Кооперативный спонтанный распад в ансамбле точечных квазинеподвижных атомов и его влияние на радиационные свойства среды Курапцев Алексей Сергеевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Современное состояние проблемы 20

1.1 Обзор литературы 20

1.2 Квантовый микроскопический подход 29

1.3 Выводы к главе 1 38

2 Кооперативный спонтанный распад в ансамбле точечных квазинеподвижных атомов 39

2.1 Плотный ансамбль холодных атомов 39

2.2 Ансамбль квазирезонансных примесных центров в прозрачном диэлектрике 44

2.3 Ансамбль нерезонансных примесных центров в прозрачном диэлектрике 48

2.4 Выводы к главе 2 51

3 Кооперативный спонтанный распад в резонаторе Фабри-Перо 52

3.1 Квантовая микроскопическая теория диполь-дипольного взаимодействия в ансамблях примесных атомов в резонаторе Фабри-Перо 52

3.2 Кооперативный спонтанный распад в микрорезонаторе Фабри-Перо (d < Ло/2) 60

3.3 Кооперативный спонтанный распад в атомных системах вблизи проводящей поверхности 68

3.4 Выводы к главе 3 74

4 Влияние коллективных эффектов на радиационные свойства ансамблей квазинеподвижных атомов 76

4.1 Пленение излучения 76

4.2 Диэлектрическая проницаемость атомного ансамбля 81

4.3 Перенос излучения в плотном атомном ансамбле 93

4.4 Стационарное рассеяние квазирезонансного излучения плотным атомным ансамблем 101

4.5 Выводы к главе 4 111

Заключение 114

Список литературы 117

• Квантовый микроскопический подход
• Ансамбль квазирезонансных примесных центров в прозрачном диэлектрике
• Кооперативный спонтанный распад в микрорезонаторе Фабри-Перо (d < Ло/2)
• Перенос излучения в плотном атомном ансамбле

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы

Коллективные эффекты, имеющие место при взаимодействии многоатомных ансамблей с резонансным электромагнитным излучением, играют важную роль в атомной физике и оптике. Физической причиной этих эффектов является многократное рассеяние света в атомной среде. Для плотных резонансных сред, в которых расстояние между атомами соизмеримо с длиной световой волны, характер коллективных эффектов определяется также межатомным диноль-дипольным взаимодействием.

Диполь-диполыюе взаимодействие между различными атомами может быть интерпретировано в рамках теории близкодействия как результат рекуррентного рассеяния фотонов, в том числе виртуальных. Это явление играет существенную роль в условиях, когда длина свободного пробега фотона в среде меньше или сравнима с длиной волны резонансного света. В таких условиях процесс спонтанного распада возбужденного атома в среде существенно отличается от распада изолированного атома, что оказывает влияние на оптические свойства среды. Это делает анализ возможных каналов распада атомного возбуждения с рождением вторичных рассеянных фотонов важной проблемой при описании взаимодействия света с плотным атомным ансамблем.

Резонансные взаимодействия приводят к формированию многочастичных суб- и супер-излучательных состояний. Наличие супер-излучательных состояний позволяет наблюдать такое явление как сверхизлучение, что открывает перспективы создания источников мощного импульсного излучения. Суб-излучательные состояния, время жизни которых существенно превышает естественное время жизни изолированного атома, могут использоваться для создания устройств хранения квантовой информации и оптических линий задержки.

Интерференционные эффекты при рекуррентном рассеянии света в плотных атомных ансамблях могут приводить к такому явлению как сильная (Андерсоновская) локализация света, которое состоит в появлении локализованных в пространстве состояний (мод) [1|. Успешная демонстрация и контроль эффекта сильной локализации представляли бы собой прорыв в разработке систем "остановки" света. Это явление может быть использовано для целого ряда инновационных технологий, в частности для хранения, передачи и обработки квантовой информации |2|. Кроме того, вопрос о локализации тесно связан с явлением лазерной генерации в случайно-неоднородной среде, вызывающим определенный практический интерес в связи с возможностью создания лазерных источников света с низкой пространственной когерентностью для таких приложений как, например, когерентная оптическая томография.

Особую актуальность исследованию кооперативных эффектов придает их важность для разработки оптических квантовых стандартов частоты нового поколения [3]. При сверхвысокой чувствительности современных первичных стандартов одним из ключевых вопросов являются сдвиги и уширения линий эталонного перехода, обусловленные межатомным взаимодействием.

Кооперативные эффекты наиболее сильно проявляют себя в атомных системах с большими сечениями рассеяния. Одной из таких систем являются холодные атомные газы, которые приготавливаются в специальных лазерных ловушках.

Лазерное охлаждение атомов до сверхнизких температур (порядка десятков микрокель-вин) позволяет практически полностью устранить доплеровское уширение, связанное с тепловым движением атомов, и достичь больших значений времени квантовой декогеренции. В холодных атомных ансамблях ввиду взаимной резонаиспости всех атомов диполь-дипольное взаимодействие играет важную роль даже в случае сравнительно небольшой атомной плотности. В типичных экспериментах работают с оптическими переходами (т.е. До ~ 0.5 мкм). В этих случаях кооперативные эффекты существенно проявляют себя, начиная со значений атомной плотности порядка 10¹³ см^-3. Преимуществами использования ансамблей холодных атомов являются высокая степень однородности системы и удобство управления при помощи внешних полей.

