Квантовые поправки к гравитационному дальнодействию Кирилин Григорий Геннадьевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Структура логарифмических вкладов 14

1.1 Метод интегрирования но областям 14

1.2 Разложение по флуктуацпям 24

1.3 Вычисление функциональных детерминантов 2G

1.4 Лагранжиан скалярного массивного поля 30

1.5 Репараметрпзационпая инвариантность 32

1.6 Правила ФеШшана для гравитонов и скалярных частиц 35

2 Квантовые степенные поправки в закону Ньютона 37

2.1 Общин анализ 37

2.2 Петлевые диаграммы и классические поправки к гамильтониану Эинштеина-Ипфельда-Гоффмана 38

2.3 Квантовые степенные поправки к закону Ньютона 39

3 Квантовые поправки к метрике 44

3.1 Точная амплитуда и эффективный оператор 44

3.2 Амплитуда рассеяния усредненная по спину 48

3.3 Квантовые поправки к метрике Шварцшильда 52

3.4 Квантовые поправки к взаимодействиям, зависящим от скоростсіі частиц , 54

4 Квантовые поправки к спиновым эффектам

4.1 Вращающееся тело, составленное из скалярных частиц

4.2 Квантовые поправки к спиновым эффектам для частицы со спином 1/2 . 67

Матричные элементы 69

Квантовые поправки к спиновым эффектам 72

Последние замечания относительно эффективных операторов 73

Заключение 7С

Приложения 77

Приложение А. Асимптотическое разложение "трсугольноіі" диаграммы 77

Приложение Б. Поляризация флуктуации внешним гравитационным полем. 78

Приложение В. Вклад второго борцовского приближения пропорциональный

Приложение Г. Некоторые полезные интегралы 83

Литература

• Метод интегрирования но областям
• Общин анализ
• Точная амплитуда и эффективный оператор
• Вращающееся тело, составленное из скалярных частиц

Введение к работе

Общая теория относительности (ОТО) - теория, которая описывает гравитационное взаимодействие между телами. Так же, как у любой другой физической теории, предсказательная сила ОТО, т. е. совокупность всех явлений, которые могут быть описаны данной теорией, имеет ограниченный характер. Данные ограничения связаны с наличием "разрешенной" области возможных значений величии, характеризующих описываемое явление. Границы подобных областей обычно выражаются и физических величинах, составленных из фундаментальных констант; это связано с тем, что при построении теории мы пренебрегли некоторыми фундаментальными свойствами природы, не существенными для описываемых явлений. Таким предельным параметром для ОТО является длина Планка l_p = y/Gli/c³, характеризующая расстояния, на которых становятся существенными квантовые флуктуации самого гравитационного поля.

В силу указанных выше ограничений предпринимаются многочисленные попытки создать на основе ОТО квантовую теорию гравитации, которая описывала бы явления с характерными масштабами порядка планковской длины, и, в некотором пределе, переходила бы в классическую ОТО. Если интерпретировать уравнения Эйнштейна как уравнения для компонент гравитационного поля, то ОТО будет иметь много общего с классической теорией поля. Под словом "классическая" подразумевается теория поля, к которой применим гамнльтонов формализм, т. е. поле в отсутствии источников можно рассматривать как механическую систему с бесконечным числом степеней свободы. Арновитт, Дизер и Мизнер в работах J1—3] показали возможность определения обобщенных координат и канонически сопряженных импульсов гравитационного поля. В этих переменных уравнения Эйнштейна представляют собой уравнения Гамильтона. Следовательно, гравитационное поле можно "квантовать" стандартными способами, такими как каноническое квантование или интегрирование по траекториям. С этой точки зрения имеется прямая аналогия теорией с локальной калибровочной симметрией и квантовой гравитацией [4]. Дело в том, что ОТО изначально строилась в виде теории, -5-шшариантной относительно группы общих преобразований координат; $9тп{х) = -дап^а,т - QmaCn ~ 9тп,аС (0-1) = / [-д_тп<а(^х)5(х,з?)+9<т{х)5_іт(х,х?)+д_ат(х)6,_п(х,х')] C{x')d^dx', легко показать, что величина в квадратных скобках является битеизорной плотностью, т.е. преобразуется как коварпаитиый тензор в точке х и как коварннатпая векторная плотность в точке х'. В общем виде выражение (0.1) можно переписать следующим образом: Sg^A = Q\(g)e, (0-2) где под индексом А мы подразумеваем десять компонент, соответствующих ковариант-пому тензору, и координату х, а под индексом а мы подразумеваем компоненты кон-травариантпой векторной плотности и координату х', причем повторяющийся индекс соответствует как суммированию, так и интегрированию. Величины Q удовлетворяют стандартным коммутационным соотношениям Q^A_a,uQ^Db - Q^Ab,uQ^Da = c^c_abQ^A_c, (0.3) которые являются следствием того, что диффеоморфизмы являются группой. Здесь запятой с последующим прописным индексом мы обозначили функциональную производную по дл, a c^c_aj являются структурными константами группы.

