Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Пертурбативная асимптотика модулярного ядра 21
1.1 Теория Зайберга-Виттена и АГТ соотношение 21
1.2 Пертурбативное вычисление модулярного ядра 23
Глава 2. Непертурбативные модулярные преобразования сферических конформных блоков 27
2.1 Тождество пентагона и разностные уравнения первого порядка 27
2.1.1 Тождество пентагона 27
2.1.2 Вывод разностных уравнений 28
2.2 Разностные уравнения второго порядка 31
2.2.1 Точка Ашкина-Теллера 33
2.2.2 Пертурбативный предел 33
2.3 Непертурбативные поправки в случае общего центрального заряда 34
2.4 Непертурбативные поправки в случае единичного центрального заряда 37
2.4.1 Рекурсивное вычисление 37
2.4.2 Точное решение 39
2.5 Обсуждение результатов главы 41
Глава 3. Непертурбативные модулярные преобразования торических конформных блоков 43
3.1 Разностные уравнения на модулярное ядро 43
3.1.1 Аналог тождества пентагона 43
3.1.2 Вывод разностных уравнений 46
3.2 Решение разностных уравнений 49
3.2.1 Уравнение со сдвиговыми операторами по 49
3.2.2 Уравнения со сдвиговыми операторами по и з
3.2.3 Симметризация решения и его свойства 52
Интегральное представление модулярного ядра 55
Аналитические свойства модулярного ядра 57
3.4.1 Вывод общей формулы 57
3.4.2 Подготовка к вычислениям 59
3.4.3 Нормировочный множитель 60
3.4.4 Разложение вблизи точки = , 62
3.4.5 Разложение вблизи точки = ,- 64
3.4.6 Сравнение разложений 65
Обсуждение результатов главы 67
Глава 4. Конформные блоки в замкнутом виде 70
4.1 Торические конформные блоки в замкнутом виде 71
4.1.1 Метод построения 71
4.1.2 Торические конформные блоки без полюсов 72
4.1.3 Торические конформные блоки с одним полюсом 73
4.1.4 Общий случай 80
4.2 Сферические конформные блоки в замкнутом виде 82
4.2.1 Метод построения и отличия от торического случая 82
4.2.2 Сферические конформные блоки без полюсов 84
4.2.3 Сферический конформный блок с одним полюсом 85
4.3 Модулярные преобразования конечно-полюсных конформных
блоков 86
4.3.1 Торический случай 87
4.3.2 Сферический случай 93
4.4 Обсуждение результатов главы 94
Заключение 100
Список литературы 102
- Пертурбативное вычисление модулярного ядра
- Разностные уравнения второго порядка
- Вывод разностных уравнений
- Торические конформные блоки с одним полюсом
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Конформные блоки возникают при голоморфной факторизации корреляционных функций и являются центральными объектами двумерных конформных теорий поля. Область применения самих конформных теорий крайне широка и включает множество аспектов – от описания статистических систем вблизи критических точек до динамики теории струн. Обновлённый интерес к конформным теориям вызван открытием ряда дуальностей между ними и другими моделями. Самым ярким примером является предложенная Х.Малдасеной дуальность между теорией струн в пространстве анти-де Ситтера и конформной теорией поля на его границе. Кроме того, недавно Л.Алдай, Д.Гайотто и Ю.Тачикава обнаружили новое соответствие, связывающее четырёхмерные суперсимметричные калибровочные теории с двумерными конформными моделями. Следует заметить, что в большинстве случаев именно конформные теории являются более полно понятой стороной соответствия, таким образом предоставляя инструменты для изучения дуальных моделей. Несмотря на богатую историю исследований, в самой конформной теории остаются нерешённые задачи. До сих пор в основном изучались конкретные типы конформных теорий: с фиксированными центральными зарядами, наборами операторов и т.п. Чаще всего эти частные случаи характеризуются наличием лишь конечного числа независимых операторов (минимальные модели), в то время как в общей ситуации спектр операторов бесконечен. Более полное изучение конформных теорий общего положения представляет важную задачу.
