«Коллективные и релятивистские эффекты нелинейной динамики заряженных частиц в неравновесной плазме». Габышев Дмитрий Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Краткий обзор литературных источников 12

1.1 Библиометрический анализ источников 12

1.2 Смещение покоящейся заряженной частицы в поле электромагнитного импульса 15

1.3 Нелинейные ленгмюровские колебания электрона в холодной бесстолкновительной плазме 16

1.4 Сильно нелинейный ионно-звуковой солитон 18

ГЛАВА 2. Смещение покоящейся заряженной частицы в поле электромагнитного импульса 19

2.1 Введение 19

2.2 Постановка и решение задач 23

2.2.1 Частица в плоской электромагнитной волне

2.2.2 Частица в немонохроматической плоской волне 27

2.2.3 Частица в поле плоского электромагнитного импульса 29

2.3 Анализ остаточного смещения заряженной частицы 34

2.3.1 Поперечное смещение частицы 37

2.3.2 Адиабатическое приближение и продольный сдвиг частицы 45

2.3.3 Возможные схемы демонстрационных экспериментов 49

2.4 Выводы 51

ГЛАВА 3. Нелинейные ленгмюровские колебания электрона в холодной бесстолкновительной плазме 52

3.1 Введение 52

3.2 Постановка задачи 54

3.3 Решение нелинейного уравнения движения 56

3.4 Анализ решения 58

3.5 Модификация задачи 66

3.6 Выводы 71

ГЛАВА 4. Сильно нелинейный ионно-звуковой солитон 73

4.1 Введение 73

4.2 Точное нелинейное уравнение для ионно-звукового солитона 77

4.3 Сравнительный анализ солитонов Сагдеева и Гуревича 85

4.4 Солитон с релятивистскими электронами 88

4.5 Выводы 93

Заключение 95

Основные результаты работы 95

Список публикаций по теме диссертации 96

Список литературы 97

• Смещение покоящейся заряженной частицы в поле электромагнитного импульса
• Нелинейные ленгмюровские колебания электрона в холодной бесстолкновительной плазме
• Адиабатическое приближение и продольный сдвиг частицы
• Модификация задачи

Введение к работе

Актуальность работы

В целом предметную область работы можно обозначить как экстремальные состояния плазмы. Таковые могут возникать, например, при воздействии мощного внешнего электромагнитного излучения релятивисткой интенсивности. Внешние лазерные или корпускулярные источники способны накачивать в плазме интенсивные нелинейные ленгмюровские волны. Движение быстрых нагретых тел с астрономической скоростью в ионосферной плазме может сопровождаться высокоградиентными ионно-звуковыми солитонами. Во всех этих случаях исследователи имеют дело с неравновесной плазмой, то есть плазмой, не обладающей термодинамическим равновесием.

Взаимодействие движущихся заряженных частиц с полем электромагнитной волны лежит в основе многих электровакуумных приборов (клистронов, ламп бегущей и обратной волны, лазеров на свободных электронах с электромагнитной накачкой), а также имеет место в светочувствительных вакуумных устройствах, использующих внешний нелинейный фотоэффект (фотоэлементы), в экспериментах с многофотонным фотоэффектом и фотоионизации. Актуальными видятся получение быстрых заряженных частиц и генерация нейтронов при взаимодействии лазерного излучения с плазмой , измерение атто- и фемтосекундных электронных импульсов , рождение пар (электрон-позитронных и мюон-антимюонных) элементарных частиц –], движущихся в генерирующем их поле.

Плазма является рабочим телом в целом ряде прикладных приборов нового поколения. В первую очередь, в мощных компактных ускорителях заряженных частиц, в которых ускорение происходит интенсивными плазменными волнами. Плазма в них, нейтрализуя объёмный заряд ускоряемого пучка, позволяет достичь больших плотностей токов пучков. Компактность ускорителей достигается благодаря высоким напря-жённостям поля и, следовательно, большим темпам ускорения. Этот метод ускорения, получивший название коллективного, был предложен В.И. Векслером, Я.Б. Файн-бергом и Г.И. Будкером в 1956 году и в настоящее время получил широкое распространение во многих лабораториях мира. Перед физикой плазмы стоят две основные задачи, связанные с тем, что электромагнитные поля в ней могут быть поперечными и продольными. Первая — получение максимально возможной мощности излучения (вектора Пойнтинга), вторая — создание полей внутри плазмы для ускорения заряженных частиц плазменной волной (электронов и даже протонов). Известно, что возбуждение волн в плазме осуществляется двумя основными методами: воздействием пучка частиц и воздействием лазерного излучения.

