Содержание к диссертации
Введение
1 Критическое поведение: Модели и ансамбли 17
1.1 Модели сильно неравновесных критических систем 17
1.1.1 Модель Кардара-Паризи-Занга 17
1.1.2 Модель для системы с самоорганизованной критичностью 21
1.1.3 Модель Вольфа 22
1.1.4 Модель эрозии ландшафтов 23
1.2 Ансамбли поля скорости 26
1.2.1 Введение 26
1.2.2 Ансамбль Казанцева-Крейчнана 27
1.2.3 Ансамбль Авельянеды-Майда 28
2 Стандартная квантовополевая ренормгруппа 30
2.1 Введение 30
2.2 Квантовополевая переформулировка 30
2.3 Ультрафиолетовые расходимости и ренормировка 35
2.4 РГ уравнения и РГ функции 39
2.5 Неподвижные точки и скейлинговые режимы 41
2.6 Критические размерности 44
3 Модель Кардара-Паризи-Занга под воздействием ансамбля Казанцева-Крейчнана 47
3.1 Квантовополевая переформулировка 47
3.2 УФ расходимости и ренормировка 48
3.3 РГ уравнения и РГ функции 58
3.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы 59
3.5 Критические размерности 62
4 Модель Хуа-Кардара под воздействием ансамбля Авельянеды Майда 65
4.1 Квантовополевая переформулировка 65
4.2 УФ расходимости и ренормировка 66
4.3 РГ уравнения и РГ функции 69
4.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы 69
4.5 Критические размерности 71
5 Модель Вольфа под воздействием ансамбля Авельянеды Майда 73
5.1 Модель Вольфа 73
5.1.1 Квантовополевая переформулировка 73
5.1.2 УФ расходимости и ренормировка 74
5.1.3 РГ уравнения и РГ функции 76
5.1.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы 78
5.2 Модель Вольфа под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда 81
5.2.1 Квантовополевая переформулировка 81
5.2.2 УФ расходимости и ренормировка 82 5.2.3 РГ уравнения и РГ функции 83
5.2.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы 84
6 Модель эрозии ландшафтов под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда 88
6.1 Модель эрозии ландшафтов 88
6.1.1 Квантовополевая переформулировка 88
6.1.2 УФ расходимости и ренормировка 89
6.1.3 РГ уравнения и РГ функции 94
6.1.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы 96
6.1.5 Критические размерности 97
6.2 Модель эрозии ландшафтов под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда 97
6.2.1 Квантовополевая переформулировка 97
6.2.2 УФ расходимости и ренормировка 98
6.2.3 РГ уравнения и РГ функции 102
6.2.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы 104
6.2.5 Критические размерности 105
Заключение 107
Благодарности 112
Литература 1
- Модель для системы с самоорганизованной критичностью
- Неподвижные точки и скейлинговые режимы
- УФ расходимости и ренормировка
- Модель Вольфа под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда
Модель для системы с самоорганизованной критичностью
Феномен самоорганизованной критичности (СОК) заключается в возникновении скейлинга в открытых неравновесных системах с диссипатив-ным переносом (диффузионных системах с внешним воздействием); см. [32–34] и литературу в них. В отличие от равновесных систем они не имеют параметра “тонкой настройки” (управляющих параметров, т.е. параметров вроде температуры в фазовых переходах второго рода) и достигают критичности за счет своей внутренней динамики [6].
Системы с СОК считаются повсеместно распространенными в природе – СОК наблюдается как в биологических, так и в экологических и в социальных системах [6,66].
Обычно СОК изучают на основе дискретных моделей с дискретным временем (как клеточные автоматы). Непрерывная модель, предложенная в [35], наоборот, описывается стохастическим уравнением для “сглаженного” поля высоты h(x) = h(t,x) некоторого профиля (например, песчаного). Модификации этой модели были предложены в [36,37], а в связи с эрозией ландшафтов эта модель обсуждалась в [67,68] (см. Раздел 1.1.4).
