Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте Зубов Роман Андреевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Решеточный гамильтониан кварк–антикварковой модели в КХД на световом фронте 11

1.1 Введение 11

1.2 Формулировка кварк–антикварковой модели и вычисление ее гамильтониана 17

1.3 Предельный переход к гамильтониану модели на световом фронте 22

1.4 Заключение 26

Глава 2. Спектр масс кварк–антикварковой модели 27

2.1 Введение 27

2.2 Формулировка модели в 2+1 измерениях 30

2.3 Действие гамильтониана на базисные состояния

2.3.1 Оператор, связанный с нулевыми модами 35

2.3.2 Двухфермионный оператор 37

2.3.3 Оператор, соответствующий кинетическому члену 39

2.3.4 Четырехфермионный оператор 2.4 Спектральное уравнение модели в 2+1 измерениях 51

2.5 Обобщение модели на (3+1)-мерный случай 53

2.6 Заключение 60

Глава 3. Анализ асимптотики решений уравнения т Хоофта 64

3.1 Введение 64

3.2 Предел тяжелых кварков 68

3.3 Заключение 72

Заключение 74

Список литературы

• Формулировка кварк–антикварковой модели и вычисление ее гамильтониана
• Предельный переход к гамильтониану модели на световом фронте
• Действие гамильтониана на базисные состояния
• Предел тяжелых кварков

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Одна из важнейших задач современной физики –– найти решения, которые описывают адроны в теории сильных взаимодействий, квантовой хромодинамике (КХД). Эта теория, наряду с электрослабой теорией, составляет теоретический фундамент физики элементарных частиц. Успехи КХД в описании экспериментовпо столкновению высокоэнергетических частицвомногом обусловлены тем, чтов области, где велики переданные энергия или импульс, проявляется свойство асимптотической свободы, и может быть применена теория возмущения по константе связи. Однако в области низких и промежуточных энергий сильные взаимодействия необходимо описывать непертурбативным образом, так как константа связи становится большой, и учет конфайнмента кварков и глюонов, как составляющих адро-нов, становится существенным.

В этой непертурбативной области на данный момент развито несколько успешных подходов. Один из них –– формулировка КХД на конечной пространственно–временной решетке (Lattice QCD). Он напрямую связан с лагранжианом КХД и позволяет совершать вычисления из первых принципов. Основываясь на евклидовой формулировке, решеточная КХД позволяет оценить интеграл по траекториям и вычислить низкоэнергетические свойства ад-ронов, такие как значения их масс. Однако несмотря на то, что наблюдаемые удается вычислять напрямую, в рамках КХД на решетке трудно получить волновые функции, которые необходимы для описания структуры и динамики ад-ронов. Другие подходы включают, например, применение формализма уравнений Швингера–Дайсона, и учет топологических (инстантонных) эффектов.

Квантование на световом фронте (СФ) –– это альтернативный подход к КХД, применимый в том числе в области сильной связи. Этот подход использует гамильтонов формализм, и его существенной частью является предложенная Дираком [] форма гамильтоновой динамики, где теория квантуется при фиксированном времени светового фронта x⁺ = (x⁰+x³)/2, в отличие от обычного времени x⁰. При этом начальные условия задаются на светоподобной поверхности x⁺ = 0. Решения в рамках этого подхода дают точные спектры масс и волновые функции на СФ, которые могут быть использованы, например, для вычисления структурных функций кварков и глюонов в составе адронов.

Формулировка теории на СФ имеет множество привлекательных особенностей. К примеру, эта формулировка предоставляет наибольшее количество кинематических, т. е. независящих от взаимодействия, генераторов преобразований группы Пуанкаре в релятивистской гамильтоновой динамике –– семь против шести в других формулировках []. Другим преимуществом является то, что этот подход дает возможность упростить проблему описания вакуумного состояния в квантовой теории поля. К этому можно добавить, что собственные значения гамильтониана Р₊ простым образом связаны с собственными значениями оператора квадрата массы М² = 2Р₊Р_ — Р². Таким образом, квантование на СФ––это естественная формулировка для непертурбати-вого описания структуры связанных состояний адронов в КХД, и настоящая диссертация посвящена развитию данного подхода.