Не менее важным в прикладном отношении является обратный процесс, когда мощные сильноточные пучки заряженных частиц используются для генерации мощного когерентного электромагнитного излучения. Здесь также плазменные источники излучения обладают рядом преимуществ перед вакуумными, такими как клистроны, магнетроны, гиротроны и др. Во-первых, плазма позволяет осуществлять генерацию в широком интервале частот путём быстрой перестройки плотности плазмы. Это позволяет также быстро перестраивать частоту генерируемого излучения, что весьма важно в ряде прикладных задач оборонного значения и плазмохимии. Во-вторых, если энергия плазменных колебаний велика, их частота начинает зависеть от энергии электронов, и становится возможным менять частоту без изменения концентрации, что также представляет практический интерес.

Наконец, следует особо отметить большое значение природной плазмы для жизни и деятельности человека. Это ионосферная плазма ], существенно определяющая наши коммуникационные возможности, плазма, генерируемая природными (кометы, метеоры) и искусственными (ракеты, искусственные спутники и др.) телами ], быстро движущимися в атмосфере Земли. Наши оценки показали, что полёт метеоритов, входящих в плотные слои атмосферы, должен сопровождаться высокоградиентными ионно-звуковыми солитонами.

В приведенных примерах очень важны структура и характер распространения продольной плазменной волны в зависимости от её параметров, таких как термодинамические параметры плазмы (плотность, температура, функция распределения по скоростям и энергиям заряженных частиц) и электродинамические параметры волны (амплитуда поля волны, форма импульса и скорость распространения).

Всё сказанное выше явилось основной мотивацией проведённых в настоящей диссертации исследований.

Цель работы

Целью работы является расчёт и анализ физико-математических моделей нелинейной динамики заряженных частиц в неравновесной плазме, поиск и описание возникающих в них эффектов, носящих выраженный коллективный или релятивистский характер.

Задачи исследования

1. Формулировка и анализ релятивистской модели движения заряженной частицы в поле плоского электромагнитного импульса.

2. Аналитический вывод продольных плазменных колебаний электронов с релятивистским импульсом, изучение особенностей этих колебаний и оценка степени их негармоничности.

3. Расчёт уединённой ионно-звуковой волны в плазме с холодными ионами и изучение её электродинамических характеристик при захвате ею релятивистских электронов.

Научная новизна работы

1. Обнаружено, что первоначально покоящаяся заряженная частица после взаимо
действия с плоским электромагнитным импульсом имеет максимальное остаточное
смещение в поперечном направлении в случае предельно коротких импульсов и им
пульсов с асимметричными фронтами. Предложено рассматривать импульсы с асим
метричными фронтами. Предложено описывать поперечное и продольное смещение
частицы единым радиус-вектором. Предложены экспериментальные схемы демонст
рации продольного и поперечного смещения электронов в поле лазерного импульса.

2. При рассмотрении электронов, совершающих ленгмюровские колебания в холодной бесстолкновительной плазме в отсутствие магнитного поля, оценён вклад высших Фурье-гармоник в осцилляции импульса электронов и электрического поля, продемонстрирован рост этого вклада, характеризующего негармоничность колебаний, с ростом амплитуды импульса. В ультрарелятивистском пределе объяснена более высокая степень ангармо-низма колебаний электрического поля в сравнении с колебаниями импульса.

3. Найдено численное решение, описывающее ионно-звуковой солитон в плазме с холодными ионами с учётом захвата релятивистских электронов. Показано, что при различной электронной температуре зависимости числа Маха, ширины и площади под графиком солитона от его амплитуды принимают значения, промежуточные между аналогичными зависимостями для солитонов Р.З. Сагдеева и А.В. Гуревича. Обнаружено, что чем выше , тем меньше влияние электронов на поле солитона.

Достоверность результатов

Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается корректностью использованных аналитических методов и их численной реализации, а также обеспечивается использованием и модификацией широко известных, надежно зарекомендовавших себя постановок исходных задач.