Модель изначально является анизотропной и описывает, например, рост песчаного профиля, который имеет две открытые границы: через границу “сверху” в систему случайным образом падает песок, а через границу “сбоку” он из нее выпадает путем скатывания в виде лавин.
Анизотропия (здесь и далее) вводится следующим образом: пусть константа n - единичный вектор, определяющий выбранное направление (на 22 правление склона песчаного профиля). Тогда любой вектор можно разложить на компоненты, ортогональные и параллельные к п. В частности, для (і-мерной горизонтальной координаты х имеем х = х__ +шсц, где X_L п = 0. Производную в полном (і-мерном х пространстве можно обозначить как д = д/дхі, где і = 1... d, и производную в подпространстве, ортогональном к п, как д± = д/дх±і, где і = 1... d — 1. Тогда производная вдоль параллельного направления будет записываться как д\\ = п д. Ряд выбранных симметрий (жц, h — — жц, —/г и нарушение жц — жц) и наличие законов сохранения (определяющих вид детерминистской части стохастического уравнения) диктуют вид стохастического дифференциального уравнения для поля высоты h{x) = h(t,x) [35]: dth = Z _LOd±h + z/цодЛь — d\\h /2 + /, (1.4) где z/цо и Z/_LO – коэффициенты вязкости, а f(x) - гауссов случайный шум с нулевым средним и парной корреляцией (1.3). Для d 4 устойчивая неподвижная точка соответствует режиму обыкновенной диффузии, а для d 4 возникает другая точка, для которой в [35] были точно вычислены критические показатели.
В работе Д. Вольфа [58] была построена модель, призванная описать рост вицинальных поверхностей (ступенчатых атомных структур [69,70]), которая фактически оказалась анизотропным обобщением модели КПЗ (см. Раздел 1.1.1). В дальнейшем под моделью Вольфа будет иметься в виду именно эта модель. Стохастическое уравнение для нее выглядит следующим образом: dfh = z/цоduh + v±od±h -\—Ацо( 9ц/і) -\—A_LO( 9_L ) +/, (1.5) где z/цо и Z/_LO – коэффициенты вязкости, а f(x) - гауссов случайный шум с нулевым средним и парной корреляцией (1.3).
Анизотропия понимается как в Разделе 1.1.2. Коэффициенты Ацо A_LO, как и в модели КПЗ, могут быть любых знаков. В [58] было показано, что в случае d = 2 (d - пространственная размерность) и выполнения условия, что A_LO ф 0, у модели (1.5) две нетривиальные неподвижные точки: точка изотропной модели КПЗ - для нее константы взаимодействия, соответствующие Ацо и A_LO, равны - и точка, для которой эти константы равны по модулю и различаются по знаку.
Модель Вольфа изучалась в различных модификациях в [56, 57, 71-73]. Непертурбативный анализ в [73] обнаружил несколько новых неподвижных точек для случаев d = 2 и d 2. Две неподвижные точки из работы [58] были дополнены ИК притягивающей точкой изотропной КПЗ, которая сохранилась и в анизотропном случае, и гауссовой точкой. Для случая d 2 были найдены еще две точки, одна из которых - ИК притягивающая (для констант взаимодействия с противоположными знаками).
Неподвижные точки и скейлинговые режимы
Анализ ультрафиолетовых (УФ) расходимостей основывается на анализе канонических размерностей (“подсчете степеней”); см., например, [1,2]. Динамические модели из Разделов (3)-(6) имеют два независимых масштаба: временной масштаб Т и масштаб длины L (в отличие от одномасштаб-ных статических моделей).
Таким образом, каноническая размерность некоторой величины F (поля или параметра в функционале действия) может быть полностью описана двумя числами, частотной размерностью dp и импульсной размерно стью dp: Up [F] [T] F[L] Их можно найти из условий нормировки djz = — х = 1? А; == х = 0 w = "t = 0; Лш = —df = 1, и из требования, чтобы каждый член функционала действия был безразмерным (по отношению к каждой размерности отдельно). Тогда можно определить полную каноническую размерность как dp = dF + 2dF (в свободной теории dt ос 92, т.е. t ос ж2). Эта величина заменяет импульсную размерность, обыкновенно используемую в статических задачах - см. Гл. 5 в [2].