Степень разработанности темы исследования. В рамках гамильтоно-ва подхода на СФ ведутся активные исследования. Хороший обзор текущих направлений исследований, решаемых задач и связанных с ними трудностей приведен в []. Одна из трудностей, которые ограничивают широкое применение этого подхода и требуют основательного рассмотрения, является проблема учета нулевой фурье-моды полей на СФ, т. е. моды, независящей от координаты х~ = (х - ж³)/\/2. Эта проблема заключается в том, что на СФ поверхность квантования х⁺ = 0 является характеристической, и нулевая мода полей по координате х~ оказывается нединамической, т. е. выпадает из уравнений движения. Это можно увидеть рассмотрев, например, в лагранжиане простой скалярной теории с полем Ц)(х) слагаемое <9₊ср <9_ср, содержащее производную по «времени» х⁺. Нулевая мода, т. е. поле, не зависящее от ж", в этом члене отсутствует, поэтому канонически сопряженный с ней импульс обращается в ноль.

К тому же в теории появляется сингулярность в соответствующей нулевой моде точке р- = 0 импульсного пространства, и возникает необходимость введения регуляризации. При описании процессов рассеяния частиц высоких энергий, в рамках теории возмущений обычно используется регуляризация \р_\ ^ є > 0, р± = (ро ± рз)/л/2. Эта регуляризация соответствует пренебрежению фурье-модами полей по продольной координате СФ, близкими к нулевой моде р- = 0. Отбрасывание этих мод позволяет регуляризовать особенности связанные с квантованием на СФ, но порождает возможные отличия

теории возмущений на СФ от обычной теории возмущений при квантовании на поверхности постоянного времени в лоренцевых координатах. Единственный найденный способ устранения таких отличий в КХД в калибровке СФ –– это введение дополнительных «духовых» полей, аналогичных используемым при регуляризации Паули-Вилларса [].

Применение квантования на СФ в области низких и промежуточных энергий, например для описания связанных состояний полей в КХД, основано на попытках решать непертурбативную задачу на собственные значения гамильтониана на СФ в пространстве Фока с «простым» физическим вакуумом. Этот вакуум определяется как состояние, отвечающее низшему собственному значению оператора импульса Р_ ^ 0, если в спектре теории нет безмассовых частиц и тахионов, т. е. т² > 0. При сохранении лоренц-инвариантности это состояние отвечает также и минимуму оператора Р₊. К недостаткам вышеупомянутой регуляризации (\р-\ ^ е) можно отнести то, что она нарушает эту лоренцеву симметрию, которая может не восстанавливаться в пределе снятия регуляризации є —> 0 []. Кроме того, окрестность нулевых мод \р-\ < є может оказаться существенной для непертурбативной области низких энергий. В частности, в работе [] показано, что отбрасывание нулевой моды может вести к трудностям с описанием вакуумных конденсатов в массивной модели Швинге-ра, т. е. в (1+1)-мерной квантовой электродинамике. В работе [] модель Швин-гера формулируется в координатах СФ так, что она оказывается эквивалентной обычной формулировке в лоренцевых координатах. При этом нулевая мода играет существенную роль для установления этой эквивалентности. Основываясь на этом результате в работе [] для этой модели непертурбативно вычисляется спектр масс, который находится в хорошем согласии с расчетами на решетке в лоренцевых координатах.

Другая возможная регуляризация –– это так называемая DLCQ-регуляризация (Discrete Light Cone Quantization). Она также нарушает лоренцеву симметрию, но сохраняет калибровочную инвариантность. В рамках такого подхода вводится ограничение пространства по продольной координате СФ, \х~\ ^ L, а на поля накладываются периодические граничные условия. При этом импульс становится дискретным, р- = р_п = nn/L. Таким образом, в отличие от \р_\ ^ є регуляризации, здесь удается ввести нулевую моду (р_ = п = 0), четко отделив ее от ненулевых (п = 1, 2,...). Тем не менее

трудности, связанные с рассмотрением нулевых мод в канонической формулировке теории поля на СФ, все равно остаются. Действительно, вводимая в данной регуляризации нулевая мода не является независимой динамической переменной и должна быть выражена через ненулевые моды путем решения сложных и плохо определенных связей [11].