Другим классом объектов, в которых диполь-дипольное взаимодействие играет важную роль, являются ансамбли примесных атомов, находящихся в твердом теле. При работе с ними не требуется лазерное охлаждение в специальных ловушках, что позволяет снизить габариты устройств в конкретных приложениях и обеспечить автономность их работы.

Особенностью взаимодействия света с ансамблем примесных атомов, внедренных в диэлектрик, является влияние окружающего вещества на радиационные характеристики примесей. Случайные сдвиги уровней примесных атомов, связанные с внутрикристаллическими нолями диэлектрической матрицы, нарушают их взаимную резонансность. Тем не менее, при высоких концентрациях примесей, характерных для реальных твердых тел, могут проявляться коллективные многоатомные эффекты, обусловленные диполь-дипольным взаимодействием.

Одним из главных преимуществ использования ансамблей примесных центров (атомов) в твердотельном диэлектрике является то, что такую систему можно поместить в микрорезонатор или волновод. Это позволяет существенно модифицировать оптические свойства атомного ансамбля, и главное - управлять этими свойствами. Начиная с работы Парселла [4], в которой впервые было описано влияние резонатора на скорость спонтанного распада, исследования в данном направлении были продолжены во многих научных группах (см. |5-7| и имеющиеся там ссылки). Взаимодействие света с атомными системами в присутствии наноструктур, таких как нановолокна, фотонно-кристаллические резонаторы и волноводы может быть основой для будущего развития приложений в квантовой метрологии, квантовых телекоммуникационных сетей, а также квантовой информатики.

Отличие структуры собственных полевых мод волноводов или резонаторов от мод свободного пространства меняет также характер обмена фотонами между различными атомами, помещенными в них, что, в свою очередь изменяет резонансное межатомное диполь-дипольное взаимодействие [8,9| и обусловленные им кооперативные эффекты. К настоящему времени исследования модификаций диполь-дипольного взаимодействия, вызванных наличием резонатора, ограничены рассмотрением двух атомов, неподвижно расположенных в некоторых фиксированных точках внутри него. Коллективные эффекты, имеющие место в многоатомном ансамбле, помещенном в резонатор, практически не исследованы.

Несмотря на имеющиеся работы, посвященные изучению кооперативных эффектов, обусловленных дииоль-дипольным взаимодействием, ряд вопросов в настоящее время исследо-

ван недостаточно подробно. Одной из наиболее важных проблем является влияние межатомных корреляций, связанных с пространственным расположением атомов, на оптические свойства среды. В условиях кооперативных эффектов отдельные атомы не могут рассматриваться как независимые источники вторичных волн. Здесь мы имеем дело, но-существу, с взаимодействием света с гигантской квазимолекулой, объединяющей в себе все атомы ансамбля. Для корректного учета межатомных корреляций необходимо отказаться от часто используемого приближения сплошной среды и проводить описание атомно-полевой системы на основе квантового микроскопического подхода, чему посвящена данная работа.

Цель диссертационного исследования

Теоретическое исследование кооперативного спонтанного распада в плотном ансамбле точечных квазинеподвижных атомов и анализ его влияния на оптические свойства среды.

Задачи диссертационного исследования

1. Расчёт динамики спонтанного распада возбужденного атома в плотном холодном атомном ансамбле. Анализ влияния межатомного диполь-дипольного взаимодействия на спонтанный распад.

2. Разработка формализма, позволяющего проанализировать кооперативный спонтанный распад в ансамбле примесных атомов, внедренных в твердый прозрачный диэлектрик.

3. Построение квантовой микроскопической теории кооперативных эффектов в ансамблях примесных атомов в твердом прозрачном диэлектрике, помещенном в резонатор Фабри-Перо.

4. Исследование кооперативного спонтанного распада в атомных системах, расположенных вблизи проводящей поверхности.

5. Анализ переноса и пленения излучения в плотном атомном ансамбле.

6. Исследование влияния кооперативных эффектов на оптические свойства плотных атомных ансамблей, в частности на диэлектрическую проницаемость.

7. Анализ влияния кооперативных эффектов на характер рассеяния излучения плотным атомным ансамблем.

Научная новизна работы

В работе впервые: 1) Рассчитана динамика кооперативного спонтанного распада возбужденного атома в плотном многоатомном ансамбле на основе квантовой микроскопической теории с учётом дискретности среды, векторной природы электромагнитного поля и межатомных корреляций.

2. Изучены кооперативные эффекты, обусловленные диноль-динольным взаимодействием, в ансамблях примесных атомов в твердотельном диэлектрике в условиях, когда неоднородное уширение много больше естественной ширины линии перехода.

3. Исследованы многоатомные кооперативные эффекты в атомных системах, находящихся в резонаторе Фабри-Перо, а также расположенных вблизи проводящей поверхности.

4. Рассчитана диэлектрическая проницаемость плотных невырожденных холодных атомных газов с последовательным учетом дискретности среды и межатомных корреляций.

5. Теоретически предсказано отсутствие сильной (Андерсоновской) локализации света в трёхмерных неупорядоченных изотропных плотных ансамблях квазинеподвижных атомов при отсутствии внешних управляющих полей даже в условиях выполнения критерия Иоффе-Регеля.

6. Получено аналитическое соотношение, позволяющее экстраполировать результаты микроскопической теории на случай атомных ансамблей макроскопических размеров.

