которые в настоящем разделе уже не рассматриваются. Итак, было показано, что произвольное унитарное одно-кубитовое преобразование (матрица) может быть построено по крайней мере тремя различными способами. Так, унитарные матрицы (2.1.1-2.1.3) могут быть использованы для построения одно-кубитовых преобразований. Другой метод основывается на использовании трех матриц , и . И третья возможность связана с матрицей с произвольным углом вращения и гейтом Адамара. Данное математическое заключение не зависит от выбора физической системы, в которой реализуется кубит. Следующий вопрос --- это вопрос выбора одной из трех возможностей реализации унитарных преобразований кубитов. Соответственно, вопрос выбора уже перестает быть чисто математическим, поскольку уже зависит от особенностей и свойств той или иной физической системы, в которой реализуются кубиты. Вопрос выбора одной из трех возможностей в той или иной физической системе уже не является тривиальной задачей. Данная проблема уже определяется взаимодействием объектов между собой и с окружающей средой рассматриваемой физической системы. В последующих разделах главы представлены методы реализации одно-кубитовых преобразований с базисными сжатыми когерентными состояниями, которые являются неклассическими. Более подробно вопросы неклассичности света разбираются в разделе 3. Но прежде чем перейти к обсуждению одно-кубитовых преобразований для данных состояний света, рассмотрим матрицу преобразования для перемещенных фотонных состояний из разных наборов базисных состояний с отличной амплитудой перемещения.
Рассмотрим бесконечное Гильбертово пространство перемещенных фотонных (Фоковских) состояний , (2.2.1) где --- амплитуда перемещения фотонного состояния (число может принимать только целые положительные значения ) и оператор перемещения имеет вид [66] , (2.2.2) где и --- бозонные операторы уничтожения и рождения квантового осциллятора Действие операторов уничтожения и рождения на фотонные состояния определяются формулами [66] где в общем случае [67-72]. Стоит отметить несколько моментов по поводу используемых обозначений. Две буквы , разделенные запятой, используются в кет векторе состояния (2.2.1). Первая буква описывает квантовые свойства состояния, тогда как вторая буква ответственна за волновые свойства состояния частицы (оператор перемещения отвечает за волновые свойства). В частности, в рамках используемых обозначений когерентное состояние записывается как . Стандартное обозначение для когерентного состояния (1.4.1), которое уже использовалось в Главе 1. Обозначение (2.2.1) используется, чтобы показать, что для перемещенных фотонных состояний существует разделение физических свойств на волновые и на корпускулярные (частицы). Эти разные физические свойства связаны друг с другом формулой (2.2.1) (корпускулярно-волновой дуализм). В дальнейшем используются как векторы (2.2.1), так и (1.4.1) для обозначения когерентного состояния . Кет-вектор можно даже считать даже более точным обозначением когерентного состояния, как перемещенное на величину вакуумное состояние. Стоит отметить, что обозначение (2.2.1) для других перемещенных фотонных состояний c выглядит уже естественным и отражает их внутреннюю структуру. Так как каждой набор бесконечных базисных перемещенных фотонных состояний является полным, то любое состояние из одного базисного набора с амплитудой перемещения является суперпозиций перемещенных фотонных состояний с амплитудой перемещения . Обратное утверждения также является корректным, так как оператор перемещения (2.2.2) является унитарным. В общем случае такое разложение является не тривиальным и может быть названо представлением. Рассмотрим данный тип преобразования на примере когерентного состояния . Цель последующих математических преобразований --- выразить когерентное состояние из базисного набора состояний (2.2.6) через состояния (2.2.5) (суперпозиционное состояние) и найти аналитические выражения волновых амплитуд данного разложения. Воспользуемся следующим разложением произвольного когерентного состояния
Разложение двух-фотонного сжатого вакуумного состояния и суперпозиции вакуума и единичного фотона по перемещенным фотонным состояниями, метод извлечения перемещенных фотонных состояний как способ генерировать новые состояния и использование данного метода для реализации элементарных квантовых гейтов
В квантовой физике такое описание с помощью функции распределения вероятностей становится странным и не уместным. Известно, что принцип неопределенности Гейзенберга [65] не позволяет одновременно точно измерить координату и импульс квантового осциллятора. Данное обстоятельство является концептуальной чертой квантовой механики, следующей из ее постулатов. Поэтому можно подумать, что фазовое пространство и распределение вероятностей невозможно использовать в квантовой механике. Однако это не так.