Посколькувобычной лоренцевой формулировке теории поля указанные проблемы с нулевой модой отсутствуют, возникла идея исследовать предельный переход к гамильтониану на СФ от теории, квантованной на простран-ственноподобной плоскости, близкой к СФ []. Для этого рассматривалась простая и хорошо изученная модель –– массивная модель Швингера, т. е. квантовая электродинамика в 1+1 измерениях. В этой модели оказывается возможным ввести простое полуфеноменологическое описание нулевой моды, которое воспроизводит известные точные результаты при надлежащем подборе параметров модели.

В работе [] аналогичный способ полуфеноменологического описания нулевой моды применен к КХД в 3+1 измерениях. Однако регуляризация, использованная в этой работе не обладала калибровочной симметрией. В работе [] представлено развитие этой идеи и предложена новая калибровочно-инвариантная регуляризация, удобная для рассмотрения на СФ. В данной диссертации этот подход применяется для получения гамильтониана кварк– антикварковой модели, что позволяет провести непертурбативные вычисления спектра масс легких мезонов. Стоит заметить, что поскольку для КХД в 3+1 измерениях нет точных решений в области сильной связи, т. е. области, характерной для описания спектра адронов, для излагаемой полуфеноменологической модели важно сравнение с экспериментальными данными.

Целью данной работы является изучение возможности вычислять спектры связанных состояний реальных частиц с помощью гамильтонова подхода на СФ с введением нулевой динамической моды глюонного поля. Рассматривается приближение, в котором ненулевые глюонные моды исключаются из рассмотрения, а пространство Фока на СФ ограничивается и включает одну кварк–антикварковую пару.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

1. Построить гамильтониан кварк–антикварковой модели в рамках подхода, рассматривающего нулевые моды глюонного поля как динамические переменные.

2. Вычислить матричные элементы гамильтониана и получить спектральное уравнение в пределе непрерывного пространства.

3. Исследовать спектр полученного уравнения для различных значений параметров теории.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации получены впервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных научных журналах. Для гамильтонова подхода с динамическими нулевыми модами в рамках предлагаемой кварк–антикварковой модели впервые установлено наличие конфайнмента по всем пространственным направлениям. При этом обнаружено, что конфайнмент в поперечном направлении (по координате x) обеспечивается взаимодействием кварка и антикварка посредством нулевой глюонной моды. В продольном направлении (по координате x^-) конфайнмент проявляется в наличии членов уравнения ’т Хоофта (’t Hooft) [] в полученном спектральном уравнении. В связи с этим в диссертации впервые получено аналитическое решение уравнения ’т Хоофта в пределе больших и при этом неравных масс фермионов.

Основные положения, выносимые на защиту:

4. Получено выражение для гамильтониана кварк–антикварковой модели в рамках подхода, рассматривающего нулевые моды глюонного поля как динамические переменные.

5. Получено уравнениенасобственные значения оператора квадрата массы для кварк–антикварковой модели в 2+1 и 3+1 измерениях.

6. Получено аналитическое выражение для асимптотики решений уравнения ’т Хоофта в пределе тяжелых кварков разной массы.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа является вкладом в разработку такого непертурбативного подхода к КХД как гамильтонов подход на СФ. Полученные результаты могут быть использованы при описании реального спектра мезонов, наблюдаемого в экспериментах. Волновые функции, которые получены в рамках решения уравнения на спектр

масс в предлагаемой модели, теоретически можно использовать для расчета постоянных распада и партонных распределений.

Методология и методы исследования. В диссертации используется метод предельного перехода к гамильтониану на СФ от гамильтонианов на пространственно-подобных поверхностях, приближающихся к СФ. При этом используется метод решеточной регуляризации, сохраняющей калибровочную инвариантность, а также особая параметризация полей на решетке. Фермионы относятся к узлам решетки, а нулевые моды глюонного поля являются реберными переменными, представленными унитарными матрицами. Для дискретизации светоподобной компоненты импульса p_- используется метод регуляризации теории на СФ с помощью ограничения пространства по координате x^- с наложением соответствующих антипериодических граничных условий на фер-мионные поля. Это ведет к возможности не учитывать нулевые моды фермион-ных полей. Переход от действия модели к эквивалентной гамильтоновой формулировке совершается с помощью метода трансфер-матрицы [15]. Спектральное уравнение в непрерывном пространстве решается численными методами.