Научная и практическая значимость

Научная значимость заключается в развитии теории радиационных процессов в плотных многоатомных системах, таких как невырожденные холодные атомные газы, а также точечные примесные центры в твердотельном диэлектрике. В работе показана необходимость учёта межатомных корреляций при описании кооперативных эффектов в плотных атомных ансамблях и ограниченность применимости идеи среднего поля в условиях сильного дииоль-дипольного взаимодействия. Показано, как результаты последовательной квантовой микроскопической теории могут быть использованы для анализа атомных ансамблей, содержащих макроскопическое число атомов.

В работе также исследовано, как влияет наличие резонатора Фабри-Перо или одной проводящей поверхности на радиационные процессы в плотном атомном ансамбле. Показано, что характер проявления кооперативных эффектов в таких условиях существенно отличается от случая свободного пространства.

Практическая значимость обусловлена тем, что разработанная теория позволяет интерпретировать результаты экспериментальных измерений, планировать эксперименты и оптимизировать методы практического применения. Холодные атомные газы и примесные атомы в твердотельных диэлектриках уже сейчас активно используются в квантовой метрологии, стандартизации частоты, лазерной генерации, квантово-информационных приложениях. При этом кооперативные эффекты в ряде случаев оказывают существенное влияние на работу конкретных устройств. В частности, для стандартов частоты на холодных атомах одним из ключевых вопросов является сдвиг частоты эталонного перехода, обусловленный межатомным диноль-динольным взаимодействием. Кроме того, существуют различные варианты использования холодных атомов и примесных центров в диэлектрике в качестве ячеек квантовой памяти.

Методология и методы исследования

Базовым методом теоретического исследования является квантовый микроскопический подход, который основан на решении уравнения Шредингера для объединенной системы, состоящей из атомной системы и электромагнитного ноля, включая вакуумный термостат. Этот подход позволяет с единых позиций описать взаимодействие атомов с внешним излучением и между собой, а также спонтанный распад. Методом ограничения нолевых состояний была получена конечномерная система уравнений для атомных переменных. Случайная неоднородность среды была учтена при помощи метода Монте-Карло. При численных расчетах был использован метод автоматического распараллеливания вычислений в среде MatLab.

Положения, выносимые на защиту

1. Динамика спонтанного распада возбужденного атома в плотном ансамбле квазинеподвижных атомов в условиях, когда средняя длина свободного пробега фотона сравнима с резонансной длиной волны, описывается многоэкспоненциальным законом.

2. Кооперативные эффекты, обусловленные дииоль-дипольным взаимодействием, могут оказывать влияние на характер спонтанного распада в ансамблях примесных атомов при наличии неоднородного уширепия, даже в тех случаях, когда оно много больше естественной ширины линии перехода.

3. Кооперативный спонтанный распад в атомных системах, находящихся в резонаторе Фабри-Перо, а также расположенных вблизи проводящей поверхности, отличается от кооперативного распада в свободном пространстве.

4. Перенос излучения в трёхмерных неупорядоченных изотропных плотных атомных ансамблях без приложения внешних управляющих полей носит диффузионный характер даже в условиях выполнения критерия Иоффе-Регеля, т.е. сильная (Андерсоновская) локализация света в таких системах отсутствует.

5. Особенности коллективных эффектов в приграничных областях плотного атомного ансамбля влияют на законы отражения и преломления квазирезонанспого света, делая их нефренелевскими.

Степень достоверности результатов

Достоверность результатов обусловлена применением строгих и хорошо апробированных методов квантовой механики и электродинамики. Расчёты проведены "из первых принципов" квантовой механики, а использованные приближения строго обоснованы. Важнейшим фактором, подтверждающим достоверность результатов, является достигнутое хорошее согласие с результатами имеющихся экспериментов по рассеянию резонансного света на плотном невырожденном ансамбле холодных атомов. Кроме того, достоверность результатов подтверждается совпадением предельных случаев с результатами, полученными ранее другими авторами.

Апробация работы

Результаты работы были доложены на следующих международных конференциях:

Annual International Laser Physics Workshop (LPHYS)

2016 г., Ереван, Армения

2015 г., Шанхай, Китай

2014 г., София, Болгария

2011 г., Сараево, Босния и Герцеговина

International Conference "Laser Optics", Санкт-Петербург

2016 г.,

2014 г.,

CoScaLilV: "Workshop on Collective Scattering of Light". Убатуба, Бразилия, 2016 г.,

Strongly disordered optical systems: from the white paint to cold atoms, Kaprec, Корсика, Франция, 2016 г.,

Waves and imaging in random media, Париж, Франция, 2015 г.,

47th Conference of the European Group on Atomic Systems, EGAS 2015, Рига, Латвия, 2015 г.,

9th Alexander Friedmann International seminar, Санкт-Петербург, 2015 г.,

European conference of atoms, molecules and photons, ECAMP 11, Орхус, Дания, 2013 г.,

VII Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики», ФПО-2012, Санкт-Петербург, 2012 г.,

VII Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оптика - 2011», Санкт-Петербург, 2011 г.

Результаты работы были доложены на следующих всероссийских конференциях:

семинар памяти Д.Н. Клышко

2017 г., Завидово, Тверская область

2015 г., Москва

2013 г., Москва

Политехнический молодежный фестиваль науки, Санкт-Петербург, 2013 г.,

19-ая Всероссийская научная конференция студентов-физиков, ВНКСФ-19, Архангельск, 2013 г.

