Содержание к диссертации
Введение
РОЗДIЛ 1. Методи дослiдження властивостей важко-легких мезонiв 12
1.1. Теоретичнi методи дослiдження властивостей важко-легких кваркових систем 12
1.2. Застосування квазiкласичного наближення до задач теоретичної фiзики 16
1.3. Класифiкацiя станiв Qq-системи та експериментальний статус D-, Ds-, B-, Bs-сiмейств змiшаних мезонiв 19
1.4. Висновки 23
РОЗДIЛ 2. Метод ВКБ для рiвняння дiрака з векторним та скалярним потенцiалами 24
2.1. Вступ 24
2.2. Рекурентна схема побудови ВКБ-розкладiв 25
2.3. Метод ВКБ для пiдбар’єрних резонансiв 30
2.3.1. Структура ВКБ-розв’язкiв 31
2.3.2. Формули зв’язку ВКБ-розв’язкiв. 35
2.3.3. Рiвняння для енергiї квазiстацiонарних рiвнiв. 37
2.4. Висновки 40
РОЗДIЛ 3. Застосування вкб-розкладiв для рiвняння дiрака зi скалярно-векторним зв’язком до спектроскопiї змiшаних мезонiв 42
3.1. Вступ 42
3.2. Залежність форми ЕП U(r, Е) від лоренц-структури потенціалів взаємодії 43
3.3. Квазікласичний опис енергетичного спектру важко-легких кварк-антикваркових систем 50
3.4. Спектр мас важко-легких кваркових систем 63
3.5. Асимптотичні коефіцієнти хвильової функції 70
3.6. Висновки 76
РОЗДІЛ 4. Релятивістське узагальнення квазікласичної теорії тунельної іонізації 78
4.2. Положення квазістаціонарних станів 81
4.3. Ширина квазістаціонарних станів 85
4.4. Висновки 93
РОЗДІЛ 5. Прихована симетрія і відокремлення змінних в задачі двох центрів з потенціалом утримуючого типу 94
5.2. Сфероїдальний інтеграл руху в задачі qZxZ2u 96
5.3. Зображення групи ?(3)Р (2,1) 100
5.4. Спектр мас QQg-баріонів ПО
5.5. Висновки 113
Висновки 115
Список використаних джерел 117
- Застосування квазiкласичного наближення до задач теоретичної фiзики
- Рекурентна схема побудови ВКБ-розкладiв
- Квазікласичний опис енергетичного спектру важко-легких кварк-антикваркових систем
- Ширина квазістаціонарних станів
Введение к работе
Актуальність теми досліджень. Як свідчать численні експерименти, більшість відомих на даний час частинок мають внутрішню структуру, тобто є складеними об’єктами. Це в першу чергу стосується гадронів, які згідно сучасних уявлень є зв’язаними станами кольорових кварків та глюонів. Опис спектрів мас та ймовірностей розпадів таких об’єктів потребує побудови послідовної теорії зв’язаних станів, яка повинна базуватися на основних принципах локальної квантової теорії поля та використовувати її апарат. Однак безпосередній розрахунок вказаних характеристик складених систем у межах локальної квантової теорії поля навряд чи завжди можливий, оскільки поки що єдиний відомий спосіб розрахунків у ній ґрунтується на теорії збурень, в той час як природа утворення зв’язаних станів взаємодіючих частинок, безумовно, повинна визначатися непертурбативними ефектами.
Найбільш дієвим способом виходу за межі теорії збурень при побудові теорії зв’язаних станів є використання динамічних рівнянь. Річ в тім, що навіть якщо ядра динамічних рівнянь вдається побудувати тільки в нижчих порядках теорії збурень, розробка методів їх точного чи наближеного (але без використання теорії збурень) розв’язання дозволяє врахувати внесок непертурбативних ефектів взаємодії при обчисленні спостережуваних характеристик зв’язаних станів. У нерелятивістському випадку подібна теорія будується за допомогою динамічного рівняння Шредінгера на мові класичного потенціалу. Однак при великих енергіях зв’язку відповідна теорія повинна бути істотно релятивістською. Чільне місце у сучасному розвитку релятивістської теорії зв’язаних станів посідає рівняння Дірака зі змішаним, скалярно-векторним зв’язком. Основна перевага такого рівняння полягає в тому, що воно слугує адекватною математичною моделлю для широкого кола задач гадронної фізики, у яких можливий послідовний перехід від двочастинкової теорії до наближення зовнішнього поля. Така можливість реалізується і має практичні переваги у випадку важко-легких () мезонів – КХД-аналогів водневоподібних (ВП) атомів. З цього рівняння випливає наявність спіну та спінового моменту у кварка та антикварка і природно постають задачі про тонку і надтонку структуру енергій змішаних D-, Ds-, B-, та Bs-мезонів. Проте ефективні методи розв’язування даного рівняння у застосуванні до задач гадронної спектроскопії розвинуті недостатньо. Для знаходження розв’язків найчастіше застосовують або числові, або асимптотичні методи.