Для описания системы используется понятие квантовых состояний, как если бы они были существующими реальностями. В квантовой механике используется свойство состояний предсказывать статистику наблюдаемых величин, например, координаты и импульса . Действительно, почему бы не воспользоваться распределением в квантовом фазовом пространстве для статистического расчета наблюдаемых величин, так как это делается в классической механике. Очевидно, что такое квантовое распределение должно иметь определенные “странные” черты, вытекающие из правил квантовой механики. Такое квантовое распределение может иметь области, где оно становится отрицательным . Более того квантовое распределение может иметь области сингулярности, типа функции Дирака. Подобное поведение (“вольности”) не мыслимо для классического распределения вероятностей . По данной причине квантовое распределение вероятностей называется квази-распределением вероятностей. Стоит только отметить, что если речь идет о распределении вероятностей в квантовом случае, то используются именно квази-распределение, даже если слово квази не используется.
Стоит отметить тот факт, что расчет статистических предсказаний с помощью квази-распределений на первый взгляд может показаться таким же как в классическом случае. Но только на первый взгляд, но не на второй. Это еще одна причина, по которой функции называются квази-распределениями. Более того существует неограниченное число возможностей рассмотреть квази-распределения просто потому, нет точного метода определить такие функции.
Один из методов введения квази-распределений основывается на постулировании их возможных свойств. Предположим, что такая функция ведет себя так, как и классическое распределение вероятностей, не упоминая о том, что точное одновременное измерение координат и не возможно для квантового осциллятора. Тогда, вероятности координаты и импульса (так называемые маргинальные вероятности) могут быть рассчитаны с помощью как где --- матрица плотности произвольного состояния. Если произвести вращение на фазовой плоскости на угол , тогда компоненты и повернутся на тот же угол. Классическая функция распределения для координаты и импульса преобразуется соответствующим образом. В случае квантовой механики постулируется следующая идея. Распределение координаты состояния после вращения на произвольный угол определяется формулой где . Интеграл типа (3.1.3) называется преобразование Радона [133]. В частности, обратное преобразование широкое используется в восстановлении исходного состояния (квантовая томография). Оказывается, что одного постулата (3.1.3) достаточно, чтобы вывести все остальные свойства функции квази-распределения . Вывод данных формул является не тривиальным фактом и в настоящей работе не приводится. Представим только основные выводы из данного математического аппарата.
Можно показать, что произвольное одно-модовое квантовое состояние однозначно определяется своей характеристической функцией где --- это след матрицы по всем состояниям Гильбертового пространства. Характеристическая функция --- это среднее значение оператора перемещения (2.2.2) и квантовое Фурье преобразование состояния . Определение одно-модовой характеристической функции (3.1.6) может быть обобщено на много-модовые ( модовые) состояния где нижний индекс относится к соответствующей оптической моде. Характеристическая функция (3.1.6, 3.1.7) является важной характеристикой произвольного состояния. Используя постулат (3.1.3), можно показать, что функция квази-распределения и характеристическая функция связаны друг с другом Фурье преобразованием. Рассмотрим случай одно-модового состояния. Тогда, имеем прямое преобразование Фурье от характеристической функции к функции квази-распределения вероятностей где интегрирование осуществляется по всей комплексной плоскости, и используется комплексная величина интегрирования с реальной и мнимой частью , , соответственно. Обратное преобразование Фурье от функции к ее характеристической функции имеет следующий вид
В преобразовании (3.1.8) используется нормировочный множитель , в обратном преобразовании (3.1.9) нормировочный множитель уже не применяется. В научной литературе встречаются другие определения прямого и обратного преобразования Фурье характеристической и квази–распределительной функции немного отличные от (3.1.8, 3.19). Соответственно меняется нормировочный множитель. Можно показать, что данные отличные функции преобразуются друг в друга соответствующим выбором используемых величин. Используя определение характеристической функции (3.1.7) много-модового состояния, можно по аналогии определить функцию квази-распределения .
