Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Лоренцевская и конформная симметрии 32
1.1. Группа Лоренца 32
1.1.1. Трансляции и калибровочные преобразования 34
1.1.2. Сжатие 0(3) до Е(2) 35
1.2. Представления группы Лоренца 40
1.2.1. Преобразования Лорешш. Нормальные параметры 40
1.2.2. Пространство Минковского. Полная группа Лоренца 43
1.2.3. Геометрия пространства Минковского 49
1.2.4. Соответствие Z-xSZ(2,Q 52
1.2.5. Конечномерные представления SL(2,C) 55
1.2.6. Общее описание релятивистских состояний 55
1.2.7. Релятивистские одночастичные состояния.
Общее описание 57
1.2.8. Релятивистские состояния массивных частиц 62
1.2.9. Состояния безмассовых частиц 65
1.2.10. Связь с формализмом волновых функций 69
1.3. Лоренц-инвариантность как источник симметрии 72
1.4. Конформная симметрия 81
ГЛАВА 2. CPTY.SK. фундаментальная симметрия 95
2.1. Введение 95
2.2. Представления вещественной и комплексной групп Лоренца 96
2.3. Вакуумные матричные элементы от произведения полей 99
2.4. Расширение области аналитичности 1 2.5. Общая формула для СРТ 105
2.6. СРТ для -матрицы 108
ГЛАВА 3. Симметрии стандартной модели 110
3.1 Введение ПО
3.2. Симметрии КХД ПО
3.3. Симметрии электрослабого сектора
3.3.1. Вейлевские, майорановские и дираковские поля 113
3.3.2. Симметрии ароматов 119
3.3.3. Симметрии хиггсовского сектора 127
3.4. Калибровочная симметрия и массы частиц стандартной модели 132
ГЛАВА 4. Точные и нарушенные симметрии в физике частиц 139
4.1. Введение 139
4.2. Намбу-голдстоуновская реализация симметрии 144
4.3. ТеоремаГолдстоуна 151
4.4. Локальные симметрии 153
4.5. Механизм Хиггса 163
556
4.6. Голдстоуновский бозон и лоренц-инвариаитность 166
4.6.1. Голдстоуновские частицы со спином 0 и 1Л 167
4.6.2. Векторный голдстоуновский бозон 169
4.6.3. Голдстоуновский фотон 170
ГЛАВА 5. Непрерывные глобальные симметрии 172
5.1. Введение 172
5.2. Киральные аномалии 175
5.3. Калибровочная теория вакуума 181
5.4. Сильная СР проблема 187
5.5. Киралыюе решение сильной СР-проблемы 191
5.6. Существует ли реальный намбу-голдстоуновский бозон? 196
5.7. Майорон 199
5.8. Глобальные симметрии и гравитация 202
ГЛАВА 6. Дискретные симметрии 207
6.1. Введение 207
6.2. Пространственная четность 208
6.3. Зарядовое сопряжение 211
6.4. Обращение времени 214
6.5. СРГ-преобразование 220
6.6. С,Р, Г нарушаются, нарушается ли СРТ!
6.6.1. С- и Р-нарушение при сохранении СР 226
6.6.2. СР- и Г-нарушения 227
6.6.3. СР-нарушающие зарядовые асимметрии 228
6.6.4. Проверки СРТ с античастицами 229
6.6.5. СРТ и эрмитовость 231
ГЛАВА 7. Суперсимметрия и супергравитация 233
7.1. Проблема иерархий 233
7.2. Теоретические основы SUSY 237
7.3. Спиноры 241
7.4. Спиноры и преобразования Лоренца 242
7.5. Построение инвариантов и 4-векторов из 2-компонентных спиноров 246
7.6. Майорановскис фермионы 248
7.7. Простейший суперсимметричный лагранжиан 252
7.8. Минимальная суперсимметричная стандартная модель. I 257
7.9. Супергравитация
2 7.9.1. Велбейны и спиновые связности 259
7.9.2. Общие свойства теорий супергравитации в 4-х измерениях. 265 ГЛАВА 8. Симметрии Большого объединения
2 8.1. Группа 51/(5) 268
8.2. Масштаб объединения 272
8.3. Суперсимметричное Большое объединение 2 8.3.1. Введение 277
8.3.2. Суперсимметричные теории поля 278
557
8.3.3. Минимальная суперсимметричная стандартная модель (MSSM). II 281
8.3.4. Надо ли выходить за рамки MSSM? 284
8.3.5. Суперсимметричпые лево-правые модели 285
8.3.6. Объединение констант связи 289
8.3.7. Объединение калибровочных констант 290
8.3.8. Объединение калибровочных констант на масштабе, меньшем масштаба Большого объединения 292
8.3.9. Объединение юкавских констант 2 8.3.10. Юкавская связь /-кварка и её инфракрасная фиксированная точка 297
8.3.11. Суперсимметричная SU(5) 298
8.3.12. Суперсимметричная 5 0(10) 305
8.3.13. Большое объединение, основанное на группе Е6 314
8.3.14. SU(5) SU(5) объединение 316
8.3.15. SU(6) Большое объединение 318
8.4. Суперсимметрия и феноменология суперструн 320
ГЛАВА 9. Нарушение лоренцевской и СРГ-инвариантности 325
9.1. Введение 325
9.2. Расширения стандартной модели, нарушающие лоренцевскую инвариантность 330
9.3. Гравитационный сектор 333
9.4. Спонтанное нарушение лоренпевской инвариантности 335
9.5. Bumbleblee модель
9.5.1. Пространство Минковского 340
9.5.2. Риманово пространство 342
9.5.3. Пространство Картаиа-Римана (КР) 343
9.6. Нарушение СРТ подразумевает нарушение Лоренц-инвариантности 345