В случае наличия в задачи анизотропии (см. Раздел 1.1.2) возникают два независимых импульсных масштаба, соответствующих направлениям, перпендикулярному и параллельному к вектору выделенного направления п, из-за чего требуется некоторое доопределение. А именно, нужно ввести два независимых импульсных канонических масштаба - dp и dF - так, чтобы [F] [Т] F[L±] F[L\\} F, где L± и L независимые масштабы длины в соответствующих подпространствах. Условия нормировки следующие: d = —d ± = 1, dk = —di± = 0, d% = d% = 0, d = —d = 1, и т.д. Исходная импульсная размерность может быть найдена из соотношения dp = dF + dF. Полная каноническая размерность: dp = dp + 2dF = dF + dF + 2dF.
Модель логарифмична в пространстве размерности d = d , когда все константы взаимодействия одновременно становятся безразмерными. От 37 сюда, УФ расходимости в функциях Грина предстают в виде полюсов по є = d — d. В случае включения в модель поля скорости (см. Раздел 1.2) к условию d = d добавляется = 0, а к полюсам по є добавляются полюса по и, в общем случае, по всем их линейным комбинациям.
Полная каноническая размерность произвольной 1-неприводимой функции Грина = ( )і_неПр, где = {/г, /г }, в частотно-импульсном представлении дается соотношением: dr = d + 2 — dhNh — dh Nh i (2.17) где Nh, Ny - числа соответствующих полей, входящих в функцию ; см., например, [2]. В случае включения в модель поля скорости v выражение меняется следующим образом: dr = d + 2 — dhNh — dh Nh — dvNv. (2.18) Полная размерность dr в логарифмической теории - это формальный индекс УФ расходимости: 6? = о?гє==о. Поверхностная УФ расходимость, для исключения которой нужны контрчлены, может быть только в тех функциях , для которых дг - неотрицательное целое. Контрчлен - полином по частотам и импульсам степени 6? (при условии, что подразумевается соглашение t ос ж2, т.е. ш ос к2).
Если по какой-либо причине некоторое число внешних импульсов возникает как общий множитель во всех диаграммах данной функции Грина, то реальный индекс расходимости 8 т будет меньше, чем 6? на соответствующее число единиц. В динамических моделях все 1-неприводимые функции без полей отклика тождественно исчезают (их диаграммы всегда содержат замкнутые циклы запаздывающих линий; см. Раздел 2.2). Пример такой диаграммы изображен на Рис. 2.1. Таким образом, при оценке 5 достаточно рассматривать случай Nh 0.
Если все слагаемые, соответствующие возникающим контрчленам, уже присутствуют в действии модели, то она является мультипликативно ренормируемой. Ренормированное действие 5д(Ф) получается из исходного 5 (Ф) ренормировкой полей h — Z h и h — Z h! и параметров модели: 5д(ітфФ, е,/і) = б Ф о). Здесь ео - полный набор затравочных параметров и е - их ренормированные эквиваленты; /І - ренормировоч-ная масса с d = 1, которая вводится как вспомогательный параметр для корректного определения ренормированных функций Грина; многоточие обозначает остальные аргументы (время, координаты, импульсы). Ренормированные функции Грина для модели с действием 5 (Ф) - это обычные функции Грина для модели с ренормированным действием 5д(Ф): Гп(ео,...) = Zh hZh/h TnR(e,fJ:,...). Ренормировочные константы Zi зависят только от полностью безразмерных параметров и поглощают все полюса по є (и ). Их можно найти из требования, чтобы функции Грина Гд(е,/і,...) были УФ конечны при выражении их через ренормированные переменные е. В нашем случае это означает, что функции Грина УФ ко 39 нечны при є — 0 (и — О). Если использовать схему минимальных вычитаний (MS), ренормиро-вочные константы принимают вид “Z = 1+полюса только по є” (и , а в высших порядках по их линейным комбинациям). Тогда, строго говоря, в условиях рассматриваемого однопетлевого приближения нужно сделать замену d = d — є — d . Однако, иногда d будет удерживаться в виде d = d — є: тогда можно будет получать некоторые точные результаты. Похожая ренормировочная схема, где размерность d удерживается в “геометрических множителях”, возникающих из сверток различных проекторов, ранее использовалась в [59]; ее справедливость и эквивалентность схеме MS была продемонстрирована в [106].