Квазікласичне наближення Венцеля-Крамерса-Бріллюена, або метод ВКБ, є одним з найбільш ефективних асимптотичних методів розв’язування задач квантової механіки і теоретичної фізики. Розвиненню рекурентної схеми отримання ВКБ-розкладів для рівняння Дірака із скалярно-векторним зв’язком та їх застосуванню до задач гадронної спектроскопії і теорії квазістаціонарних станів присвячені наші праці [1–9], які складають основу даної дисертаційної роботи.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводились на кафедрі теоретичної фізики фізичного факультету Ужгородського національного університету згідно з тематичними планами держбюджетних науково-дослідницьких робіт, затвердженими Міністерством освіти і науки України, в рамках тем: 1) ДБ-422 “Одно- та двоелектронні процеси з перерозподілом в теорії іон-атомних та іон-іоних зіткнень”, ДР-0100U005351; 2) ДБ-521 “Аналітична теорія процесів з перерозподілом у непружних зіткненнях атомних частинок”, ДР– 0103U001696; 3) ДБ-614 “Асимптотичні моделі багатоцентрових систем у фізиці елементарних взаємодій”, ДР – 0105U007695.
Мета і завдання дослідження. Метою досліджень, проведених в дисертаційній роботі, є розробка апарату квазікласичних асимптотик для рівняння Дірака у зовнішніх сферично-симетричних скалярному і векторному полях та його застосування до спектральних задач фізики змішаних мезонів та теорії квазістаціонарних станів. При цьому задля досягнення зазначеної мети необхідно було розв’язати наступні задачі:
За допомогою техніки лівих та правих власних векторів однорідної системи розвинути послідовну схему отримання ВКБ-розкладів для рівняння Дірака у зовнішніх скалярному та векторному полях.
Провести узагальнення правила квантування Бора-Зоммерфельда з урахуванням релятивістських ефектів, спіну та лоренц-структури потенціалів взаємодії.
У квазікласичному наближенні отримати загальний вираз для ширини квазістаціонарних рівнів в присутності разом взятих скалярного і векторного полів.
Розробити ефективні методи аналітичного обчислення бар’єрних інтегралів та інтегралів квантування.
Об’єкт дослідження. Рівняння Дірака, важко-легкі мезони і двічіважкі баріони, квантово-механічна задача двох центрів .
Предмет дослідження. Дискретний і квазістаціонарний спектри рівняння Дірака із лоренц-скалярним та лоренц-векторним потенціалами, умови квантування, групові властивості задачі .
Методи дослідження. Дослідження проводились як аналітичними, так і числовими методами. Основним аналітичним методом, що використовувався у дисертації, є метод асимптотичних розкладів в квантово-механічних рівняннях за малим параметром – сталою Планка . Також застосовувалися методи теорії функцій комплексної змінної та теорії диференціальних рівнянь. Більшу частину комп’ютерних розрахунків проведено в інтегрованому програмному середовищі Mathematica; окремі розрахункові програми реалізовано на мові програмування Qbasic.
Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше:
Знайдено квазікласичні формули для розв’язків рівняння Дірака із скалярно-векторним зв’язком у класично дозволеній і забороненій областях, одержано умови їх зшивання при переході через точку повороту. Проведено узагальнення умови квантування Бора-Зоммерфельда з урахуванням релятивістських ефектів, спіну і лоренц-структури потенціалів взаємодії.
У квазікласичному наближенні одержано загальний вираз для ширини квазістаціонарних рівнів у суміші лоренц-скалярного та лоренц-векторного потенціалів бар’єрного типу, який є релятивістським аналогом відомої формули Гамова.
За допомогою методу ефективного потенціалу досліджено основні закономірності квазікласичного спектра рівняння Дірака із скалярно-векторним варіантом потенціалів взаємодії (13). Встановлено, що варіація коефіцієнта змішування скалярного та векторного далекодійних потенціалів на відрізку дозволяє отримати якісно різну форму ефективного потенціалу даної моделі – від картини утримуючого потенціалу (), у якому є тільки дискретний спектр, до випадку потенціалу з бар’єром (), для котрого рівні енергії є квазістаціонарними.
Для корнельської моделі міжкваркової взаємодії (13) () отримано прості асимптотичні () формули для енергетичного і масового спектрів, середніх радіусів та хвильових функцій (зокрема, асимптотичних коефіцієнтів в нулі і на нескінченності) важко-легких (D-, Ds-, B- і Bs-) мезонів, які забезпечують високу точність розрахунків навіть для станів з радіальним квантовим числом . Показано, що спінові розщеплення P-хвильових станів в змішаних D-, D-s, B- та Bs-мезонах в першу чергу чутливі до значення константи сильного зв’язку та коефіцієнта змішування .
Побудовано квазікласичну теорію іонізації кулонівської системи радіально-сталими скалярним та електричним полями, яка враховує релятивістські ефекти та спін ферміона. У граничних випадках і отримано наближені аналітичні вирази для положення та ширини підбар’єрних резонансів, які демонструють сильну залежність від енергії зв’язаного рівня та параметра змішування .
За допомогою методу відокремлення змінних встановлено додатковий сфероїдальний інтеграл руху та групу динамічної симетрії в модельній квантово-механічній задачі двох центрів qZ1Z2 з кулонівською і осциляторною взаємодіями, досліджено групові властивості її розв’язків. Асимптотичними методами проаналізовано дискретний спектр задачі qZZ.
