Содержание к диссертации
Введение
1 Вихревые структуры в газах и жидкостях 13
1.1 История исследования вихревых структур и турбулентности 13
1.2 Вихревые структуры в атмосфере 17
1.3 Вихревые структуры и турбулентность
1.3.1 Определение и свойства турбулентности 19
1.3.2 Вихревые структуры в турбулентности. Каскадный механизм передачи энергии 22
1.4 Аэроакустика 25
Выводы к Главе 1 29
2 Основные подходы к решению уравнений Навье-Стокса 30
2.1 Прямое численное моделирование (DNS) 31
2.2 Решение осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (RANS) 33
2.3 Моделирование крупных вихрей (LES) 35
Выводы к Главе 2 40
3 Цилиндрический вихрь в вязком теплопроводном газе 41
3.1 Постановка задачи 41
3.2 Нестационарная система уравнений Навье-Стокса и ее преобразования 42
Выводы к Главе 3 45
4 Решение нестационарной системы уравнений Навье-Стокса 46
4.1 Решение однородных параболических уравнений, применение
разложений по малому параметру 46
4.2 Решение неоднородной параболической подсистемы, применение преобразования Фурье 48
4.3 Сетки Коробова и их применение
4.3.1 Теоретико-числовые подходы к решению задач приближенного анализа 51
4.3.2 Оптимальные коэффициенты 54
4.3.3 Применение теоретико-числовых сеток для решения интегральных уравнений и построения интерполяционных формул 55
4.3.4 Сетки Коробова применительно к задаче диссертации 57
4.4 Радиальное распределение плотности 58
Выводы к Главе 4 62
5 Акустическое излучение одиночного цилиндра 63
5.1 Акустическое излучение внутри первоначального цилиндра 63
5.2 Акустическое излучение вне первоначального цилиндра 66
5.3 Высокочастотные колебания 73
Выводы к Главе 5 76
6 Достоверность результатов 77
6.1 Погрешность вычислений 77
6.1.1 Оценка погрешности сверху 77
6.1.2 Сравнение результатов вычислений для различных параметров сеток Коробова 79
6.2 Сравнение с экспериментальными данными 81
6.2.1 Атмосферные частоты 82
6.2.2 Акустические колебания кольцевого вихря 83
6.2.3 Акустическое излучение струй 84 Выводы к Главе 6 86
Заключение 87
Приложение 89
Литература 90
- Вихревые структуры и турбулентность
- Решение осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (RANS)
- Нестационарная система уравнений Навье-Стокса и ее преобразования
- Сетки Коробова и их применение
Введение к работе
Актуальность темы
Самой распространенной формой движения жидкостей и газов является вихревое течение. Наличие вихревых образований (вихревых колец и вихревых цилиндров) можно считать характерной чертой любого турбулентного потока.
Вихревые структуры рассматриваются в работах большинства классиков аэро- и гидромеханики [1-5]. Судя по значительному количеству публикаций [6-9], внимание к исследованию вихревых структур в жидкостях и газах не ослабевает и в настоящее время.
Несмотря на успехи в решении некоторых частных проблем (исследования отрывных течений, устойчивости и бифуркаций отдельных случаев глобальных течений, динамики вихревых структур), многие фундаментальные проблемы описания вихревых структур еще далеки от полного решения.
Актуальной проблемой является эволюция нестационарных структур. Начало теоретическому изучению шума газового потока положил Рэлей своей классической монографией [10]. В этой книге были заложены основы многих современных направлений акустики и прежде всего акустики потоков. С тех пор наука, лежащая на стыке классической акустики и аэродинамики, получила единое название - аэроакустика и была существенно развита трудами как отечественных, так и зарубежных ученых [11-13].
Тем не менее, в настоящий момент акустическое излучение рассматривается в основном для невязкой жидкости и при взаимодействии вихрей и вихрь-акустическом взаимодействии. Так, частота акустического излучения вихревого кольца в невязкой несжимаемой и слабо сжимаемой жидкости определена в работах [14-15], частота акустического излучения одиночного цилиндрического вихря в несжимаемой невязкой жидкости в [9, 16].
Но, безусловно, возникновение вихревого течения тесно связано с вязкостью жидкой или газообразной среды. Наличие вязкости отвечает за возникновение касательных напряжений, а касательные напряжения порождают завихренность. Таким образом, вихревые структуры можно рассматривать как существенно нелинейные объекты и описывать их на основе учета диссипации в потоке за счет вязкости и теплопроводности.