УФ расходимости и ренормировка
Контрчлен вида h diVi, возникающий от функции Грина (h v)i-Henp, также требует особого обсуждения. Он полностью исчезает для случая несжимаемой жидкости, где diVi = 0. Тем не менее, практическое одно-петлевое вычисление (см. ниже) показывает, что он отсутствует и в общем случае (а = 0). Можно выдвинуть некоторые соображения что это справедливо во всех порядках теории возмущений. Так как наш текущий анализ ограничивается однопетлевыми вычислениями, мы не будем в дальнейшем учитывать этот член.
Тогда остаются три контрчлена вида h h , h d2h и h (dh)2. Все эти члены присутствуют в действии (3.3), что делает рассматриваемую модель мультипликативно ренормируемой. Ренормированное действие может быть записано в форме: 5д(Ф) = —Z\h Dh + Ы I — \7fh + xZ $ h -\—Z (dh) + Sv, (3.10) где g, w и x - ренормированные аналоги затравочных параметров, и функционал Sv из (3.4) следует также выразить через ренормированные переменные. Ренормировочные константы Zi зависят только от полностью безразмерных параметров g,w, х, а и поглощают все полюса по є и .
Первые два соотношения во второй строчке возникают из-за отсутствия контрчлена /i Vt/г, последнее - из-за отсутствия ренормировки члена 5 .
Ренормировочные константы определяются требованием, чтобы функции Грина ренормированной модели (3.10), выраженные в ренормирован-ных переменных, были УФ конечны (т.е. были конечны при є — 0, — 0). Для дальнейшего вычисления можно воспользоваться матричным уравнением Дайсона: Г2 = —А — , (3.14) где Г2 - 1-неприводимая “двухвостая” функция Грина, А - матрица про-пагаторов (см. Раздел 2.2), а Е - “собственная энергия”, по сути - сумма всех 1-неприводимых двухвостых диаграмм.
Здесь прямая линия обозначает затравочный пропагатор (hh)o, прямая линия со штрихом обозначает пропагатор (hh )o, а волнистая линия -пропагатор скорости. В дальнейшем внешняя частота ц полагается равной нулю, так как расходящаяся часть функции \ti ti)i-Henp пропорциональна р2, где р - внешний импульс. Все диаграммные элементы нужно выразить в ренормированных переменных, используя соотношения (3.10)-(3.13). В однопетлевом приближении константы Zi в затравочных членах (3.15), (3.16) и (3.17) должны быть взяты в ведущем порядке по иад, тогда как в однопетлевых вкладах их нужно просто заменить на единицы, Zi — 1. Таким образом, переход к ренормированным переменным в однопетлевых диаграммах достигается за счет простой замены щ — х, до 9И июо wfi .
ИК регуляризация в диаграммах, включающих пропагатор скорости, обеспечивается обрезанием в интеграле (1.9) снизу при к = т. В остальных диаграммах она обеспечивается внешними импульсами и частотами. Интерес представляют, однако, только УФ расходящиеся части этих диаграмм (полюса поєи ). Поэтому можно использовать следующий прием, упрощающий вычисления: интегрирование по импульсам во всех диаграммах обрезается снизу при к = т. Тогда в логарифмически расходящихся функциях (3.16) и (3.17) внешние импульсы и частоты можно приравнять к нулю, а в квадратично расходящейся функции (3.15) удерживается только член порядка р2 в разложении по внешнему импульсу р.