Личный вклад автора

В получении научных результатов определяющее значение имел личный вклад автора, включая верификацию постановки задач и вспомогательной информации, выполнение и анализ большинства аналитических и компьютерных расчётов, интерпретацию данных, сбор, систематизацию и анализ информации о состоянии темы исследования, представление результатов на научных конференциях и семинарах, участие в обсуждении и развитии решаемых задач, реализацию модификации задач.

Практическая значимость

Результаты диссертационного исследования представляют интерес для физики плазмы и лазерной физики. Работа помогает лучше понять поведение плазмы при ее экстремальных состояниях, таких как высокая электронная температура, сильные внутренние колебания зарядов, наличие мощного внешнего излучения. Практическое значение работа может носить при расчете и конструировании электронно- и ионно-оптических приборов, плазменных устройств, исследовательских установок и иной электрофизической аппаратуры, использующей эффекты, рассмотренные в диссертации.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Первоначально покоящаяся заряженная частица в поле плоского электромагнит
ного импульса релятивистской интенсивности смещается на конечное расстояние, раз
ложимое на продольную и поперечную компоненту. Поперечная компонента макси
мальна для предельно коротких лазерных импульсов и импульсов с асимметричными
фронтами, при этом максимально проявляется нелинейность продольной компоненты.

4. Одномерные ленгмюровские колебания электронов в холодной бесстолкнови-тельной плазме в отсутствие магнитного поля с ростом импульса приобретают негармонический характер. По абсолютной величине вклад высших Фурье-гармоник в колебания импульса электронов мал и не превышает 4%, однако их вклад в колебания электрического поля достигает почти 19%.

5. Учёт захвата релятивистских электронов оказывает существенное влияние на электродинамические характеристики уединенной ионно-звуковой волны при безра-мерной амплитуде F_m=e/T_e более 0,3. Влияние электронов на поле волны уменьшается с ростом электронной температуры T_e.

Апробация работы

Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих научных конференциях, школах и семинарах:

1. 57-ая научная конференция МФТИ с международным участием, посвященная 120-летию со дня рождения П.Л. Капицы, г. Долгопрудный, МФТИ, 24–29 ноября 2014.

2. XLII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, Российская академия наук, г. Звенигород, 9–13 февраля 2015.

3. 13th Workshop “Complex Systems of Charged Particles and their Interactions with Elec-tromagnetic Radiation”, April 8–10, 2015, Moscow, Russian Academy of Sciences.

4. 3-я конференция молодых ученых ИОФ РАН, г. Москва, ИОФ РАН, 28 апреля 2015.

5. 14th Workshop “Complex Systems of Charged Particles and their Interactions with Elec-tromagnetic Radiation”, April 13–15, 2016, Moscow, GPI RAS. 6

6. V Международная молодёжная научная школа-конференция «Современные проблемы физики и технологий», 18–23 апреля 2016, г. Москва, НИЯУ МИФИ.

7. III Международная конференция «Лазерные, плазменные исследования и технологии — ЛаПлаз-2017», 24–27 января 2017, г. Москва, НИЯУ МИФИ.

8. Семинары теоретического отдела ИОФ РАН, г. Москва (№1411 от 4 марта 2015, №1441 от 17 февраля 2016, №1454 от 1 июня 2016, №1471 от 18 января 2017).

Публикации

Результаты исследований изложены в 7 публикациях, из них 6 в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации

Смещение покоящейся заряженной частицы в поле электромагнитного импульса

Движение релятивистской заряженной частицы в поле монохроматической плоской волны заинтересовало ученых достаточно давно. Первое решение этой проблемы было представлено Я.И. Френкелем в первой половине 1930-х годов в постановке задачи с релятивистским уравнением движения [45]. В 1941 г. в курсе Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица было опубликовано решение на языке уравнений Лагранжа через частные производные Гамильтона-Якоби [48]. Достаточно просто решения Я.И. Френкеля, Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица могут быть обобщены на случай электромагнитного импульса конечной длительности.