В диссертационной работе рассмотрена эволюция цилиндрического вихря в вязком теплопроводном газе. Исследование выполнено на основе нестационарных уравнений
Навье-Стокса. Как известно, до сих пор не доказано существование решения этих уравнений в общем случае [17]. В диссертации построено осциллирующее решение нестационарных уравнений Навье-Стокса в предположении малости начальной завихренности.
Разработанный в диссертационной работе метод с математической точки зрения сводится к вычислению кратных интегралов и дает возможность учесть вязкость и сжимаемость среды. Данный метод может быть полезен для описания характерных свойств турбулентных течений, а также решения задач аэроакустики и моделирования вихревых образований в атмосфере.
Научная новизна
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
-
Построена новая процедура решения системы уравнений Навье-Стокса для вязкого теплопроводного газа, позволяющая определить осциллирующие решения и решить задачу об акустических колебаниях кругового цилиндра, опирающегося на плоскость, в приближении малой начальной завихренности.
-
Благодаря применению разработанной процедуры впервые определен акустический спектр излучения цилиндрического вихря на плоскости в сжимаемом вязком
теплопроводном газе. Показано, что акустические колебания возникают за счет диффузии завихренности.
-
Впервые описана эволюция плотности во времени и акустический спектр вихревого цилиндра для различных точек наблюдения, а также для геометрически подобных случаев.
-
Впервые показано, что акустический спектр вихревого цилиндра в сжимаемом вязком теплопроводном газе имеет две высокие и две низкие собственные частоты. Значения собственных частот не зависят от величины начальной завихренности, а зависят лишь от начальных геометрических параметров задачи и экспоненциально уменьшаются при увеличении начального радиуса цилиндра.
Объект исследования
В диссертационной работе разработана новая процедура решения системы уравнений Навье-Стокса. Основным объектом исследования является одиночный цилиндрический вихрь, опирающийся на плоскость и завихренность которого в начальный момент времени
мала. Описывается эволюция параметров такого вихря, сопровождающаяся излучением звука.
Метод исследования
Методом исследования в диссертационной работе является решение полной нестационарной системы уравнений Навье-Стокса путем разложения неизвестных функций по степеням малого параметра (начальная завихренность) с последующим применением преобразования Фурье и вычислением кратных интегралов с использованием сеток Коробова.
Цели и задачи работы
Основными целями данной диссертационной работы являются:
Разработка метода решения уравнений Навье-Стокса, позволяющего определять осциллирующие решения и описывать акустическое излучение одиночных вихревых структур в приближении малой начальной завихренности.
Применение разработанного метода для случая цилиндрического вихря, исследование акустического спектра колебаний вихревого цилиндра на плоскости при учете
сжимаемости, вязкости и теплопроводности среды, а также описание эволюции плотности среды для различных параметров задачи.
Определение характера зависимости собственных частот акустического излучения цилиндрического вихря от геометрических параметров задачи и величины начальной завихренности.
Проверка сходимости разработанного метода и достоверности полученных результатов. Сравнение теоретических результатов для цилиндрического вихря в сжимаемом вязком теплопроводном газе с приведенными в литературе экспериментальными данными для вихревых колец, атмосферных колебаний и акустического излучения турбулентных струй.
Достоверность научных положений
Все результаты данной работы получены на основе уравнений Навье-Стокса в приближении малой начальной завихренности. Применение преобразования Фурье к системе уравнений, а также сеток Коробова для вычисления кратных интегралов является известным и опробованным подходом. Кроме того, в Главе 6 показано, что теоретические
результаты, полученные в диссертационной работе, удовлетворительно согласуются с представленными в литературе экспериментальными данными и существенно не меняются при использовании более грубой сетки. Таким образом, научные положения данной работы являются достоверными.
Теоретическая и практическая значимость работы
Разработанный в диссертации метод может быть применен для описания акустического излучения одиночных вихревых структур (в частности, цилиндров) в сжимаемом вязком теплопроводном газе. Результаты применения метода к цилиндрическому вихрю представляют интерес для задач аэроакустики, моделирования атмосферных вихрей, а также описания характеристик турбулентных течений.
