Содержание к диссертации
Введение
1 Подход Симанзика в моделировании взаимодействия квантованных полей с макроскопическими объектами 16
1.1 Введение 16
1.2 Методы построения моделей 18
1.3 Энергия Казимира 20
1.4 Взаимодействие поверхности с током и зарядом 23
1.5 Эфект Казимира-Полдера 23
2 Рассеяние электромагнитных волн на плоской поверхности в модели с потенциалом Черна-Саймонса 25
2.1 Постановка задачи 25
2.2 Выбор калибровки 27
2.3 Решение уравнения д ф + р2ф + c5(t) = 0 28
2.4 Решение уравнений Эйлера-Лагража 29
2.5 Рассеяние волн на плоскости 31
2.6 Собственные моды 32
2.7 Рассеяние плоских волн 33
3 Динамический эффект Казимира для двух параллельных плоскостей з
4 Распространение электромагнитных волн в слоистой среде 46
4.1 Постановка задачи 46
4.2 Решение уравнений Эйлера-Лагранжа 51
4.3 Распространение волн в трехслойной среде 55
4.4 Некоторые детали расчетов и комментарии 58
5 Модель взаимодействия материальной плоскости со спи норным полем 63
5.1 Постановка задачи 63
5.2 Рассеяние частиц на плоскости жз = 0 69
5.3 Связанные состояния 75
Основные результаты и выводы 78
Литература
- Энергия Казимира
- Решение уравнения д ф + р2ф + c5(t) = 0
- Решение уравнений Эйлера-Лагранжа
- Рассеяние частиц на плоскости жз = 0
Энергия Казимира
Квантовополевые модели элементарных частиц обычно рассматриваются в однородном и изотропном пространстве-времени [32,33]. Это вполне естественно при изучении различных процессов с простейшими возбуждениями вакуума. Однако, если его свойства существенно меняются в результате взаимодействий квантовых полей с макроскопическими объектами, такой подход не применим. В этом случае, в динамике материальных тел могут возникать необъяснимые в рамках классической физики квантовые макроэффекты.
Теоретически эта проблема была впервые рассмотрена в 1948 году X. Казимиром. Он показал, что вследствие флуктуации квантового вакуума возникает притяжение между двумя идеально проводящими пластинами плоского незаряженного конденсатора [8]. Это явление, которое получило название эффекта Казимира (ЭК), наблюдается экспериментально, и полученные для хорошо проводящих материалов эмпирические результаты с высокой степени точности согласуются с теоретическими [3-7,34].
На характерных для ЭК расстояниях 10-1000 нм как классические, так и квантовые свойства системы оказываются существенными, что фор 17 мирует особую нанофизику, исследование которой представляет не только теореческий интерес. Понимание ее закономерностей важно также для разработки новых технических устройств, в силу все возрастающей тенденции к их миниатюризации.
В настоящее время существует большое число теоретических работ, посвященных эффекту Казимира [6,7,16]. Однако, интересуясь, как правило, только некоторыми его аспектами, многие авторы производят вычисления в упрощенных моделях. Обычно это предполагает, что специфика квантовой электродинамики не существенна и наиболее важные особенности эффекта Казимира могут быть исследованы в рамках свободного квантового скалярного или электромагнитного полей с фиксированными граничными условиями или с ( -функцией в качестве потенциала.
Используя такие методы, можно получить количественное описание некоторой характеристики эффекта Казимира, но они неприменимы для исследований в рамках одной и той же модели других явлений, возникающих из-за взаимодействия полей квантовой электродинамики с классическим фоновым полем (дефектом). Для построения такой модели можно использовать подход Симанзика [31], в котором к обычному действию квантовой теории поля добавляется действие дефекта, сосредоточенное в области пространства, занятого материальным телом. Взаимодействие с фотонным полем сингулярного внешнего поля, сосредоточенного на двумерной поверхности в трехмерном пространстве, оказывается полностью определено формой поверхности (дефекта) и ограничениями следующими из основных принципов КЭД (калибровочная инвариантность, локальность, перенормируемость) и описывается действием Черна-Саймонса. При этом в действии дефекта содержится только один безразмерный параметр -константа взаимодействия материала поверхности с фотонным полем [35]. Сила Казимира оказывается существенно зависящей от этого параметра и при определенных его значениях может стать отталкивающей. Кроме того, модель предсказывает необычные эффекты взаимодействия зарядов и токов с материальной плоскостью [35].