Достоверность результатов обеспечивается использованием мощного и хорошо развитого математического аппарата квантовой теории поля и сравнением с результатами, известными ранее для различных частных случаев.

Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично или при его прямом участии в неразделимом соавторстве.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих международных конференциях:

7. «Quark Confinement and the Hadron Spectrum XI» (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.).

8. «In Search of Fundamental Symmetries», посвященная 90-летию со дня рождения Новожилова Ю. В. (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.).

9. V международная конференция «Models in Quantum Field Theory», посвященная 75-летию со дня рождения Васильева А. Н. (Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.).

Основные результаты по теме диссертацииопубликованы в 4 печатных изданиях [—], рекомендованных ВАК для опубликования научных результатов диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 82 страницы с 3 рисунками. Список литературы содержит 58 наименований.

Формулировка кварк–антикварковой модели и вычисление ее гамильтониана

Здесь \J_;O обозначает нулевую моду фермионного поля, т. е. определенную равенством Д$гр-о = № - igA3)i\ _0 = 0. Пока параметр L конечен и фиксирован, предельный переход на СФ совершается так, чтобы нулевые моды оставались независимыми динамическими переменными, какими они являются до перехода на СФ. В этом смысле для нулевых мод предельный переход на СФ «замораживается». Таким образом, члены гамильтониана на СФ, содержащие только нулевые моды, сохраняются в виде, соответствующем теории на поверхности близкой к СФ.

Идея рассматривать предельный переход на СФ отдельно для нулевых и ненулевых мод была впервые высказана и исследована в работах [15; 22] на примере массивной модели Швингера, т. е. квантовой электродинамики в 1+1 измерениях. В этой модели была обнаружена зависимость получаемых результатов от способа предельного перехода го — 0 на СФ для нулевых мод. Например, если переходить на СФ, сохраняя размер 2L пространства по х конечным, то становится невозможным описать фермионный конденсат, характерный для данной модели. Однако приближенно значение конденсата удается получить, если рассматривать предел L -+ ос одновременно с предельным переходом на СФ, фиксируя параметр Lr\o и делая его конечным. Этот параметр связывает величину L и угол Ло/2 отклонения от СФ плоскости, на которой определены «замороженные» члены гамильтониана с нулевыми модами. Получаемый в результате эффективный гамильтониан позволяет для модели Швингера вычислять в пределе L — оо как спектр масс, так и величину конденсата при надлежащем выборе параметра Ьц0. Таким образом, нулевые моды, моделирующие динамику в инфракрасной области, дают полуфеноменологический способ описания вакуумных конденсатов и правильного описания спектра масс в пределе снятия регуляризации [22]. В данной диссертации предельный переход го — 0 на СФ совершается аналогичным образом при фиксированном параметре Ьщ и стремлении L к бесконечности. Далее в этой главе формулируется модель взаимодействия кварка и антикварка и, с использованием решеточного действия КХД в форме (1.21), (1.23), вычисляется ее эффективный гамильтониан.

В настоящей диссертации предлагается модель взаимодействия кварка и антикварка в рамках формализма квантования на СФ с динамическими нулевыми модами [23]. Данная модель формулируется как определенное приближение к полной КХД на СФ с некоторыми феноменологическими модификациями. Поскольку рассматриваемый метод представляет основной интерес для низкоэнергетической физики, в предлагаемой модели предполагается, что основную информацию об этой области энергий несет в себе динамика нулевых мод. Такое предположение значительно упрощает исходную формулировку теории, а также позволяет вычислять спектр масс легких мезонов как спектр связанных состояний кварк–антикварковой пары, взаимодействующей через нулевые моды глюонного поля.

Модель формулируется следующим образом:

1. Пространство Фока на СФ, в котором действует эффективный гамильтониан, ограничивается и включает только состояния с одной кварк– антикварковой парой.

2. Все ненулевые моды поперечных компонент глюонного поля исключаются из рассмотрения.