Вихревые структуры и турбулентность
История развития аэро- и гидродинамики, а также исследований вихревых структур насчитывает не одно столетие. Можно считать, что первые попытки теоретического. описания закономерностей. движения газов. и жидкостей относятся к XVII веку. В это время в трудах. Галилея и Ньютона... были получены основные. законы. механики...).
В XVIII в. Эйлер сформулировал.. уравнения. динамики. идеальной. жидкости. (уравнения. Эйлера)…ю.. Уравнения динамики вязкой теплопроводной жидкости (уравнения Навье-Стокса) впервые были получены Навье (1827 г.) и Пуассоном (1831 г.) в предположении о действии межмолекулярных сил. Впоследствии Сен-Венан и Стокс (1843 г.) вывели эти же уравнения, не применяя подобного рода гипотез, а предполагая, что нормальные напряжения и напряжения сдвига представляют собой линейные функции скоростей деформаций (обобщенная гипотеза Ньютона). Кроме того, для случая, когда учитывается сжимаемость жидкости или газа, было введено предположение, что среднее давление не зависит от скорости объемного расширения (т.е. объемная вязкость равна нулю).
Тогда же, в первой половине XIX века, было замечено существование ламинарных и турбулентных режимов течения, но начало научных исследований турбулентности обычно связывают с работами Рейнольдса 1883-1895 гг. Рейнольдс сформулировал общую методологию описания турбулентных течений, согласно которой мгновенные значения неизвестных величин (температура, плотность, компоненты скорости, давление) могут быть представлены как сумма средней и пульсационной составляющих. Метод Рейнольдса внес огромный вклад в становление и развитие турбулентной теории. Решение осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (RANS) применяется до настоящего времени [17-19]. Тем не менее, так как уравнения Рейнольдса, не замкнуты, такой подход не является математически строгим. Уравнения Рейнольдса включают компоненты тензора конвективных напряжений (другое название – турбулентные или рейнольдсовы напряжения). Это отличает их от уравнений динамики вязкой жидкости, которые содержат тензор вязких напряжений (для ньютоновских сред его можно выразить через тензор скоростей деформаций). Более подробному описанию RANS посвящен раздел 2.2 настоящей диссертации.
Термин «турбулентность» был введен Кельвином. В дальнейшем турбулентностью занимались многие выдающиеся ученые, такие как Фридман, Келлер, Ричардсон, Прандтль, Карман, Тейлор, Колмогоров, Обухов, Хопф, Крейчнан, Гайзенберг, Онзагер и др.
В 1949 году, в неопубликованном докладе к американскому отделению Naval Research, Дж. Нейман отметил: «Важность описания турбулентности не требует доказательств. Турбулентность, несомненно, представляет собой центральный принцип для многих разделов физики и следует ожидать, что всестороннее понимание ее свойств приведет к успеху в различных областях науки». Турбулентные течения играют определяющую роль во множестве процессов, начиная от образования галактик и заканчивая циркуляцией крови в организме человека. За многолетнюю историю изучения турбулентности предложены десятки различных подходов, почти всегда отражающие наиболее перспективные направления математики и физики соответствующего периода времени. И, тем не менее, проблема адекватного описания турбулентности остается до сих пор одной из самых притягательных и интригующих проблем в классической физике.
В середине 2000 года на сайте математического института Клэя появилась статья под названием «Проблемы тысячелетия» ("Millennium Problems"). В ней выделены семь проблем, названных проблемами нового тысячелетия. Каждой из них посвящен свой раздел. Четвертый раздел имеет название «Уравнение Навье-Стокса» [20]. Его автор Чарльз Л. Фефферман (Принстонский университет, США) ограничивается двумя простейшими задачами для уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости: задачей Коши и задачей с периодическими по пространственным переменным краевыми условиями. В них жидкость заполняет все пространство. Никаких препятствий (тел) на ее пути нет.
Начало. исследованиям. вихрей. и вихревой. динамики. как самостоятельному. направлению. аэро- и гидродинамики положила. работа Гельмгольца. [16], в которой. были. сформулированы. теоремы. о завихренности.. Чуть позже Тэйт перевел данную работу с немецкого языка на английский [21].