Практичне значення одержаних результатів. Розроблений в дисертаційній роботі апарат квазікласичних асимптотик для рівняння Дірака із скалярно-векторним зв’язком істотно розширює можливості аналітичного дослідження спектральних характеристик змішаних мезонів та двічі важких баріонів. Отримані квазікласичні формули для асимптотичних коефіцієнтів хвильових функцій в нулі і на нескінченності можуть бути використані в розрахунках повних, гадронних та лептонних ширин розпадів важко-легких (D-, D-s, B- та Bs-) мезонів та двічі важких баріонів. Побудовані в роботі квазікласичні розв’язки рівняння Дірака із скалярно-векторним варіантом взаємодії можуть бути використані також для обчислення залежних від спіну важкого кварка поправок до енергій рівнів змішаних мезонів у вищих порядках ефективної теорії важких кварків.
Особистий внесок здобувача. Дисертант приймав участь у постановці задач, виборі та розробці методів їх дослідження, інтерпретації отриманих результатів, формулюванні основних положень та висновків, підготовці рукописів статей до друку. Всі аналітичні і комп’ютерні розрахунки виконані дисертантом особисто. Зокрема, у праці [1] дисертантом було розвинуто послiдовну схему отримання розкладів ВКБ для рівняння Дiрака із скалярно-векторним варіантом потенціалів взаємодії. Як застосування розвинутого методу дисертантом проведено [1–3] узагальнення умови квантування Бора-Зоммерфельда та формули Гамова для ширини квазiстацiонарного рівнів з урахуванням релятивізму, спіну та лоренц-структури потенціалів взаємодії. У працях [1–5] автором показано, що для скалярного і векторного потенцiалiв кулонiвського та осциляторного типів отримане правило квантування точно відтворює енерґетичний спектр. В роботах [5, 10, 11, 13] дисертантом отримано трансцендентне рівняння для визначення енергетичного спектра рівняння Дірака з кулонівським та чисто скалярним лінійним потенціалами, а також аналітичні вирази для зсувів та ширин квазістаціонарних рівнів кулонівської системи у радіально-постійному електричному полі. В публікаціях [1–3, 14] автором знайдено у явному вигляді квазікласичний спектр безмасового ферміона у зовнішньому скалярному полі з комбінованим потенціалом типу "лійки". У праці [15] для корнельської моделі міжкваркової взаємодії, далекодійна частина якої вибрана у вигляді суміші скалярного і векторного членів, дисертантом отримано аналітичні вирази для енергетичного і масового спектрів, середніх радіусів та хвильових функцій змішаних мезонів. В праці [16] автором розраховано ширини квазістаціонарних рівнів кулонівської системи в слабких радіально-постійних скалярному і електричному полях. В працях [6–9, 12] дисертантом встановлено додатковий сфероїдальний інтеграл руху та групу динамічної симетрії в модельній квантово-механічної задачі двох центрів qZ1Z2 з кулонівською і осциляторною взаємодіями.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційних досліджень доповідались та обговорювались на таких конференціях, семінарах та школах: на щорічних підсумкових наукових конференціях викладачів та наукових співробітників фізичного факультету УжНУ (Ужгород, 1998-2007 рр.); Міжнародній науковій конференції “The centenary of electron, El-100” (м. Ужгород, Україна, 18-20 серпня 1997 р.); Науковій конференції східного відділення Угорської академії наук (Ніредьхаза, Угорщина, вересень 1997 р); Міжнародній науковій конференції “Hadron Structure-98” (Стара Лесна, Словацька Республіка, 7-13 вересня 1998 р.); I, V– VII Міжнародних молодіжних науково-практичних конференціях “Людина і космос”(м. Дніпропетровськ, Україна 1999, 2003 – 2005 рр.); Міжнародних конференціях молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики “ЕВРИКА” (м. Львів, Україна, 2002– 2004 рр.); XIV міжнародній школі “Математичні теорії та їх застосування у фізиці та техніці” (Чернівці, Україна, 28 жовтня - 8 листопада 2002р.); V Міжнародній науковій конференції “Симетрії в нелінійній математичній фізиці”(Київ, Україна, 23-29 червня 2003 р.); Конференціях молодих учених і аспірантів ІЕФ НАН України “ІЕР-2003, 2005” (м. Ужгород, Україна, 2003, 2005 рр.).
Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в 16 наукових працях, з них 9 – у реферованих фахових журналах та 7 – у матеріалах і тезах доповідей міжнародних конференцій.
Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел із 160 найменувань та трьох додатків. Дисертація містить 11 таблиць, 8 рисунків, її повний обсяг – 150 сторінок. Таблиці займають 7 сторінок, рисунки – 4 сторінки, список використаних джерел – 16 сторінок.
Застосування квазiкласичного наближення до задач теоретичної фiзики
Апарат квазікласичних асимптотик, що виник невдовзі після створення квантової механіки, є на даний час одним з найбільш потужних, а не рідко і єдиним засобом дослідження широкого класу задач теоретичної і математичної фізики. Фундаментальність квазікласичного методу зумовлена, зокрема, тим що він є реалізацією важливого для фізичних теорій принципу відповідності квантових і класичних задач.