Спустя восемь десятков лет после первых предметных публикаций, можно констатировать, что интерес к теме взаимодействия заряженных частиц с электромагнитными импульсами релятивистской интенсивности до сих пор не ослабевает. Кроме сотен публикаций о проработанности любой научной темы можно судить косвенно и по тому, как в названии статей по ней задействованы все возможные синонимы объекта исследования. В данном случае это синонимы понятий «заряженная частица» и «электромагнитная волна» (или «импульс»). Множество их синонимов во всевозможных комбинациях встречается в заголовках большого количества статей со сходной начальной постановкой задач; среди таких работ достаточно упомянуть, например, [53, 61–65, 70, 73, 82–83, 85, 87, 89, 95, 102, 107, 110, 126, 143, 149, 152–155, 161–163, 168].

Если заряженная частица первоначально покоится, то одной из особенностей её движения в поле интенсивной плоской электромагнитной волны будет смещение вдоль вектора Умова-Пойнтинга под действием силы Лоренца, что привлекало внимание и было предметом исследования достаточно многих учёных [64, 82–83, 143, 160, 163–164, 166]. В общем случае оказывается также, что частица после прохождения импульса не возвращается на свою первоначальную позицию в поперечном направлении, вдоль которого был направлен вектор напряжённости электрического поля прошедшего импульса [64, 82, 163], о чём, пожалуй, впервые всерьёз стали говорить в 1968 г. Дж.Х. Эберли и А. Слипер из университета Рочестера [64, 82]. Изучению продольного и поперечного смещения заряженной частицы в поле интенсивного электромагнитного импульса посвящена 2 глава диссертации.

Определённая часть результатов, описанных в 2 главе, была получена при подготовке магистерской диссертации [149]. Безусловно, к вычислениям из [149], критически пересмотренным, дополненным и частично исправленным, была добавлена новая интерпретация. При написании п. 2.3.2 настоящей диссертации вместе с [149] определяющую роль сыграла публикация [102], в которой движение заряженной частицы рассматривается в адиабатической приближении.

В середине 1950-х гг. сотрудники Украинского физико-технического института в Харькове А.И. Ахиезер и Р.В. Половин активно работали над проблемой нелинейных ленгмюровских волн в однокомпонентной релятивистской плазме с неподвижными ионами в отсутствие тепловых потерь [178–179]. В 1956 г. в ЖЭТФ была опубликована краткая заметка Р.В. Половина, в которой он выводит релятивистское уравнение продольных колебаний импульса единичного электрона [217]. Особенностью таких колебаний является зависимость частоты от амплитуды импульса. Аналогичные уравнения возникают и в более поздних работах, где рассматриваются релятивистские поперечные волны в плазме [216, 218–221] и прохождение сквозь плазму электромагнитной волны [225–226], [227, с. 192].

В последующие годы основной интерес научной общественности привлекали плазменные волны, то есть периодическое самосогласованное движение конгломерата заряженных частиц. Движению же отдельных электронов внимания уделялось мало. В монографии Н.Л. Цинцадзе и Д.Д. Цхакая из Академии наук Грузии [234, с. 43–6] рассматривается параметрический резонанс в плазме, к которой приложено внешнее электромагнитное поле, с учётом тепловых эффектов (диссипации энергии вследствие столкновений частиц). Если из данной постановки задачи исключить внешнее поле, то получится более простая ситуация затухающих релятивистских колебаний, рассмотренная в 3 главе диссертации.

Если знак коэффициента затухания изменить на противоположный, то, напротив, колебательные решения начнут нарастать, приобретая всё более негармонический характер из-за роста вклада в осцилляции высших Фурье-гармоник. До сих пор изменение вклада высших гармоник в ленгмюровские колебания электронов в зависимости от амплитуды импульса не рассматривалось в литературе, в то время как основные свойства ультрарелятивистского решения более или менее рефлексировались: график импульса электрона в пределе больших амплитуд составляется из дуг парабол, а соответствующее ему электрическое поле приобретает всё более пилообразный профиль [191, с. 337]. Аналогичное поведение решений наблюдается и в задаче о поперечных полях [216, 218–221]. Процессы затухания и накачки релятивистских колебаний имеют ещё одну особенность — они происходят быстрее, чем экспоненциально, что было установлено в 3 главе диссертации и упоминания чего в литературе также найти не удалось.