Примерно в те же годы Кельвин разработал основы описания вихревых структур в несжимаемой жидкости [22-25]. Он. определил.. скорость.. распространения.. вихревого. кольца. в. однородной безграничной. жидкости [23] и описал линейные колебания на поверхности цилиндрического вихря [24]. Проведя. аналогию. между. уравнениями. гидродинамики и электродинамики, Кельвин выдвинул гипотезу вихревого строения вещества [25]. Безусловно, данная теория не отвечает современным представлениям., но факт. ее. существования. указывает. на важное. значение, уделявшееся вихревым структурам. Вихревая динамика интенсивно развивалась в конце XIX – первой половине XX веков. Серия важных аналитических результатов получена именно в это время: эллиптический вихрь Кирхгофа [26], вихри Хилла [27], вихри Чаплыгина-Ламба [28, 29], тороидальный вихрь Максвелла, эллипсоидальные фигуры равновесия [29], интегрируемые случаи движения точечных вихрей [2, 3, 29], неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, гипотеза Жуковского. Тем не менее, вскоре период расцвета сменился спадом интереса к вихревому движению и вихревым структурам. В 60-х- 70-х годах XX века основными задачами вихревой динамики стали расчеты квантованных вихрей в сверхтекучих жидкостях.
Но в конце 70-х годов были открыты когерентные структуры в турбулентности, благодаря чему интерес к вихревой динамике вспыхнул с новой силой. Авторы работы [30], исследуя турбулентный слой смешения, обнаружили крупномасштабные вихревые движения поперек потока, преобладающие в этом слое. Движения рождались в области перехода и не исчезали при возникновении мелкомасштабной турбулентности. Наблюдалось слияние двух близлежащих вихрей в процессе взаимного вращения в единый вихрь большего размера (т.н. спаривание вихрей). Схожее поведение вихрей в ламинарном свободном сдвиговом слое было обнаружено авторами [31]. Ранее на существование высокорегуляризованных вихревых движений на нелинейной стадии развития потока указывал Фреймут [32]. Затем организованные вихревые структуры были открыты в струях, следах, внутри пограничных слоев [33-35]. Эта серия открытий вызвала новую вспышку интереса к вихревым структурам, их динамике и динамике вихревых ансамблей, не ослабевающую до сих пор.
Действительно, вихревые структуры очень разнообразны и имеют множество приложений: вихревые образования в атмосфере [36-39] и океане[40-44] (т.о., вихревой подход является актуальным для изучения природных процессов); точечные вихри как элементарные структуры течения (в ряде численных работ по механике жидкости [45-50]); вихревые трубки и вихревые кольца как элементарные структуры турбулентного течения.
Более подробно значение вихревых структур в атмосфере и турбулентности будет рассмотрено в разделе 1.3 настоящей диссертации.
Несмотря на то, что в диссертационной работе вихревые структуры рассматриваются на основе уравнений Навье-Стокса, нельзя не отметить существенный вклад в развитие вихревой динамики работ, посвященным точным решениям уравнений Эйлера. На основе уравнений Эйлера рассматривалось движение конечной системы точечных вихрей [49,50], 3D вихревых особенностей [51,52], вихревых диполей [53] и вихревых квадруполей [54]. Кроме того, найдены нестационарные решения уравнений Эйлера, описывающие динамику вихревых нитей [55], эллиптические вихри Мура и Сэффмена [56] и Киды [57], описана теория движения турбулентного вихревого кольца [58,59].
Решение осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (RANS)
Использование осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса требует намного меньших, чем DNS, вычислительных ресурсов. В рамках RANS моделируется вклад в среднее движение всех масштабов турбулентности, за счет чего данный подход успешно применяется в практических расчетах.
Решение осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса, замкнутых про помощи той или иной полуэмпирической модели турбулентности, оказывается неэффективным при моделировании турбулентных течений с нестационарными крупномасштабными вихревыми структурами, свойства которых зависят от конкретных граничных условий и геометрических характеристик течения.