Так же, как локальные калибровочные преобразования в КХД, преобразования (0.2) ведут к многочисленным следствиям. Так, например, калибровочная инвариантность сильно ограничивает выбор возможных структур при построении лагранжианов уже известных нам полей во внешнем гравитационном поле. С учетом уже разработанной техники БРСТ квантования можно ввести дополнительные поля - духи Фадеева-Попова, с тем чтобы при построении теории возмущений явно сохранять инвариантность относительно БРСТ-преобразовапий, что сильно облегчает вычисления по сравнению с каноническим квантованием, использующим нековарпантпые калибровки¹. ¹ Можно сказать, что само понятие духов пришло в другие калибровочные теории из квантовой гравитации (см. работы Феінімапа [5] и До-Внтта [G-S]), рецепт же Фадеева-Попова \9] позволил до предела упростить всю процедуру построения лагранжиана духов.

Однако сразу же после формулировки ОТО в виде релятивистской квантовой теории поля с действием Эйнштейна стало ясно, что данная теория не проходит даже стандартных тестов па перепормируемость. Эффективная константа связи в действии Эйнштейна _{-J *'[-&} ^т (0.4) постоянная Ньютона G = 6.7 10~^зэГэВ~², имеет размерность массы в отрицательной степени, что неизменно влечет за собой возрастающие с порядком теории возмущений степени расходимости интегралов для фепнмановских диаграмм. Самым простым примером может служить поляризация флуктуации других полей внешним гравитационным полем [10-15]. Возникающие одпопетлевые контрчлены должны иметь структуру типа C_counter = ^- (_Cl R^abRab + c₂R² + c₃ R^abcdR_abcd) , (0.5) где - бесконечно малый параметр регуляризации, а с* - константы, конкретное значение которых зависит от типа флуктуации, R_abcd, Rab, R ~ тензор Римана, тензор Риччи и риманова кривизна, соответствен по. Член, пропорциональный квадрату тензора Римана, можно исключить из выражения (0.5), поскольку в четырехмерном пространстве имеется тождество [16], аналогичное инварианту Гаусса-Бонпе: л/^д {R^abcdRabcd - 4RabR^ab + R²) = полная производная , (0.6) с помощью которого можно исключить квадрат тензора Римана и переопределить константы сі и С2- Оказывается, что почти во всех разумных случаях существует связь между константами: С\/с2 = —3. Это происходит тогда, когда след недиагонального матричного элемента от пеперепормироваппого тензора энергии импульса флуктуирующего поля равен нулю, т, е, поле имеет конформный вид. Исходя из соотношения унитарности, легко показать, что соответствующий контрчлен будет иметь вид: є где C_abcd - конформный тензор Всйля (более подробно мы рассмотрим флуктуации электромагнитного поля в Приложении Б). Если же рассматривать флуктуации самого гравитационного поля [21,23], то лагранжиан контрчлепов (0,5) будет обращается в ноль на уравнениях движения R_mn = 0, следовательно, может быть исключен с помощью соответствующего переопределения полей. Однако контрчлены, возникающие при вычислениях в более высоких петлях, не будут обращаться в ноль на уравнениях движения. Так, например, в двух петлях отсутствует двойпоіі полюс 1/е², а контрчлены сводятся к единственной структуре [24-26]: ^counter = —. noon' " -^ <^ е/^^Є ab (0-8)

