Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Применение метода в теории фазовых переходов 8
1. Преобразование ренормгруппы 8
2. Критическая статика в елабонеупорядоченных системах с фиксированными примесями 17
3. Метод РГ в критической динамике 24
ГЛАВА II. Критические явления в слабонеупорядоченных системах 32
4. Рекурсивные соотношения в (5,6 )-мерном пространстве 32
5. Фиксированные точки и критические индексы 39
6. Изучение случайных спиновых систем методом низкотемпературной РГ 46
ГЛАВА III. Критическая динамжа в трёхмерном пространстве . 55
7. Перенормированные функции грина 55
8, Тождества Уорда и схема вычисления индекса... 63
9. Вычисление индекса Р и сравнение с экспериментом 67
ГЛАВА ІV. Динамика в некоторых трёхмерных моделях 77
10. Обобщение метода реплик на случай динамики... 77
11. Динамический индекс трёхмерной примесной модели Изинга 82
12. Влияние кубической анизотропии на критическую динамику. 88
Основные результаты 92
Литература
- Критическая статика в елабонеупорядоченных системах с фиксированными примесями
- Фиксированные точки и критические индексы
- Вычисление индекса Р и сравнение с экспериментом
- Динамический индекс трёхмерной примесной модели Изинга
Введение к работе
В современной физике конденсированных сред проблема фазовых переходов занимает одно из центральных мест. Это обусловлено прежде всего всё возрастающим применением в технике ферро-, антиферромагнетиков, сверхпроводников, сегнетоэлект-риков, спиновых стекол и других неупорядоченных веществ. Наряду с этим проблема представляет большой теоретический интерес, поскольку феноменологическая теория фазовых переходов второго рода, развитая ещё в довоенные годы, недостаточна для интерпретации наблюдаемых явлений и расчёта соответствующих устройств.
Флуктуационная теория фазовых переходов, оперирующая представлением о критических индексах, характеризующих асимптотику поведения системы при приближении к точке перехода,интенсивно развивается после появления известных работ Вильсона в начале семидесятых годов. Методы, основанные на теории ренормгрупп, позволяют вычислить критические индексы для различных классов, универсальности, характеризующихся размерностью системы и числом компонент параметра порядка. Теория носит весьма общий характер, охватывая все конкретные случаи фазовых переходов.
Как известно, сила дальнодействия и примеси существенно изменяют критические индексы и картину фазового перехода многих систем в целом. В известных до сих пор работах эти факторы учитываются только в отдельности. Остается нерешенным вопрос о влиянии примесей на систему с фиксированными по величине спинами вблизи точки перехода.
В большинстве аналитических методов, разработанных в кри- тической динамике, используется ё -разложение. Между тем существуют некоторые трехмерные системы (например, модель йзинга с примесями, кубические кристаллы и др.), к которым метод 6 -разложения не применим, т.е. интерполяция 6—>1 не даёт разумных результатов.
Диссертация посвящена изучению влияния примесей, силы дальнодействия и анизотропии на критические явления, а также разработке нового метода вычисления динамического индекса непосредственно в трехмерном пространстве. Проводится совместное рассмотрение влияния примесей и силы дальнодействия на поведение системы в флуктуационной области. Выясняется роль примесей в классической системе с фиксированными по величине спинами в окрестности критической точки. Ставится задача вычисления динамического индекса непосредственно в трехмерном пространстве, не прибегая к 6 -разложению, и рассмотрения на этой основе трехмерной примесной модели Изинга и кристаллов с кубической анизотропией.
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, выводов и списка цитируемой литературы (страниц 107 , рисунок I, таблица I, библиография 155 названий).
В первой главе сделан краткий обзор современного состояния теории критических явлений как в упорядоченных, так и в неупорядоченных системах. Даны основные формулы и сведения, которые будут использованы в последующих оригинальных главах.
Вторая глава посвящена изучению критической статики примесных систем с дальнодействием. Методом низкотемпературной ренормгруппы рассмотрено влияние примесей на критическое поведение классической системы с фиксированными по величине спинами.
В третьей главе на основе перенормированных функций Гри- на и тождества Уорда развит новый метод расчёта динамического индекса непосредственно в трехмерном пространстве для системы с несохраняющимися параметром порядка и энергией. Проведено сравнение численного результата, полученного новым методом, с результатом 6 -разложения и экспериментом по поглощению ультразвука.