9.7. СРГ-нарушение в расширениях стандартной модели 352
9.7.1. Введение 352
9.7.2. Механизмы нарушения пространственно-временных симметрии 354
9.7.3. Спонтанное СРТ и Лоренц-нарушение 355
9.7.4. Скаляры, зависящие от пространственно-временных координат 357
9.7.5. Эффективная модель спонтанного СРТ нарушения 360
9.7.6. Расширения стандартной модели, нарушающие СРТ 378
9.8. СРГ-нарушение и декогерентность 383
9.8.1. СУТ-теорема и как ее можно обойти 384
9.8.2. Яматрицаи сильное СРТ нарушение 386
9.8.3. СРГ-симметрия без СРГ-симметрии? 388
9.8.4. Декогерентность и «чистота» состояний при эволюции 389
9.8.5. Оценки величины эффектов нарушения СРТ 395
558
9.9. Некоммутативные теории поля 396
9.9.1. Спин-статистика и СРГ-теорема в некоммутативной теории поля 398
9.9.2. СРГ-теорема в некоммутативной теории поля 400
ГЛАВА 10. Проверка лоренц- и СРГ-инвариантности в физике высоких энергий, астрофизике и космологии 405
10.1. Введение 405
10.2. Кинематика распадов частиц в лоренц-неинвариантных теориях.. 415
10.3. Проверка лоренц-инвариантности и условие стабильности фотона 420
10.4. Проверка лоренц-инвариантности в радиационных распадах мюона 421
10.5. Лоренц-нарушающие нейтринные осцилляции 424
10.6. Лоренц-нарушающие явления, включающие адроны
4 10.6.1. Нейтральные каонные системы 427
10.6.2. Стабильные нейтральные пионы 427
10.6.3. Стабильньтй нейтрон 4 10.7. CZ -обрезание 429
10.8. Барионная асимметрия Вселенной как результат нарушения лоренц-инвариантности? 431
10.9. СРТ нарушение в астрофизике и космологии 4 10.9.1. Параметризация СРТнарушений 438
10.9.2. Проверки, основанные на возможном существовании выделенного направления пространства- времени 440
10.9.3. Проверка СРГ-нечетных нарушений в данных по поляризации космического микроволнового
излучения (CMBR) 441
10.9.4. Проверка СРГ-нечетных нарушений по гамма-всплескам (GRB) 442
10.9.5. Проверка СРГ-нарушения по излучению крабовидной туманности 443
10.10. Нарушение СР- и лоренц-инвариантности в высокоэнергетических нейтрино 447
10.10.1. Стандартные нейтринные осцилляции 448
10.10.2. Осцилляции в веществе 449
10.10.3. Феноменология нейтринных осцилляции в присутствии СРТ я лоренцевских нарушений 450
10.10.4. Нейтринные осцилляции и расширения стандартной модели (СМР) 451
10.10.5. Квантовая декогерентность в нейтринных осцилляциях 4 10.11. СРТ и лоренц-инвариантность в системах мезонов 459
10.12. Электрические дипольные моменты как «пробы» 469 СРГ-инвариантности 469
10.12.1. СР-нечетные, СР-четные операторы 470
559
10.12.2. Проявления СР Г-нечетных DM 473
ГЛАВА 11. СР-нарушение 476
11.1. Введение 476
11.2. СР нарушение в стандартной модели 477
11.3. СР -нарушение в скалярном секторе 484
11.4. Суперсимметрия и СР-нарушение 488
11.5. Комплексная СКМ из спонтанного нарушения СР
и отсутствие FCNC 490
11.5.1. Модель с двумя хиггсовскими дублетами для спонтанного СР-иарушения и FCNC 491
11.5.2. Исключение FCNC с помощью дополнительных симметрии 493
11.5.3. Подавление FCNC большими хиггсовскими массами 493
11.5.4. Спонтанное нарушение СР на большом масштабе 495
11.5.5. Спонтанное нарушение СР без FCNC в фермионных расширениях стандартной модели 497
11.6. Модель геометрического СР-нарушения в дополнительных измерениях 498
11.6.1. Комплексные фазы и СР-нарушение 498
11.6.2. Фермионный пример 500
11.6.3. Связь Р- и СР-нарушений 5 11.6.5. «Удвоенная» стандартная модель и СР-нарушение 505
11.6.6. САМ-модель из асимметричных орбифолдных граничных условий 507
11.6.7. Общий геометрический источникР- и СР-нарушения 508
11.6.8. Профиль геометрического СР-нарушения в MSSM 509
ГЛАВА 12. Фундаментальные симметрии и фундаментальные константы 513
12.1. Введение 513
12.2. Замкнутые системы единиц 523
12.3. Четыре типа фундаментальных констант 525
12.4. Пространственно-временная кривизна
и пространственно-временной объем 526
12.5. Объединение констант, связанных с кривизной 528
12.6. Важность низкоэнергетической суперсимметрии 530
12.7. Константы в космологии 5 12.8. Темная энергия 534
12.9. Фундаментальны ли фундаментальные константы? 535
12.10. Временные вариации фундаментальных констант как проявления новой физики 536
12.11. Фундаментальные константы в физике высоких энергий 541
12.12. Антропный принцип 551
Заключение
- Конечномерные представления SL(2,C)
- Вакуумные матричные элементы от произведения полей
- Голдстоуновские частицы со спином 0 и 1Л
- СР-нарушающие зарядовые асимметрии
Введение к работе
Актуальность работы.