Нелинейные ленгмюровские колебания электрона в холодной бесстолкновительной плазме

В 1965 г. Томас Киббл из Имперского колледжа Лондона [68] обратил внимание, что среднее за несколько периодов значение векторного потенциала как интеграла от тензора электромагнитного поля, вообще говоря, не равно нулю (в частности, его привлёк случай импульса с резкими фронтами). За внешней незначительностью такого замечания скрывается важное следствие по первой теореме о среднем: поскольку среднее значение некоторой функции на отрезке не равно нулю, то не равен нулю и определённый интеграл от этой функции в пределах этого отрезка. Поэтому применительно выводу Т. Киббла о векторном потенциале первая теорема о среднем означает, буквально, следующее: определённый интеграл от векторного потенциала ЭМ-импульса может быть не равен нулю. Это автоматически отражается и на картине, которая описывается интегральными формулами траектории заряженной частицы (2.38) — координата x становится способной принимать ненулевое остаточное значение. Т. Киббл предположил, что замеченный им краевой эффект «может быть важным для сфокусированного луча, т.к. амплитуда изменяется быстро вблизи фокуса» [68, с. B746].

Далее вопрос о траектории частицы в поле ЭМ-импульса был рассмотрен физиками Дж.Х. Эберли и А. Слипером из университета Рочестера в 1968 г. [64, (13)], [82]. Они показали, что первоначально покоящийся электрон смещается на конечное расстояние в направлении распространения импульса, которое пропорционально длительности импульса, причём, более того, отношение этого смещения к длительности импульса идентично эффективной скорости распространения, рассчитанной магистром Дж. Сандерсоном из Лестершира тремя годами ранее [66]. Кроме того, они отмечают, что остаточное смещение заряженной частицы наличествует также по направлению электрического поля (то есть в поперечном направлении), но оно обратно пропорционально длительности импульса (ср., например, с (2.42)), результирующее же смещение электрона вдоль направления импульса много больше, чем смещение по направлению векторного потенциала. В направлении, перпендикулярном одновременно и векторному потен-35 циалу, и направлению импульса, остаточное смещение отсутствует. В качестве примера они приводят формулы, описывающие траекторию электрона в поле импульса с экспоненциальной огибающей [64, (16)–(17)]. Также вопрос об остаточном смещении затрагивался в 1970 г. в работе Е.С. Сарачика и Дж.Т. Шапперта из центра электронных исследований НАСА [160], где вычислено смещение вдоль по направлению импульса с гауссовой огибающей. Судя по всему, последующие 20 лет указанным эффектом не интересовались с силу его малой величины.

В середине 1990-х гг., когда усиленные лазерные импульсы прочно вошли в научный обиход [75], вновь появились публикации, затрагивающие данный эффект. Например, московские физики С.П. Гореславский и Н.Б. Нарожный [92– 93], рассматривая ионизацию в поле мощного импульса, пришли к выводу, что при некоторых условиях электрон может двигаться навстречу импульсу. В США Ф.В. Хартеманн с коллегами [90] был знаком с работами [62] и [160], и, более того, в его собственной работе 1995 г. на рис. 6 видно, что первоначально покоящийся электрон после прохождения импульса с огибающей типа cos2 имеет остаточное смещение в поперечном направлении, однако он с соавторами предпочёл лишь упомянуть о «систематическом дрейфе, наблюдаемом в поперечном направлении». Юсуф Саламин и Фархад Фейсал в своей статье 1996 г. [144] хотя и обобщили работы и [82] и [160], но вопрос об остаточном смещении заряженной частицы поначалу оставили без внимания. Однако год спустя была опубликована обстоятельная статья Ю. Саламина [163], в которой было вычислено как продольное, так и поперечное смещение электрона в поле такого лазерного импульса, чей векторный потенциал имел огибающую в виде экспоненты от модуля координаты.

Таким образом, можно насчитать около десятка исследователей, причастных к интересующей нас проблеме. После них, как и в предыдущие годы, на эффект, по-видимому, вновь не обращали внимания, за исключением упоминания в курсе лекций Дитера Бауэра [166], где приведено смещение заряженной частицы после прохождения импульса с огибающей типа sin2 (ср. с (2.40)), и работ коллектива ученых ИОФ РАН [83, 143], наблюдавших продольное смещение при компьютерном моделировании. В целом же смещение (2.39) в зависимости от входящих в него параметров анализировалось слабо. Однако именно теперь, когда развивается техника создания электромагнитных импульсов с малым числом осцилляций поля, на давно известное явление можно взглянуть по-новому. Почему — станет видно в п. 2.3.2. Тем более что первые попытки рассмотреть физику в этой области уже осуществлялись [133-134, 167-168]. Можно надеяться, что результаты исследования данного эффекта будут представлять интерес для областей, нуждающихся в прецезионной точности, например, измерению электронных сгустков в стрик-камерах [12, 139], где при определённой конструкции продольный и поперечный сдвиг частиц в поле ЭМ-импульса может быть зафиксирован.