В четвертой главе метод реплик, используемый в критической статике, обобщается на динамические задачи. Развитым в третьей главе методом вычислен во втором приближении динамический индекс трехмерной примесной модели Изинга и трёхмерных кубических кристаллов.
Актуальность работы. Неупорядоченным системам уделяется в последнее время большое внимание в связи с перспективными техническими возможностями. Результаты глав 2-ой и 4-ой позволяют получить важную информацию о поведении таких систем в флуктуационной области. Предложенный в третьей главе метод расчёта динамического индекса представляет теоретический интерес, позволяя решить те задачи, где & -разложение становится неадекватным.
Новизна работы. Впервые изучено влияние примесей на критическое поведение систем с дальнодействием и систем с фиксированными по величине спинами. В диссертации развит новый метод, который впервые применяется для последовательного изучения неупорядоченной трёхмерной модели Изинга и системы с кубической анизотропией.
Основные положения, выносимые на защиту:
Результаты расчёта критических индексов примесных систем с дальнодействием.
Доказательство того, что примеси не влияют на поведе- ниє классических систем с фиксированными по величине спинами вблизи точки перехода, если концентрация ниже критической,
Метод вычисления динамического индекса для систем с несохраняющимися параметром порядка и энергией.
Обобщение метода реплик на динамические задачи»
Результаты вычисления динамического индекса для трёхмерной примесной модели Изинга и кубических кристаллов.
Критическая статика в елабонеупорядоченных системах с фиксированными примесями
Теоретическое изучение влияния случайных примесей на различные явления началось много лет назад. Движение электронов в неупорядоченных твердых телах, перколяционная задача, модель йзинга со спинами на случайных узлах и другие задачи составляют обширную литературу. Обзор некоторых из этих вопросов дан в предыдущем параграфе. Здесь мы будем детально рассматривать лишь вопросы РГ подхода к исследованию влияния малых концентраций примесей на критическое поведение. Малые концентрации понимаются в том смысле, что они значительно ниже порога протекания.
Вблизи критической точки малое количество примесей может существенно изменять поведение чистой системы. При малых концентрациях примесей ожидается снижение критической температуры Тс [70] . Могут измениться и критические показатели. Возможно сглаживание сингулярного поведения некоторых величин. Может исчезнуть даже сама критическая точка. При изучении слабонеупорядоченных систем очень важное место занимает гипотеза Харриса [7l] , согласно которой влияние примесей зависит от знака индекса теплоёмкости ос чистой системы. Если о( о э критические индексы примесной и беспримесной систем совпадают. При С о присутствие примесей существенно изменяет критические индексы и всю картину перехода в целом. Гипотеза Харриса, строго говоря, справедлива для случайной обменной модели [72 ] .
В случае неидеальной системы, наряду с корреляционной длиной, необходимо принимать во внимание ещё другую характерную длину - расстояние между примесями. Если расстояние между примесями гораздо больше корреляционной длины, то теория Ландау применима. Этот случай подробно обсуждается в работах Леванюка с сотрудниками [73-76 J . Нас же будут интересовать такие области температур, где теория самосогласованного поля не применима.
Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных систем, установим четкую терминологию. Примеси принято классифицировать как расплавленные и фиксированные, согласно тому, каким образом они распределены в матрице. Термин "расплавленные примеси" означает, что примеси находятся в термодинамическом равновесии с матрицей. Предположение о фиксированности примесей справедливо только в том случае, когда время наблюдения рассматриваемых явлений существенно меньше времени релаксации, за которое они перераспределяются. Такая ситуация обычно реализуется в твёрдых телах. В нашей диссертации рассматриваются только фиксированные примеси.
Гамильтониан системы с точечными (случай протяженных дефектов рассматривается в [77-79]) и фиксированными примесями в приближении локальной флуктуации температуры перехода имеет вид [80,8l] где интегрирование ведётся внутри единичной сферы, Щ (Л z , ) _ случайные функции, описывающие беспорядок. Импульс обрезания полагается равным единице, т.к. конечные результаты не должны от него зависеть. Коэффициент С при J также полагается равным единице, чтобы исключить произвол в определении РГ [22] . Поскольку примеси считаются фиксированными, параметры V» подчинены некоторым распределениям ,не зависящим от конфигурации спинов [э] .