Первые примеры квантовых матричных алгебр возникли в работах В. Дринфельда [D1] и Н. Решетихина, Л. Тахтаджяна и Л. Фаддеева [RTF], где рассматривались алгебры квантовых функций на группах. Вскоре после этого был введен в рассмотрение другой важный класс квантовых матричных алгебр (см., например, [KSkl, KS]) — так называемые алгебры уравнения отражения. Эти алгебры представляют собой математическую основу интегрируемости различных моделей математической физики: квантовых спиновых цепочек, решеточных двумерных статистических моделей, а также моделей, конфигурационное пространство которых содержит границы. В дальнейшем квантовые матричные алгебры стали применяться для построения некоммутативной геометрии (условно говоря, пространств с некоммутирующими координатами) и соответствующих симметрии. Одним из самых первых примеров были конструкции некоммутативного пространства Минковского и квантовой группы Лоренца. Затем стали развиваться различные версии дифференциального исчисления на квантовых группах, что потребовало введения понятия квантованных векторных полей и производных, внешнего дифференциала, дифференциальных форм, представляющих собой обобщение на некоммутативный случай соответствующих объектов классической дифференциальной геометрии.
Все эти приложения потребовали подробного изучения структуры квантовых матричных алгебр и их представлений. Основные результаты диссертации посвящены решению некоторых вопросов из этой области.
Цель работы.
Цели диссертационной работы можно объединить в три основных группы:
Исследование алгебраической структуры алгебр уравнения отра-
жения GL{m\n) типа: тождества Гамильтона-Кэли, спектр квантовой матрицы и спектральное расширение центра алгебры, структура твистованного коумножения.
Построение теории конечномерных представлений, вычисление спектра центральных элементов.
Приложение к некоммутативной геометрии: определение квантового многообразия и дифференциально-геометрических структур на нем: векторных полей, частных производных по некоммутативным координатам, инвариантных дифференциальных операторов высших порядков (один из примеров — оператор Лапласа).
Результаты, представляемые к защите.
-
Для широкого класса квантовых матричных алгебр, параметризуемых Д-матрицами GL{m\n) типа, найдены матричные тождества, обобщающие известные тождества Гамильтона-Кэли матричной алгебры. Коэффициенты тождества представляют собой квантовые функции Шура, правило их перемножения совпадает с классическим правилом Литтлвуда-Ричардсона.
-
Найдены серии билинейных тождеств на симметрические функции Шура. С помощью этих тождеств получена факторизация полинома Гамильтона-Кэли, что позволило инвариантным образом ввести понятия четных и нечетных собственных значений квантовой матрицы. Найдена параметризация центра квантовой матричной алгебры в терминах спектральных значений.
-
Построена квазитензорная категория конечномерных представлений специального класса квантовых матричных алгебр — алгебр уравнения отражений. Найдено правило перемножения конечномерных модулей на основе твистованного коумножения в алгебре.
Вычислен спектр операторов Казимира в конечномерных модулях, параметризуемых одностолбцовыми и однострочными диаграммами Юнга.
-
Введено понятие квантового многообразия (пространства с некоммутативными координатами) — квантованной орбиты коприсоеди-ненного действия группы Ли GL{n) на пространстве gl*(n) — дуальном алгебре Ли gl(n). Алгебра функций на таком многообразии задается в виде фактора алгебры уравнения отражений по идеалу, порожденному полиномиальными соотношениями на центральные элементы.
-
Введены понятия касательных векторов и инвариантных дифференциальных операторов, действующих на функции на многообразии. Важным примером такого оператора является оператор Лапласа. Построена алгебра некоммутативных частных производных, найдено модифицированное правило Лейбница, позволяющее вычислять действие этих производных на некоммутативных функциях.