У одновимірних спектральних задачах квантової механіки строге математичне формулювання цього принципу складає метод Вентцеля-Крамерса-Бріллюена (ВКБ). На відміну від теорії збурень дане наближення не пов язане з малістю взаємодії і тому має ширшу область застосовності, даючи змогу досліджувати якісні закономірності в поведінці та властивостях квантово-механічних систем. Зокрема, стандартний ВКБ-метод [45-49] (для рівняння Шредінгера) успішно застосовувався до задачі про атом водню у постійних електричному та магнітному зовнішніх полях (див., наприклад, [45,50-54] та наведені там посилання), до ряду модельних потенціалів [55], у квантово-механічній задачі двох кулонівських центрів [56-58] та ін. Обговорення сучасного стану цього методу, різних його варіантів та застосувань у нерелятивістській теорії атомів і молекул, квантовій хімії, у задачах теорії зіткнень, тощо можна знайти в [59,60].
Успішне застосування ВКБ-наближення до різних задач нерелятивіст-ської фізики стимулювало поширення даного методу і на релятивістські системи, що описуються рівнянням Дірака. В якості історичної довідки вкажемо, що граничний перехід від рівняння Дірака у зовнішньому полі до рівняння Гамільтона-Якобі для класичної релятивістської частинки вперше розглядав Паулі [61], а потім більш докладно ряд авторів [62,63]. Задача побудови квазікласичних розв язків рівняння Дірака загальному багатовимірному випадку була розв язана Масловим в рамках методу канонічного оператора [1].
Теорія квазікласичного наближення для рівняння Дірака в сильному (Е0 2шес2, де Е0 енергія зв язку електрона) зовнішньому полі почала систематично розроблятися у тісному зв язку з проблемою глибоких рівнів [64-70], яка має фундаментальне значення для квантової електродинаміки (критичний заряд ядра Zc та спонтанне народження позитронів з вакууму при Z Zc, див. [42,71-73]). Застосування методу ВКБ до релятивістської кулонівської задачі із зарядом Z 137 базувалося в ранніх роботах [64-70] на квадруванні рівняння Дірака (метод ефективного потенціалу [71,72]). Такий підхід наближає нас до звичайної схеми одержання ВКБ-розкладів [45-49] та добре працює в докритичній області Z Zc, Е0 -тес2 (тобто там, де спонтанне народження позитронів неможливе). Однак для станів з енергією Е -тес2 підстановка \ W = {тс2 + Е- V) l/2 F (г), використана у даному методі, стає сингулярною в точці г = гд,деУ(гд)= тс2 + Е (розглядається потенціал притягання: V(r) 0, 0 г ос). Внаслідок цього звичайні квазікласичні формули [45-49] втрачають зміст поблизу точки г = гд через розбіжність фазових інтегралів. Різні автори [64-70] обходили ці труднощі по-різному, іноді дуже оригінально і дотепно [66,70], але до кінця її вдалося розв язати тільки в роботах [2,74]. З ясувалося, що зазначені труднощі носять чисто формальний характер, тому що вихідне рівняння Дірака не є сингулярним у точці r = гд. Більш того, виявилося, що сингулярність при г = гд взагалі не виникає, якщо застосовувати ВКБ-наближення не до рівняння другого порядку для х(г), а безпосередньо до вихідної системи Дірака для радіальних хвильових функцій F та G. Отримані на цьому шляху квазікласичні формули для розв язків рівняння Дірака в сильному зовнішньому полі мають численні застосування в теорії важких та надважких атомів [3].
Проте останніми роками виник значний інтерес до вивчення поведінки квантових систем ферміонів у присутності разом узятих електромагнітного (векторного) і скалярного зовнішніх полів. Такі системи володіють низкою незвичних рис, істотно відмінних від тих, що властиві ферміонам у присутності одного лише електромагнітного поля. Так, наприклад, на відміну від електромагнітного, скалярне поле діє однаково як на частинки, так і на античастки. Тому картина рівнів енергії ферміонів, що взаємодіють зі скалярним і векторним полем (наприклад, кулонівським) одночасно, може істотно відрізнятися від звичної нам картини спектра релятивістської куло-нівської задачі.
Зазначимо, нарешті, що рівняння Дірака зі змішаною лоренц-структурою потенціалів взаємодії цікаве також з огляду на його можливі застосування в теорії гадронних атомів [75]. В принципі, не виключено, що це же рівняння може виявитися корисним і для опису ефектів у фізиці твердого тіла (наприклад, в двозонних напівпровідниках [76]).
Враховуючи, що в майбутньому інтерес до подібних досліджень поза всяким сумнівом буде зростати, є актуальним поширення запропонованої В.П. Масловим [1] і розвиненої в роботах [2, 74] техніки побудови ВКБ-розв язків рівняння Дірака у зовнішньому електромагнітному полі, що задається вектор-потенціалом А = (Л0(г),0,0, 0), на випадок спінорного рівняння із змішаним скалярно-векторним зв язком.
До важко-легких Qq-мезотв прийнято відносити наступні сімейства частинок (в дужках вказано їх кварковий склад): В+(Ьй), B(bd), Bs (bs), D(cu), D (cd), D (cs).