Как известно, методом реплик [82,83] можно показать, что примесная модель, описываемая гамильтонианом (1.32), эквивалентна /ЛИ -компонентному беспримесному ферромагнетику в пределе ITL -O . Тогда (1.32) заменяется на некоторый эффективный гамильтониан, в котором не фигурируют случайные функции, и который непосредственно поддаётся анализу РГ. Здесь мы изложим другой подход, предложенный Любенеким [8l] Согласно этому подходу РГ строится непосредственно для кумулянт функции распределения г 1] . Сразу отметим, что метод реплик более прост по сравнению с методом Любенского в вычислительном отношении, но содержит одно математически трудно обосновываемое положение, связанное с предельным переходом тя - о .
Б методе Любенского преобразование Я$ для кумулянт совершается в 2 этапа. .Первый этап. Выполнение преобразований РГ, изложенных в I, в результате которых Z , 1 переходят в I JVI Единственное отличие от беспримесного случая СОСТОИТ Б том, что вместо постоянных параметров фигурируют случайные функции, зависящие от координат. Но это отличие не усложняет расчёты, т.к. процедура крупнозернистого разбиения затрагивает только спиновые переменные. Поэтому легко обобщить на этот случай теорию возмущений, изложенную в предыдущем параграфе, и развить диаграммную технику для нахождения. причём разложение в ряд теории возмущений ведётся по степеням и _ и Щ. .
Фиксированные точки и критические индексы
Из графика температурной зависимости теплоёмкости К П rv F3 вблизи Тс [l49] видно, что теплоёмкость кристалла аномально растёт и, следовательно, критический индекс С здесь положителен. Но положительные значения ос , как известно, характерны для систем, изоморфных трёхмерной модели Изинга. Это значит, что в непосредственной окрестности Тс параметр порядка, отвечающий структурному фазовому переходу в KM п. F , является эффективно однокомпонентным ( л- - 1) .Поскольку в идеальном кристалле со структурой перовскита параметр порядка должен быть трёхкомпонентньш, в [l5o] высказано предположение, что исследованные в [l49J кристаллы были одноосно-деформи-рованными. В таком случае можно положить U = 1 во всех выражениях для критических индексов. Взяв у - s/liy j =JS из работы [І48І и С . о, 6 , мы получим X 1,-10. Это наше значение индекса X довольно близко к эксперименталъному значению 1,13. Заметим, что метод С -разложения даёт X z 1,11 и x b .S во втором и третьем порядках теории возмущений соответственно [l50] , т.е. значения, тоже близкие к 1,13. Конечно, на основе лишь этих численных значений X трудно сделать какой-либо определённый вывод, поскольку как экспериментальное, так и теоретическое значения содержат довольно большую неопределённость. Например, при рассмотрении реалистической модели К Мм F следовало бы учесть такие факторы, как анизотропия спектра и др.[і50], которые могут существенно изменить результат, не говоря уже о трудности выбора динамической модели. Тем не менее можно надеяться, что излагаемый здесь метод даёт наряду с 6 -разложением разумный результат.
Имеются некоторые задачи, требующие рассмотрения непосредственно в трёхмерном пространстве. К таким задачам метод S -разложения не применим. Примером могут служить примесная модель Изинга и кристалл с кубической анизотропией, которые будут рассмотрены в следующей главе.
В этой главе метод реплик обобщается на случай критической динамики в неупорядоченных системах. Методом, изложенным в третьей главе диссертации, вычислен во втором приближении перенормированной теории возмущений динамический индекс трёхмерной примесной модели Изинга с несохраняющимися параметром порядка и энергией. Обсуждается также влияние кубической анизотропии на динамику вблизи точки фазового перехода. При изложении данной главы мы следуем нашей работе [ІЗІ]
Как было отмечено выше (см. 3), уже во втором порядке теории возмущений нельзя распространять результаты 6 -разложения на случай трёхмерной примесной модели Изинга. Поэтому здесь мы вычислим динамический индекс этой модели непосредственно в трёхмерном пространстве, предварительно обобщив метод ремлик на случай динамики.
Будем рассматривать однокомпонентную неупорядоченную систему с несохраняющимися параметром порядка и энергией. С учётом внешнего поля 4t (-г і) динамика такой системы описывается следующим кинетическим уравнением где j? (ifj b) удовлетворяет уравнению (7.3), - случайная переменная, описывающая локальные флуктуации температуры в приближении среднего поля, її -плотность примесей, которая значительно ниже порога протекания; Ф( ) зависит только от пространственных координат, поскольку примеси считаются фиксированными. Отметим, что (10.I) отличается от (7.1) лишь внешним полем 7Lf?,t). В координатном представлении гамильтонианы (10.2) и (2.1) фактически совпадают, причёи %, играет роль Ф (Ї?) , а Уц. заменён на постоянный параметр V o в силу (2.5).