-
В качестве приложения математических конструкций некоммутативной геометрии рассмотрены модели атома водорода в некоммутативном пространстве и свободные полевые уравнения Клейна-Гордона и Дирака. Для атома водорода вычислены поправки в спектр и волновую функцию, происходящие от некоммутативности пространства, для свободных полевых уравнений найдены решения в виде аналогов плоских волн.
Публикации.
Основные результаты диссертации изложены в 14 журнальных публикациях. Все журналы входят в список, одобренный ВАК:
-
D. Gurevich, P. Saponov, Quantum line bundles via Cayley-Hamilton identity, Journal of Physics A: Math. Gen. 34 (2001) 4553 - 4569.
-
D. Gurevich, P. Saponov, Quantum line bundles on a noncommutative sphere Journal of Physics A: Math. Gen. 35 (2002) 9629-9643.
-
Д. Гуревич, П. Салонов, Неодномерные представления алгебры уравнения отражений, Теоретическая и математическая физика, том 139 (2004) 45-61.
-
P. Saponov, The Weyl approach to the representation theory of reflection equation algebra, Journal of Physics A: Math. Gen. 37 (2004) 5021-5046.
-
Д.И. Гуревлч, П.Н. Пятов, П.А. Салонов, Теорема Гамилътона-Кэли для квантовых матричных алгебр GL{m\n) типа. Алгебра и Анализ, том 17 (2005) 157-179.
-
Д.И. Гуревич, П.Н. Пятов, П.А. Сапонов, Квантовые матричные алгебры GL{m\n) типа II: структура характеристической подалгебры и ее спектральная параметризация, Теоретическая и Математическая Физика, том 147 (2006) 14-46.
-
D. Gurevich, P. Saponov, Geometry of поп-commutative orbits related to Heche symmetries, Contemporary Mathematics, 433 (2007) 209-250.
-
D.I. Gurevich, P.N. Pyatov, P.A. Saponov,Representation theory of (modified) reflection equation algebra of GL(mjn) type, Алгебра и Анализ, том 20 (2008) 70-133.
-
Д. Гуревич, П. Пятов, П. Сапонов, Спектральная параметризация для степенных сумм квантовых суперматриц, Теоретическая и математическая физика, том 159 (2009) 206-218.
-
D. Gurevich, P. Saponov, Braided affine geometry and q-analogs of wave operators, Journal of Physics A: Math, and Theor., 42 (2009) 313001.
-
D. Gurevich, P. Pyatov, P. Saponov, Bilinear identities on Schur symmetric functions. Journal of Nonlinear Mathematical Physics 17, Supplementary Issue 1 (2010) 31-48.
-
D.I. Gurevich, P.A. Saponov, Generic super-orbits in gl{m\n)* and their braided counterparts, Journal of Geometry and Physics 60 (2010) 1411-1423.
-
D. Gurevich, P. Pyatov, P. Saponov, Braided Differential Operators on Quantum Algebra, Journal of Geometry and Physics 61 (2011) 1485-1501.
-
D. Gurevich, P.Saponov, Braided algebras and their applications to Noncommutative Geometry, Advances in Applied Mathematics 51 (2013) 228-253.
Структура и объем диссертации. Работа изложена на 162 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Список цитируемой литературы содержит 112 ссылок.
Конечномерные представления SL(2,C)
Обозначим через Р алгебру Ли, ассоциированную с группой Пуанкаре, - набор инфинитезимальных трансляций , вращений и сдвигов. Под супералгеброй Пуанкаре понимается прямая сумма Съ@С =Ли P@{SUSY}. (В.9) Это супералгебра Ли (Z2 - градуированная алгебра Ли). Элементам векторных пространств GQ И Gy - присваивается степень или четность 0 и 1, т.е. они считаются четными и нечетными (бо-зонными или фермионными) и записываются в виде В = GQ,
Вместо обычного коммутатора Ли [А, В] = АВ - ВА вводится Z2 градуированный коммутатор [А, В}, который имеет свойства антикоммутатора {А, В} = АВ + ВА, если А и В - оба ферми-онных элемента. В противном случае, { } имеет свойства коммутатора. Схематично можно записать [B,B]=B; [B,F]=F; [F, F] = В. (BIO)
В супералгебре Пуанкаре соотношение [В, В] = В суммирует коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре В = Ли Р и - структурные константы, (р ) )1 = 0,...3 - генераторы пространственно-временных трансляций (поскольку р =ід в представлении дифференциальными операторами). Соотношение (В. 11) означает, что генераторы суперсимметрии являются «корнями квадратными» из генераторов трансляций.
Суперсимметричная квантовая механика и суперсимметричные теории поля представляют собой реализации Пуанкаре супералгебры. Суперсимметричные генераторы связывают бозонные и фер-мионные поля, т.е. характеризуют симметрию между этими полями.
Внутренние глобальные симметрии Рассмотрим в качестве примера эволюцию в квантовой механике свободной частицы массы т и заряда е. Эта эволюция описывается уравнением Шредингера Hx = ihdtx, (В. 12) где Н=—г =— —V2 - оператор Гамильтона, = ( ,0 2т 2т\і ) волновая функция, ассоциированная с частицей. Очевидно, что уравнение (В. 12) инвариантно относительно глобального (от г и t независящего) фазового преобразования Y Y = e!aY, (ВІЗ) где ОС є R и принимает постоянное значение. Заметим, что е1а-элементы абелевой группы U(l).
Подчеркнем, что инвариантность (В. 13) представляет собой внутреннюю симметрию: преобразование действует в пространстве полей Р, но на не пространственно-временном многообразии. Согласно теореме Нетер, инвариантность уравнения движения относительно непрерывных преобразований (В. 13) подразумевает существование сохраняющегося заряда. Действительно, легко прове рить, что интеграл (г,/1)) d х, который ассоциируется с элек R3 трическим зарядом частицы, не зависит от переменной t, если Р -решение уравнения (В. 12). Локальные симметрии Теперь рассмотрим локальные (зависящие от г и/) или калибровочные преобразования фазы W (r,t) = e,a(r t)x(r,t\ a(r,t)eR. (В. 14) В этом случае уравнение Шредингера (В. 12) уже не будет инвариантным относительно этих преобразований. Чтобы это проверить, введем релятивистские обозначения (а также систему единиц, в которой с= 1) для производных (Э VF) = \ = (dt4,,VW) по т.е. члены Э а присутствуют в «штрихованном» (калибровочно преобразованном) уравнении Шредингера. Таким образом, чтобы калибровочные преобразования (В. 14) являлись симметрией теории, нам следует модифицировать уравнения движения (В. 12) так, чтобы они сохраняли свою форму при преобразованиях (В. 14). Для этого следует ввести в уравнение движения новые поля, которые бы обеспечили их ковариантность. Простой способ реализации этой идеи - ввести скалярный ф(г,t) и векторный A(r,t) потенциалы в уравнение Шредингера с помощью процедуры «минимальной» связи: заменить обычные производные на ковариантные
Иначе говоря, заменить ot — 0f Н ф, V — V -—А . Кроме то h h го, следует потребовать, чтобы калибровочное векторное поле (А ) преобразовывалось при калибровочных преобразованиях неоднородно т.е. компенсировать нежелательные члены с Э ос в «штрихованном» уравнении. Действительно (D V) - D{A\ = (Э +-А )(еіаЧ ) =
По своему построению уравнение Шредингера (В.21) инвариантно относительно калибровочных преобразований Ч и А (которые оставляют неизменным Е и В).
Таким образом, мы начали обсуждение с уравнения Шредингера для свободной частицы. Это уравнение инвариантно относительно глобальных U(l) и преобразований, подразумевающих, согласно теореме Нетер, сохранение электрического заряда. Требование же локальной U(l) инвариантности подразумевает: 1) введение калибровочного поля А ; 2) характер взаимодействия между полями материи и калибровочными полями фиксируется требованием инвариантности. Это проявление калибровочного принципа, играющего важнейшую роль при построении современных моделей элементарных частиц и их взаимодействий. Так, идея неабелевой калибровочной симметрии лежит в основе стандартной модели.
Обратимся теперь к неабелевым калибровочным теориям, основанным на компактных группах Ли G, например, на унитарной группе SU(«). Это группа п X п матриц А с комплексными элементами, при этом А А = 1 и detA = l. Как и в случае квантовой механики, будем предполагать следующее:
Калибровочные теории, основанные на группах U(l), SU(2) и SU(3), описывают электромагнитные, слабые и сильные взаимодействия. При этом сохраняющимися зарядами являются электрический заряд, слабый изоспин и барионное число.
Калибруя трансляции (а — а (х)), можно построить общую теорию относительности, которая инвариантна относительно группы общих координатных преобразований х — х х + а(х). Аналогично, калибруя преобразования суперсимметрии, приходим к супергравитации - суперсимметричному расширению общей теории относительности. На самом деле, однако, общая теория относительности строилась иначе. Эйнштейн вывел теорию из единственного симметрийного принципа - принципа эквивалентности (инерционной и гравитационной массы), который нашел свое формальное выражение в принципе общей ковариантности: эквивалентности всех систем отсчета при описании физических законов.
Локальная симметрия и динамика Согласно теореме Нетер, каждая непрерывная симметрия приводит к сохраняющемуся току уц (х) . Локальная симметрия, такая как калибровочная симметрия электромагнетизма или диффео-морфная симметрия уравнений Эйнштейна, содержит бесконечное число симметрии в каждой пространственно-временной точке. Это означает, что должно быть бесконечное число сохраняющихся токов. Где же они? Определенно, у нас нет бесконечного числа сохраняющихся величин в электромагнетизме.