Конформные блоки являются принципиальными объектами для изучения. С одной стороны, они полностью фиксируются симметрией и являются модельно-независимыми, т.е. не зависят от деталей конформной теории. С другой стороны, они являются важными ингредиентами программы бутстрапа, и, следовательно, содержат информацию о структуре модельно-зависи-
мых трёхточечных корреляторов. Стандартное определение даёт представление конформного блока в виде ряда по степеням проективного инварианта (или модулярного параметра для случая конформной теории на торе). Это представление даёт возможность изучить локальные по свойства конформных блоков, но практически не даёт информации о глобальных свойствах, среди которых наиболее принципиальными представляются свойства монодромии при обходе сингулярностей в -плоскости. Задача описания преобразований монодромии и связанных с ними модулярных преобразований невырожденных вирасоровских конформных блоков ранее поднималась в литературе и в ряде случаев была решена. Б.Понсот и И.Тешнер представили модулярное ядро невырожденных конформных блоков в виде интеграла от отношения двойных гамма-функций. Это представление справедливо для иррациональных значений центрального заряда больших единицы. Н.Иорговым, О.Лисовым и Ю.Тихим было получено аналогичное выражение для случая единичного центрального заряда. С другой стороны, в недавней работе Д.Галахова, А.Миронова и А.Морозова было показано, что асимптотическая форма модулярного преобразования гораздо проще, чем можно ожидать из известных формул – сводится к преобразованию Фурье. Воспроизведение этого результата из точных интегральных выражений представляется весьма важным для взаимной проверки результатов, а также для более глубокого понимания вопроса.
Кроме того, необходимо заметить, что точные представления для модулярного ядра были получены не из прямого анализа конформных блоков, а косвенным образом. Они основываются на предположительной связи конформной теории с теорией представлений квантовых групп и уравнений Пенлеве. Прямая проверка того, что таким образом определённые модулярные ядра действительно осуществляют модулярные преобразования невырожденных конформных блоков, представляется важной задачей.
Цель работы
Целью данной работы является количественный анализ модулярных преобразований невырожденных вирасоровских конформных блоков. Особое внимание направлено на несколько частных задач.
Разработка методов, позволяющих описывать модулярные ядра даже в отсутствие замкнутых выражений для самих конформных блоков.
о Прояснение связи между точными интегральными представлениями и асимптотической формой модулярных преобразований.
о Проверка того, что известные в литературе модулярные ядра действительно осуществляют модулярные преобразования невырожденных конформных блоков.
о Поиск нетривиальных точно решаемых примеров конформных блоков и полное явное описание модулярных преобразований в этих случаях.
Результаты, выносимые на защиту диссертации
Прямым вычислением показано, что асимптотическая форма модулярного преобразования в пределе больших промежуточных размерностей для невырожденных сферических конформных блоков самого общего вида есть преобразование Фурье, а пертурбативные поправки к нему отсутствуют.
Из тождества пентагона получена система разностных уравнений, описывающих непертурбативное поведение модулярного ядра невырожденных сферических конформных блоков общего вида.
Для центрального заряда в общем положении предложен рекурсивный метод вычисления непертурбативных поправок к модулярному ядру сферического конформного блока общего вида.
Для семейства центральных зарядов вида
с = 1 + 6(6 + Ъ~1)2, Ь2 Є Z
предложено замкнутое выражение в элементарных функциях для модулярного ядра сферического конформного блока. Показано, что при с = 1 оно согласуется с формулой, известной в литературе, и представляет её в упрощённом виде.
Выведен аналог тождества пентагона для торического модулярного ядра общего вида и следующие из него разностные уравнения.
Для случая центрального заряда в общем положении найдено полное непертурбативное выражение для торического модулярного ядра. Установлена его связь с интегральными формулами, известными в литературе, а также показана согласованность с аналитической структурой невырожденных конформных блоков.
Найдено бесконечное семейство решений формулы Замолодчикова, возникающее при специальных значениях внешних размерностей и
центральных зарядов. Показано, что эти конформные блоки обладают рядом замечательных свойств: содержат конечное число полюсов по промежуточной размерности, могут быть найдены как замкнутые функции координат, позволяют точное вычисление соответствующих модулярных ядер.