В [35]- [40] подход Симанзика был использован для построения единой модели, пригодной для изучения любых эффектов взаимодействия материальных тел с полями квантовой электродинамики (КЭД). В данной главе мы приводим полученные к настоящему времени результаты исследования в рамках такой модели различных эффектов взаимодействия фотонного поля с двумерной поверхностью. Свойства материала поверхности представлены константой ее взаимодействия с фотонным полем.
Для описания взаимодействия квантового поля с материальным объектом (дефектом) Симанзик предложил использовать функционал действия вида S{ip) = Sv{}p) + Sdef{}p), здесь Sy - действие исходной квантово-полевой системы, Sdef - действие дефекта: Sv((f) = / L((p(x))dDx, Sdef{(p) = / Ldef((f(x))dD x, где Г - подпространство размерности D D в D-мерном пространстве [31]. Основные принципы квантовой электродинамики - калибровочная инва 19 риантность, локальность, перенормируемость - налагают сильные ограничения на возможный вид действия дефекта Sdef- Взаимодействие с электромагнитным полем Ар{х) двумерной поверхности без зарядов и токов, форма которой определяется уравнением Ф(х) = О, х = (жо,Ял,Ж2, жз), описывается функционалом Черна-Саймонса: S f (A) = \J єх дхФ(х)Аи(х)Г1Ур(х)6(Ф(х))(і4х} (1.1) где Fvp(x) = dvAp - dpAv, eXfJ,l/p обозначает полностью антисимметричный тензор (є0123 = 1), параметр а - безразмерная константа взаимодействия. Выражение (1.1) представляет собой наиболее общую форму сосредоточенного на поверхности дефекта калибровочно-инвариантного действия, инвариантного относительно перепараметризации и не содержащего параметров отрицательной размерности. Полное действие, включающее обычное действие фотонного поля в однородном пространстве имеет вид 5(ДФ) = So(A) + S (A), So = -і J dAxF {x)FpV{x). (1.2)
Для стационарных дефектов функция Ф{х) не зависит от времени. Для сферы радиуса Го с центром в начале координат Ф(х) = х1 - г\. Ф(х) = х% - I для плоскости х% = /. Предел а — оо соответствует граничным условиям пмі мг/ф(ж) = 0 (пр(х) = дрФ(х), F = e Fxp) классической электродинамики для идеально проводящего материала.
Для количественного описания всех физических явлений, возникающих в результате взаимодействия поверхности с фотонным полем, зарядами и токами, достаточно знать производящий функционал функций Грина. Для калибровки ф(А) = 0 он имеет вид G(J) = С f eiSW)+UA5((f (A))DA (1.3) где S(A, &) функционал определен в (1.2) а константа С определяется соотношением 6г(0)а=о = 1, т.е. в чистой фотодинамики без дефекта она равна единице.
Решение уравнения д ф + р2ф + c5(t) = 0
В модели с потенциалом Черна-Саймонса уравнения Максвелла модифицируются. Это проявляется в изменении законов распространения электромагнитных волн. В рамках модели с потенциалом Черна-Саймонса [35] в данной главе будет изучено распространение волн в разделенном материальной плоскостью пространстве. Будет показано, что одной из особенностей этих процессов является независимость коэффициентов прохождения и отражения от угла падения волны и ее частоты: если а - константа взаимодействия поверхности с электромагнитным полем, то коэфициент отражения волны 22/(1 + о2), а коэффициент прохождения - 1/(1 + а2). Направления прошедшего и падающего лучей совпадают. При прохождении и отражении луча меняется его поляризация. При этом чем меньше относительная интенсивность отраженной или прошедшей волн, тем сильнее меняется их поляризация по сравнению с поляризацией падающей волны. При малых а, вектора электрического поля отраженной и падающей волн почти ортогональны, а падющей и прошедшей - почти параллельны. Если а 1 то почти ортогональны друг-другу вектора падающей и прошедшей волн,а у отраженной и падающей они почти параллельны. Для плоского дефекта Ф(х) = ж з функционал действия имеет вид
В силу второго равенства в (2.2), условие вещественности А (х) = А (х) вектор-потенциала Аи(х) для А(хз,р) имеет вид А (хз}р) = А(хз, —р)- Воспользовавшись этим соотношением мы получаем интегральное представле ние
Уравнение Эйлера-Лагранжа (2.1) для рассматриваемой задачи инвариантно относительно калибровочного преобразования А (х) — А {х) + дц(р{х), поэтому решение (2.1) находится с точностью до калибровочного преобразования, и мы можем при его построении зафиксивать калибровку. Мы будем проводить расчеты в темпоральной калибровке
Таким образом, функция f(t) является одним из решений уравнения (2.13). Однородное уравнение dftp +р2(р = 0 имеет решение (p(t) = d\eqst + І2Є грі} где d\, (І2 - произвольные постоянные. Следовательно, общим решением уравнения (2.13) является rp-ip\t\ ф(Л = dieipt + d2e-ipt + , (2.14) zpi где d\, d i - произвольные постоянные. Полученный результат, как мы покажем далее, позволяет найти решение системы уравнений (2.7-2.10) в явном виде.