Постулата (3.1.3) более чем достаточно, чтобы вывести другое известное представление функции квази-распределения вероятности
Данное представление (которое в некоторой степени можно назвать легендарным) было изначально введено Вигнером (Wigner) в работе [51], в честь которого функция квази-распределения вероятности названа функцией Вигнера. Примеры функций Вигнера представлены в Главе 1 на рисунках 1.8-1.11. Функция Вигнера когерентного состояния показана на рисунках 1.8 и 1.9. Функция Вигнера смешанного состояния, составленного из двух когерентных состояний с противоположными по фазе амплитудами, показана на рисунке 2.10. Наконец, функция Вигнера чистого СКС состояния с амплитудой представлена на рисунке 2.11. Естественно, что функции Вигнера оптических состояний не ограничиваются приведенными примерами. Отметим только несколько известных свойств функции Вигнера.
Обусловленная генерация четырех-модового максимально запутанного состояния с помощью регистрации фотона накачки
Точность генерируемых состояний близкая к единичному значению может обеспечиваться выбором параметра перемещения в представлении состояний (3.3.42-3.3.44). Соответствующие графики зависимостей вероятностей перемешенных фотонных состояний от для данных состояний для различных значений показаны на рисунках 3.13 и 3.14. Так визуальный анализ графиков на данных рисунках позволяет найти возможные значения , которые могут быть использованы. Так график на графике 3.13(б) показывает, что вероятность обнаружить перемещенный единичный фотон в суперпозиции (3.3.42) превалирует над другими вероятностями в случае . Естественно можно допустить, что выбор именно такого значения может гарантировать, что клик APD будет вызван регистрацией единичного фотона. Данное обстоятельство гарантирует почти идеальную единичную точность обратного действия матрицы Адамара, которое преобразует гибридные состояния в двух-мерное пространство когерентных состояний. Стоит только отметить, что данная ситуация напоминает случай рассмотренный выше в случае реализации прямого действия матрицы Адамара с использованием вспомогательного двух-модового сжатого вакуума с малым значением амплитуды сжатия. Рассмотрим также возможность реализации обратного преобразования Адамара для базисных элементов (3.3.51, 3.3.52). Данное преобразование может быть реализовано с помощью оператора одно-модового сжатия (2.3.13). Из обзора литературы [82-89, 96,97, 102, 106-110] следует, что сжатый вакуум и сжатый единичный фотон аппроксимируют четную и не четную СКС определенной амплитуды как
Известно, что суперпозиции когерентных состояний генерируются с некоторой точностью. И точность генерируемых состояний падает с увеличением амплитуды генерируемых когерентных состояний. Существует способ увеличить амплитуду генерируемых СКС посредством извлечения нескольких фотонов либо из сжатого вакуума (3.3.98) либо из сжатого единичного фотона (3.3.99). В частности, извлечение двух фотонов из состояний (3.3.98, 3.3.99) позволяет сгенерировать четную и не четную сжатую СКС большей амплитуды с точностью . Отчасти данные заключения следуют из результатов работ [96, 97, 102, 106], где уже обсуждались вопросы генерации СКС большой амплитуды посредством извлечения нескольких фотонов из начальных состояний света. Возможная оптическая схема для реализации извлечения двух фотонов из состояний (3.3.69-3.3.72) представлена на рисунке 2.8. Соответствующий математический аппарат использовался в разделе 2.3 в применении к генерации четной и не четной СКС в зависимости от амплитуды входного когерентного состояния. На основе выражений (3.3.98, 3.3.99) можно предположить, что может выполняться следующие преобразования суперпозиций выходных базисных элементов , (3.3.100) соответственно. Извлечение определенного числа фотонов из начальных базисных элементов может быть использовано, чтобы увеличить амплитуду генерируемых когерентных состояний. В настоящем разделе данный вопрос не рассматривается. Таким образом, может быть реализовано обратное действие преобразования Адамара с выбранными входными и выходными базисными состояниями. В настоящем разделе рассмотрены разнообразные возможности реализации как одно-кубитовых, так и двух-кубитовых элементарных квантовых блоков. Данные элементарные квантовые блоки реализуются с помощью оптической