Научная новизна работы
В ходе работы был выработан общий подход к анализу модулярных преобразований конформных блоков. Поскольку замкнутые выражения для конформных блоков общего вида с ясно выраженными модулярными свойствами не известны, такой подход вынужден опираться на косвенные методы. Показано, что нелинейные условия самосогласованности модулярных преобразований (такие как тождество пентагона) могут быть использованы для получения линейных разностных уравнений на модулярные ядра невырожденных конформных блоков. Одним из достоинств этих уравнений является то, что они справедливы при произвольных значениях центрального заряда. Показано, что при учете всех симметрий задачи эти уравнения определяют модулярные ядра однозначно для случая иррационального центрального заряда. Решения этих уравнений проанализированы в различных пределах и частных случаях. На примере торического конформного блока показано, что интегральное представление Б.Понсот и И.Тешнера, справедливое при иррациональном центральном заряде большем единицы, может быть получено как решение этих уравнений. При этом оно естественным образом возникает не в интегральной форме, а в виде степенного разложения, которое более удобно для конкретных вычислений. Для случая единичного центрального заряда решение полученных уравнений согласуется с формулой, предложенной Н.Иорговым, О.Лисовым и Ю.Тихим, но представляет последнюю в более простой и естественной для конформной теории параметризации. Вывод и анализ новых замкнутых решений формулы Замолодчи-кова также позволили явно построить соответствующие модулярные ядра, проверить их согласованность с общими уравнениями и подтвердить гипотезу об их аналитической структуре.
Практическая и научная ценность работы
Результаты работы важны для понимания непертурбативной структуры вирасоровских конформных блоков и могут найти применение в кон-
формной теории поля, дуальных калибровочных теориях, теории представлений квантовых групп. Кроме того, большинство результатов должны иметь обобщения на конформные теории с расширенными симметриями (с алгебрами токов, суперсимметриями и т.д.), а также на конформные теории в старших размерностях.
Личный вклад автора диссертации
Автором лично были получены все результаты, выносимые на защиту диссертации.
Апробация диссертации и публикации
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах ИТЭФ и следующих международных конференциях:«Synthesis of integrabilities in the context of duality between the string theory and gauge theories» (г.Москва, 2013), «Group Theory and Knots» (г.Наталь, Бразилия, 2014), «Quantum Geometry, Duality and Matrix Models» (г.Москва, 2015).
Основные результаты диссертации представлены четырьмя публикациями в журналах, входящих в список рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации
Пертурбативное вычисление модулярного ядра
Теория Зайберга-Виттена [19; 20] с двумя суперсимметриями АҐ = 2 и калибровочной группой 577(2) при наличии четырёх фундаментальных гипер-мультиплетов материи1 является примером теории, содержащей 5-дуальность [21-24]. 5-дуальность - это преобразование, переводящее режим сильной связи в режим слабой связи той же самой теории, и наоборот. Низкоэнергетическое поведение теории Зайберга-Виттена полностью описывается препотенциалом Vsw, который зависит от координаты а на пространстве модулей вакуума. Действие 5-дуальности на препотенциал является преобразованием Лежандра. А именно, препотенциал дуальной теории VgW связан с исходным Vsw следующим образом: Vsw(b) = 2таф + Vsw(a o), а о 2тЬ + V SW{(IQ) = 0 . (1.1)
В последнее время активно изучается деформация теории Зайберга-Виттена, получаемая введением так называемого Г -бэкграунда [25-27]. Статистическая сумма деформированной теории, называемая статистической суммой Некрасова [26; 28], зависит от двух параметров деформации Єі,Є2. Удобно выражать их через так называемые струнную константу связи д и параметр бета-деформации (3 д = — і2, р = . (1.2)
В дальнейшем мы будем считать параметр (3 фиксированным, а параметр д -малым, пригодным для пертурбативного разложения. Препотенциал недеформированной теории Vsw получается из статсуммы Некрасова предельным переходом Vsw = Hm Я log Wefc (1.3) Действие 5-дуальности может быть продолжено также и на деформированную теорию [29]. Кроме того, как отмечено в работе [29], преобразование Лежандра,
В дальнейшем под теорией Зайберга-Виттена мы будем понимать именно эту конкретную версию. связывающее Vsw с дуальным препотенциалом (1.1), можно рассматривать как главный порядок преобразования Фурье, связывающего статсумму Некрасова ZNek с дуальной статсуммой. А именно, введём препотенциал деформированной теории Р следующим образом: P = q logZjsfek, lim Р = Vsw (1.4) Тогда, уравнение (1.1) возникает как приближение седловой точки к преобразованию (PD(b)\ [da (Iniab + Р (а)\ о = — ехР о Ь 9 0 (1.5)