Адиабатическое приближение и продольный сдвиг частицы

Графики точного решения П(т) (сплошная светло-серая кривая) и предельной функции (3.4) (пунктирная чёрная), соответственно, при П0=0,5 (слева) и П0=5 (справа). В случаях, когда ф=тг/2, первый аргумент опускается и получающаяся величина F{k) именуется полным нормальным эллиптическим интегралом I рода, это же соглашение действует и в отношении других нормальных эллиптических интегралов. Кроме эллиптического интеграла I рода задействуем малоизвестный эллиптический интеграл [228], введённый немецким математиком Ойгеном Янке о (l-z ll-k z2) который равен комбинации нормальных эллиптических интегралов I и II рода: D( p,k) = \[F( p,k)-E( p,k)]. Тогда аналитическое выражение для импульса на отрезке 0 П П0: где T0 — время, в которое импульс принимает пиковое значение Q. Часть функции импульса для отрезка - П0 П 0 восстанавливается из полученного графика, путём его отражения относительно оси времени т и сдвига полученного отражения на полпериода функции. Чтобы свести эвристические операции к минимуму, v V 2 Vl + C график (рис. 3.1) искомой функции (т) всё же удобнее искать численно ah ovo из дифференциального уравнения (3.3), чем из последнего выражения.

Границы применимости полученного решения определяются так называемым полем опрокидывания волны, которое было рассмотрено ещё А.И. Ахиезером и Р.В. Половиным [179]. Чем больше фазовая скорость ленгмюровской волны, тем большего поля можно достичь. Более полная картина присутствует в обзоре калифорниских учёных У.Б. Мори и Т. Катсоулеса [190], рассмотревших, кроме всего прочего, плазму с теплыми ионами. См. также [79, с. 188-91]. Проблеме достижения поля опрокидывания путём возбуждения ленгмюровской волны ультрарелятивистским электронным пучком посвящены недавние работы [229-230].

Последнее выражение определяет зависимость периода колебаний (и их основной частоты) от амплитуды импульса. Изменяя релятивистскую амплитуду импульса электронов, можно осуществлять и сдвиг ленгмюровской частоты. В феврале 1955 г. А.И. Ахиезер и Р.В. Половин через академика Л.Д. Ландау представляют в редакцию «ДАН СССР» пионерскую работу [178], в которой кратко и без вывода дают функцию частоты (следовательно, и периода) от скорости электронов, выраженную через эллиптические интегралы, а уже в марте 1955 г. в редакцию ЖЭТФ подают развёрнутую статью [179] с достаточно громоздким выводом формулы частотного сдвига. Однако опубликованы эти работы были с разницей в год, что объясняется, очевидно, долгим сроком рецензирования в ЖЭТФ. Рис. 3.2. Зависимость периода Тот пиковой амплитуды П0. Когда амплитуда колебаний мала о 1 (см. рис. 3.2а), имеет место соотношение

Отметим, что в ультрарелятивистском случае в [179] было получено более точное выражение, описывающее частотный сдвиг а = 2тс/т&2_3/2л-(і + ПоУ1/4, откуда Г«4Л/2(І + ПО)І/4. В то же время, в ультрарелятивистском пределе видно, что частотный сдвиг это не просто замена плазменной частоты на таковую с релятивистским фактором а) со2р -и20/с2 = а]Ц\ + П02, как это полагалось в [33] — в действительности картина сложнее. Впрочем, такое приближение с точностью до множителя 2 3/2 л «1,11 не лишено красоты и с некоторыми оговорками вполне может использоваться для эвристического изложения задачи. Рассмотрим теперь некоторые предельные формы уравнения (3.2) в наинизших приближениях разложения по безразмерной переменной . В классическом приближении 0 1 оно превращается в обычное уравнение гармонических колебаний с решением (r)=0cosr, которое при графическом изображении сосредоточено в узкой полосе вблизи оси . В ультрарелятивистском пределе 0 1 уравнение (3.2) вырождается и приобретает параболическое решение ()=0-sgn(o)2/2, которое является ни чем иным, как касательной параболой, которую можно провести в каждом экстремуме периодического решения (см. рис. 3.1 при =0). Попытка уточнить эти предельные случаи на большее число членов разложения по безразмерной переменной вновь натыкается на трудность в виде оперирования с эллиптическими и даже гиперэллиптическими интегралами.