схемы на рисунке 3.15. В основе данного подхода лежит идея представления нужного состояния света. В частности, использовались представления двух-модового сжатого вакуума и суперпозиции вакуума и единичного фотона. Другая ключевая идея данного рассмотрения --- это идея извлечения перемещенного фотонного состояния из начального состояния. Волновые амплитуды используемых состояний в представлении являются либо четными либо не четными функциями амплитуды перемещения , что гарантирует равенство их вероятностей не зависимо от знака параметра . Так представление сжатого вспомогательного состояния может быть рассмотрено с положительным значением при взаимодействии с некоторым когерентным состоянием. И в тоже время можно использовать представление сжатого вспомогательного состояния с отрицательным значением для описания взаимодействия этого состояния с когерентным состоянием с отрицательной амплитудой. Как уже отмечалось в Главе 2 (в частности, в разделе 2.3), идея извлечения (или добавления) фотонного состояния из начального Гауссового состояния является известной (можно даже сказать популярной) и широко используемой в научной литературе. Развиваемая в настоящей диссертации идея извлечения перемещенного фотонного состояния является новой и свежей [148, 153]. Отчасти, данный подход (извлечение когерентного состояния) уже использовался в разделе 2.4 при обсуждении оптической схемы на рисунке 2.14. Преимущества данного подхода очевидны. Данный метод дает расширить возможности по генерации желаемых не Гауссовых состояний, о чем уже отмечалось в конце раздела 2.5. Сильная сторона такого подхода --- это наличие дополнительной степени свободы, амплитуды перемещения. С другой стороны анализ задач подобного рода является сложным и не тривиальным. В частности, проблема нахождения точного представления двух-модового сжатого вакуума отнимает не меньше усилий, чем вопрос реализации элементарных квантовых гейтов на основе извлечения перемещенного фотонного состояния из начального состояния. Вывод точного представления двух-модового сжатого вакуума (3.3.30) является важным с фундаментальной точки зрения. Вполне возможно, что именно сложность используемого математического аппарата ранее не позволяла исследователям приступить к изучению подобного рода проблем. Естественно, что возможности данного метода не ограничиваются решением только данного типа задач, рассмотренных в данном разделе. Возможности данного метода намного шире. Данный подход может быть применим к решению других задач необходимых для реализации тех или иных протоколов квантовой информатики, что уже является предметом настоящий и будущих исследований.
В заключении стоит отметить, что анализ оптической схемы на рисунке 3.53 показывает, что точность выходных состояний приближается к идеальному единичному значению даже в реалистическом сценарии. Экспериментальная реализация данной оптической схемы возможна. Стоит говорить о практической реализации обусловленного преобразования Адамара методами линейной оптики [153]. Нелинейные взаимодействия в данной оптической схеме не используются. Как уже отмечалось в разделе 2.3, реализация СКС состояний посредством нелинейного взаимодействия на Керрвоской нелинейности невозможна в силу малости Керровской константы взаимодействия. Регистрация кликов в дополнительных модах гарантирует генерацию выходных состояний с единичной вероятностью. Если клики не наблюдаются в дополнительных модах, то такой случай автоматически отбрасывается, что ведет к уменьшению вероятности успеха. Еще один важный момент связан с разной физической природой входных и выходных базисных состояний (гибридные состояния). Это может быть как преимуществом, так и возможным недостатком для построения квантового компьютера, что требует дополнительных исследований. Но (2.1.3) преобразование, необходимое для построения одно-кубитовых преобразований (как об этом говорилось в разделе 2.1) на базисных элементах может быть реализовано как на входных базисных когерентных состояниях, так и на выходных состояниях вакуума и единичного фотона, но это может потребовать дополнительного исследования. Окончательно можно отметить, что построение квантовых гейтов на основе взаимодействия света с атомами также может потребовать введение отличных входных и выходных базисных состояний.