Вакуумные матричные элементы от произведения полей
Векторы v пространства Минковского можно релятивистки инвариантным образом разделить на следующие классы: временипо-добные, светоподобные и пространственноподобные вектора. Временило добные - это такие вектора, для которых v v 0. Если v0 0, то о таких векторах говорят как о положительных времениподобных векторах; если v0 0 - отрицательных времениподобных векторах (v0 = 0 - невозможно). Для светоподобных векторов v v = 0. Вектора называют положительными светоподобными, если v0 0 и отрицательными, если v0 0. Случай v0 = 0 возможен только для нулевого вектора v = 0. Наконец v - пространственно-подобен, если v v 0; знак в этом случае не является инвариантом. Если v - положительный (отрицательный) времениподобный вектор, то существует вектор v и Лоренц преобразование Л такое, Единственными инвариантными тензорами в пространстве Минковского являются комбинации метрического g„v и символа Леви-Чевита є: nvpa = 1; если l-ivpa - четная перестановка 1230 nvpa = 1 если l-ivpa - нечетная перестановка 1230 (1.84) лфс = 0, - если два индекса одинаковы. Для заданного вектора v пространства Минковского набор ло-ренцевских преобразований Г, которые оставляют вектор неизменным, называется, как уже отмечалось, малой группой (или стабилизатором) W(v). Малая группа вектора v зависит только от знака v-v в том смысле, что если v v 0 и и и 0, то малые группы W(v) и W(u) изоморфны. Чтобы доказать это утверждение, заметим, что W(y) и W(Av) изоморфны для любого Л. Действительно, если Tv = v, то TvT_1 принадлежит W(Av) и наоборот. Более того, W(v) идентична с W(av) для любого числа а Ф 0. Таким образом, оказываются существенными только три малые группы. Точнее, если v v 0, малая группа изоморфна W(nt), если же v v = 0, малая группа изоморфна W(v), vQ = v3, Vj = v2 = 0; если v v 0, малая группа изоморфна W(« ), n" = 8 .. Это обстоятельство упрощает изучение малых групп. Малая группа W(nt) = SO(3) - группа 3-мерных вращений. W\y) = SO{2) Т2, SO(2) - группа вращений вокруг оси OZ, а Т2 будет определена ниже. W(rr ) = Z+ (3), где Z+ (3) - «лоренцеподобная» группа в 3-х измерениях, действующая только на время и на плоскости XOY и оставляющая OZ неизменной. Первое из утверждений нам уже известно. Обратимся ко второму (светоподобному) случаю. Пусть Г -элемент W(y) и N— подпространство пространства Минковского, ортогональное к v , т.е. если и є N, то и -v = 0 . Очевидно, что подпространство N инвариантно относительно Г. Базис N образуют три с произвольными значениями Гзь Гзг- Этот набор матриц имеет структуру, подобную евклидовой группе плоскости: SOz(2)xT2, где SOz(2) - вращение вокруг оси 02:
В заключение этого раздела сформулируем несколько определений. Световым конусом называется набор векторов для которых v =0. Если, кроме того, vo 0 (vo 0), то говорят о переднем положительном (заднем, отрицательном) световом конусе, обозначаемом
Набор векторов U с и = т 0 обозначается Ог(т), (±) соответствует знаку Uo и называется передним положительным (задним, отрицательным массовым гиперболоидом для Ио 0 (мо 0)). Набор векторов со, таких, что со со = —\х, , 1 0 называется гиперболоидом мнимых масс 2(ii). Нетрудно проверить, что наборы V , V, О, (т), Q, (т), Q,(i\i) ин Т варианты относительно L+, и каждый вектор из одного из этих наборов получается соответствующим преобразованием любого другого элемента из того же набора. 1.2.4. Соответствие L SL(2, С)
Найдем далее изображения малых групп в SL(2,C). Для време-ниподобного случая выберем вектор щ с nt = 8 0 . Тогда nt=\, изображение U вращения R удовлетворяет условию UU =1, т.е. изображением подгруппы SO(3) группы L является подгруппа SU(2) группы SL(2,C). Для светоподобных векторов выберем п = nt+ п , причем щ выберем, как и раньше, a rv = 8 3 Тогда
Если N - изображение в SL(2,C) - малой группы преобразования Г: Ти=п, то оно должно удовлетворять условиям:
Эта формула является дополнительной к (1.92), и она определяет другое представление группы L в SZ(2,Q, неэквивалентное (1.92). Свяжем это представление со стандартным дираковским формализмом. Для этого заметим, что в вейлевской реализации гамма-матриц о
Обозначим через М2 алгебру Ли SL(2,C) - она состоит из 2x2 комплексных матриц с нулевыми следами. Если Ах - алгебра под С -і—г группы SU(2) группы SL(2,C), то А1 = М2 . Поэтому представления группы Лоренца можно получить с помощью представлений группы вращений. В частности, коэффициенты Клебша-Гордона для SU(2) и SL(2,C) - одинаковые. Таким образом, с помощью простого тензорного произведения можно построить представление SL(2,C), которое при ограничении на группу вращений соответствует спину у/2.