4л- 2880 є

Если рассматривать ОТО как пизкоэпергетнческий предел некоторой более фундаментальной теории, то ОТО в этом смысле уникальна, т. е. она является единственно возможной теорией, совместимой с тремя простыми требованиями: лореиц-ипвариантность, дальнодействие гравитационных сил и их односторонняя направленность (притяжение), а также тот факт, что отклонение света гравитационным полем практически не зависит от частоты света и его поляризации. В работах Вайпбсрга (27-29], а также Боулера и Дезера [31,32] показано, что безмассовые частицы со спиралыюстыо ±2 должны описываться эффективной полевой теорией, удовлетворяющей принципу эквивалентности, т. с. мягкие гравитоны должны взаимодействовать с любыми частицами абсолютно универсальным образом. Эта универсальность доказывается с помощью ннзкоэперге-тических теорем, аналогичным соответствующим теоремам для тормозного излучения при рассеянии адронов, следствием которых является тот факт, что первые два члена при разложении амплитуды рассеяния по частоте фотона выражаются через амплитуду упругого рассеяния универсальным образом, т. е. независимо от деталей электромагнитной структуры адропа (более подробно мы рассмотрим соответствующие пизкоэнерге-тичеекпе теоремы в главе 3 в связи с упругим рассеянием гравитона на частицах с различным спином).

Дезер и Боулер показали, что эффективное действие в этом случае полностью восстанавливается из аналитических свойств ^-матрицы и совпадает с действием Эйнштейна (0.4). В общем случае к плотности лагранжиана необходимо прибавить бесконечное число слагаемых более высокого порядка по д_ад_тп с дополнительными феноменологическими константами, перенормировке которых соответствуют коптрчлеиы (0.7), (0.8), т.е. ^W(ff) = -^=| (я + cii; R² + с₂ ll R^mnR_mn + с₃ ПТК^шп + .-.) (-⁹)

Дапиое выражение надо понимать как операторное разложение по величине 1_Р Е, где Е -характерная энергия гравитонов. В соответствующем континуальном интеграле присутствуют степени свободы с длинами волн только до определенного масштаба ультрафиолетового обрезания /i_uv (конечно, для того чтобы сохранить калибровочную инвариантность на всех этапах вычислений, мы будем пользоваться размерной регуляризацией).

Хорошо известно, что с помощью эффективного действия можно рассматривать не только древесные амплитуды, но и ведущие логарифмические поправки к ним. Простейший пример логарифмических поправок в эффективной теории мягких пионов приведен в учебнике ВаГшберга [33], их гравитационный аналог - петлевые поправки к амплитуде рассеяния четырех гравитонов - рассмотрен Данбаром и Норриджем [34,35].

Данная диссертация посвящена петлевым поправкам к амплитуде рассеяния двух частиц с массами mi и т,2 при малой передаче импульса q² <С mf. Данная амплитуда является функцией двух кинематических переменных: s — (pi +Р2)² и = q². Разложим данную амплитуду с пределе малых t: A(s,t) = A₀(s)^T-^p- + A,{s)^{mx^}²⁾ + A₂(s)log i-t/fi²) + A₃(s, _fi) + 0((). {0.10)

Как видно из всего предыдущего рассмотрения, полюсной член отвечает единичному обмену гравитоном. Как мы увидим ниже, член, содержащий у/—і, яшіяетея следствием древесной итерации одиогравнтопного обмена, член же, пропорциональный log(—t/ft), есть первая нетривиальная петлевая поправка к амплитуде (и, как видно из предыдущего рассмотрения, единственная, ведущий коэффициент перед которой определяется только классическими измерениями, т. е. константой G). В нерелятивистском пределе s —> (ті +ТП2) амплитуда (0.10) соответствует борцовскому ряду: ⁺(^)V^e"^ip'^ri^^{(ri)G+(ri,r2)f>(r2)e,prMridr2+}''''^(o,ii) где m - приведенная масса, С+(гь г₂) - запаздывающая функция Грина. Таким образом, сравнивая амплитуды (0.10) и (0.11), можно вычислить потенциал взаимодействия двух тел. Первые два члена в амплитуде (0.10) отвечают закону Ньютона и классической поправке Эйнштенна-Ипфсльда-Гоффмана:

4ят ' 1 1 .-* е-^чг = (2тг)³ q² a?q 1 -zqr __ (0,12) (0,13) (2тг)³ |q| ~ 2тг²г² ' член, независящий от t, дает короткодействующую поправку [38] к потенциалу типа и<я\г) = а₀^6(г), (0.14) коэффициент перед которой включает в себя коэффициенты Сі или С2 в эффективном действии (0.9), следовательно, не может быть определен без каких-нибудь дополнительных измерений (помимо классических величин G или тщ). Фурье-образ логарифма logq², вообще говоря, расходится при больших q, однако данная расходимость приводит лишь к перенормировке короткодействующего потенциала типа (0.14). Чтобы увидеть это, достаточно рассмотреть какое-нибудь регулярпзоваппос представление логарифма: (0.15) (0.16)

, Q² Ra—юо ¹⁰ _V \ ч² !^l2iRo ~l U + Л dR'

Вычислив фурье-образ от регуляризованиого логарифма J (2тг)^{3 10} _V ^{,-* = l0S!k±S{t)-fJ.}

2л"г³ ' log — 5(r) c-^dR (0.17) видим, что логарифмически расходящийся член может быть поглощен перенормировкой коэффициента а в выражении (0.14). Оставшаяся часть выражении (0.17) соответствует ведуньей степенной квантовой поправке к закону Ньютона: (_q), . Gm_ym₂ Jjj (0.18)

Возможность вычислить коэффициент a\ была указана уже в работе Боулера и Ди-зера [32] вместе с полным набором диаграмм. Однако неоднократные попытки [39-43] вычислить этот коэффициент упирались в довольно трудоемкие вычисления, так что не только сам коэффициент а\ оставался неизвестен, но даже его знак не был надежно определен.² Так, например, в работах Доиохыо [39-42] грубой ошибкой было то, что для вычисления поправки (0,18) были учтены только диаграммы с одногравитоппым промежуточным состоянием в і-канале. Дело в том, что данные диаграммы только формально являются одночастинно неприводимыми - они не содержат полюса по t, а стало быть, ничем не выделены по сравнению с другими диаграммами {однако даже некоторые из учтенных диаграмм были вычислены неправильно). Как мы усидим ниже, данный набор диаграмм вообще не является рспарамстрпзационно инвариантным, следовательно, вычисления с учетом только этих диаграмм в принципе не могли совпасть с результатами работ, в которых использовались другие полевые переменные, например, Хамбера и Лью [45]. Данная ошибка приводила к тому, что даже классическая поправка Эйнштена-Инфельда-Гоффмана была вычислена неправильно (на это было указано в статье Музиннча и Вокоса [43]). В пашей работе [62] было показано, что для корректного вычисления коэффициента а\ необходимо вычислить все диаграммы, содержащие в унитарном сечении в /-канале две безмассовыс частицы, К сожалению, и в нашей работе была допущена ошибка при вычислении диаграммы (рис. 7а). Мы это обнаружили, вычислив данную поправку в других полевых переменных; в нашей следующей работе [63] данная ошибка была исправлена. Однако хронологически первой работой, в которой коэффициент яі был вычислен правильно (конечно, с использованием полного набора диаграмм), является работа Бьеррума-Бора, Донохыо и Холстснпа [47].

Кроме поправок к статическому потенциалу, интересно также вычислить поправки к взаимодействиям, зависящим от скоростей и/или внутренних угловых моментов (шипов) частиц. Поправки к этим взаимодействиям рассмотрены в главах 3 и 4 данной диссертации.