Видится необходимым более детальный разговор о разложении функции () в тригонометрический ряд Фурье, т.к. это является логическим шагом при анализе любого периодического процесса. Применительно к плазменным волнам идею разложения решения в тригонометрический ряд Фурье можно почерпнуть в [199], где в рамках нерелятивистского гидродинамического подхода изучается скорость потока вещества и электростатическое поле. Ещё раньше в рамках того же подхода, но в другой работе [187], кроме электрического поля и скорости через разложение в ряд Фурье изучалась концентрация плазмы, при этом коэффициенты ряда выражались через функции Бесселя 1-го рода. Идею применения рядов Фурье можно почерпнуть и у Г.М. Заславского и Р.З. Сагдеева [214, с. 21–3], изучающих спектральные свойства потенциала нерелятивистских нелинейных плазменных колебаний, при этом коэффициенты ряда Фурье также выражаются через функции Бесселя, а оценивать ангармонизм изохронных колебаний предлагается через эффективное число гармоник в спектре. В [231] обсуждается и экспериментально исследуется вклад высших гармоник в колебания концентрации в соответствии с моделью тёплой плазмы. В [33] вопрос о соотношении гармоник тоже касается лишь колебаний концентрации. Весьма тяжеловесное разложение электрического поля присутствует в [232], где значения мод выражены через коэффициенты ряда Фурье функции концентрации слаборелятивистских электронов. Вклады отдельных Фурье-мод в среднюю кинетическую и потенциальную энергию слоистой модели нерелятивистской плазмы, состоящей из отдельных плазменных слоёв в состоянии теплового равновесия, были изучены в [233].

Модификация задачи

Из сопоставления рис. 4.1 и 4.3, а также из рис. 4.2 видно, во-первых, что захваченные электроны существенно нейтрализуют поле солитона при одних и тех же числах Маха q. Во-вторых, видно, что слабо нелинейная теория, учитывающая захват электронов, даёт сильно завышенный максимум поля солитона при одних и тех же q в сравнении с сильно нелинейной (точной) теорией. В-третьих, на рис. 4.2 приближённые решения по слабо нелинейной теории (пунктирные графики) качественно верно передают картину лишь до их пересечения друг с другом в артефактной точке Fm = (8/15)2 9/ж = 0,814873..., д = 225л-/(225л--192) = 1,372918... В действительности, как показывает строгая нелинейная теория, такого рода пересечение кривых отсутствует.

Скажем несколько слов о том, как меняется эффективная ширина солитона clef D = A/rDe, взятая на высоте znFm. Построенные исходя из этого определения графики изображены на рис. 4.4. В слабо нелинейном приближении зависимость D от q и Fm определяется по (4.4) и (4.8), соответственно, без учёта захвата электронов и с учётом (пунктирные кривые на рис. 4.4). В сильно нелинейном приближении такие зависимости удаётся построить лишь численно из (4.16) и (4.21) (сплошные кривые на рис. 4.4), при этом из-за уточнения определения эффективной ширины солитона, сделанного в п. 4.1, ширину надлежит измерять на высоте znFm. Главным трендом зависимостей на рис. 4.4 является качественное уменьшение эффективной ширины с ростом амплитуды Fm и параметра q. Приближенные выражения, полученные в слабо нелинейной теории (4.4) и (4.8), очень точны при параметре q близком к 1. В осях (D,Fm) расхождение графиков становится чуть более заметным.