Во многих приложениях удобно ввести абстрактные характеристики релятивистских состояний. Будем считать, что этим состояниям соответствует импульс р и другие величины, обозначаемые через , (это может быть компонента спина). Задача будет состоять в построении состояний \р, О и изучении их трансформационных свойств при релятивистских преобразованиях. Инвариантной группой в теории относительности является группа Пуанкаре, иногда называемая неоднородной группой Лоренца. Её элементы - пары (а, А), где a - 4-мерные трансляции, состоящие из пространственных трансляций на вектор а и временных трансляций на а0/с , а также собственного (ортохронного) Лоренц-преобразования Л. Генераторы группы Пуанкаре включают генераторы вращений, сдвигов и трансляций. Для любого представления Ща,А) группы Пуанкаре инфинитезимальные преобразования имеют вид
Голдстоуновские частицы со спином 0 и 1Л
В последних выражениях N - число генераторов группы симметрии. Различные числа перед вкладами от /(1) калибровочных бозонов содержат квадраты соответствующих гиперзарядов, помноженные на число состояний (например, uR дает фактор 4/9, а дублет (u,d)L - фактор 2-1/36). Заметим, что как для тока барионного числа, так и для тока лептонного числа не только SU(2), но и /(1) факторы одинаковые 9 18 J I 2J Это означает, что полное фермионное число B+L нарушено на квантовом уровне, но разность B—L сохраняется Аналогичная ситуация в КХД. В пределе ти d — О эта теория обладает на классическом уровне глобальной симметрией SU(2)VXSU(2)AXU(\)AxU(l)v. Однако /(1) ток имеет киральную аномалию, поскольку кварки несут цвет и взаимодействуют с глюонами. Учитывая вклад и и d кварков в треугольную диаграмму, получим
Нарушения (B+L) тока в электрослабой теории и U{\)A тока в КХД, определяемые соотношениями (5.34) и (5.35), весьма похожи. Тем не менее, эти квантовые поправки весьма различны. Как будет видно ниже, ток J сильно нарушен квантовыми КХД-эффектами. В результате, как уже отмечалось раньше, классическая U(l)A симметрия не является точной симметрией сильных взаимодействий. Ток же JQ+L чрезвычайно слабо нарушен квантовыми поправками, за исключением ранней Вселенной, где температурные эффекты усиливают эти вклады. Таким образом, при нулевой температуре полное фермионное число (B+L) сохраняется.
Физически эти два результата просто необходимы. Образование конденсатов и и d кварков в КХД очевидным образом нарушает как SU(2)A, так и U{\)A симметрию. Если бы U{Y)A была бы точной симметрией, то можно было ожидать существование ассоциированного намбу-голдстоуновского бозона (г-мезона) со свойствами, похожими на свойства SU(2)A намбу-голдстоуновского бозона (л-мезона). Хотя эти состояния предполагаются безмассовыми, если глобальные симметрии точные, оба состояния должны иметь близкие массы даже с учетом масс и и d кварков. Однако экспериментально т »тп, т.е. U{\)A не может быть симметрией КХД. Поэтому сильное нарушение JA за счет аномалий - вполне желаемый результат. В электрослабой же теории очень важно, чтобы аномальное нарушение (B+L) не приводило к большим наблюдаемым эффектам, по 180 скольку существует очень строгое экспериментальное ограничение на нарушение барионного числа, например, для В - нарушающего распада р —» е+п ограничение
Чтобы понять, почему аномальный вклад в соотношение (5.36), связанный с U(1)A током важен, а аномальный вклад в (5.34), связанный с (B+L) током, несущественен, необходимо исследовать свойства вакуума калибровочной теории.
Вакуумное состояние, по определению, это такое состояние, в котором все поля обращаются в ноль. Для калибровочных полей это определение следует несколько расширить, поскольку эти ПОЛЯ сами по себе нефизические. Поэтому для калибровочных полей вакуумное состояние, в котором или А% = О или состояние, полученное калибровочным преобразованием А% = О . Для этих целей достаточно исследовать SU(2) калибровочную теорию, поскольку этот пример сохраняет черты более общих теорий. В SU(2) теории удобнее рассматривать временную калибровку, в которой А{)а = О (а= 1, 2, 3). В этой калибровке пространственные компоненты калибровочных полей оказываются независящими от времени A1 (f,t) = A a(f) . Но даже в такой калибровке существует «остаточный» калибровочный «произвол». Определяя калибровочную матрицу А1 (г), свертывая калибровочные поля с матрицами
При этом можно построить матрицу преобразований Q,n{f)c winding number п, объединяя п раз матрицу преобразований Qj(F):
Если иметь в виду вышеупомянутые свойства, то становится очевидным, что п-е вакуумное состояние, соответствующее калибровочной конфигурации А п (г), не является полностью калибро-вочно инвариантным. Действительно, большое калибровочное преобразование способно трансформировать А п(г) в следующее состояние то 0-вакуум калибровочно-инвариантен. С использованием 0-вакуума, как истинного вакуума калибровочных теорий, вакуумный функционал этих теорий делится на два различных сектора. Если 10)+ - 0 -вакуумные состояния при t = ±, то вакуумный функционал теории принимает следующую форму:
СР-нарушающие зарядовые асимметрии
Вскоре после открытия стандартной модели стало очевидным, что включение этой модели в более общие локальные симметрии ведет к двум очевидным преимуществам: а) высшие симметрии способны обеспечить кварк-лептонное объединение; б) эти симметрии ведут к описанию различных сил в терминах одной калибровочной константы. Насколько важно объединение калибровочных констант, было показано в работе Georgi, Quinn, Weinberg. Они использовали известный факт: константы связи теории зависят от массового масштаба. Ими было показано, что калибровочные константы могут объединяться на масштабе 10 ГэВ. Хотя этот масштаб и находится слишком далеко от возможностей современных ускорителей, объединение способно проявлять себя в барионной нестабильности (распад протона). Это наблюдение стимулировало целое поколение экспериментов по поиску распада протона. В минимальной модели большого объединения, основанной на группе SU(5), время жизни протона теоретически предсказывалось в интервале 2.5 10 лет хр 1.6 10 лет. Экспериментальные данные исключили этот интервал тр, исключив тем самым минимальную несуперсимметричную SU(5) модель. Кроме того, минимальная несуперсимметричная SU(5) модель предсказывает гораздо меньшее значение sin Qw, чем наблюдается экспериментально.