После анализа поправок к закону Ньютона следующим логическим шагом является вопрос, насколько эти поправки зависят от внутренних свойств взаимодействующих частиц. Как мы увидим ниже, поправки к закону Ньютона оказываются универсальными при усреднении амплитуды по спиновым состояниям частиц. Если дополнительное взаимодействие с гравитационным полем имеет универсальный характер, то, возможно, движение в таком потенциале отвечает иерелятивистскому пределу движения частицы в некоторой метрике, которая, помимо классической, имеет квантовую часть. Как ²Например, в лекоторых работах [39-42,44] даже фурье-образ (0.17) был вычислен неправильно.

, 11. мы увидим ниже, это не так. Это просто можно увидеть из следующих соображений: согласно принципу эквивалентности, в приближении слабого поля пробная частица взаимодействует с "жесткой" метрикой, создаваемой массивным центральным телом, через тензор-энергии импульса: h_m._nT^mn. Из этого следует, что импульс пробной частицы должен входить в амплитуду рассеяния полиномиальным образом. Однако среди всех диаграмм, содержащих две безмассовые частицы в t-канале, есть диаграммы имеющие унитарный разрез в s-канале, т. е. амплитуда рассеяния не может быть целой функцией от s. Тем не менее, как мы покажем в главе 3, в случае рассеяния пробной частицы па скалярной частице, можно выделить универсальный эффективный оператор, в котором все характеристики сталкивающихся частиц входят мультипликативно через произведение тензоров энергип-пмпульса. На основе этого оператора в главе 3 мы получим квантовые поправки к метрике Шварцшильда.

Содержательная часть диссертации будет представлена в главах 2-4. Она основывается на работах автора диссертации, выполненных совместно с его научным руководителем [62-С5], хотя стиль изложения был существенно изменен, что, по мнению автора диссертации, способствует наиболее ясной интерпретации результатов.

При анализе петлевых поправок очень удобно сохранять язык континуального интегрирования, т. е. классифицировать различные вклады в терминах интегрирования по различным модам в континуальном интеграле. Удобство данной классификации состоит в том, что она позволяет четко понять структуру петлевых поправок к амплитуде рассеяния, а также провести аналогию с петлевыми поправками к потенциалу взаимодействия двух тяжелых кварков в КХД. Данную классификацию мы будем проводить с помощью ліетода разложения вблизи порога (или метода интегрирования по областям), предложенного в работе Бспске и Смирнова [50]. Краткое описание данного метода и названия соответствующих мод будет дано в разделе 1.1. С помощью метода интегрирования по областям мы выделим три тина логарифмических вкладов: ультрафиолетовый, гибридный и инфракрасный. Первый тип логарифмических вкладов возникает в петлевых интегралах, не зависящих от масс взаимодействующих тел. Он соответствует интегрированию по гравитонам с виртуальностью I² много меньше масштаба ультрафиолетового обрезания /f„_v и много больше q². Гибридный вклад соответствует интегрированию по гравитонам с виртуальностью q² < I² < т². Инфракрасный вклад возникает в диаграммах, которые содержат две безмассовые частицы в унитарном сечении в (-канале и которые инфракрасно расходятся при интегрировании по петлевому импульсу. Инфракрасный вклад соответствует интегрированию по гравитонам с виртуальностью /if_r *С I² -С q², где /і_іг - масштаб инфракрасного обрезания.

Метод интегрирования но областям

В этом разделе мы кратко опишем общий метод интегрирования по областям и более подробно рассмотрим примеры для так называемого разложения вблизи порога (для более подробного ознакомления см. [50-53]). Допустим, что в некотором наборе одно-петлевых диаграмм имеется малая величина, являющаяся отношением каких-либо кинематических инвариантов, составленных из внешних импульсов рп, таких как . В этом случае метод интегрирования по областям позволяет получить выражение для каждой диаграммы со степенной точностью по отношению к этой малой величине. Идея метода состоит в том, чтобы выделить из всего бесконечного объема интегрирования по петлевому импульсу области, в которых набираются ведущие логарифмы. Это нетривиальный шаг, включающий в себя физический анализ того, какие полевые степени свободы наиболее важны для данного процесса. Для этого, используя факторизацион-ные масштабы щ, необходимо разбить область интегрирования по петлевому импульсу па области, в которых петлевой импульс был бы порядка того или иного масштаба, задаваемого внешней кинематикой. После разложения подынтегральных выражений в каждой из этих областей, необходимо регуляризоиать выражение ковариантпом образом, так чтобы интеграл от пего сходился не только в своей области, но и во всем объеме интегрирования. Обычно оказывается достаточно размерной регуляризации1. В качестве последнего шага остается интегрирование по всему объему изменения петлевого импульса. При этом масштабы границ области интегрирования будут появляться только в виде In/ii/iij и/или In [ti/ (рп -рт) (в размерной регуляризации будут появляться ЄЩЄ дополнительные полюса по є = (4 — d)/2). После суммировании вкладов всех областей промежуточные масштабы, с помощью которых производилось разбиение на области, сократится. Следовательно, те области интегрирования, которые содержат только логарифмы отношения промежуточных масштабов / , можно опустить с самого начала, еще до интегрирования. Это в точности соответствует отбрасыванию безмасштабпых интегралов в размерной регуляризации.