Недавно открытые соотношения АГТ (Алдай-Гайотто-Тачикава) [30-32] связывают статсумму Некрасова с конформным блоком в двумерной конформной теории. А именно, при надлежащем отождествлении параметров и нормировочных множителей статсумма Некрасова тождественно равна конформному блоку Вирасоро Z ek = В. Мы не будем давать независимое определение функциям Некрасова, но приведём связь между параметрами калибровочной и конформной теорий. Статсумма Некрасова зависит от значения вакуумного среднего а, масс четырёх гипермультиплетов материи ш , константы связи теории То и двух параметров деформации Єі,Є2. Точное соответствие параметрам конформной таково а(є — а) А(а) = , є = Єї + t i , Є1Є2 Є1Є2 = —д , Є1/Є2 = —(3 , а = ос + є/2, х = е тх , ті = осі + 0С2, ЇЇІ2 = осі — &2 + є, Шз = 0Сз + (Х-4 , Ш4 = (Хз — (Х-4 + Є . (1.6) На языке конформной теории S-дуальность соответствует модулярному преобразованию конформных блоков (38). Напомним, что на конформный блок оно действует как замена х — 1 — х вместе с перестановкой двух внешних размерностей Аі -о- Аз 2. Введя явным образом параметр х как аргумент препотен-циала Р (вместо константы связи), можно записать преобразование дуальности как Р (а, х) = Р(а, 1 — х) . (1.7) 2 В дальнейшем при общем рассмотрении мы для краткости не будем явно указывать эту перестановку. Из конформной теории следует (38), что это преобразование реализуется как линейной интегральное преобразование с некоторым ядром F(a,b), не зависящем от х Ґ Р(Ь,1 — х)\ [da ҐР(а,х)\ exp = — F(a, b) exp . (1.8) 9 9
Данное соотношение обобщает уравнение (1.5) на произвольные значения константы д. Из уравнения (1.5) нам известно, что асимптотическая форма модулярного ядра F(a, Ь) при д — 0 соответствует преобразованию Фурье 2niab F(a,b) exp — . (1.9) #-ю 9 Одной из центральных тем для всего диссертационного исследования является вопрос о том, какие поправки содержит эта формула при конечных . В данной главе мы покажем, что пертурбативные поправки отсутствуют.
Как уже отмечалось, сравнение правой и левой частей формулы (1.8) затруднено тем, что функции (,) и (,1 - ) определены как разложения по степеням и 1 - соответственно, что делает невозможным почленное отождествление. Однако, оказывается возможным разложить функцию (, ) в пределе 0, а также малых масс гипермультиплетов 0 так, что каждый член разложения будет замкнутой функцией с известными модулярными свойствами. Приведём несколько первых вкладов для случая = 1:3 Р(а, х) = —па Ь (га, + ш9 + тч + тЛ lop: а — а + g ( i + гп2 + ш3 + т4) г—1 ( 5тг) (1.10) Заметим, что лидирующий член 7їа 2х{ ) следует из асимптотики (29). Отметим также, что препотенциал является чётной функцией всех параметров, имеющих массовую размерность g,rrii,a. Кроме того, из размерного анализа нетрудно показать, что с точностью до общей нормировки и логарифмических 2(1 - )2222 2log 3Используемые соглашения для эллиптических функций приведены в приложении А.
Разностные уравнения второго порядка
Случай единичного центрального заряда, соответствующий Ъ = і в наших обозначениях (20), требует отдельного рассмотрения. Как легко видеть, первая поправка (2.37) к модулярному ядру сингулярна в пределе Ъ — і.
Причиной является то, что в точке Ъ = і параметр и = е2пгЬос становится периодической функцией ос с периодом і 3. В то же время разностные операторы в уравнении (2.20) также осуществляют сдвиги на і, т.е. не меняют параметр и . Следовательно, при Ь = і сопряженный оператор и пСи п равен исходному С0 и вырождается в дифференциально-подобный оператор, т.е. понижает степень полинома. Это требует пересмотра уравнения (2.34), которое теперь можно
В дальнейшем мы иногда будем называть функции с периодом і просто периодическими, без явного указания периода. записать просто как С (и)(р (ос, ос ) = —С (и)(р (ос) . (2.40) Независимая от ос функция (р1(ос, ос ) более не является решением, поскольку она уничтожается оператором С0. Вместо этого нужно взять линейный по ос полином Ц)1(ос, ос ) = ф10(ос) + ос ц)11(ос) . (2.41) Функция фи(а) может быть определена из (2.40) и, 61(и)(р(ос) Ф (ос) = , (2.42) о (и — и 1) в то время как функция ф10(а) не фиксируется уравнениями (2.20),(2.40). Для поправки второго порядка имеем С (и)(р (ос, ос ) = —С (и)(р (ос, ос ) — С (и)(р (ос, ос ) , (2.43) и теперь в правой части стоит линейная по ос функция, так что ф2(ос, ос ) должна быть выбрана квадратичной ф2(ос, ос ) = ф20(а) + ос ц)21(ос) + а/2ф22(а) . (2.44) Функции ф21(а) и ф22(а) могут быть определены из уравнения (2.43), в отличие от функции ф20(а). Таким образом, нетрудно получить следующую форму модулярного ядра для случая b = і: cccc = е2тос х 2, фп(а? ос )и п, фп(ос, ос ) = 2. фп (0 ) (2.45) п к=0 где каждая из функций ц)п 1 к 1(ос) может быть вычислена рекурсивно, если фп п,к к(ос) известны. Функции фп0(а) остаются произвольными для любого п. Легко понять, почему это происходит. При Ъ = і эти функции входят в поправки, которые периодичны по ос , а значит незаметны для разностных операторов в уравнении (2.20).