Так как функция (2.14) является общим решением уравнения (2.13), мы можем записать общее решение уравнений для полей А\, А в виде где р = \/р Нетрудно убедиться, что из предположения об ограниченности Aj(xs,p) при любых значениях ж з следует, что р 0, поэтому мы рассмотрим только случай р 0. Поле А% находится непосредственно из уравнения (2.7): представим формулы (2.15 - 2.17) в компактной форме: A(x:hp) = di(p)eipX3 + Ф2 (р)е грх3 + Д(ж3 )/(р)е-іра:31. (2.20) где R(xs) диагональная матрица с элементами -йц(жз) = 22( 3) = 1, Дзз( з) = є(жз). Таким образом, воспользовавшись соотношениями (2.5), (2.20), мы получаем следующее представление решения уравнений Эйлера-Лагранжа для рассматриваемой модели
Здесь Т = R(—l) диагональная матрица с элементами Тц(жз) = 22( 3) = 1, Тзз(жз) = — 1. Первые слагаемые в подынтегральных выражениях в (2.21) описывают волны, движущиеся в отрицательном направлении третьей оси, а вторые - в положительном.
Для задачи рассеяния волны с волновым вектором к = (&і,&2,&з), падающей на плоскость из полупространства с отрицательной координатой ж з мы должны иметь в полупространстве Жз 0 только проходящую волну, движущуюся от плоскости Жз = 0 в положительном направлении третьей оси. Следовательно, в (2.21) мы должны положить d\ = 0. В результате получим (2тг)г 0(-ж3)23г в(ро) {Д. ег{рХ+рХз) + Ain Є1{РХ-РХА где векторные амплитуды А{п(р), Аг(р), Atr(p) падающей, отраженной и проходящей волн записываются в виде
Таким образом, векторная амплитуда отраженной волны получается из разности амплитуд падающей и проходящей волн изменением в ней знака у третьей компоненты. 2.6. Собственные моды Собственными модами мы назовем волны для которых амплитуды падающей и проходящей волн пропорциональны друг другу: Air = \А{п. [2.26) Для них из (2.22),(2.23) следует, что Аг = (А - 1)ТАт, сц = Л41}, а2 = Xd{22). (2.24) Воспользовавшись (2.18),(2.19), найдем соотношения, которым в силу двух последних равенств в (2.24), должны удовлетворять d2 , d2 Vi = (Ро Ръ -Wop Р\Ръ, -гроР2 + Pip), V2 = (Ро Ръ WoP Р1Р2, W0P2 +Pip), и 9ii 92 - произвольные функции отро, Pii V l- Используя эти обозначения, мы можем записать векторые амплитуды Л{п{р), Ar(p), Atr(p) собственных мод падающей, отраженной и проходяшей волн в следующем виде: М = 9J(PMP)I 4J) = 9ІК?Щ, Л? = 9j(p)KtrVj(p)i J = 1, 2 Здесь мы использовали обозначения (1) = га + а2 (2) = -га + а2 п) = 1 - га (2) = 1 + ш 1 + а2 г 1 + а2 tr 1 + а2 tr 1 + а2 Полученные нами характеристики собственных мод удовлетворяют соот л } л } тЛ?) г (1) тА2) г (1) ношениям У2 = , iQr = Щг , Кг — Кг .