В задаче рассеяния двух тел при малой передаче импульса можно выделить шесть масштабов со следующей иерархией: где /4v введенный в предыдущем разделе масштаб ультрафиолетового обрезания, а fift - масштаб, рсгуляризующий инфракрасные расходимости связанные с излучением мягких гравитонов. Мы не будем фиксировать отношение масс частиц к переменной s, наш дальнейший анализ будет касаться как "подпороговых" ситуаций s (ту + ттг2)2, отвечающих связанным состояниям, нерелятивистского рассеяния s — (mi + m2)2 \q2\ (глава 2), а также амплитуды (0.10) точной по 5 (главы 3, 4). В фейимаповекпх интегралах виртуальность петлевого импульса может быть порядка одного из представленных выше масштабов (здесь и далее в качестве петлевого импульса выбирается импульс безмассовой частицы). Название соответствующих областей показаны на рисунке 1.

Важным моментом является то, что область, в которой квадрат петлевого импульса порядка q2, разбивается на две области. Как мы увидим на конкретных примерах, потенциалы іая область отвечает классическим древесным диаграммам, а более "жесткая" по временной компоненте мягкая область будет давать логарифмические вклады в амплитуду, т. е. logg2. Особняком также стоит улътражесткая область, соответствующие моды которой вообще отсутствуют в континуальном интеграле нашей эффективной.

Если бы мы могли включить вклад этой области, то все амплитуды стали бы конечны, и все промежуточные масштабы (в том числе и (iuv) и полюсы 1/е сократились бы. В нашем же подходе соответствующие полюса останутся, операторы, содержащие эти полюса, мы будем называть лагранжианом коптрчленов.

Анализ логарифмических вкладов упрощается тем обстоятельством, что все необходимые нам фейнмаповские интегралы помимо мягкой и потенциальной областей будут содержать еще только одну область. Масштаб данной области будет масштабом, который обезразмериваст \q2\ под знаком логарифма. Например, если это область ультра-жесткая, то соответствующий логарифм будет иметь вид Iog/ v/g2, мы будем называть их ультрафиолетовыми логарифмами. Вычисление данных логарифмов удобно проводить с помощью лагранжиана контрчленов. Метод т Хофта и Вельтмана, с помощью которого можно быстро вычислять соответствующие лагранжианы, будет описан в следующих разделах данной главы. Если вторая область, содержащаяся в интеграле, - жесткая, то соответствующие логарифмы \ogm2/\q2\ мы будем называть гибридными логарифмами, по аналогии с HQET (heavy quark effective theory). Данные логарифмы сопровождаются полюсом 1/е и гибридной аномальной размерностью в пределе ті — со. Если данная область улътрамягкая, то в соответствующем интеграле q2 выступает в роли ультрафиолетового обрезания log 72/Mfr, а не инфракрасного, как это было в описанных выше случаях. Данные логарифмы мы будем называть инфракрасными. Следующее важное замечание заключается в том, что для рассеяния скалярных частиц можно ввести калибровку (см. выражение (1.87)) в которой диаграммы с различной топологией будут отвечать различным логарифмическим вкладам. Например, все ультрафиолетовые логарифмы будут содержаться только к петленых диаграммах с двумя пропагаторамп (рис. 8), все гибридные логарифмы будут содержаться в диаграммах типа "треугольник" (рис. 7), а иифракраоше логарифмы будут только в "квадратных" диаграммах (рис. 9),