Следует сделать ещё одно важное замечание. Несмотря на то, что модулярное ядро при с = 1 содержит полиномы произвольной степени по ос , его логарифм является квазилинейной функцией от ос log J ococ = А(ос,а!_) + ос В(ос, д _) . (2.46) Здесь (,) и (, ) есть некоторые периодические функции с периодом . Чтобы сделать эту переодичность явной, соответствующие аргументы подчеркнуты. Мы будем использовать это обозначение в дальнейшем. Утверждение (2.46) не является следствием наших предыдущих выкладок. Тем не менее, его можно проверить в явной форме в нескольких порядках -разложения. Сейчас мы дадим простое объяснение этому наблюдению.
В случае Ъ = і разностные операторы в уравнении (2.20) меняют момент ОІ на г. Все коэффициенты в уравнении, однако, зависят от ОІ лишь посредством параметра и = е2тЬос, который при Ъ = і становится периодичным с периодом і. Таким образом, нам по-существу нужно решить разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Кроме того, эти аргументы применимы и к исходным уравнениями первого порядка (2.16), коэффициенты которых выражаются через величины (2.6). Последние являются периодическими функциями всех моментов, а не только внутренних. Потому и вся разностная система уравнений (2.16) при Ъ = і может рассматриваться как система уравнений с постоянными коэффициентами. Потому естественно сделать следующий анзац JTaa, = е2тсск (pyicc (p,yicc JJ .)- R , (2.47) 3=1 где каждая из функций Р, P ,Pi,... ,Р и R является периодической по всем моментам ос,ос
При подстановке (2.47) в уравнение (2.20) последнее сводится к квадратичному уравнению на функцию Р иС+(и,и )Р + CQ{U,U ) + и С-(и,и)— = 0, (2.48) Р имеющему два решения v , —Со(и,и ) ± /CQ{U,U )2 — А.С+{и,и )С-{и,и ) Р = п( А (2.49) 2uLy-\-[U,U ) С помощью явных выражений (В.2) можно показать, что только одна из ветвей квадратного корня действительно является периодической функцией oi. Функ 40 ция Р должна определяться из аналога уравнения (2.20) со сдвиговыми операторами по а вместо ос .
Функции РІ не могут быть определены из уравнения второго порядка (2.20), поскольку оно не содержит операторы сдвига по внутренним импульсам. Однако, они могут быть найдены из уравнений первого порядка (2.16), содержащих также и сдвиги по внешним импульсам. Единственной трудностью в извлечении этих зависимостей является то, в уравнения входят одновременные сдвиги по разным импульсам. Мы можем повторить ту же процедуру, которая позволила вывести уравнение второго порядка (2.20). Рассмотрим следующее выражение 0 Sl,S2(cXi oc)0A1,S2{oCi ocjJ-cccc = 0 Sl,S2(cXi oc)0B1,S2(cXi ос )7-аосі . (2.50)
Напомним, что индексы Si,S2 соответствуют сдвигам по внешним импульсам ОІ\ и ОІ2 соответственно. Следовательно, в левой части уравнения (2.50) сдвиги по осі в модулярном ядре сокращаются, оставляя только сдвиги по 0С2. В правой части можно переписать действие оператора О А через действие оператора О в, так что останутся только сдвиги по импульсу cxf. По аналогии с уравнением (2.20) можно записать результат в виде е гдсс2 сссс, = (Е+(и,и )е + Ео(и и ) + Е_(и и )е а ) Т . (2.51) Функции Е±уо приведены в приложении В.2. Поделим уравнение (2.51) на Т и сделаем подстановку (2.47). Получим Р Это уравнение выражает функцию Р2 через найденную ранее функцию Р . Вычисление оставшихся функций Рі,Рз, 4 – прямолинейная процедура, проходящая через те же самые шаги что и для Р . Функция R однако не может быть определена из такого рассмотрения и представляет собой необходимую неопределённость в решении разностных уравнений в виде периодической функции.