Система (ЮЛ), (Ю.2) решается в [128-130] рекурсивным методом [81] Мы же воспользуемся для решения этой системы лагранжевым формализмом [l2l] С этой целью необходимо обобщить метод реплик, используемый в критической статике на случай динамики, чтобы свести систему (ЮЛ), (10.2) к некоторому эквивалентному эффективному лагранжиану.
Последовательное рассмотрение задачи состоит в том, что надо решить (ЮЛ), (10.2) (с учётом (7.3)), найти &[ lAfi) и затем вычислить пространственно-временную корреляционную функцию
Вычисление индекса Р и сравнение с экспериментом
Это означает, что в случае статики примесная модель Изинга эквивалентна гь -компонентному гейзенберговскому ферромагнетику с кубической анизотропией в пределе п -» о , причем изинговская вершина Ч, играет роль кубической вершины, а примесная вершина Ы0 - роль изотропной вершины.
Как известно, метод S -разложения оказался весьма эффективным при вычислении критических индексов для изотропных систем [э] . Однако при рассмотрении анизотропных моделей было обнаружено, что качественные предсказания теории зависят в этом случае от того, каким порядком по & мы ограничимся. Так, например, при /1=3 и наличии не слишком большой затравочной кубической анизотропии первое приближение по даёт асимптотическую изотропизацию системы (гейзенберговская ФТ является устойчивой) [140, 151, 152] . Во втором же порядке по система имеет конечную анизотропию и в критической области (устойчива кубическая ФТ) [140, 151 ] . Кроме того, существует ряд других моментов, затрудняющих применение -разложения и трактовку получаемых результатов [l53, 154-] . В такой ситуации изучение критического поведения кубических кристаллов на основе трехмерной теории представляет достаточный интерес. Случай критической статики был рассмотрен в [l55] . Здесь мы коротко остановимся на критической динамике трехмерных кубических кристаллов.
Воспользовавшись опять результатом [lI7j и гамильтонианом (12.I), можно показать, что в случае несохранения параметра порядка и энергий критическая динамика описывается следующим эффективным лагранжианом:
Поскольку обе диаграммы (12.3) дают нуль при вычитании, динамический индекс равен нулю в первом приближении.
Вклад второго приближения в функцию (l- (Oj-Lto/r к -) даётся суммой графиков: (12.4) Формулы (12.4) и (II.II) отличаются только частотными зависимостями в двух первых диаграммах. Поэтому процедура вычисления индекса р аналогична изложенной выше и мы приводим конечный результат. где I определяется формулой (9.27). Поскольку при и. 4 4-гейзенберговская ФТ с координатами U, = -V/(n8), V" - о устойчива, а при м 4- устойчива кубическая ФТ с координатами М - г І Зп, 3 у - г(7і- )/зп [i55] , статический индекс п имеет вид (12.6) Из (12.5) видно, что связь между Р и р такая же, как и в случае отсутствия анизотропии (см. формулу (9.29) . Поэтому число С остается тем же, что и без учёта кубической анизотропии ( С z. 0,6 4- ). Таким образом, во втором приближении теории возмущений анизотропия изменяет р (и 2- ) при Ті у t 1. Методом Любенского изучено критическое поведение примесных систем с дальнодействием, убывающим с расстоянием по закону i/ t + . Получены критические индексы этих систем до членов второго порядка по = ?- 5 - d для Я Ф 1 и до членов первого порядка по для 2. Методом низкотемпературной ренормгруппы рассмотрено влияние примесей на поведение классических систем с фиксированными по величине спинами вблизи точки фазового перехода второго рода. Поскольку учёт примесей лишь приводит к появлению, наряду с фиксированной точкой Мигдала-Полякова, нефизической фиксированной точки, показано, что существует критическая концентрация, ниже которой присутствие примесей не влияет на критическое поведение этих систем. 3. Предложен новый метод расчёта динамического индекса непосредственно в трехмерном пространстве. На основе перенормированных функций Грина и тождества Уорда получена формула, позволяющая выразить динамический индекс через вершинные функции. 4. Вычислен динамический индекс трёхмерных систем с не-сохраняющимися параметром порядка и энергией. Численный результат близок к результатам метода 6 -разложения и экспериментам по критическому поглощению ультразвука в кристалле К Mn F3 5. Метод реплик, используемый в критической статике, обобщен на динамические задачи. Показано, что описание динамики неупорядоченных систем вблизи критической точки кинетическими уравнениями эквивалентно описанию с помощью некоторого эффективного двухзарядного лагранжиана, зависящего как от импульса, так и от частоты. 6. В рамках метода, развитого в третьей главе, получен динамический индекс трёхмерной примесной модели Йзинга с точностью до членов второго порядка теории возмущений, т.е. для случая, когда метод С -разложения не применим. Уста новлено, что учёт примесей приводит к росту числа С ( z= = Z с-у ) почти на полтора порядка по сравнению с беспримесным случаем. 7. Изучена критическая динамика трёхмерных кубических кристаллов с несохраняющимися параметром порядка и энергией. Показано, что кубическая анизотропия изменяет индекс 2 при її h- і но оставляет число С неизменным при любых.