Также результаты были представлены на городском межинститутском семинаре по квантовой оптике при РГПУ им. А.И. Герцена, семинаре по квантовой оптике на физическом факультете СПбГУ, неоднократно на семинарах кафедры "Теоретическая физика" СПбПУ и на научно-практической конференции "Неделя науки СПбГПУ".

Личный вклад автора

Все теоретические результаты, представленные в диссертации, получены автором лично. Постановка задач, выбор методов исследования и анализ полученных результатов осуществлялись совместно с научным руководителем.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации 129 страниц, включая 36 рисунков. Список литературы включает 116 библ. названий.

Квантовый микроскопический подход

В данном разделе будут изложены основы общего подхода к описанию эволюции объединенной системы, состоящей из плотного атомного ансамбля и электромагнитного поля [98]. Этот подход будет использован в оригинальных главах настоящей диссертации в качестве основного метода исследования.

Основу общей теории составляет нестационарное уравнение Шрединге-ра для волновой функции ф замкнутой объединенной системы, включающей в себя все атомы ансамбля и все моды электромагнитного поля, в том числе вакуумные,

Здесь Нa - гамильтонианы свободных атомов (без учета их взаимодействия с электромагнитным полем), Hf - гамильтониан свободного электромагнитного поля, V - оператор взаимодействия атомов с электромагнитным полем. Все операторы здесь и далее будем записывать в представлении Шредингера.

Ввиду того, что характерные размеры атомов много меньше Ло и среднего межатомного расстояния, мы можем использовать дипольное приближение для оператора взаимодействия

В этом выражении d - оператор дипольного момента перехода атома a, Е(га) - оператор напряженности электрического поля.

Следует отметить, что в квантовой оптике использование дипольного приближения связано с определенными ограничениями. Гамильтониан Паули выглядит следующим образом: где р - оператор импульса, А - оператор векторного потенциала электромагнитного поля, Н = V х А, /2- оператор спинового магнитного момента. Первое и третье слагаемые описывают однофотонные процессы в каждой моде, а второе слагаемое с А2 - двухфотонные. В тех случаях, когда разрешены и те, и другие процессы, вклад двухфотонных процессов как правило мал [104]. В данной диссертации будут рассмотрены разрешенные электродипольные переходы, что позволяет пренебречь вторым слагаемым в выражении (15). Третье слагаемое в выражении (15) для нерелятивистских систем, как правило, также приводит к вкладу, который много меньше вклада от первого слагаемого с р А [104], поэтому им также будем пренебрегать.

Оставив в выражении (15) только первое слагаемое и используя тот факт, что размер электронной оболочки атома много меньше А0 (в данной диссертации мы не рассматриваем очень высоковозбужденные Ридберговские состояния атомов), можно перейти от выражения (15) к (14).

Полевой оператор Ё(г), входящий в формулу (14), разложим по базису собственных мод свободного пространства, т.е. по плоским волнам: где 2к,а – оператор уничтожения фотонов в моде с волновым вектором к и поляризацией а, V - объем квантования, е а - орты поляризации.

При решении уравнения (11) воспользуемся общим подходом, развитым в работах Гайтлера и подробно изложенным в монографии [105]. Волновую функцию объединенной атомно-полевой системы будем искать в виде разложения по полному набору собственных функций фі оператора Я0:

Индекс "/" определяет состояние всех атомов и электромагнитного поля.

Подставив разложение (17) в уравнение Шредингера (11), получим систему дифференциальных уравнений для амплитуд состояний bt(t) объединенной системы

Здесь Ei - энергия Z-го состояния системы невзаимодействующих атомов и электромагнитного поля.

Система (18) содержит бесконечное количество уравнений вследствие бесконечного числа степеней свободы полевой подсистемы. Мы будем искать все интересующие нас наблюдаемые с точностью до второго порядка по постоянной тонкой структуры. В работе [28] было показано, что в рассматриваемом приближении достаточно ограничиться следующим набором состояний:

Учет нерезонансных полевых состояний необходим для корректного описания диполь-дипольного взаимодействия на малых расстояниях между атомами, соизмеримых с длиной световой волны. На таких расстояниях соотношение неопределенностей Гайзенберга для времени и энергии допускает существование виртуальных состояний с энергией, отличающейся от резонансной на величину порядка hjujQ. Заметим, что тип виртуальных состояний фЄаеь не является единственным, однако все остальные виртуальные состояния приводят лишь к малым радиационным поправкам более высоких порядков по постоянной тонкой структуры.

Для ряда задач, связанных с рассеянием внешнего когерентного излучения атомным ансамблем, целесообразно дополнить приведенный набор состояний атомно-полевой системы вакуумным состоянием \д, ...,#) \vac) с волновой функцией W. Ед, = 0.

В рамках сделанных приближений амплитуда этого состояния не изменяется в процессе эволюции системы, потому что переходы между состоянием фді и любыми другими рассматриваемыми состояниями невозможны. Виртуальные переходы из состояния фді в состояния с одним возбужденным атомом и одним фотоном приводят лишь к лэмбовскому сдвигу резонансной частоты перехода атомов, который мы будем считать включенным в UJQ.