Решение уравнений Эйлера-Лагранжа
Таким образом, для ядер Qi, Q2 уравнений (3.15) в интересующей нас задаче имеются явные аналитические выражения. В них входят параметры От, а2, v, к. Это дает возможность построения различных приближенных решений. В частности, не составляет большого труда расчет низших порядков теории возмущений по константам взаимодействия а\, а2. Уравнения (3.15) упрощаются в области больших и малых значений параметра А; (большие и малые поперечные импульсы). В случае малых скоростей-и С 1 мы имеем процесс в котором будет наблюдаться эффект Казимира с малыми поправками, при больших скоростях-и 1 ядра Qi, Q2 уравнений (3.15) будут определяться предельным значением у D( \= (lkA ( %) (к2 + Aq2)(k2 + Aa27r2q2)J которое, очевидно, существенно проще чем выражение для D(p,q,a) при промежуточных значениях скорости 0 v 1. Все это позволяет надеяться на интересные результаты при более детальном исследовании свойств решения уравнений (3.15) и (3.1). 4. Распространение электромагнитных волн в слоистой среде
Воспользовавшись ранее предложенной моделью [35], в этой главе рассмотрим распространение электромагнитных волн в трех слоях, заполненных веществом с магнитными восприимчивостями/ІІ , /І2, Дз и диэлектрическими проницаемостями є\, Є2-, з5 разделенных двумя параллельными материальными плоскостями х% = ±//2, чье взаимодействие Черна-Саймонса с электромагнитным полем характеризуется константами а\, а -Мы покажем, что у систем такого рода Холловская проводимость границ слоев Жз = ±//2 конечна и просто связана с их Черн-Саймоновскими проницаемостями 2і, 0,2 В данной главе используются обозначения о, и а для трех- и двух-компонентных массивов соответственно: о = (0:1,0:2,0:3), а = (0.1,0.2) Для них мы определим скалярное произведение и -операцию: а/3 = аф\ + о2/32 + Оз/Зз, ab = а\Ь\ + о2&2, о /3 = (оі/Зі,о2/32,оз/Зз), a b = (0161,0262) Введем следующие обозначения: 0, = ( (-//2 - ж3),0(//2 - Ы) , з - 1/2)), dl = (6(x, + l/2)}6(x,-l/2)). Здесь в (а) - функция Хевисайда, a 5(a) - дельта функция Дирака. Скалярное произведение 9i и /3 = (А?/ 2,Дз), d/ и с = (ci,C2) можно записать следующим образом ЛА,/32,/Зз) = ЛД) = / , V(chc2) = V(c) = cdl. Тогда получаем ЛЛЛї) = ТФ 7), /-(1-1-1) = 1 где s(/3) = (/З2 — /Зі, /Зз — /Зг)- Действие фотонного поля Аи взаимодействующего с двумерной материальной поверхностью, заданной уравнением Ф(х) = О, имеет вид 5(A) = -iG F + (A). (4.1) Здесь, G = {xz)F(lv при /І = 0 или v = О, G / = A _1(a)3)FMi/ при /І 0 или v ф О, F = З Д, - д , (Ж3)=ЛАЬ Л4(ж3) = Лм) Функционал действия S p(A) описывает взаимодействие 2-мерного материального объекта (дефекта) с фотонным полем. Рассмотрим случай, когда дефектом являются две параллельные плоскости ж з = /j, где 1 = (—//2, +1/2). Воспользовавшись обозначением &j(x) = х% — lj, мы можем записать действие дефекта в виде
Здесь, F - дуальный тензон поля F = e Fxp, eXfJ,vp - полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты, є0123 = 1. Действие Черна-Саймонса Scs( 0 для абелевого калибровочного поля Va (а = 0,1, 2) в трехмерном пространстве-времени является интегралом инвариантной 3-формы [45] где еа/3 - тензор Леви-Чивита (є012 = 1), \ константа. Воспользовавшись обозначениями Va = Аа\Хз=і., мы можем представить действие Sj(A) слоев дефекта в нашей 4-мерной модели в виде CSV і зі Абелевый и неабелевый Черн-Саймоновские лагранжианы используются во многих моделях [46]. Их можно применять для описания взаимодействия нерелятивистской частицы, движущейся в 2-мерном пространстве [47] и для построения калибровочноинвариантной теории 3-мерных массивных калибровочных полей [48-53]. Черн-Сайнмоновские взаимодействия изучались в моделях дробного эффекта Холла [54-57] и высокотемпературной сверхпроводимости [58-60].