Теперь легко провести интегрирование по частоте. Возникающие в результате интегралы по импульсам с помощью формул f ГҐ f k i s ,, $is f akkijik) = 0, dk— j(k) = — dkj(k), (3.18) к a где f(k) - произвольная функция, зависящая только от к = к, сводятся к скалярному интегралу т У J(m) = / dk;— = Sd (3.19) А "+У k m A/ У Здесь у = є либо у = , а Sd - площадь поверхности единичной сферы в пространстве размерности d: Sd = 2-7Г /T(d/2). (3.20) Последние две диаграммы в (3.17) на самом деле исчезают и, таким образом, не дают вклада в ренормировочную константу. Действительно, они содержат замкнутые циклы запаздывающих пропагаторов; при этом принципиальное значение имеет тот факт, что коррелятор скорости содержит ( -функцию по времени.
Простое вычисление показывает, что первые три диаграммы в (3.17) также не дают вклада в Z , так как их расходящиеся части взаимно сокращают друг друга. Это следствие галилеевой симметрии (3.8) исходной модели КПЗ, которая запрещает появление контрчленов типа h (dh)2 во всех порядках теории возмущений. Аналитическое выражение для оставшейся диаграммы в (3.17) выглядит следующим образом: [ duo [ dk к2 WK\& PiPj—— z g {Pij{Kj + aQij{K)\ . (3.21) (27Г) k m (27I")d UJl + KZkA Kd+ Здесь множитель перед интегралом возникает из двух нижних вершин, первый множитель в интеграле - из верхней вершины (числитель) и пропагаторов (h h)o (знаменатель), последний сомножитель - коррелятор скорости. Выполнив вычисление как описано выше, можно получить для (3.17): л / \ 2 Г гу w / ц \ (d — 1 + а) \ (h hh)\-Henv = р Z:i + — I — 1 . (3.22) s ІТЇ 2« Здесь w = wSd/i iiY, а Sd из (3.20). Множитель (ц/т) УФ конечен: он стремится к единице при — 0. Для устранения полюса по в (3.22),
Модель Вольфа под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда
По таблице 6.1 видно, что все константы взаимодействия дпо одновременно становятся безразмерными при є = 2 — d = 0. Это значит, что d = 2 - верхнее критическое значение пространственной размерности в модели (1.7). При этом значении d полная каноническая размерность поля h равна нулю. Как будет показано ниже, это приводит к значительным изменениям в процедуре ренормировки. Это также значит, что УФ расходимости в функциях Грина полномасштабной модели предстают в виде полюсов по є, играющему роль формального малого параметра в РГ разложениях.
С помощью интегрирования по частям производная в вершине h d V(h) переносится на Ы. Это означает, что любое появление Ы в какой-либо функции Г приводит к появлению соответствующих внешних импульсов, и реальный индекс расходимости оказывается равен 8 т = дг — 2Nh (см. Раздел 2.3). Более того, Ы появляется в соответствующем контрчлене только под знаком производной д?М . Из таблицы 6.1 и выражения (2.17) получаем: f = дг — 2Nh = 4 — 4/V/j/. (6.4)
Простой анализ выражения (6.4) показывает (см. Раздел 3.2), что поверхностные УФ расходимости могут присутствовать только в 1-неприводи-мых функциях вида (h h... h)i-Henp с контрчленами (d?M )hn (для любого п 1). Действительно, все прочие контрчлены (например, Ы/У, h dth, h d\h) не нужны, т.к. соответствующие вклады в 1-неприводимые функции конечны.
Так как все члены вида (d?M )hn присутствуют в действии (6.1), модель (1.7) формально мультипликативно ренормируема и к ней можно применять аппарат РГ. Более того, в том же смысле модель (1.6) не может быть мультипликативно ренормируемой, так как контрчлены {d»h )ha (п 1) появляются независимо от того, на каком члене обрывается ряд V(h) в (1.7).
Стоит отметить, что хотя модель (1.7) ренормируема лишь формально (бесконечный набор контрчленов (d?M )hn, п 1, требует при ренормировке возникновения бесконечного набора констант ренормировки), она не лишена предсказательной силы. Изучение модели может позволить получить универсальные величины или соотношения, не зависящие от нормировочных условий, накладываемых на константы ренормировки.