После ограничения количества рассматриваемых состояний система уравнений (18) по-прежнему остается бесконечной, однако из неё можно методом исключения полевых переменных выделить конечномерную систему для амплитуд однократно возбужденных атомных состояний Ье. Знание этих величин позволяет выразить амплитуды состояний Ьд и 6ее, и, следовательно, волновую функцию объединенной системы.

В дальнейшем будем предполагать, что в начальный момент времени t = 0 только один атом находится в возбужденном состоянии. Все остальные атомы в начальный момент времени находятся в основном состоянии, а электромагнитное поле - в вакуумном состоянии. Будем также считать, что основное состояние характеризуется квантовым числом полного углового момента J = 0, а возбужденное - J = 1. При этом возбужденное состояние имеет зеемановскую структуру, т.е. представляет собой три подуровня, отличающихся проекцией полного углового момента на ось квантования z - т = —1;0; +1. Такая схема уровней соответствует атомам с 2 валентными электронами на внешней оболочке, таким, например, как Sr, Yb, Ca.

Очевидно, что при такой экстраполяции временная зависимость того состояния объединенной системы, которое возбуждено в начальный момент времени, терпит разрыв при t = 0. Такое состояние мы будем обозначать индексом "о". В результате, в фурье-представлении получаем следующую систему уравнений:

Второе слагаемое, содержащее символ Кронекера 5і0 возникает вследствие разрыва функции b0{t) в точке t = 0: левосторонний предел в этой точке равен 0, а правосторонний предел равен 1.

Для решения системы (20) введем новые переменные щіш)

Введение сингулярной функции С(х) позволяет в общем случае доказать, что полученное решение будет удовлетворять начальным условиям.

Подставив выражения (22) и (23) в выражение (24) и сделав обратную замену переменных с новых щ{ш) на старые &/(о;), получаем конечную систему линейных алгебраических уравнений для амплитуд атомных состояний Ье в фурье-представлении

Система (25) получена в предположении, что в начальный момент времени один атом в рассматриваемом ансамбле находится в возбужденном состоянии. Мы обозначили этот атом индексом о. Все остальные атомы при t = 0 не возбуждены, а электромагнитное поле находится в вакуумном состоянии. Система (25) c такими начальными условиями может быть применена к решению широкого класса задач, как нестационарных, так и стационарных. В частности, решение системы (25) позволит проанализировать динамику спонтанного распада возбужденного атома в ансамбле. Для этого необходимо найти be(t), сделав обратное преобразование Фурье, и затем вычислить вероятности возбуждения атомов Pe(t) = \be(t)\2. Кроме того, теория может быть применена к задаче рассеяния стационарного излучения атомным ансамблем. Для решения этой задачи нужно рассмотреть расположение возбужденного атома с резонансной частотой перехода UJS и малой шириной линии перехода 7s далеко от ансамбля, на расстоянии много превышающем размеры ансамбля. Переход к квазистационарному случаю осуществляется с помощью двух последовательных предельных переходов 7s - 0 и t - оо (подробнее см. [87,98,106-108]).

Размерность системы (25) определяется количеством атомов N и структурой их энергетических уровней. При рассматриваемой V-схеме атомных уровней количество уравнений в системе (25) равно количеству зеемановских подуровней возбужденных состояний всех атомов ансамбля, т.е. 3N.

Ансамбль квазирезонансных примесных центров в прозрачном диэлектрике

При описании процессов взаимодействия света с ансамблем точечных примесных центров (атомов) в диэлектрике необходимо учитывать влияние твердотельной диэлектрической матрицы на примесные атомы. Это влияние состоит, главным образом, в электрон-фононном взаимодействии и в воздействии внутренних полей диэлектрика на положения энергетических уровней примесных атомов. Взаимодействие примесных атомов с диэлектрической матрицей может приводить к сдвигам и расщеплению спектральных линий, а также искажениям формы спектра перехода примесных атомов.

Влияние электрон-фононного взаимодействия на состояние ансамбля примесных атомов существенно зависит от температуры. При понижении температуры скорость безызлучательной релаксации возбужденных состояний уменьшается. При достаточно низких температурах эта величина может быть меньше 7о или даже много меньше 7о. Последний случай носит название предела бесфо-нонных линий. Конкретные значения температуры, при которых достигаются бесфононные линии, зависят от природы вещества. В данной работе мы будем предполагать, что температура среда настолько низкая, что спектральные линии примесных атомов являются бесфононными. Это позволяет нам пренебречь взаимодействием примесных атомов с фононным резервуаром, считая их взаимодействие с полевым резервуаром существенно более сильным. Таким образом, атомно-полевую систему мы будем считать замкнутой на временах, меньших обратной скорости безызлучательной релаксации, и её эволюцию будем описывать уравнением Шредингера.

Внутренние поля диэлектрической матрицы оказывают существенное влияние на примесные атомы при любой температуре. Учтем, что вследствие зеема-новских и штарковских сдвигов атомных уровней, вызванных внутренними полями диэлектрика, резонансные частоты переходов примесных атомов соа сдвинуты относительно частоты свободных примесных атомов U)Q: соа = UJQ + а, где а - сдвиг частоты перехода атома а, зависящий от его положения, а = 1,..., N.