Данный метод исследования амплитуды рассеяния двух тяжелых частиц, т. е. последовательное интегрирование мод (рис.1) в исходном континуальном интеграле, может служить основой для конструирования различных нерелятишістскнх эффективных теорий поля. Например, эффективная теория для рассеяния двух тяжелых кварков была развита в работах Брамбплла, Пинеда и т.д. (см. обзор [36]). Данная теория имеет много

Общин анализ

В этой главе мы вычислим степенные квантовые поправки к закону Ньютона. Как было показано во предыдущей главе, для этого необходимо вычислить часть амплитуды рассеяния пропорциональную логарифму q2 в перелятнвпетском приближении. Ее фурье-образ даст искомую поправку к потенциалу.

Поскольку мы ищем ведущую степенную квантовую поправку, вклад второго борцовского приближения в том же порядке отсутствует.

Как мы показали в разделе 1.1 главы 1, все возникающие логарифмические вклады можно разделить на три типа: ультрафиолетовые, гибридные и инфракрасные.

Вклад ультрафиолетовых логарифмов содержится только в простых петлевых диа-граммамах, которые состоят из двух пропагаторов безмассовых частиц (рис. 8). Его можно найти из общего выражения для лагранжиана контрчлепов (1.56) с помощью стандартного приема, используемого при вычислении аномальных размерностей для ренормгруповых уравнений. Действительно, при вычислении петлевых интегралов в размерной регуляризации (т. е. в пространстве дробной размерности d) мы должны выбрать меру интегрирования плотности лагранжиана по пространству и безразмерном виде, т. е. где /іцУ - параметр размерности квадрата импульса, который будет играть роль ультрафиолетового обрезания. При разложении вблизи четырехмерного пространства множитель ( 2) -4 2 стремиться к единице, однако если он домножается на лагранжиан контрчленов (1-56), то в результате разложения возникает.

В диаграммах (рис. 8) параметр ультрафиолетового обрезания /tuv может быть безразмерен только q2. Предыдущие рассуждения сводятся к следующему рецепту для вычисления проправок к закону Ньютона по известному лагранжиану контрчлепов:.

Вклад гибридных логарифмов содержится в "треугольных" диаграммах (рис, 7), т. е. в тех же диаграммах которые содержат потенциальную область. В следующем разделе мы рассмотрим вклад именно потенциальной области и покажем, что данный вклад соответствует классической поправке Зішштсйпа-Инфельда-Гоффмаиа.

Точная амплитуда и эффективный оператор

При вычислении поправок к закону Ньютона мы, помимо предела q2 — О, перешли к псрелятивистскому пределу s — (ті +Т7І2)2. В этой главе мы будем рассматривать амплитуду рассеяния как точную функцию s. После разложения вклад коитрчленов (2.17) дает нелокальный оператор - логарифмическую поправку к лагранжиану классической ОТО. Очевидно, что матричный элемент этого оператора является полиномом по s, поскольку представляет из себя свертку двух тензоров энергии импульса. Ниже мы покажем, что вклад гибридных логарифмов, т. с. вклад набирающийся при интегрировании по гравитонам с виртуальностью \q2\ I2 m2, также представляется в виде эффективного оператора вида (2.17).