Схема розташування енергетичних рівнів для важко-важких QQ-{vfiQ,VfiQ сг1/2) і важко-легких Qg-мезонів (mQ mq сг1/2) приведена на рис. 1.1. Кожен рівень на рис. 1.1,а відповідає певному значенню L і S, де L - орбітальний момент зв язаної пари кварк-антикварк, a S = Sg + 8 - її повний спін. Повний спін S мезона може приймати два значення: Oil. Спіну S = 0 відповідає тільки один вектор \SMs) = 00); говорять, що спін знаходиться в синглетном стані. Спіну S = 1 відповідають три вектори 1 1), 1 0), 1 — 1); це вектори триплетного стану.
Для аналізу спектрів Qg-мезонів та порівняння їх з тим, що передбачають релятивістські потенційні моделі (див. підрозділ 3.4), вважатимемо, що Q-кварк є нескінченно важким, а його положення співпадає з центром мас. У цьому наближенні можна знехтувати залежним від спіна важкого кварка Q розщепленням рівнів і вважати енергію спін-орбітальної взаємодії легкого антикварка q головною частиною спінових взаємодій. Тому стани Qq-системи в цьому випадку слід класифікувати (див. рис. 1.1,6), за значеннями повного моменту j = 1 + s та просторової парності Р = (-1)/+1
Рекурентна схема побудови ВКБ-розкладiв
Як вже було зазначено в п.2.3.1, при визначенні квазістаціонарних станів зазвичай вимагають, щоб розв язок рівняння Дірака на нескінченності являв собою розбіжну хвилю (2.2), (2.32), (2.33); це відповідає частинці, що в решті решт вилітає з системи при її розпаді [45]. Умова відсутності збіжної компоненти в асимптотичному виразі для хвильвої функції квазістаціонар-ного стану відбирає комплексні власні значення енергії Е = Ег-іГ/2, де Ег - положення, а Г ширина резонансу, який відповідає квазістаціонарному стану. Величина Г додатня; вона визначає імовірність розпаду за одиницю часу: W = Т/П.
Виведемо умову, яка визначає положення квазістаціонарних рівнів у ква-зікласичному випадку. Нехтуючи проникністю бар єра в області п г г2 та вважаючи, що зліва і справа від потенціальної ями г0 г г і залишаються тільки експоненціально спадні ВКБ-розв язки, знаходимо із (2.25) тут через nr позначено радіальне квантове число. Рівняння (2.35) визначає дійсну частину енергії рівня Ег. Воно відрізняється від звичайної ква-зікласичної умови квантування Бора-Зоммерфельда [45] релятивістським виразом для квазіімпульсу р(г) та врахуванням поправки ( w{r)) на спін-орбітальну взаємодію, що приводить до розщеплення рівнів з різним знаком квантового числа к.
Як видно з виразу (2.28) для Цг), за тонке розщеплення рівнів відповідальною є різниця V - S", в котрій адитивні вклади за рахунок скалярного (-S") та векторного {V) варіантів взаємодії мають протилежні знаки. Формальна причина цього полягає в тому, що знак спін-орбітальної взаємодії залежить від лоренцової структури потенціалу взаємодії. Це, між іншим, можна розглядати як відображення тієї обставини, що у векторному полі спіни частинок орієнтуються в напрямку [FB р] де FB = -n dV/dr - сила, що діє на частинку, р - її імпульс, п - одиничний вектор у напрямку вектора г, а в скалярному полі - в напрямку - [Fc р], де Fc = -n dS/dr. Ці міркування дають наочне пояснення того факту, що в скалярному полі рівень j = 3/2, / = 1 лежить нижче рівня j = 1/2, / = 1, а у векторному полі - навпаки.
Ми побачимо в подальшому (розд. З, 4), що у більш загальному випадку взаємодії частинки зі скалярним та векторним полем одночасно, величина і характер спін-орбітального розщеплення рівнів істотно залежать від відносної ролі вказаних взаємодій. Таким чином, відомості про положення та тонке розщеплення рівнів, в сукупності, можуть уже виявити роль кожного з потенціалів S{r) та V{r) окремо.
У зв язку з появою в умові квантування (2.35) спін-орбітальної поправки зазначимо, що її врахування не перевищує точності квазікласичного розрахунку. В додатоку Б ми покажемо це на прикладі кулонівського та осциля- торного потенціалів; для цих потенціалів умова квантування (2.35) точно відтворює енергетичний спектр.
Перейдемо до обчислення ширини рівня Г = 21тЕ. Для цього домножи-мо перше рівняння системи (2.3) на G , друге (після попереднього переходу до комплексно-спряжених величин - на F, додамо їх та проінтегруємо за змінною г від 0 до ос. Потім інтеграл за г від комбінації G F + G F = (G F) легко обчислюється у загальному вигляді; при цьому слід врахувати, що на нижній межі (при г = 0) добуток G F обертається в нуль і нетривіальний вклад дає тільки верхня межа інтегрування (г = ос). В кінцевій рівності більшість отриманих членів дійсні, і, взявши всюди уявні частини, ми одразу ж прийдемо до шуканого результату:
Цей результат для ширини резонансу Г можна отримати також і безпосереднім обчисленням потоку частинок, відлітаючих на нескінченність, при нормуванні на одну частинку в області г0 г г1. Використовуючи тепер асимптотичні зображення (2.32), (2.33) радіальних функцій F та G праворуч від т. п. г2, а також формули зв язку (2.34) між нормувальними константами Cf в областях І-ІП, знаходимо у головному ВКБ-наближенні для ширини рівня Г наступний вираз: а фігуруючий тут період радіальних коливань Т означений в (2.29).
Відмітимо, що отримана квазікласична формула (2.37) є релятивістським узагальненням добре відомої формули Гамова для ширини квазіста-ціонарного рівня. Нетривіальним моментом такого узагальнення є видозміна виразу для періоду коливань Т та поява у передекспоненті виразу (2.37) додаткового множника Г0, який залежить від знаку квантового числа к і зобов язаний своїм походженням спін-орбітальному зв язку в суміші скалярного S{r) і векторного V{r) потенціалів. У нерелятивістському випадку цей множник практично не відрізняється від одиниці і формула (2.37) допускає наочну інтерпретацію. А саме, 1/Т є число ударів за одиницю часу частинки (локалізованої всередині області І) об внутрішню стінку (г = п) потенці-ального бар єра п r г2, а експоненціальний множник exp{-2jqdr} відповідає імовірності проходження крізь цей бар єр при кожному ударі.
Отже, формули (2.35), (2.37) являють собою основний підсумок проведеного дослідження: вони визначають спектр квазістаціонарних станів спі-норної частинки (s = 1/2) в ЕП U(r,E) бар єрного типу.
Заради уникнення непорозумінь тут важливо підкреслити, що коли ми говоримо про потенціл бар єрного типу (або ж, еквівалентно, потенціал з бар єром), то маємо на увазі не вихідні потенціали V{r) та S{r), що безпосередньо входять в систему рівнянь Дірака (2.3), а породжуваний ними (згідно виразу (2.22)) енергозалежний ЕП U(r,E). В дещо більш загальній постановці ЕП виникає при квадруванні рівняння Дірака, тобто зведенні системи рівнянь (2.3) до математично еквівалентного рівняння другого порядку (шредінгерівського типу); при цьому до виразу (2.22) для U{r,E) додаються невеликі спінові поправки, що містять функцію w{r).Y нереля-тивістському випадку U{r,E) « S{r) + V(г); коли ж енергія зв язку рівня Еь = т-Ег порівняна з енергією спокою ш, відмінність між потенціалами U та S + V стає доволі істотною.
На завершення цього розділу зазначимо, що при виключеному скалярному полі {S = 0) отримані тут квазікласичні формули для Ег та Г повністю узгоджуються з відомими результатоми [2, 74] для цих же характеристик резонансів в чисто векторному полі: V{r) = -еЛ0(г), A = 0.
Таким чином у даному розділі розвинуто апарат квазікласичних асимптотик для рівняння Дірака з довільними лоренц-скалярним і лоренц-векторним потенціалами, що володіють сферичною симетрією. Знайдено вигляд радіальних хвильових функцій в класично дозволеній і забороненій областях, одержано умови їх зшивання при переході через точку повороту. Проведено узагальнення правила квантування Бора-Зоммерфельда на релятивістський випадок, коли частинка із спіном 1/2 взаємодіє з скалярним і векторним зовнішніми полями одночасно. Воно відрізняється від звичайної умови квантування Бора-Зоммерфельда релятивістським виразом для імпульсу і включенням поправки, що враховує спін-орбітальну взаємодію в суміші лоренц-скалярного і лоренц-векторного потенціалів.
У квазікласичному наближенні одержано загальний вираз для ширини квазістаціонарних рівнів, відомий раніше лише для електростатичних потенціалів бар єрного типу (формула Гамова). Врахування релятивізму і спіну 1/2 змінює вирази для імпульсу р(г) та періоду коливань Т і приводить до появи у отриманому виразі для ширини рівня Г додаткового множника, що враховує спін-орбітальну взаємодію в суміші скалярного і векторного потенціалів бар єрного типу.
Квазікласичний опис енергетичного спектру важко-легких кварк-антикваркових систем
Для застосування потенціального підходу до опису властивостей змішаних мезонів, необхідно побудувати потенціал міжкваркової взаємодії. Як відомо з КХД, на малих відстанях (г 0.25 Фм) у силу явища асимптотичної свободи основний внесок дає потенціал одноглюонного обміну. На цих відстанях кварки і глюони можна розглядати окремо з істотно пертурба-тивною динамікою. Останнє підтверджується успішним порівнянням теорії збурень у КХД з експериментальними даними [101].
Із збільшенням відстані основною стає далекодійна утримуюча взаємодія (конфайнмент), вигляд якої поки не вдається встановити у межах КХД. Утримуючий потенціал може мати складну лоренц-структуру. Найбільш загальний анзац для потенціалу (ядра) qq- взаємодії, що відповідає вимогам лоренц-інваріантості, Р- та Т- інваріантості, містить [102,103] скалярну, псевдоскалярну, векторну, аксіально-векторну та тензорну частини. Аналіз, проведений у роботі [102], показав, що внесок у qq-взаємодію псевдоскалярного утримуючого потенціалу у нерелятивістському наближенні перетворюється в нуль. Обчислення для аксіально-векторної та тензорної взаємодії показали, що лідируючий член виникаючого потенціалу залежить від спіну ( SiS2). Таким чином, якби міжкваркова взаємодія містила тільки аксіально-векторний та тензорний потенціали, то існували б тільки мезонні стани або зі спіном 1, або зі спіном 0. Це суперечить експериментальним даним зі спектроскопії мезонів. Тому головні внески в утримуючу частину потенціалу повинні мати векторну та скалярну структури. Всі інші взаємодії, зрозуміло, важливі при більш тонкому описі властивостей мезонів, але вони є малими взаємодіями у порівнянні зі скалярним та векторним потенціалами, які зв язують кварки в мезони.
Останнім часом з явилась низка праць [104-107], де зроблено спробу пов язати утримуючу частину міжкваркового потенціалу із властивостями вакууму КХД. Так у працях [104, 105] показано, що взаємодія кварк-антикваркової пари з флуктуючим вакуумним зовнішнім полем приводить при скінченій довжині кореляцій до лінійного потенціалу. Отриманий у такому підході потенціал залежний від спіну має структуру, характерну для скалярного запирання. З іншого боку, у роботі [108] на основі аналізу системи рівнянь Швінгера-Дайсона отримано інфрачервону асимптотику глюон-ного пропагатора наступного вигляду D(k2) l/(k2)2. В статичній границі вона приводить до лінійного векторного утримуючого потенціалу. Тому найбільш ймовірним видається, що утримуючий потенціал складається із суміші векторної та скалярної частин.
В останні десятиліття були здійснені як феноменологічні, так і КХД-інспіровані спроби побудувати Qg-взаємодію з різною поведінкою далекодій-ної частини v{r) на великих відстанях ( г?, 0 [3 1 [109]; - ln(r/r0) [ПО]; г2 [41]; - г [97,111]) та з імітацією асимптотичної свободи у V{r) на малих відстанях. Ці всі потенціали практично співпадають на ділянці 0.1 г 0.8 Фм, і мають істотно різну поведінку на малих (г 0.1 Фм) та великих (г 0.8 Фм) відстанях. Це приводить до того, що грубі характеристики гадронів типу спектра мас задовільно відтворюються в будь-якій з перерахованих моделей, тоді як більш тонкі характеристики, що залежать від структури хвильових функцій на малих та великих відстанях, істотно різняться. Засновані на перших принципах КХД-розрахунки на ґратках [111] виділяють лінійний конфайнмент - г/4тга (0) (де а (0) - нахил гадронної редже-траєкторії) як найбільш аргументований. З урахуванням цієї обставини ми вибираємо для далекодійної частини v{r) міжкваркової взаємодії лінійний потенціал v{r) = аг + У0, який досить добре відтворює результати ґраткових КХД-розрахунків [112]. На підставі приведених міркувань припустимо, що Q-взаємодія складається: а) з потенціалу одноглюонного обміну Vcoui{r) = -/г, де = 4/3 as, as константа сильної взаємодії: Тут о" = 0.18 ГеВ2 - натяг струни, Vo - константа адитивного зсуву енергії зв язку, а коефіцієнт змішування А векторного та скалярного утримуючих потенціалів виступає у якості підганяльного параметра. Значення as можна розглядати приблизно постійним в кожному сімействі важко-легких мезонів і двічіважких баріонів, і таким, що змінюється відповідно до (3.7) тільки при переході від одного сімейства до іншого.
Одержати точний розв язок системи Дірака (2.1) з потенціалами (3.8) і (3.9) не вдається, тому тут ми застосуємо метод ВКБ, що має у випадку скалярного і векторного поля кулонівського та осциляторного типу високу точність навіть для невеликих квантових чисел [4,6].
Вибір 0 А 1/2 відповідає переважаючому скалярному конфайн-менту. У цьому випадку ЕП U(r,E) даної моделі має вигляд звичайної осциляторної ями з єдиним мінімумом (у точці Гтіп 12/Щ) і без максимумів.
Ширина квазістаціонарних станів
Широке коло задач з рiзних областей фiзики – фiзики елементарних частинок, ядерної фiзики, фiзики атомних зiткнень та iнших – пов язане з уявленнями про формування та розпад нестабiльних (квазiстацiонарних) станiв квантових систем [91]. Властивостi таких станiв представляють iн-терес для дослiдження iонiзацiї атомiв, iонiв i напiвпровiдникiв пiд дiєю постiйних i однорiдних електричного та магнiтного полiв [123], для опису кластерних розпадiв атомних ядер [124] та ефектiв спонтанного народження позитронiв [72,125], при розглядi вакуумної оболонки надкритичного атома [72,125,126], а також з погляду дослiдження рiвняння Дiрака в сильних зовнiшнiх полях.
Релятивiстська теорiя розпадних станiв досить добре розроблена для випадкiв, коли складовi потенцiалу взаємодiї фермiона iз зовнiшнiми полями належать до векторного типу, тобто є компонентами лоренц-вектора A [42,72,123,126]. Разом з тим внутрiшня логiка розвитку теорiї розпадних станiв диктує, мабуть, постановку цiлої низки якiсно нових задач, якi походять з ядерної фiзики та фiзики елементарних частинок. Так, наприклад, кваркова структура нуклонiв та багатокварковi стани в ядрi змушують по-новому подивитися i на природу внутрiшньоядерних сил. Пiд стимулюючим впливом КХД проблема прояву кварк-глюонних степенiв свободи в атомних ядрах i ядерних процесах одержала в останнє десятилiття новий розвиток i зараз, без сумнiву, становить головну перспективу фундаментальних до-слiджень у цiй областi ядерної фiзики (див., наприклад, [94]).
Як вiдомо, проблема проходження крiзь потенцiальнi бар єри лежить в основi теоретичного розгляду явищ кластерних розпадiв атомних ядер нестiйких утворень (нестабiльних резонансних станiв) сильно взаємодiючих елементарних частинок. Послiдовний теоретичний опис таких явищ повинен базуватися на релятивiстських хвильових рiвняннях з урахуванням того, що взаємодiї мiж елементарними частинками можуть здiйснюватися (крiм еле-ктромагнiтних) i силами, якi не залежать вiд електричного заряду. Такими є, наприклад, ядернi взаємодiї мiж нуклонами, обумовленi взаємодiєю ну-клонiв з мезонним полем. Ще один клас, але вже далекодiйних сил, який також мiг би мати вiдношення до обговорюваної проблеми – це сили, що виникають мiж нуклонами при обмiнi електронно-нейтрiнними парами, (тобто -сили). Такi сили були вперше введенi I.Е. Таммом ще у 1934 р. [127], а останнiми роками векторний i псевдовекторний варiанти цих взаємодiй детально розглядалися авторами вiдомої монографiї [42]. З точки зору нових задач теорiї сильних взаємодiй представляє iнтерес (у планi вибудовування так званої кварк-лептонної аналогiї) дослiдження бiльш загального випадку, коли частинка зi спiном 1/2 взаємодiє з скалярним i векторним полями одночасно.
Основнi труднощi теорiї квазiстацiонарних станiв (у зазначених вище застосуваннях) обумовленi тим, що їх взаємодiї в багатьох випадках не можуть бути описанi в рамках стандартних методiв, що використають розклади за малим енергетичним параметром. У задачах, пов язаних з описом квазiстацiонарних станiв релятивiстських складених систем, з являються додатковi труднощi, якi виникають щоразу, коли доводиться розв язувати рiвняння Дiрака в невiдокремлених змiнних. У сучаснiй теорiї розпадних станiв цi труднощi обходять за допомогою розвинутої у роботах [123, 128] релятивiстської версiї методу уявного часу, що дозволяє обчислювати iмо-вiрнiсть тунелювання релятивiстських частинок крiзь потенцiальнi бар єри, у тому числi такi, що не володiють сферичною симетрiєю.
Хоча цей метод володiє евристичною силою i фiзичною наочнiсть, його все-таки не можна вважати строго математично обґрунтованим, незважаючи на деякi спроби в цьому напрямку [66, 123]. Як вiдомо, врахування кулонівської взаємодії між електроном, що вилітає, і атомним остовом у рамках методу уявного часу представляє значні труднощі і, наприклад, у теорії багатофотонної іонізації атомів [123] не виконано повною мірою і на сьогоднішній час.
На щастя, багато цікавих питань релятивістської теорії квазістаціонар-них станів можна з ясувати на прикладі задач із сферичною симетрією, які дозволяють знайти точний або асимптотично точний розв язок рівняння Дірака. З різноманіття задач такого роду тут ми розглянемо гібридну версію (3.1), (3.2) сферичної моделі ефекту Штарка (СМЕШ). Включення в стандартну СМЕШ "нових" взаємодій, пов язаних із скалярним полем, відкриває нові можливості для її застосувань у релятивістській ядерній фізиці та КХД. У більш загальному контексті ставиться нестандартна модельна задача дослідження впливу на систему кулонівських рівнів разом взятих радіально-постійних скалярного і електричного (векторного) полів. Не дивлячись на те, це питання ставилося ще в ранніх дослідженнях [96], практична кількісна оцінка для зсуву рівня і його ширини так і не була зроблена. Вже у випадку цієї простій моделі виникає багато цікавих ефектів, характерних для електричного і скалярного полів.
Квазістаціонарні розв язки рівняння Дірака в складеному полі (3.1), (3.2) при 1/2 А 1 і відповідний комплексний спектр енергії породжуються умовою випромінювання, тобто вимогою, щоб розв язки F(r), G(r) на нескінченності являли собою розбіжну хвилю (3.5). Відмітимо, однак, що при звичайному підході до обчислення положення Ег і ширини резонансу (числове розв язання системи Дірака з потенціалами (3.1), (3.2)) ми наштовхуємося на відомі труднощі, пов язані з експоненційним зростанням гамівської хвильової функції (при г - ос) квазістаціонарного стану. Через складність цієї задачі розв яжемо її у квазікласичному наближенні, що дає для положення резонансу Ег і його ширини корисні аналітичні вирази.
Даний розділ побудовано в такий спосіб. У підрозділах 4.2 і 4.3 розвинутий апарат квазікласичних асимптотик застосовується до обчислення положення і ширини підбар єрних резонансів в потенціалах (3.1), (3.2) (при 1/2 Л 1), що є узагальненням сферичної моделі ефекту Штарка на релятивістський випадок. У останньому підрозділі підсумовуються одержані результати і обговорюються їх можливі фізичні наслідки.