Роль диполь-дипольного взаимодействия в ансамбле примесных атомов определяется, помимо концентрации, величиной случайных сдвигов уровней, обусловленных внутренними полями диэлектрика. Величина таких сдвигов зависит от многих факторов, прежде всего от природы вещества и температуры. Однако, общим для всех сред свойством является то, что сдвиг частоты перехода примесного центра в среде можно представить в виде некоторого среднего сдвига и добавочного слагаемого, связанного с неоднородностью внутренних полей среды. Как правило, величина среднеквадратичного разброса сдвигов 6 вокруг их среднего значения много меньше среднего сдвига.

В зависимости от типа симметрии внутренних полей вещества, различные зеемановские подуровни примесных атомов могут быть сдвинуты по-разному. Существует класс веществ, в которых средний сдвиг одинаков для различных зеемановских подуровней возбужденного состояния примесных атомов. В данной работе мы ограничимся рассмотрением только такого класса веществ. При теоретическом описании радиационных процессов в этом случае мы будем считать включенным в резонансную частоту перехода примесных атомов UJQ.

Величина 5, будучи малой по сравнению с , может тем не менее существенно сказаться на межатомном взаимодействии. Критерий значимости кооперативных эффектов в ансамблях примесных центров несколько отличается от случая холодного атомного ансамбля. Это связано с тем, что в атомных системах с неоднородным уширением фотон, излученный каким-либо атомом, не является резонансным по отношению к большинству окружающих атомов. Как правило, неоднородное уширение 6 превышает однородное 7о. Кооперативные эффекты существенно проявляют себя в том случае, когда среднее расстояние между резонансными по отношению друг к другу атомами меньше длины волны излучения, резонансного атомному переходу. Концентрация резонансных по отношению друг к другу атомов может быть оценена как п о/5, а среднее расстояние между ними, соответственно, как (п7оЛГ1/3. Таким образом, критерий значимости кооперативных эффектов для атомных систем с неоднородным уширением может быть записан в следующем виде: или окончательно пА о/ 1. Этот критерий справедлив при достаточно большом неоднородном уширении 5 7о. Если же выполнено обратное неравенство, то все примесные атомы являются квазирезонансными по отношению друг к другу, и критерий значимости кооперативности выглядит так же, как для ансамбля холодных атомов.

В этом разделе мы проанализируем случай, когда неоднородное уширение 6 и естественное 7о одного порядка, 6 7о. Материал диэлектрика для простоты будем считать прозрачным на частотах, близких к и0. Пространственное распределение плотности примесных атомов в рамках теории может быть рассмотрено произвольным. Здесь мы будем анализировать равномерное (в среднем) распределение примесных атомов, что является наиболее типичным для экспериментов.

Основное внимание в данном разделе уделим анализу кооперативных эффектов в зависимости от величины 5. Распределение сдвигов уровней примесных атомов, обусловленных воздействием внутренних полей диэлектрика, будем считать гауссовым. На Рис. 3 показана динамика спонтанного распада возбужденного атома, находящегося в центре атомного ансамбля, имеющего сферическую форму, при различных значениях 6. По случайным сдвигам уровней, обусловленным неоднородностью внутренних полей диэлектрика, проведено многократное усреднение. Атомная плотность п = 0.05, диаметр образца D = 30. Размер образца D выбран из области насыщения зависимости динамики кооперативного распада от этого параметра. Для сравнения на Рис. 3 дополнительно приведен график динамики одноатомного распада.

Видно, что при увеличении 5 кооперативные эффекты ослабляются, и динамика спонтанного распада становится более близкой к одноатомному распаду. На начальном участке временной зависимости с увеличением 5 ослабляется влияние суперизлучательных состояний, в результате чего динамика распада становится более медленной, асимптотически приближаясь к одноатомному распаду. На больших временах с увеличением 5 ослабляется влияние субизлучатель На Рис. 4 показана динамика спонтанного распада при тех же значениях 6, что и на Рис. 3, но при большей атомной плотности -п = 0.2. Размер образца D = 20 также выбран из области насыщения.

Сравнив Рис. 3 и 4 можно наглядно видеть, что с увеличением атомной плотности для каждого значения 6 усиливаются кооперативные эффекты. На начальном участке временной зависимости это проявляется в ускорении спонтанного распада с ростом атомной плотности, а на больших временах - в замедлении распада. Описанный характер зависимости кооперативного спонтанного распада от 6 справедлив при произвольной атомной плотности.

Кооперативный спонтанный распад в микрорезонаторе Фабри-Перо (d < Ло/2)

При выполнении конкретных вычислений мы можем рассмотреть резонатор с произвольным расстоянием между зеркалами d. С физической точки зрения, наиболее интересен случай, когда это расстояние меньше половины длины волны, резонансной атомному переходу, Ао. При этом условии структура полевых мод резонатора такова, что спонтанный распад с зееменовских подуровней т = ±1 подавлен [54]. Это можно наглядно видеть на Рис. 7, где показана зависимость скорости одноатомного спонтанного распада 7 от расстояния между зеркалами резонатора Фабри-Перо d. За единицу длины принято обратное волновое число резонансного излучения кц1 = C/UJQ.

На Рис. 7 видно, что при d Ао/2 скорость одноатомного спонтанного распада с зееменовских подуровней т = ±1 обращается в нуль. В связи с этим, изучение кооперативных эффектов при таких параметрах представляет особенный интерес. По этой причине в данном разделе мы выберем значение расстояния между зеркалами резонатора Фабри-Перо d = 3.