Хотя возможности усовершенствования полуэмпирических моделей турбулентности еще не до конца исчерпаны, создание универсальной полуэмпирической модели турбулентности, пригодной для расчета всех или, по крайней мере, большинства турбулентных течений представляется неразрешимой задачей. Возросшие возможности вычислительной техники заставили изменить оценку возможностей классической теории турбулентности и стимулировали поиск и разработку новых подходов к моделированию турбулентных течений. LES можно назвать компромиссным вариантом между DNS и RANS. Отсутствие универсальной модели турбулентности, пригодной для расчета большинства турбулентных течений, привело к смещению акцентов в исследованиях, связанных с моделированием турбулентности. Возросшие возможности вычислительной техники стимулировали поиск и применение более строгих и универсальных подходов, чем RANS и менее дорогостоящих в вычислительном плане, чем DNS. Подход LES ограничивается исследованием течений в масштабах, превышающих некоторую заданную величину (ширину фильтра). Таким образом, в данном методе осуществляется решение фильтрованных по пространству уравнений Навье-Стокса и разрешается движение только крупных вихрей.
Метод LES базируется на двух основных предположениях:
1. Существует возможность разделить поле течения на движение крупных и мелких вихрей. Рассчитываются крупные вихри, на которые напрямую воздействуют граничные условия и которые несут максимум напряжений Рейнольдса. Считается, что мелкомасштабная турбулентность изотропна и имеет универсальные характеристики. Потому она менее критична и лучше поддается моделированию.
2. Существует возможность аппроксимации нелинейных взаимодействий крупных и мелких вихрей исключительно по крупным вихрям, благодаря использованию подсеточных моделей. Таким образом, справедливой считается гипотеза о статистической независимости крупных и мелких вихрей [101]. Спектральный интервал энергии и интервал диссипации разнесены по частотам, что подтверждает приемлемость гипотезы о статистической независимости крупно- и мелкомасштабных вихревых структур.
При помощи применения операции фильтрации мелкомасштабное движение исключается из уравнений Навье-Стокса (Рис. 4) и движение среды моделируется с использованием подсеточных моделей. Рис. 4. Исключение мелкомасштабных пульсаций при помощи фильтрации.
Среди наиболее популярных и часто используемых фильтрующих функций можно отметить фильтры Гаусса и Фурье, а также коробочный фильтр. При проведении расчетов на основе метода конечных объемов фильтрация осуществляется за счет интегрирования дифференциальных уравнений по контрольным объемам разностной сетки.
DNS рассматривает полный диапазон размеров вихрей. Для LES наиболее важными являются крупные вихри, соответствующие малым волновым числам. При этом подсеточные модели не оказывают критического влияния на результаты в целом [102,103]. Статистика крупных вихрей обычно не чувствительна к подсеточному моделированию за исключением пристеночной области. Представленные подсеточные модели, помимо средних характеристик потока (первые и вторые моменты), удовлетворительно предсказывают, также флуктуации интегральных характеристик (например, коэффициентов сопротивления и подъемной силы) и моменты более высокого порядка [104]. Крупномасштабное движение рассчитывается путем интегрирования фильтрованных уравнений Навье-Стокса, которые формально записываются в том же виде, что и уравнения Рейнольдса. С ростом числа Рейнольдса влияние подсеточного моделирования становится более существенным[98].
Нестационарная система уравнений Навье-Стокса и ее преобразования
Теоретико-числовые подходы к решению задач приближенного анализа рассматриваются в работе [110]. Наибольшее внимание уделяется вопросу о приближенном вычислении кратных интегралов. Впервые теоретико-числовые методы были применены к вычислению интегралов произвольной кратности в статье [111] для периодических функций /( ,...,д:5), из классов Щ при а 2 . Показано, что такие функции можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Фурье f(x1,...,xs) = 2 C(n\,...,ms)e т, ,...,т=-со 2xl(m1x1+....+msxs) при этом для коэффициентов Фурье \С(щ,...,тх)\ справедлива оценка \С(щ,...,т)\ , (13) где mv =max(l,mv) и константа С не зависит от щ,...,т&. Погрешность квадратурной формулы і і [..\f(x1,...,xs)(fa1...(fas = pkf[1(k, ,...,XKN) \-R, построенной с помощью о о сетки Мк = ( (к,N),...,%s(к,N)) (k = \,2,...,N) при рк=— может быть выражена оценкой И С f \5(щ,...,т,)\ Sim,,... ) = 2y l№..+, ( )) _ (15) k=\ Выражение (14) устанавливает связь между оценкой погрешности квадратурной формулы, построенной с помощью сетки Мк =(g1(k,N),...,l(k,N)) (k = \,2,-,N) и оценками тригонометрических сумм Sim ,... . Оценки тригонометрических сумм позволяют использовать теоретико-числовые методы для построения квадратурных формул. Так, для сеток вида М, =({—},...,{—}) (k = l,2,...,N), к NN IV IV где {—} - дробная доля величины — (так называемые, неравномерные N N сетки), в неравенстве (14) возникают рациональные тригонометрические суммы ЛГ 2л1тік+...+т 8(щ,...,тх) = Хе N (16) к=\ Для сумм (16) при простых N и щ,...,т, не делящихся одновременно на N справедливы оценки, имеющие порядок У/N , что позволяет оценить погрешность квадратурных формул с неравномерными сетками: R = 0($=). (17) Периодическая функция /( ,..., ) принадлежит классу Е% если при а 1 для ее коэффициентов Фурье имеет место оценка (13): \С(щ,...,т3)\ Результаты, получающиеся с помощью неравномерных сеток, справедливы не только для периодических функций / еН", где а 2, но и для более широкого класса функций / є Eas , с любым а 1. Оценка (17) показывает, что точность квадратурных формул с неравномерными сетками не уменьшается при возрастании числа измерений (в отличие от точности классических квадратурных формул, дающих оценку К недостаткам квадратурных формул с неравномерными сетками (как и формул, полученных с помощью методов Монте-Карло), можно отнести то, что они не реагируют на гладкость подынтегральной функции. Данная проблема решается для свободных квадратурных формул с параллелепипедальными сетками [112]. Параллелепипедальные сетки имеют вид: М. =({&},...,{?}) (к = \,2,-,Ю, (18) к NN где а,,..., - оптимальные коэффициенты (определенным образом выбранные целые числа). Погрешность квадратурных формул с параллелепипедальными сетками на классе периодических функций / є н" при любом а 1 можно оценить: R = o№±), (19) где у не зависит от N. Точность этой оценки увеличивается с увеличением параметра а (характеризует гладкость функций из класса н"). Оценка (19) не допускает существования улучшения на классе н" и на более гладком классе D". Но данная формула может быть использована для функций малой гладкости из классов Е]+а с s 0, а также (см. [113]) при интегрировании функций, удовлетворяющих условию Липшица при а 0.
В статье [114] показано, что теоретико-числовые методы приближенного интегрирования применимы для непериодических функций. Но в таком случае необходима предварительная периодизация задачи (замена искомого интеграла совпадающим с ним интегралом от периодической функции). Определяющей характерной чертой квадратурных формул с параллелепипедальными сетками является то, что для случая конечных тригонометрических полиномов их точность имеет вид: Р(х1,...,х,)= С{щ,...,тУхКтл+--+тл, (20) ml,...,ms CsN1 т.о. для любого полинома вида (20) с коэффициентами С{щ,...,ть) при малом s 0 и C0=C0(s) выполняется равенство: 11 Л N 1г 1г \..]P{xl,...,xs)dxv..dxs=—YjP{{ },...,{ }) . 00 N k=l N N 4.3.2 Оптимальные коэффициенты Оптимальные коэффициенты \,...,as, на которых строятся параллелепипедальные сетки (18) связаны с задачами теории диофантовых приближений и с вопросами равномерного распределения дробных долей. Пусть n,-,rs – произвольные действительные числа из интервала [ОД]. Рассмотрим область: 0 xl yl,...,0 xs ys (21) и обозначим через TN(yY,...,yb) число точек сетки М =({ Ь ...,{—}) (k = l,2,...,N), к NN лежащих в ней. В работе [14] сформулирована Теорема 22, согласно которой, для того, чтобы целые n,-,rs были оптимальными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство TN(y1,...,ys) = y1...ysN + R0, (22) где RQ = 0(lr/ N) и /? не зависит от N. То есть, узлы параллелепипедальных сеток расположены таким образом, что количество их попаданий в область (21) асимптотически стремится к произведению объема области на число всех точек сетки. Качество оценки остаточного члена из равенства (22), напрямую влияет на равномерность распределения в кубе точек сетки Mk . При этом, чем равномернее расположены точки сеток, тем точнее квадратурные формулы, построенные с их помощью. При таком выборе целых a1...as лучшей оценкой остаточного члена R0 из (22) является некоторая степень ln N . Таким образом, именно для оптимальных коэффициентов достигаются лучшие оценки остаточного члена.