В 4-мерной калибровочной теории поля исследовались модели с Черн-Саймонским действием csv "v = " , где kfj, - постоянный вектор [61]. Функционал 5QS(A,&) калибровочно инвариантен, но нарушает Лоренц симметрию. Он описывает эффект спонтанного нарушения Лоренц инвариантности в так называемой расширенной стандартной модели [62,63] и используется для модификации теории Максвелла [61].
Сравнив действия S, (У, х), »SQS(A, к) выше упомянутых моделей с членом Черна-Саймонса 5ф(А) in (4.1), можно заметить, что константа связи dj в Sj(A) является безразмерной, а параметр \жк имеют размерность массы.
Таким образом, в (2+1)-мерной теории Максвелла-Черна-Саймонса, фотон имеет "топологическую"массут = х [52,53]. Сила Казимира/ между параллельными прямыми в 3-мерной модели с Черн-Сайнмоновским действием S- (У, х) такая же, как в теории свободного скалярного поля с массой т. Она является притягивающей, и
Аналогичные результаты получаются в Максвелл-Прока-Черн-Сай-монс теории [64], и подобная нетривиальная зависимость Силы казимира от расстояния между двумя параллельными проводящими пластинами наблюдается в расширении стандартной модели [65,66]. С другой стороны, в 4-мерной теории кванового электромагнитного поля с Черн-Саймоновским действием дефекта Sj(A), зависимость Силы казимира i cas от расстояния / между двумя параллельными пластинами в вакууме описывается степенной функцией [35]:
Рассеяние частиц на плоскости жз = 0
В рамках подхода Симанзика мы рассмотрели задачу рассеяния электромагнитной волны на плоскости в модели со взаимодействием Черна-Саймонса. Она свелась к решению модифицированных уравнений Максвелла, содержащих безразмерную константу взаимодействия электромагнитного поля с плоскостью. Мы построили в явном виде две линейно независимые собственные моды задачи рассеяния. Их вектор-потенциалы для отраженной и проходящей волн получаются из вектор-потенциала падающей волны умножением на комплексные числа. Для плоской волны произвольной поляризации вектор потенциал, электрическое и магнитное поле отраженной и проходящей волны выражены в терминах вектор-потенциала падающей. Найдены коэффициенты прохождения и отражения. Они оказались не зависимыми от частоты падающей волны и угла падения. Нами был рассмотрен также частный случай распространения волн в ортогональном к плоскости направлении. У исчезающей при малой Черн-Саймоновской константе взаимодействия отраженной волны обнаружен поворот вектора поляризации на угол близкий 7г/2. При больших константах взаимодействия электромагнитной волны с плоскостью малой становится амплитуда проходящей волны, а ее вектор поляризации по отношению к вектору поляризации падающей волны поворачивается на угол близкий 7г/2. Эти эффекты аналогичны явлениям спонтанного нарушения симметрии, при которых малое воздействие на систему приводит к существенному изменению ее симметрийных свойств. Можно надеяться, что их нетрудно обнаружить экспериментально.
Как показано в диссертации, динамический эффект Казимира для двух параллельных плоскостей, движущихся в направлении друг к другу с постоянной скоростью, описывается интегральными уравнениями с ядрами, для которых получены явные аналитические выражения. Они содержат константы взаимодействия а\, а безмассового поля с плоскостями, скорость их относительного движения v, и поперечные импульсы pi, Р2-Интегральные уравнения позволяют построить различные приближенные решения. Они, в частности, могут применяться для расчета низших порядков теории возмущений по константам взаимодействия 2i, а - Модель с потенциалом Черна-Саймонса можно использовать для изучения электромагнитных динамических эффектов Казимира, аналогичных тем, которые рассмотрены в диссертации в рамках модели со скалярным полем. Хотя рассчеты для электромагнитного поля окажутся значительно более громоздкими, принципиально новых сложностей не ожидается.
В рамках подхода Симанзика рассмотрена задача распространения электромагнитных волн в слоистой среде. Для всех возможных волновых процессов получены явные выражения для амплитуд электромагнитного поля во всех трех слоях. Взаимодействие Черна-Саймонса на плоских границах слоев не меняет закон Снеллиуса, однако меняет коэффициенты отражения и прохождения, которые зависят от свойств материала поверхностей. Оно приводит к перемешиванию между параллельной и перпендикулярной компонентами (ТЕ- и ТМ- модами) электромагнитных волн и изменяет соотношение между частотой и волновым вектором для волн между двумя полностью отражающими плоскостями. Следовательно, такое взаимодействие также будет изменять силу Казимира. Поиск поверхностей и слоев, обладающих такими свойствами, представляет несомненный интерес.
В модели трехслойной среды, построенной в рамках подхода Симан-зика, электромагнитные поляризационные эффекты определяются Черн-Саймоновской добавкой к действию 5ф(А), сконцентрированной на плоскостях Жз = ±//2. Вне этих плоскостей модифицированные уравнения Максвелла (4.3) совпадают с обычными и описывают электромагнитные волны с обычным дисперсионным соотношением, а смешивание поляризаций определяется граничными условиями (4.18-4.20).
В Черн-Саймоновской модификации (3+1)-мерной теории Максвелла [61] с трансляционно инвариантным действием S (А}р), которое задается 4-вектором рм, решением классических уравнений являются волны с круговой поляризацией. В этой модели плоские волны с 4-вектором № подчиняются дисперсионному соотношению
Таким образом, скорость распространения волн зависит от их поляризации. Представленные для трехслойной среды в диссертации результаты могут быть проверены в оптических экспериментах. Их проведение дает возможность определить Черн-Саймоновскую проницаемость а(р). У нее имеется простой физический смысл. Сравнивая уравнения Эйлера-Лагранжа (4.3) с обычными неоднородными уравнениями Максвелла в среде, мы видим, что 2%,к = %J\ при і,к = 1,2 в (4.19-4.20) можно ин 81 терпретировать как компоненты тока ji = (ді, Д2, 0), возникающего при воздействии электрического ПОЛЯ Е{ = (Е{ 1, E 2i 0) в плоскости Жз = li- Из (4.19-4.20) следует, ji,k = &і,кіЕі,1 + 0 i,k2Eij2, где &i,kl = —Vi,lk, к,I = 1,2, 7;д2 = — 2aj. Таким образом, jj - это Холловский ток в плоскости ж з = /j, и сила взаимодействия Черна-Саймонса аДр) = 7j;2i/2 определяет Холловскую проводимость 7j;fc/. В системе СИ і,і2 = -ще1/{ha), где а - постоянная тонкой структуры и /г/е = i?x = 25812, 8...Г2. Заметим также, что (4.19), (4.20) могут быть рассмотрены как стандартные граничные условия, связывающие магнитное поле с Холловском током на границах слоев. Из (4.18) следует, что на них магнитная индукция В% в рассматриваемых процессах порождает скачок электрической индукции D%. Это можно интерпретировать как проявление магнетоэлектрических свойств границ.
В рамках использованного подхода, мы показали что двумерный материальный объект, взаимодействующий с электромагнитным полем, имеет ненулевую Холловскую проводимость, и, используя результаты наших расчетов, ее можно найти с помощью оптических экспериментов. Черн-Саймоновские константы, и, следовательно, Холловская проводимость границ определяют силу Казимира в трехслойной среде. Из [35] следует, что сила Казимира между двумя плоскостями в вакууме с одинаковой Холловской проводимостью 0"i2 является притягивающей, если 7і2І 2.065 и отталкивающая в противоположном случае.
В рамках подхода Симанзика в диссертации построена модель взаимодействия фермионного поля с материальной плоскостью. Функционал действия модели, включает обычное спинорное действие Дирака и дополнительный, сосредоточенный на плоскости вклад дефекта. Действие содержит три безразмерных параметра, характеризующие свойства материала плоскости. В модели проведены расчеты характеристик процессов рассеяния дираковской частицы на плоскости, а также исследованы свойства локализованных в ее окрестности состояний.
Показано, что локализованные спинорные частицы при определенных значениях параметров модели становятся безмассовыми. Движением таких частиц объясняются многие эффекты в графене [10]. Кроме того, параметры модели могут быть выбраны таким образом, что импульсыр\, р , ро локализованных состояний удовлетворяют соотношению pi + Р2 Ро 0, и соответствующий им ток параллельный плоскости дефекта не может быть равен нулю. Такие состояния подобны сверхпроводящим.
Модель и полученные на ее основе результаты можно использовать для теоретическоко описания процессов взаимодействия электронов с двумерными материалами (графен, тонкие пленки, напыления, резкие границы твердого тела). Простые модификации модели позволяют учесть эффекты воздействия внешних электромагнитных полей.