Помимо расстояния между зеркалами, еще одной величиной, которая может существенно повлиять на конкретные численные результаты, является положение изначально возбужденного атома. Из формулы (52) видно, что скорость спонтанного распада зависит от координаты z возбужденного атома даже в том случае, когда атом один. Изложенная в настоящей работе теория позволяет анализировать произвольное пространственное расположение всех атомов. При этом расположение возбужденного атома может считаться как детерминированным, так и случайным. В данном разделе мы ограничимся случаем, когда координата z возбужденного атома строго задана. Будем считать, что zexc = d/2.

Если неоднородные сдвиги уровней примесных атомов, вызванные внутренними полями диэлектрика, малы, т.е. 6 С 70, мы можем пренебречь различием ша для разных атомов, считая соа = UJ0.

На Рис. 8 представлены результаты расчета динамики спонтанного распада возбужденного примесного атома P0(t) = \b0(t)\2 в ансамбле сравнительно небольшой концентрации п = 2х10"3 как при наличии микрорезонатора, так и в его отсутствии. При такой плотности кооперативные эффекты, обусловленные межатомным диполь-дипольным взаимодействием, в отсутствии микрорезонатора практически не наблюдаются. В этом можно убедиться, сравнив кривые 3 и 4 на Рис. 8. Незначительные отличия становятся заметными лишь при больших временах, когда распад практически полностью произошел. Эти отличия связаны с существованием в неупорядоченном ансамбле редких случайных пар близкорасположенных атомов. Такие двухатомные квазимолекулы могут иметь возбужденные состояния со сравнительно большими временами жизни, и на больших временах мы видим распад именно этих состояний. Заметим, что результаты, показанные на Рис. 8, как и на всех последующих рисунках, получены усреднением по большому числу случайных пространственных конфигураций ансамбля примесных атомов методом Монте-Карло.

В случае распада атомов, возбужденных на подуровни т = ±1 (Рис. 8(b)) она является определяющей. Это связано с тем, что, как отмечалось выше, спонтанный распад одиночного атома в микрорезонаторе, расстояние между зеркалами которого d Ао/2, полностью подавлен. И только наличие других, невозбужденных примесных атомов делает распад возможным. Причиной этого является обмен энергией между возбужденным атомом и близлежащими атомами через затухающие полевые моды. Таким образом, спонтанный распад здесь является принципиально коллективным эффектом.

Для т = 0 распад одиночного атома в микрорезонаторе разрешен, скорость распада при выбранных параметрах составляет 1.577о. Но и в этом случае диполь-дипольное взаимодействие проявляет себя. Различие кривых 1 и 2 на Рис. 8(а) проявляется на заметно меньших временах временах, чем кривых 3 и 4, соответствующих отсутствию резонатора.

С увеличением плотности примесных атомов влияние диполь-дипольного взаимодействия усиливается. Для подуровней т = ±1 это проявляется в ослаблении эффекта подавления спонтанного распада в микрорезонаторе. Распад подуровня т = 0 с увеличением атомной плотности становится более коллективным, т.е. усиливается отличие динамики распада от одноэкспоненциального закона, характерного для одиночного атома. При высокой плотности, такой как п = 0.1, (см. Рис. 9) диполь-дипольное взаимодействие настолько сильно, что динамика спонтанного распада подуровней т = ±1 атома в резонаторе лишь незначительно отличается от т = 0.

При таких плотностях динамика распада не описывается одноэкспоненци-альным законом. Как и для случая холодных атомных газов, это объясняется формированием в атомном ансамбле коллективных состояний, среди которых есть как суперизлучательные (короткоживущие), так и субизлучательные (дол-гоживущие). На начальном этапе эволюции, когда время меньше естественного времени жизни возбужденного состояния изолированного атома, быстрораспа-дающиеся суперизлучательные состояния оказывают определяющее влияние на динамику распада. Скорость распада на малых временах становится больше скорости распада свободного атома даже для т = ±1, т.е. наблюдается эффект сверхизлучения. На больших временах, наоборот, ключевую роль играют медленно распадающиеся субизлучательные состояния, которые обуславливают пленение излучения в атомном ансамбле [80, 110]. В целом, динамика спонтанного распада возбужденного атома в ансамбле описывается многоэкспоненциальным законом. При этом скорость распада, вычисленная по формуле (39), зависит от времени.

При высоких плотностях, несмотря на сильное диполь-дипольного взаимодействие влияние резонатора также оказывается существенным. Это можно наглядно видеть, сравнив кривые 1 и 2 на Рис. 9 с динамикой распада атома в отсутствии резонатора (кривая 3 на этом рисунке).

Заметим, что в общем случае динамика спонтанного распада в резонаторе может зависеть не только от плотности, но и от размеров атомной среды. Анализ этой зависимости показал, что, начиная с определенных значений, существенно превышающих как длину волны резонансного излучения, так и среднее расстояние между примесными центрами, наблюдается эффект насыщения - дальнейшее увеличение размеров атомного ансамбля практически не влияет на вычисляемые величины. Результаты, приведенные на Рис. 8 и 9, получены для таких значений размеров. Например, кривые на Рис. 8 рассчитаны для поперечного диаметра цилиндрического образца D 100 в случае микрорезонатора и при аналогичных значениях диаметра сферического образца в случае отсутствия микрорезонатора.

Перенос излучения в плотном атомном ансамбле

Поляризация атомов определяется когерентной компонентой поля. Такая компонента затухает экспоненциально по закону Бугера, поэтому атомная поляризация также спадает по экспоненциальному закону. Населенности возбужденных состояний спадают вглубь среды значительно медленнее, поскольку они определяются полной интенсивностью света. В настоящем разделе проанализируем пространственное распределение атомного возбуждения в ансамбле квази-непожвижных атомов и на этом основании проанализируем характер переноса излучения в атомных ансамблях различной плотности.

Для оптически плотной среды на расстояниях, превышающих несколько длин свободного пробега фотона от границы облака, основной вклад в полную интенсивность дает многократно перерассеянное, плененное излучение. Это излучение вызывает все возможные атомные переходы, поэтому средняя населенность будет отлична от нуля для всех подуровней возбужденного состояния. В квазистатическом случае населенность подуровня т для единицы объема может быть вычислена следующим образом:

Как и ранее, расчет будем проводить для однородных (в среднем) атомных ансамблей цилиндрической формы. Начнем с анализа пространственного распределения суммарной населенности всех возбужденных зеемановских подуровней p(r) = Y Pm{r). Результаты соответствующих вычислений для ансамбля радиуса R = 15 и длины L = 10 с концентрацией атомов п = 0.3 показаны на Рис. 27. Выбранная концентрация характерна тем, что для нее межатомное диполь-дипольное взаимодействие оказывается существенным, и коллективные эффекты играют важную роль. Пробное излучение право циркулярно поляризовано (атом-источник в начальный момент времени заселяет только подуровень т = 1). Различные кривые на Рис. 27 соответствуют различным отстройкам пробного излучения А от частоты перехода изолированного атома.

Как видно из рисунка, пространственное распределение населенности возбужденных состояний существенно отличается от распределения поляризации. Последняя убывает вглубь среды по экспоненциальному закону. Атомное возбуждение, за исключением торцевых пограничных областей, убывает линейно для всех рассмотренных случаев. Пограничные эффекты на Рис. 27 также проявляются заметнее, чем в случае атомной поляризации. Основная причина этих различий состоит в том, что, как упоминалось выше, суммарная населенность возбужденных состояний определяется полной интенсивностью света, а поляризация – только когерентной составляющей. В то же время интенсивность излучения не является единственным фактором, определяющим населенность возбужденных состояния. Существенную роль играют времена жизни возбуждаемых состояний. При рассматриваемых плотностях, как упоминалось, существенную роль играют кооперативные эффекты, поэтому речь идет не о временах жизни различных зеемановских подуровней изолированных атомов (которые совпадают между собой), а о временах жизни коллективных многоатомных состояний, формирующихся в атомном ансамбле. Среди этих состояний есть как суб, так и суперизлучательные состояния. Из-за диполь-дипольного взаимодействия различные состояния характеризуются различными резонансными частотами, причем их распределение по спектру является достаточно сложным. Эти обстоятельства объясняют наблюдаемую зависимость величины атомного возбуждения от частоты возбуждающего света и. Наибольшая суммарная населенность возбужденных состояний имеет место при отстройке = ш - UO0 в районе -0.570. В этой области частот плотность долгоживущих коллективных состояний наибольшая. Заметим, что эта область не совпадает ни с областью максимума поглощения (максимум мнимой части волнового вектора) ни с областями частот, где выполняется критерий Иоффе-Регеля (см. предыдущий раздел).

Из Рис. 27 видно, что помимо абсолютной величины населенностей для разных частот по-разному проявляются граничные эффекты. Для одних частот населенность при приближении к границе нарастает, для других - убывает, а есть такие как, например, = -70, для которых зависимость в пограничной области немонотонная. Для заданной частоты характер граничных эффектов различен на ближнем и дальнем к источнику краях образца. На ближней границе существенную роль играет возбуждение атомов излучением, рассеянным назад во внутренних областях атомного ансамбля. Важное значение имеет также поляризация пробного излучения. Последнее хорошо демонстрируется Рис. 28, на котором для двух частот пробного света показано пространственное распределение атомов, возбужденных на разные зеемановские подуровни.

В середине образца влияние нерассеянного пробного света мало, а плененное излучение полностью деполяризовано, поэтому населенности различных зеемановских подуровней совпдают с очень хорошей точностью независимо от частоты излучения. Выравнивание населенностей происходит тем быстрее, чем меньше длина свободного пробега фотона. Так для излучения = 0 различие населенностей пренебрежимо уже при z 2.5, а для = 1.57о - только при z 4.

Вблизи заднего торца образца населенности подуровней т = 1 и т =-1 по-прежнему совпадают, но отличаются от населенности состояния т = 0. Это происходит потому, что в этой области плененное излучение частично поляризовано. Поляризация обусловлена различным характером отражения света от границы раздела среда-вакуум в зависимости от его поляризации. Населенность подуровня т = 0 определяется светом, линейно поляризованным вдоль оси квантования z, а населенности т = ±1 - светом, вектор поляризации которого имеет отличную от нуля проекцию на плоскость, перпендикулярную этой оси. В нашем случае ось z совпадает с осью цилиндра и перпендикулярна границе между средой и вакуумом. Это означает, что подуровни т = ±1 могут возбуждаться светом с произвольным волновым вектором, а подуровень т = 0 - преимущественно излучением, распространяющимся под малыми углами к торцевой поверхности. Это излучение имеет больший коэффициент отражения от границы, поэтому в среднем состояние т = 0 заселено сильнее.