Сетки Коробова и их применение
Истечение газовых струй в атмосферу сопровождается излучением шума с поверхности струи. Наблюдаемый шум струи – результат действия целого ряда механизмов, относительный вклад которых может быть различен при разных условиях.
Авторы [121] провели работу по изучению амплитудно-частотных характеристик плоских, осесимметричных и кольцевых струй.
В работе установлено, что при истечении сверхзвуковых струй в затопленное пространство или дозвуковой поток в спектре их шума при определенных условиях обнаруживаются узкополосные составляющие значительной интенсивности, получившие название «дискретных». Интенсивность дискретного акустического излучения сверхзвуковой струи может быть весьма велика и уровень звукового давления, соответствующего этому излучению, может превосходить суммарный уровень широкополосного шума струи. Данные фото- и видеосъемки показывают, что излучающая дискретный тон сверхзвуковая струя колеблется с некоторой определенной частотой, а по окружающему струю пространству в направлении к соплу распространяются акустические волны. Частота дискретной составляющей в спектре шума струи, а также частоты пульсаций струи и излученных во внешнюю среду волн совпадают. Это говорит о том, что источник излучения неподвижен в пространстве, так как отсутствует эффект Доплера. Во многих экспериментах помимо основной частоты излучения наблюдались и высшие гармоники.
Дискретное акустическое излучение приводит к изменению газодинамических характеристик течения в струе. Основные особенности дискретного излучения струи: волнообразная форма границы струи, говорящая об изгибном характере ее колебаний; акустические волны, распространяющиеся по внешней среде и находящиеся в противофазе на противоположных сторонах струи; интенсивное «распушение» струи в области ее распада. Из эксперимента видно, что звук дискретной частоты излучается не только плоскими и осесимметричными, но и кольцевыми струями. Кроме того, акустические излучение струй характеризуется числом Струхаля (Sh=fL/v, здесь L и v - характерный размер и характерная скорость, соответственно, f - частота), лежащим в диапазоне Sh 0.1-0.25 . Это хорошо совпадает с числами Струхаля, полученными в диссертации (0.01-0.7). Выводы к Главе 6
В Главе 6 приведен подробный анализ достоверности результатов диссертационной работы. Произведена оценка сверху для погрешности вычислений, основанная на Теореме 24 [110] и осуществлено сравнение результатов для различных сеток Коробова. Показано, что спектр колебаний для сетки Коробова с N =1000003 практически полностью совпадает со спектром при N=2000003, за исключение того, что при меньшем числе N спектр является более зашумленным. Собственные частоты совпадают в обоих случая, что позволяет говорить о сходимости метода.
Кроме того, результаты сопоставлены с экспериментальными данными, приведенными в литературе: экспериментально наблюдаемыми частотами вихревых колец, частотами турбулентных атмосферных колебаний и числами Струхаля для сверхзвуковых струй. Показано, что теоретически полученные в диссертации результаты хорошо совпадают с экспериментальными данными, представленными в литературе [14, 120, 121]. Заключение
В диссертационной работе определены осциллирующие решения полной нестационарной системы уравнений Навье-Стокса в приближении малой начальной завихренности, впервые на их основе описана генерация звука одиночным вихрем, возникающая благодаря диффузии завихренности на плоскости в вязком теплопроводном газе. При решении задачи диссертации использованы разложения неизвестных функций по степеням малого параметра (начальная завихренность) с последующим применением преобразования Фурье и вычислением кратных интегралов с использованием сеток Коробова.
Основные результаты диссертационной работы: Разработан метод, позволяющий определить осциллирующие решения системы уравнений Навье-Стокса и рассчитать на их основе акустическое излучение вихревых структур в вязком теплопроводном газе.
Для областей внутри вихревого цилиндра и за его пределами рассмотрена эволюция давления и плотности. Впервые при малой начальной завихренности исследована генерация звука одиночным цилиндрическим вихрем на плоскости, при учете вязкости и теплопроводности среды. Показано, что имеют место высокочастотные колебания, модулированные низкочастотным сигналом.
Обнаружено, что значения собственных частот акустических колебаний зависят только от начальных геометрических параметров задачи и не зависят от интенсивности начальной завихренности. Кроме того, собственные частоты экспоненциально убывают при увеличении коэффициента подобия задачи.