3. Для кварковых полей вводятся антипериодические по x- граничные условия, (-L) = -(-L). Это дискретизует продольный импульс, p- = (2n + 1)/(2L), (n = 0, 1, . . .), и позволяет избавится от нулевых фермионных мод.

Таким образом, в модели остаются нулевые моды поперечных компонент глюон-ного поля, а также ненулевые моды фермионных полей. Компонента A0(y) остается и играет роль множителя Лагранжа в гамильтоновой формулировке. Для перехода от действия (1.21), (1.23) к эквивалентной гамильтоновой формулировке используется метод так называемой трансфер-матрицы (transfer-matrix), изложенный в работе [25]. В этом методе рассматривается выражение f[dU]eiS, Z= [dU]eiS\ (1.24) которое возникает при формулировке квантовой теории через интеграл по траекториям. Далее это выражение записывается через произведение трансфер-матриц: J тЦти+ии. Z = [dU]Tti+uti. (1.25) і Соответствующий этим матрицам оператор Т является оператором эволюции системы во времени и связан с гамильтонианом следующим образом: lim Т ос exp ( -га0Н + Oiai) ) . (1.26) Следовательно, чтобы перейти от действия теории, регуляризованной на решетке по времени, к ее гамильтониану, достаточно построить ее Т-оператор и взять первый член в разложении его логарифма по малому параметру шага 2о временной решетки.

Рассмотрим указанную процедуру применительно к предлагаемой модели. Для применения этого метода в качестве калибровочных условий выбираются выражения Аз = 0, Uo = I. Используя предположения модели и указанную калибровку, глюонную часть действия можно представить в следующем виде:

Предельный переход к гамильтониану модели на световом фронте

Рассмотрим модель взаимодействия кварка и антикварка в 2+1 измерениях для SU(N) калибровочно-инвариантной теории. В этой модели решетка в поперечном пространстве (с параметром а) одномерна и имеет конечное число узлов К±. В дальнейшем для краткости для обозначения координаты х± используется символ х и подразумевается зависимость всех полей от координаты х там, где необходимо. Гамильтониан выглядит следующим образом: где использовано обозначение (1.56) для sm. В дальнейшем значок нормального упорядочивания :: писаться не будет, т. е. члены гамильтониана будут считаться всегда упорядоченными. Стоит обратить внимание, что в (2+1)-мерном пространстве меняются размерности некоторых величин, и поэтому коэффициенты перед некоторыми членами в гамильтониане отличаются от (3+1)-мерного случая. В частности константа связи g2a в 2+1 измерениях безразмерна, а фермион-ные поля (x) выражаются через операторы рождения и уничтожения следующим образом: X W = 7= Z tWe"iftBl"+4rWeiftBl", (2.5) тШ-і где г = ±1/2 ––спиновый индекс, а і = 1,2,..., N –– индексы присоединенного представления группы SU(N) со структурными константами fabc. В этих выражениях Gk и Аа обозначают матрицы Паули и Гелл-Манна соответственно. Перемен 31 ные 7f(x) и U(x) удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям: [па(х], U{x )] = - Ьхх/-и(х), (2.6) [па(х),пь(х ) ] = ibxxlfabcnc(x), а операторы рождения кварка и антикварка Ь , &т удовлетворяют соответствующим каноническим анти-коммутационным соотношениям (при х+ = х + = 0) Ытг{х) г,{х )\ = itfmr(x), r,{x )\ = Ьтт.Ьхх.Ьц.Ьгг.. (2.7) Также здесь по-прежнему использовано обозначение т Є N —1/2 для множества положительных полуцелых чисел, т. е. т = 1/2,3/2,___.

Пространство Фока на СФ в рассматриваемой модели ограничено кварк-антикварковой парой, в которой частицы взаимодействуют через нулевые моды глюонного поля. При этом состояния, входящие в его базис, обладают остаточной инвариантностью относительно калибровочных преобразований в поперечном пространстве. Эти состояния выражаются через операторы рождения и уничтожения кварков и антикварков следующим образом: m y/NKZ т. е. является суперпозицией базисных состояний с волновой функцией fm. Про / стое суммирование по всем узлам решетки в определении (2.8) базиса \т обеспечивает трансляционную инвариантность любого состояния, что в свою очередь соответствует поперечному импульсу р± = 0. Поскольку закон преобразования матриц U при калибровочном преобразовании (х) имеет вид (1.10), введение в определение базисных состояний цепочки из матриц U делает эти состояния инвариантными относительно остаточных калибровочных преобразований, зависящих только от xL. который получился в результате решения калибровочной связи. Его обычно связывают с проявлением эффектов конфайнмента на СФ из-за множителя х - х \. Во-первых, можно заметить, что этот член должен содержать два оператора рождения и два оператора уничтожения, так как в противном случае его проекция на кварк-антикварковые состояния равна нулю. Во-вторых, эти операторы локальны по хЛ, поэтому единственные состояния в кварк-антикварковом базисе, на которых этот оператор не равен нулю, имеют длину ноль (/ = 0). Соответственно, в данной диссертации предлагается феноменологическая модификация этого четырехфермионного оператора следующего рода: 1 хЧх + la)Ux+la X/—Ux/х+1аХ(х + /аЛ где x –– это произвольная точка поперечного пространства. Таким образом, этот оператор становится нелокальным по переменной x на масштабах порядка размера адрона Lhad, при этом остаточная калибровочная инвариантность сохраняется. Такая модификация позволяет расширить его действие на состояния с ненулевой длиной в поперечном пространстве. Стоит отметить, что эта модификация –– часть предложенной эффективной модели. На уровне лагранжиана она сводится к введению нелокального взаимодействия поля A+ с фермионным током, и похожая процедура применяется в работе [26]. В результате удается ввести достаточно хорошую феноменологию. Действительно, в дальнейшем такая модификация приводит к появлению аналога хорошо известного уравнения т Хоофта, которое само по себе широко используется в полуфеноменологических моделях и голографии (см. [27] и ссылки там).

Оператор Hi в этом выражении отвечает за динамику нулевых мод. В результате приведения к нормально упорядоченной форме четырехфермионного члена в исходном гамильтониане появляется два оператора: полностью упорядоченные двухфермионный Я2 и четырехфермионный Я4. Эти операторы связаны со взаимодействием фермионов. Стоит отметить, что вследствие вышеуказанной феноменологической модификации в операторе Я2 также возникает множитель a/(2Lhad), связанный с характерным размером адрона. Оператор Я3 не содержит константы связи, а значит в пределе снятия решетки должен сводится к кинетическому члену гамильтониана на СФ.

Далее для краткости вводится следующая система обозначений. Переменные х, у и z будут использоваться для обозначений координат в поперечном пространстве. Вводится обозначение (2.18) где целое число п соответствует полному продольному импульсу рп = nn/L кварк-антикварковой системы. Суммирование по всем полу-целочисленным индексам в членах гамильтониана не пишется явно, но подразумевается. В промежуточных вычислениях не указывается нормировочный множитель в базисных состояниях (2.8). Разложение (2.5) фермионных полей по операторам рождения и уничтожения кратко записывается в виде где подразумевается наличие соответствующих экспонент и суммирование по индексу т Є N — 1/2. Ввиду наличия антипериодических граничных условий при применении операций dZ1 к этим экспонентам возникают множители типа р"1, а после окончательного интегрирования J_L dx эти экспоненты в совокупности дадут соответствующий символ Кронекера, умноженный на 2L.

Действие гамильтониана на базисные состояния

Вычислим действие оператора квадрата массы Me2ff на базисные состояния \1т). Поскольку Нг (2.16) ––это единственный оператор в гамильтониане (2.4), связанный с нулевыми модами, его следует отождествить с оператором Н , входящим в определение оператора квадрата массы (2.3). Остальные операторы, Щ, Щ, Щ, связаны с ненулевыми модами и входят в определение оператора Н у Оператор Р_ для рассматриваемой кварк-антикварковой системы дает ее продольный импульс, равный рп = nn/L. В то же время ее поперечный импульс равен нулю, поскольку состояния, входящие в базис пространства, обладают трансляционной инвариантностью в поперечном пространстве. Таким образом, можно написать