Гибридные логарифмы порождаются только диаграммами, изображенными на рис. 7. Данные диаграммы пс содержат унитарного сечения в s-канале, следовательно, являются полиномами но s, т. с. полиномами по произведению импульсов (pi -/ )- Следующее замечание состоит в том, что для частицы, которая в данных диаграммах взаимодействует с гравитонами только посредством контактных вершин, все параметры (импульсы в начальном и конечном состоянии или масса частицы) входят только через тензор-энергии импульса. Действительно, для вершины взаимодействия со слабым внешним гравитационным полем это очевидно в силу определения тензора энергии импульса, для двух-гравитоппой вершины это видно из выражения (1.85), где мы пренебрегаем разницей между Г и Г в пределе малой передачи импульса. Поскольку индексов у тензора энергии импульса всего два, то комбинацией импульсов другой частицы могут быть только комбинации типа все остальные комбинации сводятся к ним с точностью до членов квадратичных по q. Легко видеть, что комбинации импульсов (3.2), будучи свернуты с тензором энергии импульса другоіі частицы, также сводятся к тензору энергии импульса. Таким образом, вклад в амплитуду рассеяния пропорциональный гибридным логарифмам, можно представить в виде матричного элемента от эффективного оператора: полный тензор энергии-импульса материи, а Сі и с2 - константы, которые можно определить, сравнивая коэффициенты при различных степенях s в амплитуде рассеяния с выражением (3.4).

Общий вид матричного элемента (3.3) может быть также установлен исходя из калибровочной инвариантности. В самом деле, если вспомнить, что гибридный логарифмический вклад, также как лагранжиан контрчленов, обусловлен полюсами по є в мягкой области, то матричный элемент (3.3) есть ис что иное как лагранжиан контрчленов, отвечающий гибридным аномальным размерностям генерируемым мягкой областью. Непосредственное вычисление вклада пропорционального гибридным логарифмам дает следующее значение для констант:

Вращающееся тело, составленное из скалярных частиц

Прежде всего мы рассмотрим спиновые эффекты обусловленные обменом эффективным гравитоном. Данные эффекты могут быть вычислены тремя более пли менее независимыми способами: во-перпых, можно вычислить поправки к метрике Ксрра для вращающегося составного тела и воспользоваться коварпантиым уравнением движения спина во внешнем гравитационном поле [66], что и было сделано в работе [G3]; во-вторых, можно проинтегрировать взаимодействия, зависящие от скоростей двух скалярных частиц (3.48), по объемам вращающихся тел; третий способ состоит в том, чтобы явно подставить в оператор (3.8) тензор эіscpnni-импульса тела с внутренним угловым моментом.

Рассмотрим систему из двух тел на расстоянии большим по сравнению с их собственными размерами (рис. 13), при этом масса одного из тел много больше массы другого М 3 т. Будем также считать, что тяжелое тело медленно вращается с круговой частотой w. В исрслятпвистском пределе можно считать, что каждый элемент тяжелого тела с массой dM создаст и точке где находится пробное тело гравитационной иоле (3.35). Интегрируя данное выражение по объему вращающегося тела, мы найдем сум -61 марное поле создаваемое этим телом. Для этого представим скорость разных элементов тяжелого тела в виде v = V + [w х г], где V - скорость движения центра инерции, г - радиус-вектор элемента с массой dM относительно центра инерции тяжелого тела. Подставив данное разложение в (3.35) и опустив слагаемое, не зависящее от w, имеем:

Точно таким же способом, можно вычислить и взаимодействие орбитального момента 1 легкого тела с его собственным епшюм s (гравитационное спин-орбитальное взаимодействие). Для этого необходимо исходя из поправок к метрике центрально симметричного тела hoo и hQj3 (выражения (3.31), (3.33)) вычислить взаимодействие квадратичное по скоростям частиц v\,V2, и проинтегрировать его по объему легкого вращающегося тела. Однако, есть более простой способ. Известно, что поправка к гамильтониану для прецессирующего волчка есть произведение его вращательного момента на вектор направленный вдоль частоты прецессии:

Частоту прецессии легко вычислить исходя из коварнаптного уравнения движения спина во внешнем гравитационном поле [66]. Для нерелятивистской частицы во внешнем статическом центрально-симметричном поле общее выражение для прецессии может быть приведено к следующему виду: коэффициенты вращения Рпччп, v - скорость легкой частицы. Вычислив частоту прецессии и подставив ее в выражение (4.7), получим окончательный ответ для квантовых поправок к гравитационному спин-орбитальному взаимодействию (этот способ изложен в [58] при выводе обычного спин-спинового взаимодействия), Однако мы покажем, что данное взаимодействие может быть получено с помощью интегрирования по объемам тел взаимодействия типа скорость-скорость (см. рисунок 14).