Таким образом, с помощью подстановки (2.47) нам удалось решить уравнения (2.16) для случая единичного центрального заряда во всех непертурба-тивных порядках. В приложении Г мы сравниваем этот результат с формулой, известной в литературе [47], и показываем, что они согласуются.
Вывод разностных уравнений
Эта формула записана в той же нормировке, что и разложения (3.33) и (3.35). Для центрального заряда большего единицы, подынтегральное выражение (3.38) содержит четыре семейства полюсов, лежащих на полупрямых. Контур интегрирования С выбирается так, чтобы обходить эти полюса определённым образом. Для некоторых значений параметров эти полюса могут перекрываться и сливаться, тогда формула (3.38) нуждается в доопределении. Иногда, это невозможно. Например, для с 1 (в частности, для всех минимальных моделей) эта формула не верна.
Мы воспроизведём разложение (3.33) непосредственно из интегрального представления (3.38). Оказывается, что разложение в ряд соответствует сумме по вычетам интеграла. Функция Sb(z) является мероморфной, с простыми полюсами и нулями, расположенными в точках
нули : z = пЪ + тЪ , п, т 1 , полюса : z = —пЪ — тЪ , п,т 0 . (3.39) Следовательно, подынтегральное выражение в (3.38) имеет простые полюса в точках г(п,т) і , і , 7—1 tq = ос + [1/2 + по + то , п, т 1 , г(п,т) I , гл і 7—1 t,jj = ос + Q — [1/2 — по — то , п, т 0 , E,JJP = —ос — Ц./2 — пЪ — тЪ , п, т 0 , l jym) = —сх! — Q + Ц./2 + пЪ + т6 , п, т 1 . (3.40)
На рисунке 3.4 представлена схема полюсов и возможный контур интегрирования в ,-плоскости. Предположим, что ос Є Ж+ и Ъ 0. Тогда экспонента е-4" 0 3 Обращаем внимание читателя на отличие наших обозначений от обозначений в указанных работах. Точная связь такова: a = гра, ос = грь, Ц- = Q/2 + гре, сь = iQ/2, Sb(z) = Sb(Q/2 + iz).
Контур интегрирования в интегральном представлении модулярного ядра в интеграле (3.38) убывает при !К, 0, и интеграл может быть представлен как сумма по полюсам в точках z Є ,// и z Є ,///. Отметим, что рисунок 3.4 довольно схематичен. В действительности, в каждом из четырёх семейств полюса не расположены эквидистантно. Более того, для комплексных значений Ъ вместо одной полупрямой полюса в каждой группе лежат между парой пересекающихся полупрямых. При некоторых значениях параметров четыре группы полюсов могут не быть разделены так явно, и контур нельзя выбрать параллельным мнимой оси (мы немного сместили контур от мнимой оси для ясности рисунка). Однако, в любой из описанных ситуаций остаётся верно следующее утверждение: для вычисления интеграла (3.38) необходимо учесть лишь вычеты семейств ,// и ,///.
Обозначим подынтегральное выражение в (3.38) как X, тогда 2m Res r(n,m) X = = 2m Sb(20C + + пЬ + mb l)Sb{\L + ПЪ + тЪ 1) W ma mafnb+mb-1) Sb(2oc + Q + nb + mb l) Res- Sb(—nb — mb l) (3.41) Из определения (3.40) можно видеть, что полюса, соответствующие ,//, описывают такое же множество, как и ,///, но с заменой ос на —ос (напомним, что Q = b + b l). Кроме того, подынтегральное выражение является чётной функцией а , как можно видеть из свойства (А.6). Следовательно, вычеты в точках ,// в точности совпадают с вычетами в точках ,/// с заменой а! на —otf. Таким образом, нам достаточно рассмотреть только сумму по вычетам ,/// и симметризовать результат по ос .