Вообще говоря, с точностью до множителя /(e-rD) уравнения (4.16) и (4.21) определяют напряжённость электрического поля одномерного солитона. Экстремум напряжённости, очевидно, будет наблюдаться там, где равна нулю вторая производная функции F(tf), то есть левая часть уравнений (4.15) и (4.20). Для (4.15) это выполняется, очевидно, при упомянутом ранее значении функции которому соответствуют точки перегиба r}inf графика F(rj). Для (4.20) значения F должны отыскиваться из трансцендентного уравнения 1 я г 2

Зависимости F ) приведены на рис. 4.5. Определить значение функции F(rj) в точке перегиба rjinf, зная только амплитуду солитона Fm, можно по рис. 4.6. На рис. 4.7 каждому значению Finf ставится в соответствие точка перегиба rjinf в области т/ 0, а парная ей точка перегиба в области т/ 0 равна просто – Рис. 4.6 и 4.7 в паре позволяют при заданной амплитуде найти ширину солитона на уровне перегибов, равную 2//. Зависимости максимума напряжённости (dF/drj) от значения / /функции F(rj) в точке перегиба // изображены на рис. 4.8.

Характеристикой солитона может служить также площадь S под его графиком [306] (играющая важную роль в квазиклассической теории [307]). Такая характеристика, если она не меняется со временем, является своего рода интегралом движения [308, с. 196] и свидетельствует о том, что солитон, взаимодействуя со средой, не теряет свою энергию. В слабо нелинейном случае площадь под солитоном без захвата электронов (4.3) равна 2DFm, а под солитоном (4.7), захватывающим электроны, равна 4DF/3. В сильно нелинейном случае в виду представления искомой функции F(rj) в виде (4.19), интегрирование F(rf) оказывается возможным только в смысле Лебега:

Наши численные оценки показали (рис. 4.9), что площади S под солитоном Р.З. Сагдеева [256] и солитоном А.В. Гуревича [257] как функции от амплитуды Fm ограничены, нелинейно и монотонно растут, выпуклы вверх. При малых Fm площадь под солитоном Р.З. Сагдеева превосходит площадь под солитоном А.В. Гуревича (что имеет место и в слабо нелинейном случае), однако с ростом амплитуды при некотором её значении площади сравниваются, а затем площадь под солитоном А.В. Гуревича оказывается даже больше. Если в качестве солитона рассматривать напряжённость электрического поля из уравнений (4.16) и (4.21), то в силу нечётности функций суммарная площадь под такими солитонами равна нулю (подобно так называемым 0тг-импульсам [306]).

Вообще говоря, благодаря однозначному соответствию среди величин Fm, a, D, Finf, ninf, (dF/dn) и S есть только одна независимая, задав которую, можно получить все остальные. Это составляет трудность для отображения результатов, ведь можно построить 7!/(2!5!)=21 рисунок (число сочетаний по 2 штуки из набора 7 величин) с этими величинами, однако приводить их все здесь не имеет смысла. Строго говоря, достаточно только формул, но тогда отсутствует наглядность. Поэтому приходится реализовывать некий оптимум (или, скорее, минимакс) между объёмом работы и максимальной наглядностью, когда наибольший смысл имеет приводить только такие рисунки, которые требуют использования сложных численных схем.

Чем выше электронная температура, тем больше доля достаточно энергичных электронов, для которых не применимо распределение Максвелла. Предположим, что при этом фактор Лоренца у остаётся близким к 1, тогда система (4.10) всё ещё справедлива (запись релятивистской системы см. в [309-312]). Для статистического описания электронов воспользуемся распределением Максвелла-Юттнера, которое впервые получил Ференц Юттнер (1858-1958) в 1911 г. [313-315], рассматривая поведение релятивистских частиц в идеальном газе. Однако только одного этого распределения недостаточно. При расчете полной энергии электронов учтём их больцмановское распределение во внешнем силовом поле е: где A 1 + Р/ {/тс V " J fMJB(p) = n0Aexp F л в \ ( 1 „. где K2 — модифицированная функция Бесселя второго рода (функция Макдональда), =Te/mc2 — безразмерная температура (распределение становится \п{тс)ъвК2\у классическим максвелловским, если разложить корень прир«тс и взять предел с [316]).

Иногда коэффициенте записывают, используя тождество КЛ-\ = 29к\-\ + КЛ-\. \е) \е) \е) Вместо (4.9) вычислим поправку к концентрации электронов, движущихся с релятивистскими скоростями. Полагая, что скорость электронов много больше и, можем вновь использовать распределение электронов без поправки на движение системы отсчёта, связанной с солитоном. Кинетическая энергия электронов, захватываемых полем солитона, лежит в пределах О Ешн еФ, поэтому их импульс определяется неравенством: