Введение к работе
Актуальность. В связи с бурным развитием нанотехнологий совершенно естественно возникает потребность создания качественных решаемых моделей, предоставляющих необходимые сведения о некотором объекте, требуемые в процессе создания этого самого объекта в реальном мире. В том числе, это касается спектральных и транспортных свойств объектов исследования. Математическая модель, являясь, в определённом смысле, упрощением реального объекта, тем не менее отражает его качественные характеристики и позволяет «удешевить» процесс создания объекта с требуемыми свойствами.
Открытие Х. Крото, Дж. Хисом, С. О’Брайеном, Р. Кёрлом и Р. Смолли в 1985 году фуллерена стало настоящим прорывом, затрагивающим различные области науки, в связи с интереснейшими свойствами, которыми обладают эти углеродные соединения и их производные. Наряду с фуллеренами следует отметить нанотрубки, графен, квантовые провода и точки — все те новые объекты, которые появились в связи с новым пониманием природы вещей. Среди таких новых структур можно выделить так называемый наностручок — нантрубку, заполненную молекулами фуллерена, как гороховый стручок — горошинами. Модель, построенная в настоящей работе, может быть применена для описания подобных структур. В то же время, она объединяет идеи моделей точечных отверстий и моделей квантовых графов цепочечного типа, которые активно изучаются последнее время. Интерес к моделям такого типа вызван не только практическими соображениями, ведь рассмотрение подобных задач очень привлекательно с теоретической точки зрения, так как затрагивает фундаментальные вопросы теории операторов.
Объектом исследования являются спектральные свойства наноструктур цепочечного типа с элементами различных размерностей. Предмет исследования — математические модели, описывающие цепочечные наноструктуры различных конфигураций.
Цель диссертационного исследования — описание непрерывного спектра и связанных состояний для цепочечных наноструктур типа гибридных многообразий.
Для достижения этой цели в диссертации:
-
Построено решение спектральной задачи для изогнутой цепочки слабо связанных шарообразных резонаторов при наличии двух типов соединения в точках сочленения резонаторов;
-
Построено решение спектральной задачи для зигзагообразной цепочки слабо связанных шарообразных резонаторов, допускающей излом, и проанализирована зависимость структуры спектра от угла, задающего зигзаг;
-
Построено решение спектральной задачи для разветвлённой цепочки слабо связанных шарообразных резонаторов при наличии различных типов соединения в точках сочленения резонаторов;
-
Описана модель цепочки слабо связанных резонаторов, подверженных влиянию внешнего магнитного поля, направленного вдоль перпендикуляра к плоскости, содержащей центры формирующих цепочки резонаторов;
-
Описана математическая модель для цепочек сфер, соединённых проводами, и изучена структура спектра в зависимости от геометрических параметров системы (на примере возмущений прямой цепочки типа изгиба и разветвления) в релятивистском случае.
Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в работе результаты затрагивают фундаментальные вопросы теории самосопряжённых операторов, активно обсуждаемые в связи с решаемыми моделями квантовой механики. Работа имеет также и практическую значимость, так как в ней рассматриваются системы, подобные тем, что встречаются в относительно недавних экспериментальных работах (например, нансотручок).
Методы исследования. Для достижения поставленной цели в настоящем диссертационном исследовании применялись методы теории операторов, уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений, методы решения алгебраических систем. При численном моделировании были использованы методы решения алгебраических уравнений, доступных в пакете Wolfram Mathematica, а также метод конечных элементов, адаптированный для отыскания необходимых значений функций Грина, реализованный в COMSOL Multiphysics.
Научная новизна. В работе была построена математическая модель для бесконечных цепочек слабо связанных шарообразных резонаторов и для бесконечного числа сфер, связанных проводами одинаковой длины. В рамках данной модели были получены новые теоретические результаты:
Полностью описана структура спектра для цепочек, возмущённых по типу излома и разветвления, доказано существование точечного спектра модельного гамильтониана при наличии указанного возмущения;
Проанализирована зависимость картины непрерывного спектра от параметров элементарной ячейки цепочки слабо связанных шарообразных резонаторов на примере зигзагообразной цепочки;
Проанализировано влияние наведения магнитного поля, направленного перпендикулярно плоскости, на которую может быть уложена цепочка резонаторов;
Описана структура спектра для изогнутой и разветвлённой цепочек связанных проводами сфер.
Степень достоверности полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических методов, подробным изложением всех математических выкладок. Результаты работы находятся в соответствии с результатами в исследовании спектральных свойств цепочечных структур, полученными другими авторами.
Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования были представлены на международных и всероссийских научных конференциях: Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems (St. Petersburg, 12.03.2013–15.03.2013, 14.11.2016–15.11.2016), Days on Diffraction (St. Petersburg, Petrodvorets, 27.05.2013–31.05.2013, 26.05.2014–30.05.2014, 19.06.2017–23.06.2017, 04.06.2018–08.06.2018), QMATH 12 — Mathematical Results in Quantum Mechanics (Berlin, 10.09.2013–13.09.2013), 1st International School and Conference "Saint Petersburg OPEN 2014"(St. Petersburg, 25.03.2014–27.03.2014), IX International Conference of Young Scientists and Specialists "Optics-2015"(St. Petersburg, 12.10.2015–16.10.2015), Insubria Summer School in Mathematical Physics "Spectral and scattering theory: from selfadjoint operators to boundary value problems"(Como, 18.09.2017–22.09.2017), Всероссийский конгресс молодых учёных (Санкт-Петербург, 08.04.2012–11.04.2012, 09.04.2013–12.04.2013, 08.04.2014–11.04.2014, 12.04.2016– 15.04.2016, 18.04.2017–21.04.2017, 17.04.2018–20.04.2018).
Положения, выносимые на защиту:
-
Оператор Шрёдингера для изломанной цепочки связанных резонаторов имеет непустой дискретный спектр, зависящий от угла излома и характеристик соединения нанорезонато-ров, который рассчитывается в рамках построенной модели, основанной на подходе фон Неймана в теории самосопряжённых расширений операторов;
-
Непрерывный спектр оператора Шрёдингера определяется параметрами элементарной ячейки периодической цепочки, в частности геометрическими характеристиками зигзагообразной цепочки;
-
Оператор Шрёдингера для Y-разветвлённой цепочки связанных нанорезонаторов имеет непустой дискретный спектр, определяемый углами разветвления и характеристиками связи резонаторов;
-
Для оператора Шрёдингера с магнитным полем в изломанной и разветвлённой цепочках резонаторов непрерывный спектр смещается и искажается в зависимости от магнитного поля. Положение уровня дискретного спектра в лакунах непрерывного определяется величиной магнитного поля и параметрами соединения нанорезонаторов и рассчитываются в рамках построенной математической модели;
-
Дискретный спектр для оператора Дирака в изломанной и разветвлённой цепочках резонаторов зависит от геометрических характеристик системы и определяется дисперсионным уравнением, полученным в рамках построенной модели, основанной на подходе М.Г. Крейна в теории самосопряжённых расширений операторов.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 101 странице, состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений; содержит 36 рисунков. Список литературы содержит 123 наименования.