Используя свойство (А.5) и явную форму вычетов (А.9), можно записать полученное выражение в следующем виде: + \x + (A; — 1)6) siii7r&(j, sin 6(2oc/ + kb) smnb2k It . 1 Ґ C\ f 7 7\ 7/ 7 -l\7\ nsmnblzot + ц. + (к — 1)0) ЙІПЇЇО ц + (к — 1 jo) —: П sin nb 1(2oc + \i + (I — l)o_1) sin7ro_1(j. + (/ — l)o_1) . (3.42) sin nb 1 (2 oc + lb 1) sinnb 2l Наконец, заметив, что 23/2sin27roa/sin27ro 1c t/ і 2 1/2 = , (3.43) і Ьъ(2ос + Q) Sb(2oc ) можно увидеть, что суммирование по вкладам всех точек из групп ,/// и ,// в точности воспроизводит формулу (3.33). Таким образом, мы заключаем, что выражения (3.33),(3.35) действительно служат представлением в виде ряда интегрального выражения (3.38).
Отметим, что в случае ос Є — Ж+ можно замкнуть контур интегрирования в формуле (3.38) в правой части плоскости, учитывая полюса в точках ,/ и E,iv. Как нетрудно видеть из (3.40) и симметрии подынтегрального выражения, результат будет таким же, как и прежде, но с заменой ос —ос. Иными словами, А4сш/(Ц-) является чётной функцией а, в согласии с ожидаемыми свойствами симметрии.
Нам удалось получить замкнутое выражение для модулярного ядра во всех непертурбативных порядках. Напомним, что модулярное ядро по-существу является матрицей перехода от одного базиса конформных блоков к другому. Тем не менее, замкнутые выражения для самих конформных блоков, позволяющие явно анализировать их модулярные свойства, на данный момент не доступны. Вывод непертурбативных уравнений (3.33) и (3.35) довольно косвенный. Помимо условий самосогласованности модулярной алгебры были использованы только свойства вырожденных конформных блоков (для вывода матрицы (2.6)). При этом результат имеет довольно неожиданную структуру. Прямой анализ конформных блоков, который мы осуществили в разделе 1, не обнаружил никаких отклонений модулярного преобразования от преобразования Фурье. В свете сказанного важной задачей является какой-либо способ проверки того, что выражения (3.33), (3.35) действительно осуществляют модулярные преобразования невырожденных конформных блоков. В этом подразделе мы получим простое описание аналитической структуры модулярного ядра, следующее из свойств невырожденных конформных блоков, и проверим, что оно верно.
Торические конформные блоки с одним полюсом
Дополнительный полюс при А = -5/4 ожидаем из-за ненулевого коэффициента і?2,і, который привносит полюс в точке А = А2д (= -5/4 при Oii-i = 0). Тем не менее, полюс в точке А = -3 нуждается в объяснении. Оказывается, что условие Rr:S = 0 само по себе не достаточно для отсутствия полюса при А = Ar;S в выражении (4.4). Причина состоит в том, что сопровождающий коэффициент Ддг_8 может быть сингулярен, так что их произведение Rr,sH/\r_s остаётся конечным.
В свете этой трудности рассмотрим ситуацию более внимательно. После того, как внешняя размерность выбрана в виде Ае = Аі;з, а центральный заряд сохранён произвольным, общий вид формулы (4.4) сводится к Дд(Ді 4,cq) = 1 + qrH\ л (Аі ч,со) . (4.21) Сумма ограничена на s = 1, поскольку коэффициенты Дг (Де, с) с s Ф 1 равны нулю при Ае = Аі;з. Подставим в эту формулу А = ДП;-і Для некоторых специальных значений центрального заряда размерность ДП;-і совпадает с Дгд. В точке ОІ\-\ = 0 это случается, когда п = г + 2. Простейший пример возникает при г = 1 и п = 3, когда Дз,-і = Дід. Следовательно, гі(Ліз,с) Яд ДДі ф) = 1 + л- д Я. дг,-і(Аі,з,сд) . (4.22) конформный блок А3 _1(ІІЗ, \) сингулярен при осі-і = 0 и произведение зд/ з-і оказывается конечным и привносит полюс в точке = зд (= -3 при осі-і = 0), который в точности соответствует неожиданному полюсу в формуле (4.20). Более того, можно показать, что благодаря этому же механизму появляется бесконечное число дополнительных полюсов (см. приложение Е). Этой ситуации может быть противопоставлен случай, рассмотренный ниже, в котором появляется лишь конечное число дополнительных полюсов.