Ренормированное действие может быть записано в форме: ( Г7 \ 1 пЛ /7/ / О о2 о2 9 \ ZпЛпГ1 \ од(Ф) = h h + h —dth + Z±u±o,h + Z\\u\\ о» h + о» : , (6.5) где z/j_, z/ц и An - ренормированные аналоги затравочных параметров (с нижним индексом “o”). Ренормировочные константы Z_L, Z и Zn зависят только от полностью безразмерных параметров дп и поглощают все полюса по є. Затравочные заряды до = І9по} и полностью безразмерные ренормированные заряды д = {дп} (п = 2,3,...) выражаются через затравочные параметры Лпо и ренормированные параметры \п следующим образом: л (п+3)/4 (п-1)/4 (п+3)/4 (п-1)/4 є(п-1)/2 Апо = ПО ІІО іо і п = SVI N 1 М j (6.6) где /І - ренормировочная масса. Ренормированное действие (6.5) получается из исходного (6.1) ренормировкой параметров (ренормировки полей /г, Ы не требуется): 1/Ц0 = V\\Z\\ і _L0 = _L _L, #n0 = // 9n,Zgn, Хпо = XnZn. (6.7) Ренормировочные константы в уравнениях (6.5) и (6.7) связаны следующим образом: Z9n = ZnZ,, Z± . (6.8)
Несмотря на то, что модель (1.7) содержит бесконечно много констант взаимодействия, однопетлевое выражение для контрчлена можно получить в явном виде, выразив его формально через функцию V(h). Рассмотрим разложение производящего функционала Гд(Ф) 1-неприводимой функции Грина модели (1.7) по числу петель р: Гд(Ф) = У Г (Ф), Р (Ф) = 5д(Ф). (6.9)
Как известно, беспетлевой (древесный) вклад - это само действие, тогда как однопетлевой вклад дается следующим соотношением (см., например, [107]): Р (Ф) = —(l/2)Tr ln(WyWo), (6.10) где W - линейный оператор с ядром W(x,y) = —5 ЗЕ(Ф)/5Ф(Х)5Ф(У), (6.11) и Wo - подобное выражение для свободной части действия. Как W, так и Wo - матрицы 2x2 для пары полей Ф = {/г, hf}. Требование, чтобы в (6.9) не было УФ расходимостей, вместе со схемой минимальных вычитаний приводит к однозначно определенным значениям для констант Z. Положим Z = 1 в (6.10) в однопетлевом приближении, одновременно удерживая вклады ведущего порядка в константах взаимодействия дп в беспетлевом вкладе в константы Z; для внутренней согласованности считаем дп д2 Рассмотрим ряд Тейлора для функции V(h): 00 00 V(h) = У Xnohn(x)/n\, VR(/I) = У ZnXnhn(x)/n\, (6.12) n=2 n=2 В дальнейшем подобные объекты будут интерпретироваться как функции единственной переменной h(x), а Vі , V", и т.д. - как соответствующие производные по этой переменной. В этих обозначениях матрицу W (при условии, что Z = 1) можно формально записать как ( —д?Ль V" LT \ , (6.13) L —2 / где L = dt — v\\d}\ — v\_d\ — ЩУ и LT = —dt — v\\d}\ v\_d\ — V du -транспонированный оператор. Для того, чтобы найти константы Z, нужна только расходящаяся часть выражения (6.9), которая, как было установлено ранее, имеет форму / dxd Ы\х)R{h{x)), где функция R(h) подобна V(h). Это значит, что Tr ln в (6.10) с матрицей (6.13) нужно вычислить только в главном порядке по ее /i/i-элементу: —д?М
Это можно сделать с помощью хорошо известной формулы, справедливой для любой вариации 6К: 5(Тт \пК) = Тт(К 15К). Варьируя только /г/г-элемент матрицы W, получаем / dxd h {x)R{h{x)) — —Ti[DflflVffduhf] = = — dx D (x,x)V"(h(x))dnh (x), (6.14) где Dhh = (W l)hh при H = 0. По определению, D hh - обыкновенный пропагатор (hh) модели (6.5) с Z = 1 и с выражением і/ц 9? + v d + діїУ, стоящим вместо Z/ 9? + V\_d\.