Возрождение интереса к идее большого объединения возникло в середине 1980-х годов, когда идеи SUSY стали частью феноменологии элементарных частиц. Прежде всего, было осознано, что большая иерархия между электрослабым масштабом и масштабом большого объединения возможна только в суперсимметричной схеме. Во-вторых, чтобы совместить измеряемое значение sin Qw со значениями as и а, в эволюции констант, следует учесть суперпартнеров.
Нужно иметь в виду, что суперсимметрия - не единственная физическая теория вне стандартной модели, которая приводит к объединению констант и согласуется с измеряемым значением sin Qw .
Если нейтрино имеют массы в диапазоне микро и миллиэлектрон-вольт, то see-saw механизм дает и подразумевает, что Мв ь масштаб составляет порядка 10 ГэВ. Еще в начале 1980-х годов было показано, что объединение констант возможно и в отсутствии суперсимметрии, если предположить, что на масштабах, больших Мв ь, группа калибровочной симметрии
При описании объединения калибровочных констант используют метод ренорм-группы. Предположим, что мы хотим описать эволюцию констант связи между масштабом Afi иМ2 (т.е. Mi ц М2), соответствующим двум масштабам физики. Уравнение ренорм-группы зависит от вида калибровочной симметрии и полевого содержания теории при ц = Mi. Однопетлевые уравнения эволю g2 ции для калибровочных констант (определим аг =——) выглядят где d(R) - размерность неприводимого представления, г - ранг группы (число диагональных генераторов). Важно отметить, что на масштабе Большого объединения (GUT) калибровочная группа входит в состав GUT, т.е. генераторы должны быть нормированы одинаково. Это означает, что если Эа-генераторы группы при низких энергиях, то они должны удовлетворять условию tr (Оа @ь ) = 2 Ъаъ- Если мы суммируем по фермионам одного поколения, то обнаруживаем, что это условие удовлетворяется для SU(2)L И SU(3)C групп. С другой стороны, для оператора гиперзаря (з Y да следует записать в7 = J , чтобы удовлетворить условию нормировки. Это обстоятельство следует учесть при вычислении коэффициента Ь\. Для MSSM коэффициенты bt равны Ь3 = -3, b2=+l и b\ = 33/5, где индекс і обозначает группу SU(i) (і 1) и при этом предполагается наличие трех поколений фермионов. Уравнения эволюции для калибровочных констант записываются в виде
Если эти три уравнения с двумя свободными параметрами совместны, то происходит объединение констант связи. Эти уравнения приводят к самосогласованному уравнению получим Да = -1 ± 2. Таким образом, на однопетлевом уровне объединение констант действительно происходит. Рассматривая любые два из уравнений эволюции (8.40), находим масштаб большого объединения Ми 1016 ГэВ и 01 = 24 . Сравним «степень» объединения в суперсимметричной и стандартной модели. Величины bj в стандартной модели Ъ\ = 41/10, / 2 = -19/6 и &з = -7. Объединение калибровочных констант в этом случае требует, чтобы A«w = 1(Mz)- fa-21(Mz) + a (Mz) = 0. (8.43) С помощью экспериментальных значений получаем Дос = = 6.5 ± 0.2 , что отлично от нуля на много «сигм». . Объединение калибровочных констант на масштабе, меньшем масштаба Большого оОбъединения
Важным аспектом Большого Объединения является возможность существования промежуточных симметрии для реализации симметрии Большого объединения. Например, существование калибровочной группы SU(2)LxSU(2)R U(\)B_LxSU(3)c до того, как калибровочная группа становится группой SO(10). Обсудим, как эволюционные уравнения модифицируются в этом случае. Предположим, что на масштабе М\ происходит расширение калибровочной симметрии. Чтобы учесть это обстоятельство, необходимо совершить следующую последовательность действий: 1) если «меньшая» группа G\ входит в «большую» группу G2 на масштабе М\, то на однопетлевом уровне используется условие