Случай: oci;-2 = 0, е = і;з = з,-і = -2, = 28 Выбор е = і;з делает все коэффициенты r ilS 2 равными нулю. В противоположность случаю (Xi;-i = 0, случай Х\-2 = 0 не приводит к появлению нулей в знаменателях выражений (4.10) и (4.11). Можно показать, что любой коэффициент r 2,s=i обнуляется при выбранных параметрах, в согласии с наивным ожиданием. Таким образом, ід является единственным ненулевым коэффициентом. Тем не менее, мы по-прежнему не получаем однополюсный конформный блок. Причина снова заключается в том, что некоторые из конформных блоков, входящие в коэффициенты при полюсах (4.1), сингулярны при данном центральном заряде. Действительно, рассмотрим в формуле (4.4) вклад члена с = 2, = 1, в котором появляется конформный блок А2_1. Мы можем доказать его сингулярность, используя те же аргументы, что и в предыдущем случае. Формула (4.4) для = 2,-і в двух первых порядках даёт іі(е,) д2 _(е, \) = 1 + д1 _(е, \) + ... (4.23) 2,-1 1,1
В пределе ОІ\-2 —Ї 0 размерность 2,-і = 0 и, следовательно, совпадает с ід = 0. Поскольку ii не равен нулю, конформный блок д2 _1 оказывается сингулярным. Когда промежуточная размерность в формуле (4.21) находится в общем положении, эта сингулярность сокращается нулём коэффициента 2,і, что приводит к конечному вкладу от члена с полюсом в точке = гд = -2. Таким образом, это всё ещё не искомый однополюсный блок. Кроме того, так же, как и в предыдущем случае, новый полюс не является единственным, а лишь первым в бесконечном семействе. В разделе 4.1.4 мы объясняем, что такое поведение всегда встречается для центральных зарядов больших единицы, так что настоящие конечно-полюсные блоки могут появляться лишь при 1.
Случай: ос.2д = 0, е = і;з = з,-і = 3, = -2 Этот случай схож с первым рассмотренным примером (при схі;-і = 0) в том, что в знаменателе д появляется ноль при подстановке СХ2д = 0 (зд = 0). В противоположность предыдущему случаю, дополнительный множитель &2,1 в i?2,1 (4.11) также оказывается равным нулю. Так что итоговое выражение в конечном счёте обнуляется i?2,1 = 0. Тем не менее, коэффициент Л3,1 при этом отличен от нуля а3,1 (Ае - A5,1 )(Ae-A5-1 ) /г3,1(Ае,с) = Л2,1(Ае,с), пт 1і3,1(Д1,3,с) = -15 . (4.24) Причина заключается в том, что (Х3,1 не равно нулю при текущем выборе параметров, так что не возникает дополнительного нуля, который мог бы компенсировать обнуление А3,1. Тем не менее, все коэффициенты Rr1 при г 4 содержат множитель (Ае - A7,-1), который также равен нулю, поскольку Д7,-1 = Ае = 3 при (Х2,1 = 0. Мы приходим к заключению, что только коэффициенты R11 и Л3,1 остаются ненулевыми. Ключевым свойством настоящего примера является то, что член с Л3,1 не добавляет нового полюса, поскольку А3,1 = Д1,1 = 0 при «-2,1 = 0.
Как мы видели в предыдущем примере, обращение в нуль Rrs не достаточно для отсутствия в конформном блоке полюса в точке А = ДГ,8, смежный множитель НГ_8 также должен быть несингулярен. Напомним, что при подстановке Ае = Д1,3 формула Замолодчикова сводится к (4.21). Следовательно, если Ае = Д1,3, нам следует проверить на сингулярность при (Х2,1 = 0 только конформный блок іі/п 1_1(Д1,3,с ). Сингулярность в іі/п_1(Д1,3,,с ) может появиться, только если (i) ДП,-1 = Аг,1 для некоторого г и (ii) коэффициент _йг,1(Д1,3,с) не равен нулю для этого г. Поскольку ненулевые коэффициенты Rr1 имеют место только при г = 1 и г = 3, и, поскольку Д1,1 = Д3,1 = 0, условие (i) требует ДП,-1 = 0, что не может быть выполнено при &2,1 = 0. Следовательно, ни один из конформных блоков, входящих в разложение (4.21), не является сингулярным при а2,1 = 0. Таким образом, мы наконец находим подлинный однополюсный конформный блок, который имеет следующее разложение і?11(А13,с) -г/(Д1,3,с(/) = 1 Н г г діі1 _ДД1,3, cq)+ ДА Н 1,3 Q И? -, (Д1 3,са) . (4.25) 3,1 В это уравнение можно подставить явные величины Д1,3, Д1,1 и с, но текущий вид кажется нам более наглядным.