Теперь необходимо совершить переход к пределу непрерывного пространства а — 0 и снять регуляризацию, устремляя L — оо при Lro = const. Для того, чтобы спектр уравнения на собственные значения оператора квадрата массы остался конечным в этом пределе, необходимо перенормировать голые параметры модели. Оказывается, что если феноменологический параметр Ьц0 считать величиной порядка размера адрона, т. е. с некоторым параметром а 1, то достаточно перенормировать только безразмерную константу связи д2а. Соответствующая перенормировка имеет следующий вид: д2а = д2 , (2.87) где д –– это эффективная безразмерная константа связи на масштабе Ьhad. Теперь в терминах безразмерных переменных meff = meffLhad, mq = mqLhad, r 2 = , E, = — (2.88) можно получить уравнение на спектр связанных состояний рассматриваемой (2+1)-мерной модели в пределе снятия регуляризации L — оо, Lr\o = const, где /(,,г)–– это волновая функция связанного состояния кварка и антикварка, V2 = d2/dr2 –– одномерный оператор Лапласа, а интеграл понимается в смысле главного значения. Переменная , становится в этом пределе непрерывной и принимает значения из интервала 0 , 1. Можно также обратить внимание, что часть этого уравнения, связанная с переменной ,, имеет вид уравнения т Хоофта [24] в двумерной КХД.

Физический интерес представляет обобщение рассмотренной модели на (3+1)-мерный случай. Соответствующий эффективный гамильтониан (1.55) был получен ранее в Главе 1. Он отличается от (2+1)-мерного случая (2.4) суммированием по всем узлам хЛ двумерной К± х К± решетки и присутствием двух поперечных компонент нулевой моды глюонного поля U\ и U2. Также в нем присутствует дополнительный член tr ( G\2GI2 ) , где GY2 является решеточным аналогом соответствующей компоненты тензора напряженности глюонного поля F y.

Для краткости в дальнейшем для обозначения поперечных координат х± = (х\х2) как и в (2+1)-мерной модели используется символ х, а символ а обозначает вектор в направлении хк с длиной, равной шагу решетки а. Также под-разумевается зависимость всех полей от координаты х там, где это необходимо. В этих обозначениях (3+1)-мерный гамильтониан (1.55) можно записать следую щим образом: где фермионные поля х(х) и величины sTO определяются выражениями (1.57) и (1.56) соответственно, а по повторяющимся индексам А; и А; подразумевается суммирование, как и раньше.

В соответствие с предположениями рассматриваемой модели базис пространства Фока на СФ можно записать следующим образом: где целое число п определяет полный продольный имульс состояния рп = Tin/L, величина Fvac(U) –– это вакуумный функционал, определенный в Главе 1 после уравнения (1.60), а Ах = (Z1 2, f2a) ––вектор смещения антикварка относительно кварка на двумерной поперечной решетке. Здесь через U x, обозначены цепочки из матриц Щ и Uk (к = 1, 2), соединяющие точки хих двумерного поперечного пространства по пути S и преобразующиеся аналогично матрицам U± (1.10). Это значит, что в базисе присутствуют состояния, в которых кварк и антикварк связаны «калибровочной струной» по бесконечному числу возможных путей. Это сильно затрудняет анализ модели. Однако, если предположить, что кварк и антикварк связаны между собой преимущественно по кратчайшему пути, и, соответственно, сопоставить каждому их положению только одно состояние в базисе, то тогда удается получить уравнение на спектр масс этой модели. В этом случае нелокальная модификация четырехфермионного члена в гамильтониане (2.90) обобщается на (3+1)-мерный случай естественным образом:

Уравнение на спектр масс в этой модели теперь может быть получено методом, аналогичным использованному для (2+1)-мерного случая. Оператор тг тг , связанный с нулевыми модами, будет по-прежнему измерять длину состояния, на которое действует. Вклад этого оператора вместе с вкладом члена Tr ( G\2Gyi) при действии на вакуумный функционал Fvac(U) даст вакуумное значение оператора Р+vac, которое вычитается из гамильтониана. В операторе, соответствующем кинетическому члену в гамильтониане, перекрестные члены в сумме по к, к сократятся, а оставшиеся дадут кинетический член, в который входит аналог двумерного оператора Лапласа:

Предел тяжелых кварков

Уравнение, подобное уравнению т Хоофта (3.10), встречается и в других двумерных теориях, в которых есть потенциал конфайнмента. Примером является полевая теория Изинга (Ising Field Theory) [41; 42]. В отличие от модели т Хоофта, там аналогичное уравнение описывает некоторое приближение к истинному спектру, однако оно проливает свет на спектр полной теории. В работах [43; 44] рассматриваемая т Хоофтом двумерная модель применяется для исследования задачи о нарушении кварк–адронной дуальности. В свою очередь в [45; 46] отмечается связь некоторых вопросов теории волн на поверхности жидкости с частным случаем 1,2 = 0 уравнения (3.10).

Также аналог уравнения т Хоофта и связанные с ним идеи используются в некоторых феноменологических моделях и голографии [27; 40; 47]. Так, например, существуют попытки построения модели для описания спектра мезонов из голографических соображений с использованием формализма светового фронта [27; 40]. Отправной точкой для них является полученное из рассмотрения AdS5/QCD дуальности эффективное уравнение типа Шредингера на световом фронте для волновой функции мезона. В него входит потенциал в поперечном пространстве, который выбирается исходя из различных голографических моделей. Одна из таких моделей приводит к спектру гармонического осциллятора для квадрата массы мезона. Волновая функция предполагается факторизуемой на поперечную и продольную части, и в работе [27] продольная часть выбирается в виде волновой функции, отвечающей низшему значению в спектре уравнения т Хоофта.

Очевидно, что уравнение т Хоофта играет существенную роль и в предла-гаемойвданной диссертации кварк–антикварковой модели. Тот факт, что некоторые наборы параметров модели приводят к примечательному решению в пределе большой массы фермионов, заставляет исследовать соответствующую асимптотику уравнения т Хоофта. Поскольку заранее неизвестно, какие параметры модели соответствуют экспериментальному спектру мезонов, аналитическое решение для некоторого класса этих параметров может оказаться полезным.

В настоящей главе рассматривается низкоэнергетическая асимптотика спектра уравнения т Хоофта в общем случае 1 = 2 в пределе больших масс кварков (1,2 1). При этом используется метод, основанный напереходек координатному пространству с помощью преобразования Фурье. Полученный в итоге результат показывает, что уравнение т Хоофта сводится в первом приближении к аналогу уравнения Шредингера с линейно растущим потенциалом вида x, т. е. к уравнению для частицы в «треугольной» потенциальной яме. Дальнейшие по 68 правки к этому решению получаются посредством теории возмущений по малому параметру 1/ц,.

Рассмотрим исходное уравнения т Хоофта (3.10). Для изучения его свойств в пределе больших масс кварков удобно ввести следующую параметризацию: М-1,2 = С1,2Щ (3.15) М- = М-1 + М-2, 1 = С1 + С2 В рассматриваемом пределе \х будет стремиться к бесконечности, а с1 и с2 принимают значения от нуля до единицы. Случаю равных масс кварков соответствует с1 = С2 = 1/2. Стоит отметить, что ц-1,2 имеют смысл обезразмеренной массы кварков в указанном пределе, поскольку \і1,2 т21,271/92. Если сделать замену переменных, значение A0 в спектре соответствует минимальному значению первого слагаемого правой части уравнения, которое при выбранном сдвиге (3.16) достигается при си = 0, поэтому A(00) = 2. (3.18) При этом соответствующая собственная функция стремится к дельта функции Дирака 6(си) при ц, — оо. Будем искать поправку к этому значению в виде

В этом уравнении можно сделать формальный переход к пределу t — 0, соответствующий пределу Для первого слагаемого в правой части уравнения (3.23) этот предельный переход хорошо определен, и нетрудно определить поправки к главному значению s2/{C\CQ). Во втором слагаемом этому переходу соответствует замена конечных пределов интегрирования бесконечными: (-сіД, c2/t) — (-оо, оо). Однако поправки к главному значению в этом случае определить гораздо труднее. В работе [48] эти поправки оцениваются как величина, много меньшая t4. После выполнения указанного предельного перехода получится уравнение, уже не содержащее t и, таким образом, соответствующее предельному случаю в первом приближении.