Динамический индекс трёхмерной примесной модели Изинга
В первом приближении метод -разложения даёт [128-130] р№ - ( 36 / J06 ) I и при переходе к трёхмерно му пространству (=1) р 0 ,16 8 . это значение близко к нашему результату.
Вычислим теперь динамический индекс во втором порядке теории возмущений (напомним, что в этом порядке метод 6 -разложения не применим),. При нахождении оС (о LCO/ГК ) необходимо иметь в виду, что все диаграммы, содержащие замкнутые петли, могут быть исключены с самого начала, т.к. в конечном результате надо совершить предельный переход п о Функция С изображается суммой графиков.
Заметим, что последние слагаемые (II.12) и (9,17) имеют одинаковую частотную зависимость. Поэтому результат суммирования по частотам со и ьот будет тем же, что и (9.24). Суммирование по частотам в классическом приближении для второго слагаемого (II.12) выполняется способом, изложенным в 9. Учитывая (П.4-) и пропуская промежуточные выкладки, приводим конечный разультат для динамического индекса во втором приближении
Если выразить f через найденный в [90] индекс Фишера я 0,009 то рг 5,5\5"6 j? . Зная Р , можно найти индекс 2г и число с , которые выражаются через р и j? соотношением (9.30). В нашем случае ,10+ и 0 11,883. Для беспримесной системы метод б -разложения даёт с о_,?з а по нашему методу с з: о, 6 [l2l] Таким образом, учёт примесей приводит к увеличению С почти на полтора порядка. Это означает, что присутствие примесей очень сильно влияет на динамику неупорядоченных систем вблизи точки ФП перехода. Такой эффект должен быть чётко обнаружен на эксперименте. К сожалению, насколько нам известно, подобных экспериментов пока нет. В качестве второго примера применения развитого в третьей главе метода рассмотрим кристалл с кубической анизотропией. Гамильтониан этой модели имеет вид
Нетрудно видеть, что при и) -» о формула (10.18) совпадает с (12.I). Это означает, что в случае статики примесная модель Изинга эквивалентна гь -компонентному гейзенберговскому ферромагнетику с кубической анизотропией в пределе п -» о , причем изинговская вершина Ч, играет роль кубической вершины, а примесная вершина Ы0 - роль изотропной вершины.
Как известно, метод S -разложения оказался весьма эффективным при вычислении критических индексов для изотропных систем [э] . Однако при рассмотрении анизотропных моделей было обнаружено, что качественные предсказания теории зависят в этом случае от того, каким порядком по & мы ограничимся. Так, например, при /1=3 и наличии не слишком большой затравочной кубической анизотропии первое приближение по даёт асимптотическую изотропизацию системы (гейзенберговская ФТ является устойчивой) [140, 151, 152] . Во втором же порядке по система имеет конечную анизотропию и в критической области (устойчива кубическая ФТ) [140, 151 ] . Кроме того, существует ряд других моментов, затрудняющих применение -разложения и трактовку получаемых результатов [l53, 154-] . В такой ситуации изучение критического поведения кубических кристаллов на основе трехмерной теории представляет достаточный интерес. Случай критической статики был рассмотрен в [l55] . Здесь мы коротко остановимся на критической динамике трехмерных кубических кристаллов. Воспользовавшись опять результатом [lI7j и гамильтонианом (12.I), можно показать, что в случае несохранения параметра порядка и энергий критическая динамика описывается следующим эффективным лагранжианом: